Chương 5: Thanh Chịu Xoắn – Chịu Cắt
1 Giới Thiệu
2 Nội Lực Trên Mặt Cắt Ngang
3 Ứng Suất Trên Mặt Cắt Ngang
4
Biến Dạng
5 Ứng Suất Trượt Thuần Túy
6 Điều Kiện Bền, Điều Kiện Cứng
7 Thế Năng Biến Dạng Đàn Hồi
8 Hệ Siêu Tĩnh
9 Thanh Chịu Cắt
1 Giới Thiệu
zM
M
M
z
z
z
x
x
1z
x 1z
y
y
y
* Thanh chỉ chịu tác dụng của ngẫu lực tập trung hay ngẫu lực phân bố quay quanh trục thanh.
zM
* Một thanh chịu xoắn thuần túy khi trên mặt cắt ngang của thanh chỉ tồn tại duy nhất một thành phần nội lực:
2 Nội Lực Trên Mặt Cắt Ngang
zM
M
M
z
z
z
x
x
1z
x 1z
y
y
y
0zM
zM
M
* Tồn tại duy nhất
zM
4M
C
* Qui ước dấu của:
A
B
a
2a
M
zM
3M
* Biểu đồ nội lực:
3 Ứng Suất Trên Mặt Cắt Ngang Của Thanh Chịu Xoắn
z
yx
3.1 Các giả thiết về biến dạng:
M
x
y
z
0
z
y
* Mặt cắt ngang phẳng, thanh không có biến dạng dài dọc trục, bán kính mặt cắt ngang vẫn thẳng và có chiều dài không đổi
x
R
ZM
Z
O
* Góc vuông thay đổi nên tồn tại ứng suất tiếp trên mặt cắt và vuông góc với bán kính.
Hình 5.2
3 Ứng Suất Trên Mặt Cắt Ngang Của Thanh Chịu Xoắn
3.2 Biểu thức tính ứng suất trên mặt cắt ngang của thanh tròn chịu xoắn:
'B
d
A
B
O
tg
'BB AB
d dz
dz
* Vì biến dạng bé nên:
z E
z
* Theo định luật Hooke: G
G
(1)
d dz
G: mô đun trượt của vật liệu
3 Ứng Suất Trên Mặt Cắt Ngang Của Thanh Chịu Xoắn
R
ZM
M
dF
G
2
dF
z
Z
O
d dz
F
* Quan hệ giữa ứng suất và nội lực:
Hình 5.2
G
2
dF G
J
(2)
F d dz
d dz
F
* Từ (1) và (2) ta có:
zM
: mô men xoắn tại mặt cắt
- có điểm tính ứng suất
J
: mô men quán tính cực của
zM J
- mặt cắt có điểm tính ứng suất
: khoảng cách từ điểm tính
- ứng suất đến tâm mặt cắt
3 Ứng Suất Trên Mặt Cắt Ngang Của Thanh Chịu Xoắn
ZM
max
* Sự phân bố ứng suất trên mặt cắt:
z
z
max
max
Md 2 W
M J
d
Ứng suất lớn nhất trên mặt cắt:
W
4
3
, J
d 0,1
d
max
, W 0, 2
zM W
: mô men chống xoắn của mặt cắt
3 Ứng Suất Trên Mặt Cắt Ngang Của Thanh Chịu Xoắn
ZM
max
* Sự phân bố ứng suất trên mặt cắt:
z
z
max
max
MD 2 W
M J
Ứng suất lớn nhất trên mặt cắt:
d
W
D
J
4
4
, J
0,1
D
d
, W
max
zM W
D
/ 2
: mô men chống xoắn của mặt cắt
4
Biến Dạng
'B
d
A
B
O
d
dz
zM GJ
dz
z
dz
* Từ (2) ta có:
L
=> Góc xoay tương đối giữa hai mặt cắt cách nhau chiều dài L: M GJ
M
A
B
l
=const
l
* Các trường hợp đặc biệt
zM GJ
M
zM
