BÀI 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN
Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hải Sơn
1
v1.0
LÝ THUYẾT
1. Nguyên hàm của một hàm số, tích phân bất định, tính chất, các công thức
cơ bản, các phương pháp tính tích phân bất định.
2. Tích phân bất định của hàm hữu tỉ, hàm lượng giác, hàm vô tỉ.
3. Tích phân xác định, tính chất, mối liên hệ với nguyên hàm, các phương
pháp tính tích phân xác định, ứng dụng của tích phân xác định.
4. Tích phân suy rộng.
2
v1.0
VÍ DỤ 1
2
Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của hàm số:
2
f(x) 3x
3
a. x
2x 1
b. 6x
3
c. 3x
2x
2
d. 3x
2x
3
v1.0
VÍ DỤ 1 (tiếp theo)
2
Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của hàm số:
2
f(x) 3x
3
2
3
a. x
2x 1
x +2x+1 '=3x +2
(6x) ' 6
b. 6x 3
3
2
2x
(3x +2x)'=9x +2
c. 3x 2
2
d. 3x
2x
(3x
2x) ' 6x 2
Hướng dẫn: Xem định nghĩa nguyên hàm (mục 3.1.1.1)
Định nghĩa:
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên một khoảng D nếu:
F '(x)
dF(x)
f(x)dx
f(x), x D, hay
Nhận xét:
.
Sai lầm thường gặp: Nhầm lẫm giữa nguyên hàm và đạo hàm, cho rằng F(x) là nguyên hàm của f(x) thì f’(x) = F(x). Chẳng hạn trong ví dụ 1, chọn đáp án b. 4
v1.0
VÍ DỤ 2
1
Hàm số
có nguyên hàm là hàm số nào trong các hàm số sau?
f(x)
1
2
1 x
a.
arccos x
b. arccos x
c. arcsinx x
d. arcsinx C
5
v1.0
VÍ DỤ 2 (tiếp theo)
1
Hàm số
có nguyên hàm là hàm số nào trong các hàm số sau?
f(x)
1
2
1 x
a.
arccos x
b. arccos x
c. arcsinx x
d. arcsinx C
6
v1.0
VÍ DỤ 3
dx
Tích phân
bằng:
2
3 2x
a.
arctg
x 3
1 3
b.
arctg
C
x 3
1 3
1 c. arctg 3
x 3
d. arctg
C
1 3
x 3
7
v1.0
VÍ DỤ 3 (tiếp theo)
Xem bảng các công thức tích phân cơ bản
8
v1.0
VÍ DỤ 3 (tiếp theo)
dx
Tích phân
bằng:
2
3 2x
a.
arctg
x 3
1 3
dx
arctg
C
2
2
2
b.
arctg
C
dx 3 x
( 3)
x
1 3
x 3
x 3
1 3
1 c. arctg 3
x 3
d. arctg
C
1 3
x 3
Nhận xét: Sai lầm thường gặp là thiếu hằng số C.
9
v1.0
VÍ DỤ 4
dx
Tích phân
bằng:
2
2 3x
a.
arctgx
C
3 2
3 2
b.
arctgx
C
3 2
1 6
c.
arctg
C
3 2
x 6
d.
arctg
C
x 6
1 6
10
v1.0
VÍ DỤ 4 (tiếp theo)
dx
Tích phân
bằng:
2
2 3x
a.
arctgx
C
Gợi ý:
3 2
3 2
b.
arctgx
C
2
3 2
1 6
2
dx 2 3x
3
x
dx 2 3
c.
arctg
C
3 2
x 6
d.
arctg
C
x 6
1 6
11
v1.0
VÍ DỤ 5
2
Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Khi đó, là:
xf(x )dx
2
a.
C
F(x ) 2
2
b. F(x ) C
2
c. xF(x ) C
2
d. F(x )
12
v1.0
VÍ DỤ 5 (tiếp theo)
Hướng dẫn: Xem mục 3.1.2.2, tr.46
Phương pháp biến đổi biểu thức vi phân Nhận xét:
2
2
2
d(x )
(x ) ' dx
2xdx
xdx
d(x )
d(u(x)) u'(x)dx;
Chú ý:
1 2
13
v1.0
VÍ DỤ 5 (tiếp theo)
2
Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Khi đó, là:
xf(x )dx
2
2
2
2
2
xf(x )dx
f(x )d(x )
F(x ) C
a.
C
1 2
1 2
F(x ) 2
2
b. F(x ) C
2
c. xF(x ) C
2
d. F(x )
g(u(x)).u '(x)
f(x)
Nhận xét: Khó khăn ở đây là việc biểu diễn
14
v1.0
VÍ DỤ 6
Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Khi đó, là:
sin xf(cos x)dx
a. F(cosx) C
b.
F(cosx) C
c. F(sinx) C
d.
F(sinx) C
15
v1.0
VÍ DỤ 6 (tiếp theo)
Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Khi đó, là:
sin xf(cos x)dx
a. F(cosx) C
b.
F(cosx) C
c. F(sinx) C
d.
