Bài giảng tích phân - Phạm Kim Chung

Chia sẻ: T N | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:24

Thêm vào BST

Báo xấu

375
lượt xem 100
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'bài giảng tích phân - phạm kim chung', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng tích phân - Phạm Kim Chung

Së GD & §t nghÖ an Tr−êng THPT §Æng thóc høa sin4x + cos2x ∫ sin x + cos x dx 6 6 tÝch ph©n 1 ( x +1) - ( x -1) 6 6 dx I= ∫ 8 x +1 2 ∫ = dx = ... x 8 +1 Gi¸o viªn : Ph¹m Kim Chung Tæ : To¸n N¨m häc : 2007 - 2008
12 ∫ bµi gi¶ng tÝch ph©n Ph¹m Kim Chung Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 “ Thùc ra trªn mÆt ®Êt lμm g× cã ®−êng, ng−êi ta ®i l¾m th× thμnh ®−êng th«i ! ” - Lç TÊn - ViÕt mét cuèn tμi liÖu rÊt khã, ®Ó viÕt cho hay cho t©m ®¾c l¹i ®ßi hái c¶ mét ®¼ng cÊp thùc sù ! Còng may t«i kh«ng cã t− t−ëng lín cña mét nhμ viÕt s¸ch, còng kh«ng hy väng ë mét ®iÒu g× ®ã lín lao v× t«i biÕt n¨ng lùc vÒ m«n To¸n lμ cã h¹n .. Khi t«i cã ý t−ëng viÕt ra nh÷ng ®iÒu t«i gom nhÆt ®−îc t«i chØ mong sao qua tõng ngμy m×nh sÏ lÜnh héi s©u h¬n vÒ m«n To¸n s¬ cÊp..qua tõng tiÕt häc nh÷ng häc trß cña t«i bít b¨n kho¨n, ng¬ ng¸c h¬n.. Vμ nÕu cßn ai ®äc bμi viÕt nμy nghÜa lμ ®©u ®ã t«i ®ang cã nh÷ng ng−êi thÇy, ng−êi b¹n cïng chung mét niÒm ®am mª sù diÖu k× To¸n häc . Thö gi¶i mét bμi to¸n khã…... nh−ng ch−a thËt hμi lßng ! 1 ( x + 1) - ( x - 1) 1 ( x + 1) ⎣( x - 2x + 1) + ( 2 - 1) x ⎦ 1 (x ( - 1) ⎡ x 4 - 2x 2 + 1 + 2 + 1 x 2 ⎤) ( ) 6 6 ⎡ 2 ⎤ 4 2 2 2 dx ⎣ ⎦ dx ∫ x8 + 1 = 2∫ dx = 2∫ dx + 2∫ (x + 1) - ( 2x ) (x + 1) - ( 2x ) ( x 4 + 1) - ( 2x 2 ) 4 2 2 2 4 2 2 2 2 2 1 x2 + 1 ( 2 -1 ) ( x + 1) x 2 2 1 x2 - 1 ( 2 +1 ) (x 2 - 1) x 2 = 2 ∫ x 4 + 2x2 + 1 dx + 2 ∫ (x 4 )( - 2x 2 + 1 x 4 + 2x 2 + 1 ) dx + 2 ∫ x 4 + 2x2 + 1 dx + 2 ∫ (x 4 )( - 2x 2 + 1 x 4 + 2x 2 + 1 ) 1 ⎛ 1⎞ 1 ⎛ 1⎞ 1 1+ 2 2 -1 ( ⎝ ) ⎜ 1+ 2 ⎟ dx x ⎠ 1 1- 2 2 +1 ⎜ 1 - 2 ⎟ dx ⎝ x ⎠ ( ) = ∫ 2 x dx + ∫ ⎡⎛ 1 ⎞2 ⎤ ⎡⎛ ⎤ 2∫⎛ + 2 x dx + ∫ ⎡⎛ 1 ⎞ 2 ⎤ ⎡⎛ ⎤ ( ) 2 2 2 ⎛ 1⎞ 1⎞ ( ) ( ) 2 1⎞ 2 1⎞ ⎜x - ⎟ +2+ 2 ⎢ ⎜ x - ⎟ + 2 - 2 ⎥ ⎢⎜ x - ⎟ + 2 + 2 ⎥ ⎜x + ⎟ - 2- 2 ⎢⎜ x + ⎟ - 2 + 2 ⎥ ⎢⎜ x + ⎟ - 2 - 2 ⎥ ⎝ x⎠ ⎢ ⎣ ⎝ x⎠ ⎥⎢ ⎦⎣ ⎝ x⎠ ⎥ ⎦ ⎝ x⎠ ⎢ ⎣ ⎝ x⎠ ⎥⎢ ⎦⎣ ⎝ x⎠ ⎥ ⎦ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ 1 = ∫ d⎜x - ⎟ ⎝ x⎠ 2 -1 ( d⎜x - ⎟ ⎝ x⎠ ) 2 -1 d⎜x - ⎟ ⎝ x⎠ 1 ( ⎝ ) d⎜x + ⎟ x⎠ 2 +1 d⎜x + ⎟ ⎝ x⎠ 2 +1 d⎜x + ⎟ ⎝ x⎠ ( ) ( ) 4 2 ∫ ⎡⎛ 4 2 ∫ ⎡⎛ ⎤ 2∫⎛ 4 2 ∫ ⎡⎛ 4 2 ∫ ⎡⎛ + - + + - 2 ⎤ 2 ⎤ ⎤ ( ) 2 2 2 2 2 ⎛ 1⎞ 1⎞ ⎜x - ⎟ +2+ 2 ⎝ x⎠ ⎢⎝ 1⎞ ⎢⎜ x - ⎟ + 2 - 2 ⎥ x⎠ ⎥ ⎢⎝ 1⎞ ⎢⎜ x - ⎟ + 2 + 2 ⎥ x⎠ ⎥ ⎜x + ⎟ - 2- 2 ⎝ x⎠ ⎢⎝ 1⎞ ⎢⎜ x + ⎟ - 2 + 2 ⎥ x⎠ ⎥ ⎢⎝ 1⎞ ⎢⎜ x + ⎟ - 2 - 2 ⎥ x⎠ ⎥ ( ) ( ) ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎜x + ⎟ - 2- 2 ⎜x + ⎟ - 2+ 2 ln ⎝ x⎠ ln ⎝ 2+ 2 2- 2 2- 2 2+ 2 x⎠ 1 = u+ v+ + +C ( Víi x - = 2 + 2 tgu = 2 - 2 tgv ) 8 8 16 ⎛ 1⎞ 16 ⎛ 1⎞ x ⎜x + ⎟+ 2- 2 ⎜x + ⎟+ 2+ 2 ⎝ x⎠ ⎝ x⎠ (NÕu dïng kÕt qu¶ nμy ®Ó suy ng−îc cã t×m ®−îc lêi gi¶i hay h¬n ?.. ) _____________________________ Th¸ng 12 – n¨m 2007 __________________________________ Trang 1
12 ∫ bµi gi¶ng tÝch ph©n Ph¹m Kim Chung Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 PhÇn lý thuyÕt §Þnh nghÜa : Gi¶ sö f(x) lμ mét hμm sè liªn tôc trªn mét kho¶ng K, a vμ b lμ hai phÇn tö bÊt k× cña K, F(x) lμ mét nguyªn hμm cña f(x) trªn K . HiÖu sè F(b) - F(a) ®−îc gäi lμ tÝch ph©n tõ a ®Õn b cña f(x) vμ ®−îc kÝ hiÖu lμ b b ∫ f ( x )dx . Ta dïng kÝ hiÖu F ( x ) a ®Ó chØ hiÖu sè : F(b) – F(a) a b b C«ng thøc Newton – Laipnit : ∫ f ( x )dx = a F (x) a = F(b) – F(a) 1 x3 1 1 3 = (1 − 03 ) = 1 ∫ x dx = 2 VÝ dô : 0 3 0 3 3 b Chó ý : TÝch ph©n ∫ f ( x )dx a chØ phô thuéc vμ f, a vμ b mμ kh«ng phô thuéc vμo kÝ hiÖu biÕn sè tÝch ph©n . V× vËy ta b b b cã thÓ viÕt : F(b) – F(a) = ∫ f ( x )dx = a ∫ f ( t )dt = ∫ f ( u )du ... a a C¸c tÝnh chÊt cña tÝch ph©n . a 1. ∫ f ( x )dx = 0 a b a 2. ∫ f ( x )dx = - ∫ f ( x )dx a b b b b 3. ∫ ⎡αf ( x ) ± βg ( x )⎤dx = α ∫ f ( x )dx ± β∫ g ( x )dx a ⎣ ⎦ a a e e e ⎛ 3⎞ e e VD : ∫ ⎜ 2x + ⎟dx = 2∫ xdx + 3∫ dx = x 2 + 3 ln x = ( e2 − 1) + 3 (1 − 0 ) = e2 + 2 1 1⎝ x⎠ 1 1 x 1 1 c b c 4. ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx a a b 1 0 1 0 1 x2 0 x2 1 VD : −1 ∫ x dx = ∫ −1 x dx + ∫ x dx = − ∫ xdx + ∫ xdx = − 0 −1 0 + 2 −1 2 0 =1 b 5. f(x) ≥ 0 trªn ®o¹n [a ; b] ⇒ ∫ f ( x )dx ≥ a 0 b b 6. f(x) ≥ g(x) trªn ®o¹n [a ; b] ⇒ ∫ f ( x )dx ≥ ∫ g ( x )dx a a π π 2 2 VD : Chøng minh r»ng : ∫ sin2xdx ≤ 2∫ sinxdx 0 0 b b b 7. m ≤ f(x) ≤ M trªn ®o¹n [a ; b] ⇒ m(b – a) = m ∫ dx ≤ ∫ f ( x )dx ≤ M ∫ dx = M(b – a) a a a 2 ⎛ 1⎞ 5 VD : Chøng minh r»ng : 2 ≤ ∫ ⎜ x + ⎟dx ≤ 1⎝ x⎠ 2 1 5 HD . Kh¶o s¸t hμm sè y = x + trªn ®o¹n [1; 2] ta cã : max y = ; min y = 2 x [1;2] 2 [1;2] 0974.337.449 ___________________________ Th¸ng 12 – n¨m 2007 ___________________ Trang 2
12 ∫ bµi gi¶ng tÝch ph©n Ph¹m Kim Chung Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 2 2 ⎛ 1⎞ 5 2 2 2⎛ 1⎞ 5 2 2 ⎛ 1⎞ 5 Do ®ã : 2∫ dx ≤ ∫ ⎜ x + ⎟dx ≤ ∫ dx ⇒ 2x ≤ ∫ ⎜ x + ⎟dx ≤ x ⇒ 2 ≤ ∫ ⎜ x + ⎟dx ≤ 1 1 ⎝ x⎠ 21 1 1⎝ x⎠ 2 1 1 ⎝ x⎠ 2 PhÇn ph−¬ng ph¸p Ph−¬ng ph¸p ®æi biÕn sè : t = v(x) . 1 x VD . TÝnh tÝch ph©n : I = ∫ 2 dx 0 x +1 §Æt : t = x 2 + 1 . Khi x= 0 th× t=1, khi x=1 th× t=2 . dt Ta cã : dt = 2xdx ⇒ = xdx . Do ®ã : 2 1 2 x 1 dt 1 2 1 I=∫ 2 dx = ∫ = ln t = ln 2 0 x +1 21 t 2 1 2 b b Quy tr×nh gi¶i to¸n . ∫ f ( x )dx = ∫ g ( v ( x ) )v' ( x ) dx a a B−íc 1 . §Æt t = v(x) , v(x) cã ®¹o hμm liªn tôc, ®æi cËn . B−íc 2 . BiÓu thÞ f(x)dx theo t vμ dt : f(x)dx = g(t)dt v ( b) B−íc 3 . TÝnh ∫ v(a) g ( t )dt . Bμi tËp rÌn luyÖn ph−¬ng ph¸p : TÝnh c¸c tÝch ph©n sau : e2 2 1 3 dx dx x 2 dx xdx 1. ∫ e x ln x 2. ∫ ( 2x − 1) 1 2 3. ∫ x3 + 1 0 4. ∫x 4 −1 2 π 2 1 4 dx dx dx 5. ∫ sin3 x π 6. ∫ ( 2x + 1) 0 x +1 7. ∫ x (1 + 1 x ) 4 Ph−¬ng ph¸p ®æi biÕn sè : x = u(t) . 1 sinx VD . TÝnh tÝch ph©n : ∫ 0 1 − x 2 dx ⎛ ⎡ π π⎤⎞ π §Æt x = sint ⎜ t ∈ ⎢ − ; ⎥ ⎟ . Khi x=0 th× t=0, khi x=1 th× t= ⎝ ⎣ 2 2⎦ ⎠ 2 ⎡ π⎤ VËy víi x = sint th× x ∈ ⎡0;1⎤ ⇒ t ∈ ⎢0; ⎥ vμ dx = costdt . ⎣ ⎦ ⎣ 2⎦ O cosx π π π 1 2 2 2 Do ®ã : ∫ 1 − x dx = 2 ∫ 1 − sin t cos tdt = 2 ∫ cos t cos tdt = ∫ cos 2 tdt = 0 0 0 0 π π 2 1 + cos 2t 1⎛ 1 ⎞ π =∫ dt = ⎜ t + sin 2t ⎟ 2 = 0 2 2⎝ 2 ⎠0 4 b Quy tr×nh gi¶i to¸n . ∫ f ( x )dx a B−íc 1 . §Æt x = u(t), t ∈ ⎡α; β⎤ sao cho u(t) cã ®¹o hμm liªn tôc trªn ®o¹n ⎡α; β⎤ , f(u(t)) ®−îc x¸c ®Þnh trªn ®o¹n ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣α; β⎦ vμ u ( α ) = a; u ( β ) = b . ⎡ ⎤ 0974.337.449 ___________________________ Th¸ng 12 – n¨m 2007 ___________________ Trang 3
12 ∫ bµi gi¶ng tÝch ph©n Ph¹m Kim Chung Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 B−íc 2 . BiÓu thÞ f(x)dx theo t vμ dt : f(x)dx = g(t)dt β B−íc 3 . TÝnh ∫ g ( t )dt α . Bμi tËp rÌn luyÖn ph−¬ng ph¸p : TÝnh c¸c tÝch ph©n sau : 1 1 2 1 dx dx dx 1. ∫ 2. ∫ 3. ∫x 0 1 + x2 0 1− x 2 0 2 + x +1 5 5+x 1 1 2 ∫ 1 − x 2 dx ∫ 1 + x 2 dx ∫ 2 3 4. x 5. x 6. dx ( §Æt x=5cos2t) 0 0 0 5−x Ph−¬ng ph¸p ®æi biÕn sè : u(x) = g(x,t) 1 VD1 . TÝnh tÝch ph©n : I = ∫ 0 1 + x 2 dx t2 − 1 C¸ch (1) §Æt 1 + x 2 = x - t ⇒ 1 = -2xt + t 2 ⇒ x = 2t t2 + 1 Khi x =0 th× t= -1, khi x=1 th× t= 1 − 2 vμ dx = dt . Do ®ã : 2t 2 1⎛ 1 ⎞ 1− 2 1− 2 4 1− 2 1− 2 1− 2 − t2 − 1 t2 + 1 1 t + 2t 2 + 1 1 I= ∫ . 2 dt = − ∫1 dt = − ⎜ ∫ tdt + 2 ∫ dt + ∫ 3 dt ⎟ = 2t 2t 4 − t 3 ⎜ 4 ⎝ −1 t t ⎟ −1 −1 −1 ⎠ t2 1 − 2 1 1− 2 1 1− 2 = − 8 −1 − ln t 2 −1 + 2 8t −1 1 = − ln 2 ( 2 −1 + ) 2 2 ⎡ π⎤ π C¸ch (2) : §Æt x=tgt , do x ∈ ⎡0;1⎤ nªn ta cã thÓ chän t ∈ ⎢0; ⎥ . Khi x=0 th× t=0, khi x=1 th× t = ⎣ ⎦ ⎣ 4⎦ 4 1 vμ dx= dt . Do ®ã : cos2 t π π π π π 1 4 1 4 1 1 4 1 4 cos t 4 d ( sin t ) ∫ 1 + x 2 dx = ∫ 1 + tg 2 t dt = ∫ dt = ∫ dt = ∫ dt = ∫ = (1 − sin t ) 2 0 0 cos 2 t 0 2 cos t cos t 3 0 cos t 4 0 cos t 0 2 π 2 π 2 1 4 ⎡ (1 − sin t ) + (1 + sin t ) ⎤ 14⎡ 1 1 ⎤ = ∫⎢ ⎥ d ( sin t ) = ∫ ⎢ + ⎥ d ( sin t ) = 4 0 ⎣ (1 − sin t )(1 + sin t ) ⎦ 4 0 ⎣ (1 − sin t ) (1 + sin t ) ⎦ π 2 π π π 1 ⎡ 4 1 1 ⎤ 1 4 d (1 − sin t ) 1 4 d ( sin t ) 1 4 d (1 + sin t ) = ∫⎢ + ⎥ d ( sin t ) = − ∫ + ∫ + ∫ = 4 0 ⎣ (1 − sin t ) (1 + sin t ) ⎦ 4 0 (1 − sin t ) 2 2 0 (1 − sin t )(1 + sin t ) 4 0 (1 + sin t )2 π π π π 1 1 + sin t 1 1 + sin t 1 ⎡ 1 = .⎢ − 1 ⎤ ⎥ 4 + ln 4= 1 sin t 4 ⎣1 − sin t 1 + sin t ⎦ 0 4 1 − sin t 0 2 cos t 0 4 1 − sin t 0 2 4 + ln 1 4 = − ln 2 − 1 + 2 2 2 . ( ) B×nh luËn : Bμi to¸n nμy cßn gi¶i ®−îc b»ng ph−¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn . Cßn víi 2 c¸ch gi¶I trªn râ rμng khi b¾t gÆp c¸ch 1) ta nghÜ r»ng nã sÏ chøa ®ùng nh÷ng phÐp tÝnh to¸n phøc t¹p cßn c¸ch 2) sÏ chøa nh÷ng phÐp tÝnh to¸n ®¬n gi¶n h¬n. Nh−ng ng−îc l¹i sù suy ®o¸n - c¸ch 2) l¹i chøa nh÷ng phÐp tÝnh to¸n dμi dßng vμ nÕu qu¶ thËt kh«ng kh¸ tÝch ph©n th× ch−a h¼n ®· lμ ®−îc hoÆc lμm ®−îc mμ l¹i dμi dßng h¬n . 1 1 VD2 . TÝnh tÝch ph©n : I = ∫ 0 1 + x2 dx 0974.337.449 ___________________________ Th¸ng 12 – n¨m 2007 ___________________ Trang 4
