Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 5: Chéo hóa matrận

ươ

ạ

ậ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn

ngươ

ph – VECTOR RIÊNG

Ị §2. TR RIÊNG

ị

ậ ồ

ượ ọ

ạ 2.1. Ma tr n đ ng d ng  Đ nh nghĩa ậ Hai ma tr n vuông

c g i là

đ ng dồ

ngạ

ế ồ ạ

ị P th aỏ :



ớ v i nhau n u t n t i ma tr n kh ngh ch B

,A B c p ấ n đ ả ậ –1 . P A P

ạ

ồ

và

ớ là đ ng d ng v i

VD 1.

    

 1 0      1 6  

     

 1 0     0 1 



ả

ỏ

1 P A P

nhau vì có

ị B kh ngh ch th a 1

    

 0 1     1 3 

ươ

ạ

ậ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn

ngươ

ộ cùng bi u di n m t PBĐTT (trong ớ

ể ồ

ễ ạ

 Đ nh ị

ng ng) thì đ ng d ng v i nhau.

lý ậ Hai ma tr n vuông ơ ở ươ ứ hai c s t

ứ ặ ư 2.2. Đa th c đ c tr ng

ị

 Đ nh nghĩa A M ( ) ¡ • Cho . Đa th cứ b c ậ n c a ủ :

   ( ) det( ) A  I P A

ứ

ọ c g i là

ư (characteristic c ượ ( ) 0

AP  

ươ

ượ polynomial) c a ủ A và ph g i là ọ

ng trình đ c tr ng

ặ đa th c đ c tr ng ươ ng trình ặ ư c a ủ A . 2

ươ

ạ

ậ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn



ngươ n . Đa th cứ b c ậ n c a ủ :

ph ¡

• Cho PBĐTT

c g i là

đa th c đ c tr ng

   ( ) det( ) A  I P f

ứ ặ ư c aủ f (A là ma tr n ậ ( ) 0

fP  

ươ

ượ ọ ể bi u di n ượ ọ đ

ộ ơ ở ễ f trong m t c s nào đó) và ặ ư c a ủ f .

c g i là

ng trình đ c tr ng

, ta có:

VD 2. Cho ma tr n ậ

    

 1 2     3 4 



 1



 ( )

 5

2 .

2 



ươ

ạ

ậ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn

ngươ

 Đ nh lý ị ậ ồ Hai ma tr n đ ng d ng

ứ ặ ư ạ thì có cùng đa th c đ c tr ng.

    ) ; ) f x y z ( x ; y y ; z z x .



1 0 



ươ VD 3. Cho PBĐTT ( ; Hãy tìm ph ng trình đ c tr ng ặ ư c a ủ f ?

[ ]E f

1 0 1 0

         

     1     1  

, ta có: . Gi i.ả G i ọ

ươ

ạ

ậ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn

ph 

ngươ 

 1

1 



 1

  ( ) 0

0 1 



 1

0 1



23 

 3

0 .

Chú ý

ề

ọ

ứ

T đây v sau, ta g i đa th c (ph

ừ ư

ể

ươ f và ma tr nậ A bi u di n

ặ ng trình) đ c ễ f .

tr ng chung cho PBĐTT

ươ

ạ

ậ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa ma tr n D ng toàn

ngươ

ctor riêng ủ ị 2.3. Tr riêng, ve a) Tr riêng, vector riêng c a PBĐTT



ị ị  Đ nh nghĩa

• S ố   ¡ đ



ồ ạ

Cho PBĐTT .

ị ,

tr riêng n   x

(eigenvalue) c a ủ f x : ( ) f x

n u ế t n t i vector

(1).

ượ ọ c g i là  x ¡

) đ

• Vector x

vector riêng

ượ ớ ị

ứ

ọ c g i là .

th a (1ỏ (eigenvector) c a ủ f ng v i tr riêng



ươ

ậ

ạ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa ma tr n D ng toàn



ngươ ph  ) x

(4 x

VD 4. Cho PBĐTT

( ; f x 1

2 ; x 2

) 2

 

(2; 1)

Xét s ố

(2; 1)

x   (6; 3) 3(2; 1)

( ) f x

x

 

và vector   , ta có:  .

3 .

ớ ị (2; 1) x  V y ậ ứ là vector riêng ng v i tr riêng

ươ

ạ

ậ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa ma tr n D ng toàn

ủ ma tr nậ

ngươ b) Tr riêng, vector riêng c a

ị ị  Đ nh nghĩa



ế ồ ạ c a ủ A n u t n t i [ ]

]

ậ A M Cho ma tr n vuông ( ) . ¡

ị ượ ọ c g i là tr riêng n  x [ : x x A

vector

(2).