F(sinx) C
16
v1.0
VÍ DỤ 7
2x
Tìm hàm số f(x) biết
và
f '(x)
xe
f( 1) 2e
2x
a. f(x) e
2x
1 2 3e 2
2x
b. f(x) e e
c. f(x) e e
2x
1 2 5 2
17
v1.0
d. f(x) e 3e
VÍ DỤ 7 (tiếp theo)
2x
f( 1) 2e
2
2
x
2x
Tìm hàm số f(x) biết và f '(x) xe
2 x xe dx
2 x e dx
2x
f(x) f '(x)dx e C a. f(x) e 1 2 1 2 3e 2
b. f(x) e e f( 1) 2e f( 1) e C 2e C e
2x
1 2 3 2 1 2
2x
c. f(x) e e
5 2 e f(x) e
2xxe ;
3 2 1 2 1 2 2x d. f(x) e 3e
Hướng dẫn: f(x) là một nguyên hàm của
f(x)
f '(x)dx
v1.0
18
VÍ DỤ 8
2 x sin(x )
f '(x)
a.
2 sin(x ) 1
1 2
b.
2 cos(x ) 1
1 2
2
c. sin(x )
1 2
2
d.
cos(x ) 1
Tìm hàm số f(x) biết và f(0) = 1/2.
v1.0
19
VÍ DỤ 8 (tiếp theo)
Tìm hàm số f(x) biết và f(0) = 1/2.
2 x sin(x )
f '(x)
a.
2 sin(x ) 1
1 2
b.
2 cos(x ) 1
1 2
2
c. sin(x )
1 2
2
d.
cos(x ) 1
20
v1.0
VÍ DỤ 9
dx 1 cos x
Tích phân bằng:
a.
tg
C
1 2
x 2
b.
tg
1 2
x 2
c. tg
x 2
d tg
C
x 2
21
v1.0
VÍ DỤ 9 (tiếp theo)
Hướng dẫn:
2
x
x
1 cos x
2 cos
2 2 sin
;
; 1 cos x
2
2
ta suy ra:
f(ax b)dx
F(ax b) C (a 0)
f(x)dx F(x) C
1 a
22
v1.0
VÍ DỤ 9 (tiếp theo)
dx 1 cos x
Tích phân bằng:
a.
tg
C
1 2
x 2
b.
tg
1 2
x 2
c. tg
x 2
dx
tg
C
C tg
d tg
C
2
dx 1 cos x
1 1 . 1 2
x 2
x 2
x 2
2 cos
2
x 2
23
v1.0
VÍ DỤ 10
2
2 Tích phân bằng:
x dx
1
a. 1
b. 3
c.
7 3
d.
1 3
24
v1.0
VÍ DỤ 10 (tiếp theo)
2
2
Tích phân bằng:
x dx
1
a. 1
b. 3
2
23
3
3
2
c.
x dx
x 3
2 3
1 3
7 3
1
1
d.
7 3 1 3
Hướng dẫn:
3.2.3. Công thức Newton - Leibnitz
a
f(x)dx F(x)
F(b) F(a)
b a
b
Trong đó F(x) là một nguyên hàm bất kỳ của hàm số liên tục f(x).
25
v1.0
VÍ DỤ 11
0
sin xdx
Tích phân bằng:
2
a. 1
b. 0
c. 1
d. cos x
26
v1.0
VÍ DỤ 11 (tiếp theo)
0
sin xdx
Tích phân bằng:
2
a. 1
b. 0
c. 1
d. cos x
Chú ý: Đối với tích phân xác định khi ta đổi cận, tích phân sẽ đổi dấu nên thứ tự của các cận là rất quan trọng.
a
a
f(x)dx
f(x)dx
b
b
27
v1.0
VÍ DỤ 12
ln 2
Tích phân bằng:
x xe dx
0
a. 1 ln 2
b.
1 ln 2 2
c. ln 2 1
d.
ln 2 1 2
28
v1.0
VÍ DỤ 12 (tiếp theo)
Hướng dẫn: Xem mục 3.1.2.4 và 3.2.1.4
b
b
Phương pháp tích phân từng phần:
udv
uv
vdu
b a
a
a
trong đó u(x), v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục.
n kx
n
• Trong các tích phân
n x e dx x sinkxdx;
n nguyên dương, ta thường chọn: u = xn
• Trong các tích phân
và n nguyên dương,
n x ln xdx;
x coskxdx
ta thường chọn u = lnn x
29
v1.0
1
VÍ DỤ 12 (tiếp theo)
ln 2
x xe dx
0
a. 1 ln 2
x
x
du dx; v
Tích phân bằng:
b.
1 ln 2 2
u x; dv e dx ln2
e ln2
ln2
x xe dx
x x( e )
x e dx
I
0
Đặt
c. ln 2 1
0
0
ln2
ln2
ln2
ln2.e
x e dx
x ( e )
d.
0
ln2 2
ln 2 1 2
0
ln2
e
0 e
ln2 2
1 ln2 2
v1.0
30
VÍ DỤ 13
e
x ln xdx
Tích phân bằng:
1
2
a.