12 ∫ bµi gi¶ng tÝch ph©n Ph¹m Kim Chung Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 t2 − 1 C¸ch (1) §Æt 1 + x 2 = x - t ⇒ 1 = -2xt + t 2 ⇒ x = 2t t2 + 1 Khi x =0 th× t= -1, khi x=1 th× t= 1 − 2 vμ dx = dt . Do ®ã : 2t 2 1− 2 1− 2 −2t t 2 + 1 1 I= ∫ 2 . dt = − ∫ dt = −1 t + 1 2t 2 −1 t 1− 2 = − ln t −1 = − ln ( 2 −1 ) ⎡ π⎤ π C¸ch (2) : §Æt x=tgt , do x ∈ ⎡0;1⎤ nªn ta cã thÓ chän t ∈ ⎢0; ⎥ . Khi x=0 th× t=0, khi x=1 th× t = ⎣ ⎦ ⎣ 4⎦ 4 1 vμ dx= dt . cos2 t π π π π 1 4 4 4 4 1 1 1 cos t 1 cos t Do ®ã : ∫ 0 1 + x2 dx = ∫ 0 1 + tg t 2 2 cos t dt = ∫ 0 2 cos t dt = ∫ 0 cost dt = ∫ 0 cos2 t dt = π π d ( sin t ) 1 1 − sin t ( ) 4 = ∫ (1 − sin t ) 0 2 = ln 4 = − ln 2 1 + sin t 0 2 −1 . Bμi tËp rÌn luyÖn ph−¬ng ph¸p : TÝnh c¸c tÝch ph©n sau : 2 2 0 x2 1. ∫ 1 x 2 − 1dx 2. ∫ 1 x2 − 1 dx 3. ∫ −1 x 2 + 2x + 2dx 1 2 −1 1 dx dx xdx 4. ∫1+ 0 x − 4x + 3 2 5. ∫ 1+ −2 1 − 2x − x 2 6. ∫x+ 0 x2 − 1 Chó ý : Khi ®øng tr−íc mét bμi to¸n tÝch ph©n, kh«ng ph¶i bμi to¸n nμo còng xuÊt hiÖn nh©n tö ®Ó chóng ta sö dông ph−¬ng ph¸p ®æi biÕn sè . Cã nhiÒu bμi to¸n ph¶i qua 1 hay nhiÒu phÐp biÕn ®æi míi xuÊt hiÖn nh©n tö ®Ó ®Æt Èn phô ( sÏ nãi ®Õn ë phÇn Ph©n Lo¹i C¸c d¹ng To¸n ) Ph−¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn . NÕu u(x) vμ v(x) lμ hai hμm sè cã ®¹o hμm liªn tôc trªn ®o¹n [a; b] th× : b b b ∫ u ( x )v' ( x ) dx = ( u ( x ) .v ( x ) ) - ∫ v ( x )u' ( x ) dx a a a hay b b b ∫ u ( x )dv = ( u ( x ) .v ( x ) ) a a ∫ - v ( x )du a π 2 VD1. TÝnh ∫ x cos xdx 0 ⎧u=x ⎧du = dx §Æt ⎨ , ta cã : ⎨ ⎩dv = cos xdx ⎩ v = sin x 0974.337.449 ___________________________ Th¸ng 12 – n¨m 2007 ___________________ Trang 5
12 ∫ bµi gi¶ng tÝch ph©n Ph¹m Kim Chung Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 π π π 2 π 2 π π ∫ x cos xdx = ( x sin x ) 2 − ∫ sin xdx = 2 + cosx 2 = 2 − 1 0 0 0 0 ⎧u = cosx NhËn xÐt : Mét c©u hái ®Æt ra lμ ®Æt ⎨ cã ®−îc kh«ng ? ⎩ dv = xdx π π π π 2 ⎛ x2 ⎞ 12 2 ∫ x cos xdx = ⎜ cosx ⎟ 2 + ∫ x 2 sin xdx , râ rμng tÝch ph©n ∫x 2 Ta h·y thö : sin xdx cßn phøc t¹p h¬n tÝch 0 ⎝ 2 ⎠ 0 20 0 ph©n cÇn tÝnh . VËy viÖc lùa chän u vμ dv quyÕt ®Þnh rÊt lín trong viÖc sö dông ph−¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn . Ta h·y xÐt mét VD n÷a ®Ó ®i t×m c©u tr¶ lêi võa ý nhÊt ! 2 ln x VD2. TÝnh ∫ 5 dx 1 x ⎧ 1 ⎪u = 5 Ta thö ®Æt : ⎨ x râ rμng ®Ó tÝnh v= ∫ ln xdx lμ mét viÖc khã kh¨n ! ⎪ dv = ln xdx ⎩ ⎧ 1 ⎧ u = ln x ⎪ du = x ⎪ ⎪ Gi¶i . §Æt ⎨ 1 ta cã : ⎨ ⎪dv = x 5 dx ⎪ v = 1 dx = − 1 ⎩ ⎪ ⎩ ∫ x5 4x 4 2 2 ln x ⎛ ln x ⎞ 2 1 dx ln 2 1 ⎛ 1 ⎞ 2 15 ln 2 Do ®ã : ∫ 5 dx = ⎜ − 4 ⎟ + ∫ 5 = − + ⎜− ⎟1= − 1 x ⎝ 4x ⎠ 1 4 1 x 64 4 ⎝ 4x 4 ⎠ 256 64 NhËn xÐt : Tõ 2 VD trªn ta cã thÓ rót ra mét nhËn xÐt ( víi nh÷ng tÝch ph©n ®¬n gi¶n ) : ViÖc lùa chän u vμ dv ph¶i tho¶ m·n : 1 du ®¬n gi¶n, v dÔ tÝnh . 2 TÝch ph©n sau ( ∫ vdu ) ph¶i ®¬n gi¶n h¬n tÝch ph©n cÇn tÝnh ( ∫ udv ) . Bμi tËp rÌn luyÖn ph−¬ng ph¸p : TÝnh c¸c tÝch ph©n sau : π π 1 1 2 6 1 ∫ xe dx ∫ ∫ ( x − 1)cosxdx ∫ ( 2 − x ) sin 3xdx ∫x e x 3x 2 −x 1. 2 . xe dx 3. 4. 5. dx 0 0 0 0 0 π π 2 2 e 5 e ∫ ∫ ∫ 9. 2x ln ( x − 1)dx ∫ ∫ ( ln x ) dx 2 2 6 . x sin xdx 7. e x cosxdx 8. ln xdx 10. 0 0 1 2 1 Mçi d¹ng to¸n chøa ®ùng nh÷ng ®Æc thï riªng cña nã ! PhÇn ph©n lo¹i c¸c d¹ng to¸n TÝch ph©n cña c¸c hμm h÷u tû P (x) A. D¹ng : I = ∫ dx ( a ≠ 0) ax + b 0974.337.449 ___________________________ Th¸ng 12 – n¨m 2007 ___________________ Trang 6