• S ố   ¡ đ ¡



ượ ọ

) đ

c g i là

• Vector x

vector riêng c a ủ A

ứ

th a (2ỏ ớ ị riêng .

ng v i tr

ươ

ạ

ậ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn

ngươ

ị

ỉ

• S th c

ị

ể ậ A bi u di n

 f khi và ch khi ộ ơ ễ f trong m t c

ứ

• Vector

ớ 

 ¡ ỉ

ứ

x khi và ch khi

là vector riêng c a ủ f ng v i ớ .

 \ { } là vector riêng c a ủ A ng v i [ ]Bx

ớ ị

ứ

• Các vector riêng c a ủ f (hay A ) ng v i tr riêng khác

ế

ộ ậ nhau thì đ c l p tuy n tính.

 Đ nh lý ị ố ự  là tr riêng c a PBĐTT ủ ủ là tr riêng c a ma tr n s ở B nào đó. n

ươ

ậ

ạ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa ma tr n D ng toàn

ngươ

ậ Nh n xét

      [ ] [ ] A x [ ] x ( A  I )[ ] x (3).

n ả là vector riêng c a ủ A thì (3) ph i có  ) 0 .

ng. Suy ra



ươ

I det( A n ặ ư . ng trình đ c tr ng

Đ ể x ườ ầ ệ nghi m không t m th V y ậ  là nghi m c a ph ệ ủ

ặ ư

ả

I

ươ ị

đ ể

ươ ị

.

)[ ]

 [ ]

tìm giá tr riêng ả ệ ươ

I x

ng pháp tìm tr riêng và vector riêng  ng trình đ c tr ng  Ph ướ Gi i ph • B c 1.

ướ Gi i h ph ,

  ( A ng trình • B c 2. ườ ầ nghi mệ không t m th ng là vector riêng

ươ

ạ

ậ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa ma tr n D ng toàn

ph 2

2 ễ ậ có ma tr n bi u di n

ngươ  ¡



ể

VD 5. Cho PBĐTT 4

1 1

    

 2     



ị . Tìm tr riêng và vector riêng c a ủ f ? là

I



 5

 6 0

2 

  1



ị là hai tr riêng c a

ủ f (hay A ).

 1

 22,

ươ ặ ư ng trình đ c tr ng Gi i.ả Ph

ươ

ậ

ạ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa ma tr n D ng toàn

ngươ

  i ớ 1

• ng vỨ , ta có:



2 x



0 .

1 

2 x 2 



x x

      

    )[ ]  [ ] ( A  I x 1    2    1    2 x        1 x             0        0    

   (1; 1) ( 0) Suy ra vector riêng có d ng ạ .

ươ

ạ

ậ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn

ngươ

 

• ng vỨ i ớ 2



  A I 2   , ta có:  1    1    2     2          2 1     0 0  

      )[ ]  [ ] ( A x 2 x 0 .  I x 2

   (2; 1) ( 0) Suy ra vector riêng có d ng ạ .

ươ

ạ

ậ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn

ph          

ngươ  0 0 1     0 1 0     1 0 0  r riêng c a ủ A ?

. VD 6. Cho ma tr nậ

ươ ặ ư :



 (1

  )(

 1) 0

ị Tìm tr riêng và vecto Gi i.ả Ph 



0  0 1 1



 



ị 1 là hai tr riêng c a

 1

 21,

ủ A . 14

ng trình đ c tr ng 1 0 

ươ

ạ

ậ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn



I 1

ngươ  1 0 1     0 2 0     1 0 1  

         

 1 0 1     0 1 0     0 0 0  



)[ ]

 [ ]

( A

 I x 1



x 3 0

    

1:    • 1

    (1; 0; 1) ( 0) Suy ra vector riêng có d ng ạ .

ươ

ạ

ậ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn



I 2



ngươ  1 0 1     0 0 0     1 1 0  

          

 1 0 1     0 0 0     0 0 0  

  • 2 1:

      )[ ]  [ ] ( A x x 0 .

1 3     ( ; ;

  ) ( 0)  I x 2 Suy ra vector riêng có d ngạ

  

 



       ; ) (1; 0; 1) (0; 1; 0) Ta có: ( ; .

1 ;

V y ậ ma tr n ậ A có các vector riêng d ngạ :  ứ (1; 0; 1) ng v i (



 (1; 0; 1)

  ớ 2 1 .