zM l GJ
+ Khi trên suốt chiều dài
4
Biến Dạng
M
=const
il
4M
zM GJ
C
A
B
a
2a
n
M
zM
i
1
M l z GJ
i
3M
+ Khi trên từng đoạn chiều dài
=const
il
GJ
3
ma
M A
m
C
A
6M
B
2a
a
n
M
z
3ma
ma
i
1
S GJ
i
zM
3ma
+ Khi trên từng đoạn chiều dài
5 Ứng Suất Trượt Thuần Túy
M
M
a
a
b
b
c
d
d
1
c u
u
u
uv
v
1
sin 2
u
cos 2
uv
uuv
u
uv
u
u
min
max
090
0
045
045
090
045
u
u
max
min
u
M
max
M
M
t
t
u
max
Vật liệu dòn
M
M
M
Vật liệu dẽo
Vật liệu có thớ
6 Điều Kiện Bền, Điều Kiện Cứng
max max
zM W
max
6.1 Điều kiện bền
max
zM GJ
max
6.1 Điều kiện cứng
7 Thế Năng Biến Dạng Đàn Hồi
U
dz
2 M z G J .
L
Ví dụ 1: Truïc AC maët caét ngang khoâng ñoåi hình troøn ñöôøng kính d, lieân keát, chòu löïc vaø coù kích thöôùc nhö hình vẽ. Truïc laøm baèng vaät lieäu coù moâñun tröôït G vaø öùng suaát tieáp cho pheùp . Xaùc ñònh d theo ñieàu kieän beàn vaø tính goùc xooay cuûa maët caét taïi C. Cho:
2
2
M
12
kN m a .
;
0, 25 ;
m G
3 1,5.10
kN cm /
;
3,5
kN cm /
4M
M
Theo điều kiện bền
C
A
B
d
a
2a
max max
M
zM W
max
zM
3
d
3
M 3 d 0, 2
M 3 0, 2.
3M
3
17, 26
cm
Chọn
d
17,3
cm
3.12.100 0, 2.3,5
Góc xoay của mặt cắt tại C
4
2
S
0, 0022
rad
AC
4
3
zM GJ
.2 M a M a 3 . 4 .0,1 G d
M a . G d .0,1
12.0, 25.10 4 1,5.10 .0,1.17,3
i
1
i
Ví dụ 2: Truïc baäc AC maët caét ngang hình troøn ñöôøng kính 2d, d lieân keát, chòu löïc vaø coù kích thöôùc nhö hình vẽ. Truïc laøm baèng vaät lieäu coù moâñun tröôït G vaø öùng suaát tieáp cho pheùp . Xaùc ñònh m theo ñieàu kieän beàn vaø tính goùc xooay cuûa maët caét taïi C. Cho:
3
2
2
d
12
cm a ;
0,3 ;
m G
1,8.10
kN cm /
;
kN cm 3 /
7M ma
M ma
m
2d
C
B
d
A
3
a
2a
d
3ma
ma 4 0, 2 2 ma 3 3 d 0, 2
ma
+ Ứng suất tiếp lớn nhất trong hai đoạn AB và BC AB max BC max
zM
+ Theo điều kiện bền
4ma
max max
zM W
max
3
3 d 0, 2 .
m
11,52
kN m m .
/
ma 3 3 d 0, 2
a 3
0, 2.12 .3 3.30
Chọn
m
11,5
kN m m .
/
2
S
0,5
2
a
4
AC
4
4
zM GJ
ma ma 3 .0,1 G d
i
1
d
G
ma a . .0,1 2
i
2
2
0, 01
rad
4
4
ma 15 d G .0, 4
15.11,5.30 3 1,8.10 .0, 4.12
Góc xoay của mặt cắt tại C
8 Hệ Siêu Tĩnh
M
M ma
m
d3
2d
d1 d2
C
B
d
A
a
2a
B
A
a
Hệ siêu tĩnh: là hệ thừa liên kết
Cách giải hệ siêu tĩnh: ngoài các phương trình cân bằng tĩnh học, ta thiết lập thêm các phương trình tương thích biến dạng
2
kN m a .