12 ∫ bµi gi¶ng tÝch ph©n Ph¹m Kim Chung Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 α α C«ng thøc cÇn l−u ý : I = ∫ dx = ln ax + b + C ax + b a TÝnh I1 = x + 1 dx ∫ x −1 TÝnh I2 = x − 5 dx 2 ∫ x +1 x3 TÝnh I3 = ∫ 2x + 3 dx Ph−¬ng ph¸p : Thùc hiÖn phÐp chia ®a thøc P(x) cho nhÞ thøc : ax+b, ®−a tÝch ph©n vÒ d¹ng : α I = ∫ Q ( x ) dx + ∫ dx ( Trong ®ã Q(x) lμ hμm ®a thøc viÕt d−íi d¹ng khai triÓn ) ax + b P (x) B. D¹ng : I = ∫ 2 dx ( a ≠ 0) ax + bx + c 1. Tam thøc : f ( x ) = ax 2 + bx + c cã hai nghiÖm ph©n biÖt . u' ( x ) C«ng thøc cÇn l−u ý : I = ∫ u ( x ) dx = ln u ( x ) + C 2 ☺ TÝnh I = ∫x 2 −4 dx C¸ch 1. ( ph−¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh ) ⎧ 1 2 A B ⎧A + B = 0 ⎪A = 2 ⎪ = + ⇒ 2 ≡ (A + B) x + 2(A − B) ⇒ ⎨ ⇔ ⎨ x −4 x −2 x +2 ⎩A − B = 1 2 ⎪B = − 1 ⎪ ⎩ 2 2 1 1 1 1 1 x −2 Do ®ã : I = ∫x 2 −4 dx = ∫ 2 x −2 dx - ∫ 2 x+2 dx = ln 2 x+2 +C C¸ch 2. ( ph−¬ng ph¸p nh¶y tÇng lÇu ) 2 1 ⎡ 2x 2x − 4 ⎤ 1 Ta cã : I = ∫ 2 dx = ⎢ ∫ 2 dx − ∫ 2 dx ⎥ = ln x 2 − 4 − ln x + 2 + C x −4 2⎣ x −4 x −4 ⎦ 2 α < Tæng qu¸t >TÝnh I = ∫ 2 dx x − a2 2x TÝnh I = ∫ dx 9 − x2 3x + 2 TÝnh I = ∫ 2 dx x −1 x2 TÝnh I = ∫ 2 dx x − 5x + 6 3x 3 TÝnh I = ∫ x 2 − 3x + 2 dx Ph−¬ng ph¸p : Khi bËc cña ®a thøc P(x)
12 ∫ bµi gi¶ng tÝch ph©n Ph¹m Kim Chung Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 2. Tam thøc : f ( x ) = ax 2 + bx + c = ( αx + β )2 cã nghiÖm kÐp . u' ( x ) 1 C«ng thøc cÇn l−u ý : I = ∫u 2 (x) dx = − u(x) +C 1 d ( x − 2) 1 TÝnh I = ∫ dx = ∫ =− +C x 2 − 4x + 4 ( x − 2) x −2 2 4x TÝnh I = ∫ 4x 2 − 4x + 1 dx . ⎧ dt ⎪ dx= §Æt : 2x – 1 = t ⇒ ⎨ 2 , lóc ®ã ta cã : ⎪2x = t + 1 ⎩ t +1 dt dt 2 I = 2∫ 2 dx = 2∫ + 2∫ 2 = 2 ln t − + C t t t t x −3 2 TÝnh I = ∫ 2 dx x − 4x + 4 x3 TÝnh I = ∫ 2 dx x + 2x + 1 t −β Ph−¬ng ph¸p : §Ó tr¸nh phøc t¹p khi biÕn ®æi ta th−êng ®Æt : αx + β = t ⇒ x = vμ thay vμo biÓu thøc α trªn tö sè . 3. Tam thøc : f ( x ) = ax 2 + bx + c v« nghiÖm . 1 TÝnh I = ∫x 2 +1 dx 1 §Æt : x = tgα ⇒ dx = dα , ta cã : cos2 α 1 I= ∫ cos α ( tg α + 1) dα = ∫ dα = α + C 2 2 , víi ( tgα = x ) 1 a < Tæng qu¸t > TÝnh I = ∫ dx . HD §Æt x = atgα ⇒ dx = dα , ta cã : x + a2 2 cos 2 α dα α I= ∫ a = +C a 2 TÝnh I = ∫ x 2 + 2x + 2 dx 2x + 1 TÝnh I = ∫ x 2 + 2x + 5 dx x2 TÝnh I = ∫ x 2 + 4 dx x3 TÝnh I = ∫ x 2 + 9 dx P (x) C. D¹ng : I = ∫ dx (a ≠ 0) ax + bx 2 + cx + d 3 1. §a thøc : f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d cã mét nghiÖm béi ba. 0974.337.449 ___________________________ Th¸ng 12 – n¨m 2007 ___________________ Trang 8
12 ∫ bµi gi¶ng tÝch ph©n Ph¹m Kim Chung Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 1 1 C«ng thøc cÇn l−u ý : I = ∫x dx = − +C ( n ≠ 1) n ( n − 1) x n −1 1 ☺ TÝnh I = ∫ dx ( x − 1) 3 ( x − 1) −2 1 1 dx = ∫ ( x − 1) d ( x − 1) = −3 NÕu x > 1 , ta cã : I = ∫ +C= − +C . ( x − 1) −2 2 ( x − 1) 3 2 (1 − x ) −2 1 1 dx = ∫ (1 − x ) d (1 − x ) = −3 NÕu x < 1 , ta cã : I = − ∫ +C = − +C (1 − x ) −2 2 ( x − 1) 3 2 1 1 VËy : I = ∫ dx = − +C ( x − 1) 2 ( x − 1) 3 2 1 Chó ý : = x − m , víi x > 0 xm x TÝnh I = ∫ dx ( x − 1) 3 t +1 ⎛1 1 ⎞ 1 1 §Æt : x – 1 = t ta cã : I = ∫ dt = ∫ ⎜ 2 + 3 ⎟dt = − − 2 + C t3 ⎝t t ⎠ t 2t x2 − 4 TÝnh I = ∫ dx ( x − 1) 3 x3 TÝnh I = ∫ dx ( x − 1) 3 x4 TÝnh I = ∫ dx ( x + 1) 3 2. §a thøc : f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d cã hai nghiÖm . 1 ☺ TÝnh I = ∫ dx ( x − 1)( x + 1) 2 1 dt §Æt : x + 1 = t , ta cã : I = ∫ t ( t − 2 ) dt = ∫ t 2 3 − 2t 2 C¸ch 1 < Ph−¬ng ph¸p nh¶y tÇng lÇu > 1 3t 2 − 4t 1 ⎛ 3t 2 − 4t − 4 ⎞ 3t 2 − 4t 1 ⎛ 3t + 2 ⎞ 3t 2 − 4t 1 ⎛ 3 2 ⎞ Ta cã : 3 = 3 − ⎜ ⎟= − ⎜ ⎟= − ⎜ + ⎟ t − 2t 2 t − 2t 2 4 ⎝ t 3 − 2t 2 ⎠ t 3 − 2t 2 4 ⎝ t 2 ⎠ t 3 − 2t 2 4 ⎝ t t2 ⎠ 3t 2 − 4t 1 ⎛3 2 ⎞ 3 1 ∫ t3 − 2t2 dt − 4 ∫ ⎜ t + t2 ⎟dt = ln t − 2t − 4 ln t + 2t + C . Do ®ã : I = 3 2 ⎝ ⎠ C¸ch 2 < Ph−¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh > ⎧ 1 ⎪B = − 2 ⎧ −2B = 1 ⎪ 1 At + B C ⎪ ⎪ 1 = + ⇒ 1 ≡ ( A + C ) t + ( −2A + B ) t − 2B ⇒ ⎨−2A + B = 0 ⇒ ⎨ A = − 2 t − 2t 3 2 t 2 t−2 ⎪ A+C =0 ⎪ 4 ⎩ ⎪ 1 ⎪ C=4 ⎩ 1 1 ⎡t + 2 1 ⎤ 1 ⎡1 2 1 ⎤ 1⎡ 2 ⎤ Do ®ã : ∫t 3 − 2t 2 dt = − ∫ ⎢ 2 − 4⎣ t ⎥ dt = − ∫ 4 ⎢ t + t 2 − t − 2 ⎥ dt = − 4 ⎢ln t − t − ln t − 2 ⎥ + C t − 2⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 0974.337.449 ___________________________ Th¸ng 12 – n¨m 2007 ___________________ Trang 9