ớ 1    và (0; 1; 0) ( , ứ ng v i

ươ

ậ

ạ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn

ngươ

2.4. Không gian con riêng



ể ả

: f ¡ ( ) f x

 ¡ x  ,

Cho PBĐTT n x  ¡ th a ỏ

ủ

ộ

ệ

ấ ả . T pậ h p ợ t t c các vector  ¡ (k c vector khô ng) n¡

là m t không gian con c a

. Ký hi u là

( )E  .

 Đ nh lý ị



 ( )

( ) f x

 x

Không gian con

c ượ

ị  Đ nh nghĩa



ớ ị riêng .

ứ ng v i tr

 g i ọ là không gian con riêng (eigenvector space) c a ủ n¡

ươ

ạ

ậ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn

ngươ

ủ ệ ươ ơ ả đltt c a h ph ạ )[ ] t o thành

ng trình ơ ở ủ 1 c s c a

thu nầ ( )E  .

  [ ] I x A Chú ý ệ • Các nghi m c b n  nh tấ (



ố • S chi u

 dim ( ) E

( r A

 I

ề c a ủ không gian con riêng là:  ).

ệ ươ ộ k c a ủ ph ặ ư ng trình đ c tr ng

• N u ế  là nghi m b i thì:

  . dim ( ) E k

ươ

ạ

ậ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn

ngươ

ế 6, ta có: VD 7. Xét ti p VD



 (1; 0; 1)

E  nên ( 1)

E  và dim ( 1) 1 .



(1; 0; 1), (0; 1; 0)

  )[ ]  [ ] ( A ệ • Nghi m c b n ơ ả c a ủ là (1; 0; 1)  I x 1

• (1) E và dim (1) 2 E .

ươ

ạ

ậ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn



ngươ 2 4

4 6

ph          

 3     3     

. VD 8. Cho ma tr nậ

ứ ớ con riêng ng v i

ị ề ủ ố Tìm s chi u c a các không gian các giá tr riêng c a ủ B ?

ươ Gi i.ả Ph



 I

3 3 

4 3

4  6 3

  1

ặ ư ng trình đ c tr ng:   2 

ươ

ạ

ậ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn



 3

ngươ ph    4 0 (

1)(

2 2)



 

2 .

 1

 21,



1 4

4 7

I 1

          

 3     3      

         

 1 4 3     0 9 9     1 1 0  



( r B

I

 ) 2 .

0  1 4 3     0 1 1     0 0 0  

  • 1 1: B

          dim ( V y ậ

3   1 4 3         0 9 9        0 3 3       ) 3 1

  E ( r B  I 1  ) 1 . 21

ươ

ạ

ậ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn

ngươ



4 4

2:    • 2

I 2

          

 3     3      

         

 1 1 0     0 0 0     1 1 1  

   ) 2 dim ( ( r B E V y ậ  I 2   ) 1 . 2

ươ

ạ

ậ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn



ngươ 3 1 2 2

2 2 0

ph         

. VD 9. Cho ma tr nậ

 1     1      ớ con riêng ng v i

ứ ộ ơ ở ủ

ị Tìm m t c s c a các không gian các giá tr riêng c a ủ C ?



1 

 I

  

1 1 

2 2

Gi i.ả Ta có:

ươ

ạ

ậ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn



ngươ 



 1



ph  1  2

0 1 



2 2



1 

 (1

1 ) 2 2

0 1 

 



1 



 (1



1 

) 0 4 0

ươ

ạ

ậ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn



  • 1 1: C

I 1



ngươ ph 2  0 2)  1     1     1  

     (1 1, 2 .  2



 1             1 2 1     0 0 0     0 1 0  



2 x



0 0 0

0 .

 1 

x 0

     

0 1 0

2 1 2 1 2 2  1         

        

x 

, ta đ

(1; 0; 2) .

(1)E

Ch n ọ 1 1 ậ ơ ở ủ V y c s c a

u  c ượ 1 u  1{ là

(1; 0; 2)} . 25

  )(           2 0



1 1  0

I 2



0 0

 1 1     2 0    2 2  

 1     1     2  

         

 1     2 1      



(1; 1; 2)

2:   • 2

x 2 

3 

1 2 x

 x    

(2)E

ậ ơ ở ủ V y c s c a

là

(1; 1; 2)} .

u  2{

ươ

ậ

ạ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn



3 5

ngươ ph  1     3     

. VD 10. Cho ma tr nậ

 3     3      ng ng

, d ng ạ vector riêng t ươ ứ và c sơ ở



 1 



3 



 I

ị Tìm tr riêng c aủ các không gian con riêng c a ủ D ?