3 1,8.10
kN cm /
0,3 ;
12
;
;
M
2
kN cm /
3, 2
Ví dụ 3: Truïc baäc AC maët caét ngang hình troøn ñöôøng kính 2d, d bò ngaøm hai ñaàu taïi A, C vaø chòu löïc nhö hình vẽ. Truïc laøm baèng theùp coù moâñun tröôït G vaø öùng suaát tieáp cho pheùp . Xaùc ñònh ñöôøng kính truïc(d) theo ñieàu kieän beàn vaø tính goùc xooay cuûa maët caét taïi B. Cho: m G M
2d
B
C
d
A
a
2a
Phương trình tương thích biến dạng
M
CM
0
CM AC
AC
M AC
2d
C
B
d
A
a
2a
0
4
4
M a .2 C 4 G d .0,1
d
G
G
d
M a . C .0,1 2
M a . .0,1 2
M
M
C
1 33
zM
CM M
zM
M
Theo điều kiện bền
/ 33M
zM
max max
32
zM W
max
M 33
32
3
3
Chọn
d
6, 2
cm
d
6,1
cm
3
2.12.100 3, 3.3, 2
M 2 3,3.
M 33 d 0, 2 2
a
2
0, 0088
rad
BC
4
4
M 33 G d .0,1
Ma 2 d .3,3 G
2.12.100.30 3 4 1,8.10 .3,3.6,1
Ví dụ 4: Một trục composite chiều dài l=0,5m được làm từ hai vật liệu gồm trục đồng lồng trong ống thép như hình vẽ. Biết rằng tính chất của thép và đồng là:
2
2
2
2
3600
kN cm /
,
kN cm 5 /
8000
kN cm /
,
8, 2
kN cm /
G d
G t
d
t
Góc xoay của mặt cắt tại B
OÁng theùp
Xác định trị số ngẫu lực lớn nhất mà trục này truyền được
Truïc ñoàng
60 75
Gọi
lần lượt là ứng lực phát sinh trong trục thép và ống đồng
dM M ,t
Phương trình cân bằng
M M M
(1)
t
d
Phương trình tương thích biến dạng
(2)
M l . t G J t
M l . d G J d
t
d
4
4 8000.0,1. 75
Từ (1) và (2) =>
G J t
M
M
M
M
t
4
4
205 269
4 8000.0,1 75
3600.0,1.60
60
t G J t
G J d
t
d
60
4
G J d
M
M
M
M
d
4
4
3600.0,1.60 4
64 269
3600.0,1.60
8000.0,1 75
60
d G J t
G J d
t
d
M
t
4
269.0, 2.(75
4 60 ).
max
t
t
t
4 60 )
205 269 4 0, 2(75
M
M W t
60
205.60 3 269.0, 2.60 .
d
M
M
64
d
max
3
d
d
64 269 0, 2.60
M W d
Theo điều kiện bền
4
4
3
4
269.0, 2.(75
4 60 ).
269.0, 2.(75
60 ).8, 2.10
t
670
kN mm .
M
205.60 3
3
205.60 3 269.0, 2.60 .
d
907,8
kN mm .
M
269.0, 2.60 .5.10 64
64
Chọn
M
670
kN mm .