12 ∫ bµi gi¶ng tÝch ph©n Ph¹m Kim Chung Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 Ph−¬ng ph¸p “nh¶y tÇng lÇu” ®Æc biÖt cã hiÖu qu¶ khi tö sè cña ph©n thøc lμ mét h»ng sè . Ph−¬ng ph¸p “hÖ sè bÊt ®Þnh” : bËc cña ®a thøc trªn tö sè lu«n nhá h¬n bËc mÉu sè 1 bËc . 2x + 1 TÝnh I = ∫ x ( x − 2 ) dx 2 §Ó sö dông ph−¬ng ph¸p nh¶y tÇng lÇu ta sÏ ph©n tÝch nh− sau : 2x + 1 2 1 = + x2 ( x − 2) x ( x − 2) x2 ( x − 2) x2 TÝnh I = ∫ dx ( x − 1) ( x + 2 ) 2 x2 Ax + B C Sö dông ph−¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh : = + ( x − 1) ( x + 2 ) ( x − 1) x+2 2 2 ≡ ( x + 2 )( Ax + B ) + C ( x − 1) 2 Do ®ã : x 2 4 Cho : x=-2, suy ra : C = 9 2 x=0 , suy ra : B = − 9 5 x=1, suy ra : A = 9 Ph−¬ng ph¸p trªn gäi lμ ph−¬ng ph¸p “g¸n trùc tiÕp gi¸ trÞ cña biÕn sè” ®Ó t×m A, B, C. x3 − 1 TÝnh I = ∫ 3 dx x + 2x 2 + x 3. §a thøc : f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d cã ba nghiÖm ph©n biÖt . 1 ☺ TÝnh I = ∫ x (x 2 − 1) dx 1 ⎡ 3x 2 − 1 3x 2 − 3 ⎤ 1 ⎡ 3x 2 − 1 3 ⎤ 1 C¸ch 1. Ta cã : ⎢ 3 − = ⎥= ⎢ 3 − ⎥ x ( x − 1) 2 ⎢ x − x x ( x 2 − 1) ⎥ 2 ⎣ x − x x ⎦ ⎣ 2 ⎦ 1 ⎡ 3x 2 − 1 3 ⎤ 1 3 Do ®ã : I = ∫ ⎢ 3 − ⎥ dx = ln x 3 − x − ln x + C 2⎣ x − x x⎦ 2 2 ⇒ 1 ≡ A ( x 2 − 1) + Bx ( x + 1) + Cx ( x − 1) 1 A B C C¸ch 2 . Ta cã : = + + x ( x 2 − 1) x x − 1 x + 1 Cho x=0, suy ra A = -1 . 1 x=1, suy ra B = 2 1 x=-1, suy ra C = 2 1 Do ®ã : I = − ln x + ln x − 1 + C 2 2 0974.337.449 ___________________________ Th¸ng 12 – n¨m 2007 ___________________ Trang 10
12 ∫ bµi gi¶ng tÝch ph©n Ph¹m Kim Chung Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 x +1 TÝnh I = ∫ x (x 2 − 4) dx x2 TÝnh I = ∫ dx ( x 2 − 1) ( x + 2 ) x3 TÝnh I = ∫ (x 2 − 1) ( x − 2 ) dx dx TÝnh I = ∫ ( 2x + 1) ( 4x 2 + 4x + 5 ) dt §Æt : 2x + 1 =t ⇒ dx = , ta cã : 2 1 dt 1 ⎡ 3t 2 − 6 3t 2 − 18 ⎤ 1 I= 2 ∫ t ( t2 − 6 ) 24 ⎢ t − 6t = ⎢∫ 3 dt − ∫ 2 dt ⎥ = t ( t − 6 ) ⎥ 24 ln t 3 − 6t − 3 ln t + C ⎣ ⎦ 4. §a thøc : f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d cã mét nghiÖm (kh¸c béi ba) 1 ☺ TÝnh I = ∫ 3 dx x −1 §Æt x – 1 = t ⇒ dx = dt , ta cã : dt 1 ⎡ t 2 + 3t + 3 t 2 + 3t ⎤ 1 ⎡ dt t+3 ⎤ I= ∫ 2 = ⎢∫ 2 dt − ∫ 2 dt ⎥ = ⎢ ∫ − ∫ 2 dt = t ( t + 3t + 3 ) 3 ⎢ t ( t + 3t + 3 ) t ( t + 3t + 3 ) ⎥ 3⎣ t t + 3t + 3 ⎥⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ 1 dt 1 2t + 3 3 dt ⎥ = 1 ln t − 1 ln t 2 + 3t + 3 − α 3 + C ( Víi x = 3 tgα ) = ⎢∫ − ∫ 2 dt − ∫ 3 ⎢ t 2 t + 3t + 3 2 ⎛ 3⎞ 2 3⎥ 3 2 2 ⎢ ⎜t + ⎟ + ⎥ ⎢ ⎣ ⎝ 2⎠ 4⎥ ⎦ 1 TÝnh I = ∫ dx x ( x 2 + 1) 1 TÝnh I = ∫ x (x 2 + 2x + 2 ) dx x2 TÝnh I = ∫ x 3 + 1 dx x3 TÝnh I = ∫ 3 dx x −8 1 TÝnh I = ∫ 3 dx x − 3x 2 + 3x − 2 Tãm l¹i : Ta th−êng sö dông hai phÐp biÕn ®æi : Tö sè lμ nghiÖm cña mÉu sè . Tö sè lμ ®¹o hμm cña mÉu sè . vμ ph©n thøc ®−îc quy vÒ 4 d¹ng c¬ b¶n sau : 1 1 1 ax + b øng víi ∫ ax + b ↔ { dx = ln ax + b + C a u' u' u øng víi ∫ u ↔ { dx = ln u + C 0974.337.449 ___________________________ Th¸ng 12 – n¨m 2007 ___________________ Trang 11
12 ∫ bµi gi¶ng tÝch ph©n Ph¹m Kim Chung Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 u' u' 1 ( n ≥ 2 ) ↔ ∫ n dx = - { +C un øng víi u ( n - 1) un-1 1 1 a ↔ ∫ { dx = + C , víi x + d = atgα ( x + d ) + a øng víi ( x + d ) + a 2 2 2 2 a Q (x) D. D¹ng : I = ∫ dx < P(x) lμ ®a thøc bËc cao> Vμ mét sè kÜ thuËt t×m nguyªn hμm . P (x) 1. KÜ thuËt biÕn ®æi tö sè chøa nghiÖm cña mÉu sè . dx TÝnh I = ∫ x ( x − 1) ( x + 7 ) ( x + 8 ) x ( x + 7 ) − ( x − 1)( x + 8 ) HD : I = ∫ x ( x − 1) ( x + 7 ) ( x + 8 ) dx dx TÝnh I = ∫x 4 + 10x 2 + 9 1 ( x + 9 ) − ( x + 1) 2 2 dx HD : I = ∫ 2 ( x + 1)( x 2 + 9 ) 8 ∫ ( x 2 + 1)( x 2 + 9 ) = dx TÝnh I = ∫x 6 + 6x 4 − 13x 2 − 42 dx HD : I = ∫ (x 2 − 3 )( x 2 + 2 )( x 2 + 7 ) dx TÝnh I = ∫ 5x 5 + 20x 1 ( x + 4) − x 4 4 1 dx HD : I = ∫ 5 x ( x 4 + 4 ) 20 ∫ x ( x 4 + 4 ) = dx TÝnh I = ∫x 7 − 10x 3 1 x − ( x − 10 ) 4 4 dx HD : I = ∫ x 3 ( x 4 − 10 ) 10 ∫ x 3 ( x 4 − 10 ) = dx TÝnh I = ∫ (x 2 − 2 )( 2x 2 + 1)( 3x 2 − 4 ) dx TÝnh I = ∫x 8 − 10x 6 + 35x 4 − 50x 2 + 24 dx TÝnh I = ∫ ( x + 1) ( x 4 + 4x 3 + 6x 2 + 4x − 9 ) x 2 dx TÝnh I =∫ x4 − 1 x 4 dx TÝnh I = ∫ 4 x −1 x 4 dx TÝnh I = ∫ 4 x +1 x 4 dx TÝnh I = ∫ 6 x −1 0974.337.449 ___________________________ Th¸ng 12 – n¨m 2007 ___________________ Trang 12