1 e 4
2
b.
1 e 2
2
c.
1 e 4
2
d.
1 e 2
v1.0
31
VÍ DỤ 13 (tiếp theo)
e
x ln xdx
Tích phân bằng:
1
2
a.
1 e 4
2
b.
1 e 2
2
c.
1 e 4
2
d.
1 e 2
32
v1.0
VÍ DỤ 14
Tích phân bằng:
dx
3ln x 2 x
2
a. 3 ln x
2 ln x C
b.
2 ln x
2 ln x C
3 2
c. 3 ln x
2 ln x C
3
d. 2
ln x
4 ln x C
33
v1.0
VÍ DỤ 14 (tiếp theo)
Hướng dẫn: Xem phương pháp đổi biến của tích phân bất định 3.1.2.3
34
v1.0
VÍ DỤ 14 (tiếp theo)
Tích phân bằng:
dx
3ln x 2 x
2
2 ln x C
t
ln x
dt
2 ln x
b.
2 ln x C
Đặt
dx x
a. 3 ln x 3 2
2
dx
3.
(3t 2)dt
2t C
3
3ln x 2 x
t 2
d. 2
ln x
4 ln x C
c. 3 ln x
2 ln x C
2
.ln x 2ln x C
3 2
Nhận xét:
Sai lầm thường gặp: Khi tìm được nguyên hàm của biến số mới không đổi lại thành hàm của biến số cũ.
35
v1.0
VÍ DỤ 15
dx
3ln x 2 Tích phân bằng: x ln x
3
a.
ln x
2 ln x C
1 3
3
b.
ln x
2 ln x C
c.
3 ln x
4 ln x C
2 3
3
d. 2
ln x
4 ln x C
36
v1.0
VÍ DỤ 15 (tiếp theo)
dx
3ln x 2 Tích phân bằng: x ln x
3
3
ln x 2 ln x C a.
b. ln x 2 ln x C 1 3
3 ln x
c. 4 ln x C
3
2 3
37
v1.0
d. 2 ln x 4 ln x C
VÍ DỤ 16
1
2
dx Sử dụng phép đổi biến t 3x 1
0
1
a.
d t
t+ 2 2
9 t
0 4
b
d t
t+ 2 2
9 t
1 4
c.
d t
t-1 2
9 t
1 4
d .
d t
t+ 1 2
3 t
1
x 1 , tích phân trở thành: (3x 1)
v1.0
38
VÍ DỤ 16 (tiếp theo) 3.2.4.2. Phương pháp đổi biến (xem trong giáo trình tr.62-63).
v1.0
39
VÍ DỤ 16 (tiếp theo)
1
2
dx Sử dụng phép đổi biến t 3x 1
0
1
a.
d t
t+ 2 2
9 t
0 4
x
dx
t 3x 1 Đặt
b
d t
t+ 2 2
9 t
x 0
t 1 3 t 1; x 1
dt 3 t 4
x 1 , tích phân trở thành: (3x 1)
1 4
1
4
4
1
c.
d t
x 1
t-1 2
dx
dt
9 t
dt 3
t 1 3 2 t
t+2 2 9t
2 (3x 1)
0
1
1
1 4
d .
d t
t+ 1 2
3 t
1
đổi cận
Nhận xét: Sai lầm thường gặp là quên không đổi cận.
v1.0
40
VÍ DỤ 17
1
2
a.
6
b .
6
c.
3
d .
3
x Sử dụng phép đổi biến , tích phân bằng: 1 sin t dx 2 x x 1
v1.0
41
VÍ DỤ 17 (tiếp theo)
1
2
a.
6
b .
6
c.
3
d .
3
x Sử dụng phép đổi biến , tích phân bằng: 1 sin t dx 2 x x 1
v1.0
42
VÍ DỤ 18
3
f(x)
ax
x, x
0,2
là hàm mật độ xác suất của một
a.
1 4
b.
1 4
c. 1
d. 1
Tìm a để hàm số biến ngẫu nhiên x.
v1.0
43
VÍ DỤ 18 (tiếp theo)
3
f(x)
ax
x, x
0,2
là hàm mật độ xác suất của một
2
Tìm a để hàm số biến ngẫu nhiên x.
3
0
a. 1 f(x)dx (ax x)dx ... 4a 2 1 4
a b. 1 4 1 4
c. 1
d. 1
f(x)dx 1
Hướng dẫn: f(x) là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên x nếu
v1.0
44
MỘT SỐ CÂU HỎI THƯỜNG GẶP
Câu 1: Sự khác nhau của tích phân bất định và tích phân xác định?
Trả lời: Tích phân bất định là một họ hàm số, còn tích phân xác định là một số
cụ thể. Về mặt kí hiệu thì tích phân bất định không có cận, còn tích phân xác định có cận trên và cận dưới.
dx
Câu 2: Tích phân bất định của hàm số
là gì?
cot gx C
1 2 sin x
Trả lời:
v1.0
45