9 Xoắn Tiết Diện Không Tròn
max
z
M max W
xo
1
max
h
1
2
3
bh
bh
xoW
xoJ
b
9 Xoắn Tiết Diện Không Tròn
9 Thanh Chịu Cắt
c
d
c
d
P
P
P
a
b
P
a
b
a
sF
b avg
P F s
9.1 Ứng suất cắt trực tiếp
Ứng suất cắt trung bình phát sinh trên mặt cắt
Lực cắt
P sF
P F s
Diện tích bị cắt
avg
m
P F s m
P
P
P
m
9.2 Mối nối bulông, đinh tán
P
m
P
P
P
Ứng suất cắt trung bình phát sinh trên mặt cắt của bu lông
Lực cắt
P sF
P F s
Diện tích bị cắt
/ 2P
P
P
P
/ 2P
P
P
avg
m
/ 2P
P F 2 s m
m
m n
P
n
P
/ 2P
n
n
Ứng suất cắt trung bình phát sinh trên mặt cắt của bu lông
Lực cắt
P sF
P F 2 s
Diện tích bị cắt
Then Then
Then
m
P
m
P
h
M
9.3 Mối nối then
b
Truïc
Truïc
P
avg
P F s
P
b
Baùnh raêng
Ứng suất cắt trung bình phát sinh trên mặt cắt của bu lông
P M r M / rbl bl F s
b l r
Bề rộng then Chiều dài then
Bán kính trục
P
P
bF
b
P F b
9.4 Ứng suất dập
Hình 5.12
P
Khi hai vật ép lại với nhau, ứng suất dập phát sinh tại bề mặt tiếp xúc
b
Lực nén
P bF
P F b
Diện tích tiếp xúc
b
P
/ 2h b
9.4 Ứng suất dập trong then
Ứng suất dập phát sinh tại bề mặt tiếp xúc của then
b
l
M 2 rhl
P M r / h F ( / 2) b
h l r
Chiều cao then Chiều dài then
Bán kính trục
t
bF
P
d
d
ÖÙng suaát daäp treân thaân ñinh taùn
ÖÙng suaát daäp treân taám
9.4 Ứng suất dập trong bulông (đinh tán) và tấm nối
b
P t
Ứng suất dập phát sinh trên thân đinh tán và tấm nối
P td
P F b
Lực truyền qua chốt Chiều dày của tấm
d
Đường kính đinh tán
d
h
d
M z
PD 2 Q P
/ 2D
D
P
P
P
K
1
max
1
Q F
d D
1 2
P 4 2 d
PD 8 3 d
PD 8 3 d
PD 16 3 d 2
M W
9.5 Ứng suất trên mặt cắt ngang của lò xo hình trụ bước ngắn
2
/MN m
350
P
Ví dụ: Xác định lực P cần thiết để đột một lỗ đường kính 20mm trên một tấm thép có bề dày 25mm. Biết rằng giới hạn bền khi cắt của vật liệu làm tấm bằng
P t d
P F s
+ Ứng suất cắt phát sinh trong tấm
P t d
25
P
.20.350 549778, 7
N
P t d 25.
20
+ Để đột được lỗ
P
549,8
kN
+ Chọn
P
P
Ví dụ: Xác định đường kính của bulông trong mối nối móc chữ U. Móc cần truyền một lực P=400kN. Biết rằng độ bền cắt của bulông là 300MPa
2
P F s
2
P d 4
+ Bulông chịu cắt đôi nên ứng suất cắt phát sinh trong bulông
3
d
29,13
mm
2 P 2 d
2.400.10 300
P 2
+ Để bulông đảm bảo bền cắt
2
kN cm /
9, 6
2
kN cm /
12, 4
P
P
160
12
P
12
P
Ví dụ: Để ghép hai tấm lại với nhau như hình vẽ người ta dùng bốn đinh tán có đường kính giống nhau 20mm. Xác định giới hạn của lực P tác dụng vào mối nối biết rằng giới hạn bền cắt của đinh tán bằng , ứng suất dập giới hạn trong tấm bằng
P
9, 6.4.
120, 576
kN
F s
22 4
+ Dựa vào độ bền cắt của đinh tán
P
12, 4.4.1, 2.2 119, 04
kN
b
F b
+ Dựa vào độ bền dập của tấm
P
12, 4.4.1, 2.2 119
kN
b
F b
+ Chọn