12 ∫ bµi gi¶ng tÝch ph©n Ph¹m Kim Chung Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 x 6 dx TÝnh I = ∫ x6 − 1 dx TÝnh I = ∫ 100 3x + 5x dx TÝnh I = ∫ x ( 2x 50 + 7 ) 2 (1 − x ) dx 2000 TÝnh I = ∫ x (1 + x ) 2000 P(x) 2. KÜ thuËt ®Æt Èn phô víi tÝch ph©n cã d¹ng : I = ∫ dx ( α ≠ 1) ( ax + b )α x3 + x + 1 ☺ TÝnh I = ∫ dx ( x − 2) 30 ⎧ dx = dt §Æt x – 2 = t ⇒ ⎨ , ta cã : ⎩x = t + 2 ( t + 2) 3 +t+3 t 3 + 6t 2 + 13t + 11 ⎡ 1 1 1 1 ⎤ I= ∫ t 30 dt = ∫ t 30 dt = − ⎢ ⎣ 26t 26 +6 27t 27 + 13 28t 28 + 11 29t 29 ⎥ ⎦ + C =… x4 TÝnh I = ∫ ( x − 3) 45 dx 3x 4 − 5x 3 + 7x − 8 TÝnh I = ∫ dx ( x + 2) 50 Chó ý : Víi lo¹i to¸n nμy trong cuèn “TÝch Ph©n – T.Ph−¬ng ” ®· sö dông ph−¬ng ph¸p khai triÓn Taylor nh−ng t«i c¶m thÊy c¸ch lμm nμy kh«ng nhanh h¬n l¹i g©y nhiÒu phøc t¹p cho häc sinh nªn ®· kh«ng nªu ra . 3. KÜ thuËt biÕn ®æi tö sè chøa ®¹o hμm cña mÉu sè . xdx TÝnh I = 4 ∫x −1 §Æt x 2 = t ⇒ 2xdx = dt x 3 dx TÝnh I = ∫ 4 x +1 x −1 2 ☺ TÝnh I = ∫ 4 dx x +1 1 ⎛ 1⎞ 1− 2 d⎜ x + ⎟ x −1 2 x dx = ⎝ x⎠ 1 x2 − x 2 + 1 I= ∫ 4 dx = ∫ ∫ ⎛ 1 ⎞2 = ln +C x +1 1 x2 + x 2 + 1 x + 2 ( ) 2 2 2 2 x ⎜x + ⎟ − 2 ⎝ x⎠ x +1 2 TÝnh I = ∫ 4 dx x +1 x2 TÝnh I = ∫ 4 dx x +1 TÝnh I = ∫ 4 ( x 2 − 1) dx x − 5x 3 − 4x 2 − 5x + 1 TÝnh I = ∫ 4 ( x 2 + 1) dx x + 2x 3 − 10x 2 − 2x + 1 0974.337.449 ___________________________ Th¸ng 12 – n¨m 2007 ___________________ Trang 13
12 ∫ bµi gi¶ng tÝch ph©n Ph¹m Kim Chung Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 TÝnh I = ∫ (x 2 − 2) dx x 4 − 3x 3 + 11x 2 − 6x + 4 TÝnh I = ∫ ( x2 + 3) dx x 4 − 2x 3 − 2x 2 + 6x + 9 dx TÝnh I = ∫ 4 x + x2 + 1 dx TÝnh I = ∫ 4 x − 3x 2 + 4 B×nh luËn : Lo¹t bμi to¸n nμy lμm t«i kh¸ Ên t−îng víi phÐp chia c¶ tö sè vμ mÉu sè cho x 2 . Qu¶ thËt t«i lu«n cè g¾ng t×m tßi xem liÖu m×nh cã thÓ nghÜ ra mét ph−¬ng ph¸p nμo kh¸c hay h¬n ch¨ng, nh−ng …” bã tay.com “ . ThÕ míi hiÓu to¸n häc : “lu«n tiÒm Èn nh÷ng vÎ ®Ñp lμm ng−êi ta söng sèt”. x5 TÝnh I = ∫ 6 dx x +1 x TÝnh I = ∫ 6 dx x −1 1 dt §Æt x 2 = t ⇒ 2xdx = dt , ta cã : I = ∫ 3 2 t −1 x3 TÝnh I = ∫ 6 dx x −1 x4 + 1 TÝnh I = ∫ 6 dx x +1 1 d(x ) 1 d(x ) 3 2 x3 + x TÝnh I = ∫ 6 dx HD : I = ∫ 6 + ∫ 6 x +1 3 x +1 2 x +1 3 x2 d ( x2 ) x 1 TÝnh I = ∫ 6 dx HD : I = ∫ x +1 2 ( x 2 )3 + 1 TÝnh I = ∫ (x 2 + 1)( x 2 + 2x − 1) dx x 6 − 14x 3 − 1 ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ 1 + 2 ⎟⎜ x − + 2 ⎟ ⎜ x − + 2⎟ ⎛ 1⎞ HD : I = ∫ ⎝ x ⎠⎝ x ⎠ dx = ⎝ x ⎠ ⎛ 3 1 ⎞ ∫ ⎛ 1 ⎞3 ⎛ 1 ⎞ d⎜x − ⎟ ⎝ x⎠ ⎜ x − 3 ⎟ − 14 ⎜ x − ⎟ + 3 ⎜ x − ⎟ − 14 ⎝ x ⎠ ⎝ x⎠ ⎝ x⎠ 19 x TÝnh I = ∫ dx ( 3 + x10 ) 2 x10 .10x 9 x10 ∫ 3 + x10 2 d ( x ) 1 HD . I = ∫ dx = 10 (3 + x )10 2 10 ( ) x 99 TÝnh I = ∫ dx ( 2x − 3) 50 7 x 2n −1 TÝnh I = ∫ dx ( ax + b) n k 0974.337.449 ___________________________ Th¸ng 12 – n¨m 2007 ___________________ Trang 14
12 ∫ bµi gi¶ng tÝch ph©n Ph¹m Kim Chung Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 4. KÜ thuËt chång nhÞ thøc . C¬ së cña ph−¬ng ph¸p : a b ( ax + b ) n , ⎛ ax + b ⎞ c d §Ó t×m nguyªn hμm cã d¹ng : I = ∫ ( cx + d ) m dx , ta dùa vμo c¬ së : ⎜ ⎟ = ⎝ cx + d ⎠ ( cx + d ) 2 vμ ph©n tÝch biÓu thøc d−íi dÊu tÝch ph©n vÒ d¹ng : ⎛ ax + b ⎞ dx ⎛ ax + b ⎞ ⎛ ax + b ⎞ I = k∫ f ⎜ ⎟ = k∫ f ⎜ ⎟d⎜ ⎟ ⎝ cx + d ⎠ ( cx + d )2 ⎝ cx + d ⎠ ⎝ cx + d ⎠ VD . TÝnh ( 3x − 5 ) 10 10 10 11 ⎛ 3x − 5 ⎞ dx 1 ⎛ 3x − 5 ⎞ ⎛ 3x − 5 ⎞ 1 ⎛ 3x − 5 ⎞ I= ∫ dx = ∫ ⎜ 11 ∫ ⎝ x + 2 ⎠ ⎟ = ⎜ ⎟ d⎜ ⎟= ⎜ ⎟ +C ( x + 2) ⎝ x+2 ⎠ ( x + 2) x + 2 ⎠ 121 ⎝ x + 2 ⎠ 12 2 ⎝ (7x − 1) 99 TÝnh I = ∫ dx ( 2x + 1) 101 dx TÝnh I = ∫ ( x + 3) ( x + 5) 5 3 ⎡ ( x + 3) − ( x + 5) ⎤ 6 dx 1 1 1 1 dx dx HD . I = ∫ =∫ 6 ∫ 5 ⎢ ⎥ = ⎛ x + 3 ⎞ ( x + 5) ( x + 5) x+5 ( x + 5) 5 5 6 2 2 ⎛x +3⎞ 2 ⎛x +3⎞ ⎣ ⎦ ( x + 5) 8 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝x +5⎠ ⎝ x +5⎠ ⎝ x +5⎠ §Ó tr¸nh sù ®å sé trong tÝnh to¸n ta cã thÓ sö dông phÐp ®Æt Èn phô nh− sau : ⎧ 1 dt ⎪ dx = x+3 ⎪ ( x + 5) 2 2 §Æt =t⇒⎨ , nªn ta cã : x+5 ⎪x + 5 − 2 = t ⇒ 1 = 1− t ⎪ x+5 ⎩ x+5 2 ⎡ ( x + 3) − ( x + 5) ⎤ 1 ( t − 1) dt 6 6 1 1 dx 6 ∫ 5 ⎢ ⎥ =∫ x+5 ( x + 5) 2 2 ⎛x+3⎞ ⎣ ⎦ 27 t5 ⎜ ⎟ ⎝x+5⎠ dx TÝnh I = ∫ ( 3x − 2) ( 3x + 4 ) 7 3 dx TÝnh I = ∫ ( 2x − 1) ( 3x − 1) 3 4 3x − 1 1 1 §Æt =t⇒− dx = dt vμ = 2t − 3 2x − 1 ( 2x − 1) 2x − 1 2 ( 2t − 3 ) 5 dx dx dt Do ®ã ta cã : I = ∫ ( 2x − 1) ( 3x − 1) 3 4 = ∫ ⎛ 3x − 1 ⎞ 4 = −∫ t4 ( 2x − 1) 7 ⎜ ⎟ ⎝ 2x − 1 ⎠ 0974.337.449 ___________________________ Th¸ng 12 – n¨m 2007 ___________________ Trang 15
