Chương 4: Đặc Trưng Hình Học Mặt Cắt Ngang
1 Giới Thiệu
2 Diện tích-Mômen Tĩnh-Trọng Tâm Của Hình Phẳng
3 Các Mômen Quán Tính
4 Công Thức Chuyển Trục Song Song
1
Giới Thiệu
P
P
x
x
y
y
* Khả năng chịu lực của chi tiết không những phụ thuộc vào hình dáng, kích thước mặt cắt ngang mà còn phụ thuộc vào cách bố trí của mặt cắt ngang.
2 Diện tích-Mômen Tĩnh-Trọng Tâm Của Hình Phẳng
y
2.1 Diện tích của hình phẳng
y
dF
dF
F
F
x
x
O
2.2 Mômen tĩnh của hình phẳng
- Đối với trục Ox:
ydF
S
x
F
- Đối với trục Oy:
xdF
S
y
F
2 Diện tích-Mômen Tĩnh-Trọng Tâm Của Hình Phẳng
2.2 Mômen tĩnh của hình phẳng
* Mômen tĩnh có thể âm, dương hoặc bằng không
* Mômen tĩnh của hình phẳng đối với một trục nào đó bằng không, trục đó được gọi là trục trung tâm. Giao điểm của hai trục trung tâm là trọng tâm hình phẳng.
dF
y
x
S
0
x
S y
y
dF
y
2 Diện tích-Mômen Tĩnh-Trọng Tâm Của Hình Phẳng
2.2 Mômen tĩnh của hình phẳng
* Gọi C là trọng tâm hình phẳng, các trục Cx0 và Cy0 là hai trục trung tâm
0y
S
0
x
dFy 0
y
0
F
0y
y
S
0
dF
y
dFx 0
0
0x
F
Cy
0x
C
x
Ta có
O
x
x
y
x 0 y
Cx
x C y C
0
ydF
y
dF
S x
y C
0
dFy C
dFy 0
F
F
F
F
.
S x
SFy C
. Fy C
x
0
2 Diện tích-Mômen Tĩnh-Trọng Tâm Của Hình Phẳng
2.2 Mômen tĩnh của hình phẳng
S
x
0y
S
y
. Fy C . Fx C
y
0y
Nếu hình phẳng là hình phức tạp
y
dF
0x
Cy
0x
n
C
S
x
. Fy C i
i
i
1
O
n
x
x
Cx
S
y
. Fx C i
i
i
1
2 Diện tích-Mômen Tĩnh-Trọng Tâm Của Hình Phẳng
2.3 Trọng tâm của hình phẳng
0y
y
n
Fx i C
i
0y
S
y
i
1
dF
x C
n
0x
y F
Cy
0x
C
F i
i
1
n
O
Fy i C
x
x
i
Cx
i
1
y
C
n
S x F
F i
i
1
3 Các Mômen Quán Tính
y
3.1 Mômen quán tínhcủa hình phẳng
y
dF
- Đối với trục Ox:
2 dFy
J
x
F
- Đối với trục Oy:
2 dFx
J
y
F
x
x
O
3.2 Mômen quán tính cực của hình phẳng đối với tâm O
J
dF
2
F
2
2
2 x
y
Ta thấy:
J
J
J
x
y
3 Các Mômen Quán Tính
y
y
3.3 Mômen quán tính ly tâm của hình phẳng đối với hệ trục xOy
dF
xydF
J
xy
F
x
x
O
* Mômen quán tính ly tâm có thể âm, dương hoặc bằng không
dF dF
x
x
x
* Nếu mômen quán tính ly tâm của hình phẳng đối với một hệ trục nào đó bằng không, hệ trục đó được gọi là hệ trục quán tính chính
* Nếu hệ trục quán tính chính đi qua trọng tâm mặt cắt được gọi là hệ trục quán tính chính trung tâm.
y
3 Các Mômen Quán Tính
3.4 Mômen quán tính của một số hình thường gặp
* Hình chữ nhật
h
2/
3
2
x
J
2 dFy
bdy
h
x
bh 12
y
F
y 2/
h
dy
dF
3
y
J
x
b
J
y
bh 12 3 hb 12
3 Các Mômen Quán Tính
3.4 Mômen quán tính của một số hình thường gặp
* Hình tròn
d
4
J
J
05,0
d
y
x
x
4
J
2
J
d 1,0
x
y
* Hình tam giác
h
J x
x
C
3bh 36
b
4 Công Thức Chuyển Trục Song Song
0y
y
* Biết:
J
,
J
x
y
0
0
y
* Tìm:
J
0y
dF
J , x
y
0x
Ay
A
0x
Với
x
//
,
y
//
y
x 0
0
x
x
O
Ta có
x
x
Ax
y
x 0 y
A y
0
A
2
J
2 dFy
y
y
dF
2
x
A
0
2 dFy A
2 dFy 0
dFyy 0
A
F
F
F
F
F
J
JFy
.
