BÀI GIẢNG MÔN TOÁN CAO CẤP 2
Ths.Đàm Thanh Phương, Ths.Ngô Mạnh Tưởng
Tháng 12 năm 2010
Mục lục
1 Hàm số nhiều biến số 1
1.1 Hàmsốnhiềubiếnsố.............................. 1
1.1.1 Tập hợp trong Rn. ........................... 1
1.1.2 Địnhnghĩa. ............................... 2
1.1.3 Giớihạnvàliêntục........................... 3
1.2 Đạo hàm riêng và vi phân của hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Đạohàmriêng. ............................. 4
1.2.2 Đạo hàm riêng cấp cao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.3 Viphântoànphần............................ 5
1.2.4 Áp dụng vi phân toàn phần vào tính gần đúng và đánh giá sai số. . 7
1.2.5 Đạo hàm của hàm số hợp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Cực trị của hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1 Địnhnghĩa. ............................... 9
1.3.2 Điều kiện cần của cực trị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.3 Điều kiện đủ của cực trị hàm hai biến. . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Bàitập...................................... 10
2 TÍCH PHÂN KÉP 13
2.1 Bài toán tính thể tích vật thể hình trụ cong . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Định nghĩa tích phân kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Các tính chất của tích phân kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Cách tính tích phân kép trong toạ độ Đề-Các . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5 Cách tính tích phân kép trong hệ tọa độ cực . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.6 Ứng dụng hình học của tích phân kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6.1 Thểtíchvậtthể............................. 27
2.6.2 Diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.7 BÀITẬP .................................... 29
i
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2
3 Tích phân đường 31
3.1 Bài toán dẫn đến khái niệm tích phân đường: Công của một lực biến đổi . 31
3.2 Định nghĩa tích phân đường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3 Cách tính tích phân đường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.4 CôngthứcGreen ................................ 36
3.5 Điều kiện để tích phân đường không phụ thuộc đường lấy tích phân . . . . 38
3.6 Ứng dụng của tích phân đường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.6.1 Công của một lực biến đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.6.2 Diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.7 BÀITẬP .................................... 42
4 Lý thuyết chuỗi 45
4.1 Đạicươngvềchuỗisố.............................. 45
4.1.1 Địnhnghĩa. ............................... 45
4.1.2 Tiêu chuẩn Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.1.3 Tính chất của chuỗi số hội tụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2 Chuỗisốdương ................................. 47
4.2.1 Địnhnghĩa. ............................... 47
4.2.2 Cácđịnhlýsosánh. .......................... 47
4.2.3 Các quy tắc khảo sát sự hội tụ của chuỗi số. . . . . . . . . . . . . . 49
4.3 Chuỗi số có số hạng với dấu bất kỳ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.3.1 Hội tụ tuyệt đối. Bán hội tụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.3.2 Chuỗisốđandấu............................. 51
4.3.3 Các tính chất của chuỗi số hội tụ tuyệt đối. . . . . . . . . . . . . . 51
4.4 Chuỗihàmsố .................................. 53
4.4.1 Hộitụvàhộitụđều........................... 53
4.4.2 Tiêu chuẩn hội tụ đều của chuỗi hàm số. . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.4.3 Tính chất của chuỗi hàm số hội tụ đều. . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.5 Chuỗilũythừa ................................. 56
4.5.1 Địnhnghĩa. ............................... 56
4.5.2 Quy tắc tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa. . . . . . . . . . . . 56
4.5.3 Tính chất của chuỗi lũy thừa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.5.4 Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa. . . . . . . . . . . . . 59
4.5.5 Khai triển một số hàm số sơ cấp thành chuỗi lũy thừa. . . . . . . . 60
4.5.6 CôngthứcEuler ............................ 62
4.5.7 Ứng dụng chuỗi lũy thừa để tính gần đúng . . . . . . . . . . . . . . 62
Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng ii
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2
4.6 ChuỗiFourier.................................. 63
4.6.1 Chuỗilượnggiác ............................ 64
4.6.2 ChuỗiFourier.............................. 64
4.6.3 Điều kiện đủ để hàm số khai triển được thành chuỗi Fourier . . . . 65
4.6.4 Khai triển một hàm số bất kỳ thành chuỗi Fourier . . . . . . . . . . 69
4.6.5 Dạng phức của chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.7 Bàitập...................................... 71
5 Phương trình vi phân 73
5.1 Đại cương về phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.1.1 Địnhnhĩa................................. 73
5.1.2 Ý nghĩa cơ học và vật lý của phương trình vi phân. . . . . . . . . . 74
5.1.3 Cấp của phương trình vi phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.1.4 Nghiệm của phương trình vi phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.1.5 Phương trình vi phân cấp một. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.2.1 Địnhnghĩa. ............................... 76
5.2.2 Cáchgiải. ................................ 76
5.3 Một số phương trình vi phân phi tuyến tính cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . 78
5.3.1 Phương trình biến số phân ly. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.3.2 Phương trình đẳng cấp (hay phương trình thuần nhất). . . . . . . . 79
5.3.3 Phương trình Becnuly. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.3.4 Phương trình vi phân toàn phần. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.4 Bàitập...................................... 85
Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng iii
Chương 1
Hàm số nhiều biến số
Mục đích yêu cầu
- Trong chương trình bày những khái niệm cơ bản và kết quả cơ bản về phép tính vi
phân của hàm số nhiều biến số; định nghĩa hàm số nhiều biến số, miền xác định, cách
biểu diễn hình học, giới hạn và tính liên tục của hàm số nhiều biến số, đạo hàm riêng và
vi phân toàn phần, đạo hàm cấp cao, đạo hàm theo hướng, cực trị của hàm số nhiều biến
số và một số ứng dụng của phép tính vi phân vào hình học.
- Sinh viên cần hiểu rõ các khái niệm trên, nắm vững các kết quả trên, hiểu được ý
nghĩa của đạo hàm riêng và vi phân toàn phần, cần lưu ý đến sự khác biệt giữa hàm số
một biến và hàm số nhiều biến số.
1.1 Hàm số nhiều biến số
1.1.1 Tập hợp trong Rn.
- Giả sử M(x1, x2, ..., xn), N (y1, y2, ..., yn)là hai điểm trong Rn. Khoảng cách giữa hai
điểm ký hiệu là d(M, N)được cho bởi công thức:
d(M, N) = v
u
u
t
n
X
i=1
(xi−yi)2
Với ba điểm A, B, C bất kỳ trong Rnta luôn có
d(A, C)≤d(A, B) + d(B, C)
- Cho M0∈Rn. Người ta gọi ε- lân cận của M0là tập hợp những điểm M∈Rnsao
cho d(M, M0)< ε.Lân cận của M0là mọi tập hợp chứa một ε- lân cận nào đó của M0.
- Điểm M∈E⊂Rnđược gọi là điểm trong của Enếu tồn tại một ε- lân cận nào đó
của Mnằm hoàn toàn trong E. Tập Eđược gọi là tập mở nếu mọi điểm của nó đều là
điểm trong.
- Điểm N∈Rnđược gọi là điểm biên của tập hợp Enếu mọi ε- lân cận của Nđều