12 ∫ bµi gi¶ng tÝch ph©n Ph¹m Kim Chung Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 TÝch ph©n cña c¸c hμm l−îng gi¸c A. Sö dông thuÇn tuý c¸c c«ng thøc l−îng gi¸c . 1 − cos2x 1 + cos2x C«ng thøc h¹ bËc : sin2 x = ; cos 2 x = 2 2 VD . T×m hä nguyªn hμm : ∫ cos2 xdx 1 + cos2x 1 1 1 1 ∫ cos 2 xdx = ∫ dx = ∫ dx + ∫ cos2xd ( 2x ) = x + sin 2x + C 2 2 4 2 4 Bμi tËp . T×m hä nguyªn hμm : ∫ sin ∫ ∫ 2 1. xdx 2 . cos 4 xdx 3. cos 4 3xdx ∫ ∫ ∫ 2 4 24 4. sin 5xdx 5 . sin 5xdx 6 . cos x sin xdx − sin 3x + 3 sin x cos3x + 3cosx C«ng thøc h¹ bËc : sin3 x = ; cos 3 x = 4 4 Bμi tËp . T×m hä nguyªn hμm : ∫ sin 2 . ∫ cos6 3xdx ∫ cos 6 6 1. xdx 3. 4xdx C«ng thøc biÕn ®æi tÝch thμnh tæng : 1 sin a.sin b = ⎡ cos ( a − b ) − cos ( a + b ) ⎤ 2⎣ ⎦ 1 cosa.cosb = ⎡cos ( a + b ) + cos ( a − b ) ⎤ 2⎣ ⎦ 1 sin a.cosb = ⎡ sin ( a + b ) + sin ( a − b ) ⎤ 2⎣ ⎦ VD . T×m hä nguyªn hμm : ∫ sin 2x.cosxdx 1 1 1 1 1 ∫ sin 2xcosxdx = ∫ 2 [ sin 3x + sin x ] dx = 6 ∫ sin 3xd ( 3x ) + 2 ∫ sin xdx = − 6 cos3x − 2 cosx + C Bμi tËp . T×m hä nguyªn hμm : 1. ∫ sinxcos3xdx ∫ 2 . cosx.cos2x.cos3xdx 3. ∫ cos4x.sin 5x.sin xdx C«ng thøc céng : cos ( a + b ) = cos a cos b − sin a sin b cos ( a − b ) = cos a cos b + sin a sin b sin ( a + b ) = sin a cos b + sin b cos a sin ( a − b ) = sin a cos b − sin b cos a dx 1 cos ⎡( x + 5 ) − ( x − 5 ) ⎤ ⎣ ⎦ 1 VD . ∫ sin 2x − sin10x = 2cos10 ∫ cos ( x + 5 ) cos ( x − 5 ) = 2cos10 ∫ ⎡cot g ( x − 5 ) + tg ( x + 5 )⎤dx ⎣ ⎦ 1 sin ( x − 5 ) = ln +C 2cos10 cos ( x − 5 ) dx dx dx Bμi tËp : 1. ∫ sin 2x − sin x 2. ∫ sin x + sin 3x 3. ∫ 1 − sin x B. TÝnh tÝch ph©n khi biÕt d(ux)) . π 2 ∫ sin x.cosxdx 2 VD . TÝnh 0 0974.337.449 ___________________________ Th¸ng 12 – n¨m 2007 ___________________ Trang 16
12 ∫ bµi gi¶ng tÝch ph©n Ph¹m Kim Chung Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 π §Æt t=sinx, t ∈ ⎡0; 1⎤ . Khi x=0 th× t=1, khi x= ⎣ ⎦ th× t=1 vμ dt = cosxdx . Do ®ã : 2 π 1 2 t3 1 1 ∫ sin x.cosxdx = ∫ t dt = = 2 2 0 0 3 0 3 Víi lo¹i tÝch ph©n nμy häc sinh cã thÓ tù s¸ng t¹o ra mét lo¹t c¸c bμi to¸n, t«i thö ®−a ra mét vμi ph−¬ng ¸n : BiÕt d(sinx) cosxdx . π π π 2 2 2 2. ∫ n dx ( n ∈ N * , n ≠ 1) cosx 1. ∫ sin n x.cosxdx 3. ∫ tg 3 xdx 0 π sin x π 4 4 cosxdx 4. ∫ ( sin 3x ) ( cos3x ) 10 ∫ sin 5 dx 5. 2 x + 3 sin x + 2 BiÕt d(cosx) −sinxdx . π π π 2 4 4 sin3 x dx ( n ∈ N * , n ≠ 1) sin x 1. ∫ cos x.sin xdx n 2. ∫ 3. ∫ cos dx 0 0 cos n x 0 5 x sin xdx 4. ∫ ( sin 2x ) ( cos2x ) 7 5. ∫ 100 dx cos3 x − 1 1 BiÕt d(tgx) dx . cos2 x π π π ( tg3x ) 4 4 4 7 1. ∫ ( tg x + tgx ) dx sin x 2. ∫ ∫ ( cos3x )6 dx 3 3 dx 3. 0 0 cos x 0 ∫ ( tg x + tg 4 x + tg3 x + tg2 x + 1) dx 1 dx 4. ∫ dx 5. ∫ 6. 5 cos 4 x cos2n x 1 BiÕt d(cotgx) − dx . sin 2 x π π ( cotg5x ) 2 2 10 1. ∫ ( cotg 3 x + cotgx ) dx cosx π 2. ∫ π sin5 x dx 3. ∫ ( cos5x )8 dx 4 4 ∫ ( cotg x + cotg 4 x + cotg 3 x + cotg 2 x ) dx 1 dx 4. ∫ 4 dx 5. ∫ 2n 6. 5 sin x sin x BiÕt d( sinx ± cosx ) ( cosx ± sinx) dx π π 4 ( cos x − sin x ) 2 cos2x cos2x 1. ∫ dx 2. ∫ dx 3. ∫ ( sin x + cosx ) dx 0 sin x + cosx π 1 + sin 2x 3 4 2cosx − 3 sin x ( sin 2x + 2cos4x ) dx 4. ∫ dx 5. ∫ 2 sin x − 3cosx + 1 cos2x − sin 4x BiÕt d ( a sin2 x ± bcos2 x ± c sin 2x ± d ) (a ∓ b ± c) sin2xdx sin 2x sin 2x 1. ∫ dx 2. ∫ 3 sin2 x + cos 2 x 2 sin2 x − 4 sin xcosx + 5cos 2 x BiÕt d(f(x)) víi f(x) lμ mét hμm l−îng gi¸c bÊt k× nμo ®ã . 1 cos3 + 1 VD . Chän f(x) = sinx + tgx ⇒ d ( f ( x ) ) = cosx + 2 = cos x cos2 x 0974.337.449 ___________________________ Th¸ng 12 – n¨m 2007 ___________________ Trang 17