2
x
2 A
Sy . A
x
x
0
0
J
.
y
2 JFx A
Sx .2 A
y
y
0
0
4 Công Thức Chuyển Trục Song Song
0y
y
y
0y
dF
* Nếu A là trọng tâm mặt cắt, Ax0 và Ay0 là hai trục trung tâm của mặt cắt ngang
0x
Ay
A
0x
Ta có
S
0
x
S y
0
0
O
x
x
Ax
J
J
x
x
2 . Fy A
0
J
J
y
y
2 . Fx A
0
* Ví dụ 1: Tính mômen quán tính của hình chữ nhật đối với các trục x,y
y
y
cy
C
b2
b2
cx
x
x
b
b
3
4
2
2
4
J
J
b
b 2.
b
J
x
x
x
c
c
8 3
Ta có
2
3
2
4
J
J
b 2.
b
J
y
y
y
c
c
b 2
2 3
bb 2 12 bb 2 12
b 2 3 4 b 6
* Ví dụ 2: Tính mômen quán tính của hình tam giác đối với các trục x
h
h
C
cx
x
x
b
b
2
3
J
J
.
bh
Ta có
J
x
cx
cx
h 3
1 2
bh 12
3bh 36
3
J
cx
J
x
bh 36 3 bh 12
* Ví dụ 3: Tính mômen quán tính của hình tam giác đối với các trục x, y
y
y
h 2
h
x
x
h 2
b
b
3
3
J
2
x
bh 48
h b 2 12 3
J
y
hb 12
* Ví dụ 4: Tính chính trung tâm của hình phẳng
y
b b
b b
(1)
x
(2)
3
b 2 .
4
b 2 2
J
J
2
x
y
12
b 12
* Ví dụ 5: Tính các mômen quán tính chính trung tâm của hình phẳng
30
450 y
40
900
J
J
J
J
x
1 x
2 x
3 x
x
30
450
3
J
x 1
30.900 12
4
76626
cm
J x
2
3
J
J
.450.30
x 2
x 3
450.30 12
900 2
30 2
3
3
4
J
J
J
J
2
45765
cm
y
y 1
y 2
y 3
900.30 12
30.450 12
* Ví dụ 6: Xác định trọng tâm và tính các mômen quán tính chính trung tâm của hình phẳng
y
b
b
x
7b
C
7b
b
b
cy
1x
15b
15b
0
x C
2
y F C i i
Toạ độ trọng tâm của hình phẳng
i
1
b
y C
2
b b 3 .13 .6 b b b 3,5 .15 .7 b b b 13 .6 b b 15 .7
89 18
F i
i
1
3
3
2
2
4
x
1 x
2 x
b 15 . 7 12
b 13 . 6 b 12
3
3
b J J J b 3,5 b b b .15 .7 b 3 b b b .13 .6 118,917b 89 18 89 18
4
y
1 y
2 y
b 7 . 15 12
b 6 . 13 b 12
b J J J b 870, 25
* Ví dụ 7: Xác định trọng tâm và tính các mômen quán tính chính trung tâm của hình phẳng
7b
7b y
b
b
(2)
x
(1)
8b
8b
cy
1x
b
b
0
x C
2
2
2
y F C i i
Toạ độ trọng tâm của hình phẳng
i
1
b 6,1
y C
2
b b 4 .8 b 8
b b 8, 5 .7 2 2 b 7
F i
i
1
3
3
2
2
2
2
4
x
1 x
2 x
b b 12
b . 8 b 12
7 . J J J b 4 b 6,1 b .8 b 8,5 b 6,1 .7 b 118,85b
3
3
4
y
1 y
2 y
b b 8 . 12
b b . 7 12
J J J b 29, 25
* Ví dụ 8: Xác định trọng tâm và tính các mômen quán tính chính trung tâm của hình phẳng
50cm
50cm y
70cm
40cm
70cm
40cm
x
75cm
75cm
3
3
4
J
4
2110416, 667
cm
x
75.70 12
12,5.20 12
2
4
J
2
40.12,5
1901041, 667
cm
y
3 70.75 12
3 40.12,5 36
100 3
1 2