12 ∫ bµi gi¶ng tÝch ph©n Ph¹m Kim Chung Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 ( sin x + tgx ) ( cos3 x + 1) Nh− vËy ta cã thÓ ra mét bμi to¸n t×m nguyªn hμm nh− sau : cos2 x dx ∫ §Ó t¨ng ®é khã cña bμi to¸n b¹n cã thÓ thùc hiÖn mét vμi phÐp biÕn ®æi vÝ dô : ( sin x + tgx ) ( cos3 x + 1) sin x (1 + cosx ) ( cos3 x + 1) ⎛ 1 ⎞ = = sin x (1 + cosx ) ⎜ 1 + ⎟ ⎝ cos3 x ⎠ 2 3 cos x cos x ⎛ 1 ⎞ Tõ ®ã ta cã bμi to¸n t×m nguyªn hμm : ∫ sin x (1 + cosx ) ⎜ 1 + ⎟ dx ⎝ cos3 x ⎠ DÜ nhiªn ®Ó cã mét bμi t×m nguyªn hμm nh×n ®Ñp m¾t l¹i phô thuéc vμo viÖc chän hμm f(x) vμ kh¶ n¨ng biÕn ®æi l−îng gi¸c cña b¹n ! 1 1 4 VD . T«i chän hμm sè : f(x) = tgx – cotgx ⇒ d ( f ( x ) ) = + = , nh− vËy t«i cã thÓ ra mét bμi cos2 x sin2 x sin2 2x ( tgx - cotgx )2007 to¸n nh×n “ t¹m ®−îc “ nh− sau : T×m hä nguyªn hμm : ∫ sin 2 2x dx NÕu thÊy ch−a hμi lßng ta thö biÕn ®æi tiÕp xem sao ? cos 2 x − sin2 x 2cos2x ( tgx - cotgx ) 22007 cos2007 2x 2007 Ta cã : tgx − cot gx = = ⇒ 2 = sin x.cosx sin 2x sin 2x sin2009 2x cos2007 2x VËy b¹n sÏ cã mét bμi to¸n míi : T×m hä nguyªn hμm : ∫ dx .. Cã thÓ b¹n sÏ thÊy buån khi bμi to¸n nμy l¹i sin 2009 2x cã c¸ch gi¶i ng¾n h¬n con ®−êng chóng ta ®i ! Nh−ng dÉu sao còng ph¶i tù an ñi m×nh : “ Thùc ra trªn mÆt ®Êt lμm g× cã ®−êng ..” ☺ Chẳng lẽ chúng ta không thu lượm được điều gì chăng ? Nhưng tôi lại có suy nghĩ khác, biết đâu những nhà viết sách lại xuất phát từ những ý tưởng như chúng ta …??? Hãy thử xét sang một dạng toán khác : C. T¹o ra d(u(x)) ®Ó tÝnh tÝch ph©n . π 4 dx VD . TÝnh tÝch ph©n : ∫ cosx 0 Râ rμng bμi to¸n kh«ng xuÊt hiÖn d¹ng : ∫ f ( u ( x ) )u'( x ) dx = ∫ f ( u )du VËy ®Ó lμm ®−îc bμi to¸n, mét ph−¬ng ph¸p ta cã thÓ nghÜ ®Õn lμ t¹o ra d( u(x)) nh− sau : π π π π 6 dx 6 cosxdx 6 d ( sin x ) 1 1 − sin x 1 1 ∫ cosx = ∫ cos2 x = ∫ 1 − sin2 x = 2 ln 1 + sin x 6 = 2 ln 3 0 0 0 0 B¹n cã nghÜ r»ng m×nh còng cã kh¶ n¨ng s¸ng t¹o ra d¹ng to¸n nμy ! T¹o d(sinx) cosxdx . dx tg 4 x dx 1. ∫ 4 2. ∫ dx 3. ∫ cos 3 sin xcosx cosx x sin2 x cos2 xdx dx 4. ∫ dx 5. ∫ 6. ∫ cosx cos3x 3 5 sin xcosx T¹o d(cosx) −sinxdx . π dx dx 2 cos3 x 1. ∫ 2. ∫ 3 3. ∫ sin5 x dx sin xcosx sin x π 4 0974.337.449 ___________________________ Th¸ng 12 – n¨m 2007 ___________________ Trang 18
12 ∫ bµi gi¶ng tÝch ph©n Ph¹m Kim Chung Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 dx dx 4 sin3 x 4. ∫ sin x ( cos3 x − 1) 5. ∫ sin xcos 6 x 6. ∫ 1 + cosx 1 T¹o d(tgx) dx . cos2 x π π 4 4 sin2 x dx 1. ∫ tg 3 xdx 2. ∫ dx 3. ∫ ( sin x ) 0 0 1 + cos x 2 3 ( cosx )3 dx 1 4. ∫ tg 8 xdx 5. ∫ 2 sin2 x − 5 sin xcosx − 3cos2 x 6. ∫ ( sin x − 2cosx ) 2 dx 1 T¹o d(cotgx) − dx . sin 2 x π ( cotg5x ) 2 10 1 1. ∫ cotg 3 xdx π 2. ∫ sin2 x − 2cos 2 x dx 3. ∫ ( sin 5x )8 dx 4 1 dx 4. ∫ dx 5. ∫ sin sin 4 x 2n x x 1 1 x T¹o d( tg ) dx . < PhÐp ®Æt Èn phô t= tg > . 2 2 cos2 x 2 2 dx 1 dx 1. ∫ 2. ∫ dx 3. ∫ 2 sin x + 5cosx + 3 3 sin x + cosx 2cos3x + 7 sin 3x sin x − cosx + 1 7 sin x − 5cosx 4. ∫ dx 5. ∫ sin x + 2cosx + 3 ( 3 sin x + 4cosx ) 2 D. s¸ng t¹o bμi tËp NÕu ®−îc phÐp hái, t«i sÏ hái r»ng b¹n cã c¶m thÊy nhµm ch¸n khi b¹n cø suèt ngµy «m lÊy mét cuèn s¸ch tham kh¶o vµ lµm hÕt bµi tËp nµy ®Õn bµi tËp kh¸c, mµ ®«i lóc b¹n vÉn c¶m gi¸c r»ng kh¶ n¨ng gi¶i to¸n cña m×nh kh«ng giái lªn. Cßn t«i ®am mª m«n To¸n tõ khi t«i biÕt thÕ nµo lµ s¸ng t¹o .. B¹n cã muèn thö xem m×nh cã kh¶ n¨ng s¸ng t¹o hay kh«ng ? Dï kh¶ n¨ng s¸ng t¹o bµi tËp ®−îc xuÊt ph¸t tõ nh÷ng b¶n chÊt rÊt s¬ ®¼ng, cã thÓ b¹n s¸ng t¹o mét bµi to¸n mµ b¹n ®· b¾t gÆp ë mét cuèn s¸ch nµo ®ã.. nh−ng dÉu sao nã vÉn mang “ d¸ng dÊp “ cña b¹n . T«i m¹n phÐp t− duy ®Ó cïng tham kh¶o cho “ vui “ ! T«i sÏ lÊy mét hμm sè f(x) nμo ®ã mμ t«i thÝch, råi ®¹o hμm ®Ó t×m d(f(x)) . h T«i chän : f ( x ) = sin4 x + cos4 x , f' ( x ) = 4 ( sin3 xcosx − cos3 x sin x ) = 2.sin 2x ( sin2 x − cos 2 x ) = − sin 4x π 2 sin4x Mét bμi to¸n ®¬n gi¶n ®−îc t¹o ra : TÝnh ∫ sin x + cos xdx 0 4 4 Mét bμi to¸n nh×n kh¸ ®Ñp m¾t, b¹n ®· gÆp ë ®©u ch−a ? NÕu gÆp bμi to¸n nμy tr−íc khi b¹n biÕt s¸ng t¹o b¹n gi¶i quyÕt nã nh− thÕ nμo ? §Ó t¨ng kh¶ n¨ng “ ®¸nh lõa trùc gi¸c “ b¹n cã thÓ t¹o mÉu sè thμnh mét hμm sè hîp nμo ®ã quen thuéc , vÝ dô : TÝnh c¸c tÝch ph©n sau : π π π 2 2 2 sin4x sin4x sin4x 1. ∫ dx 2. ∫ dx 3. ∫ cos 2 ( sin x + cos x )dx ( sin x + cos x ) 4 4 4 4 2007 4 4 0 sin x + cos x 0 0 0974.337.449 ___________________________ Th¸ng 12 – n¨m 2007 ___________________ Trang 19