3 

3 3

5 3

  1

Gi i.ả Ta có:

ươ

ạ

ậ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn

ngươ 



 1 



3 

ph  1 5 3

 1

3 3



1 

 (1

 ) 3

3 

  1

ươ

ạ

ậ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn



 (1



ngươ 1  2 0

1 ) 0 0

1 0  2



 (1

 )( 2

2 )



 



ị 1 là hai tr riêng c a

ủ D .

 1

 22,

ươ

ạ

ậ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn



I 1

3 3 3

ngươ ph 3 3 3

          

 3     3     3  

         

 1 1 1     0 0 0     0 0 0  

   • 1



 

  

Đ t ặ 1 x

    x x x 0 .

            ( ; ; )  ( ; 0; ) (0;    ; ) u .

  

       (1; 0; 1) 0) V y ậ và (0; 1; 1) ( , là d ngạ

2 .

ứ vector riêng ng v i ớ 1

ươ

ậ

ạ

Ø Ch

ngươ

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn ph E  ( 2) là:  (1; 0; 1),

 ộ ơ ở ủ M t c s c a  u { u



0 3

3 6

I

  • 2 1:

 0 1 1     1 2 1     0 0 0  



 

0 . 0

x x

     



 (0; 1; 1)} .   3         3           

 31

(1)E

ứ ớ là d ng ạ vector riêng ng v i

(1; 1; 1)} .

u  3{

             0 1 1         1 1 0        0 0 0    V y ậ (1; 1; 1) (   2 1

ộ ơ ở ủ . M t c s c a là

ươ

ạ

ậ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn

ngươ

ph ey – Hamilton n n



ễ ể ậ



P A  ( ) ị 2.5. Đ nh lý Cayl N uế PBĐTT f ¡ ¡ có ma tr n bi u di n là fP  thì: ứ ặ ư ( ) và đa th c đ c tr ng là (0 ) . ij n

2 ể có ma tr n bi u



 5

ậ

6 .

fP  ( )

1 1

    



Ta có:

6 I

( ) fP A

1 1

:f ¡ VD 11. Cho PBĐTT   2      2  2      

     

   5   

 2      

     

 0 0     0 0  

ễ di n là và

ươ

ậ

ạ

Ø Ch

ng 5 Chéo hóa matr n – D ng toàn



ngươ ph   7 0 3          0 2 0        3 0 1   10 A

14 A

4 A

8 I

. Tính detB ? VD 12. Cho ma tr n ậ

Trong đó, . 3



0 

 ( )



3 0  1

0 3

Gi i.ả Đa th cứ đ c tr ng  ặ ư : 

ươ

ạ

ậ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn



ngươ 



ph 210 

 14



10 A

14 A

4 I

(0 )ij



10 A

14 A

4 A

(0 )ij



8 I

         

 8 0 0     0 8 0     0 0 8 



det

3 8

B 

V y ậ

512 . ……………………………………………………………………………

ươ

ạ

ậ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn

ngươ

Ậ

ễ

ậ

là ma tr n bi u di n

( ) ¡

Trong bài này, ta xét n



PBĐTT

A M trong c s ơ ở B nào đó c a ủ

n¡

§3. CHÉO HÓA MA TR N VUÔNG ể

3.1. Ma tr nậ chéo hóa đ cượ

c g i là

( ) ¡

cượ n u ế

Ma tr n ậ ồ

A M n ớ ạ

ượ ọ ậ ườ

A đ ng d ng v i ma tr n đ

chéo hóa đ D .

ng chéo

ị

Nghĩa là t n t i

ồ ạ ma tr n ậ P kh ngh ch

, th aỏ :



ị  Đ nh nghĩa

ả P A P D

 .

ươ

ạ

ậ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn

ượ

là chéo hóa đ

c, vì:

VD 1. Ma tr nậ

ngươ ph  0 0 0     0 1 0     1 0 1 



         

1 P A P

có

th aỏ :

            1 0 0     0 1 0     1 0 1              0 0 0     0 1 0     0 0 1 

ươ

ậ

ạ

Ø Ch

ng 5 Chéo hóa matr n – D ng toàn

ngươ

ượ

ỉ

là chéo hóa đ

c khi và ch khi

( ) ¡

ệ ma tr n ậ chéo hóa đ cượ

A M

( ) ¡

có n trị riêng phân bi tệ thì

ề 3.2. Đi u ki n  Đ nh lý ị Ma tr n ậ n¡ 1 A M ộ ơ ở ồ n vector riêng c a ủ A . có m t c s g m

c.ượ

 H quệ ả N u ế ma tr n ậ chéo hóa đ

ươ

ạ

ậ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn

ngươ

A M

( ) ¡

 i  Đ nh lý 2 ị Cho ma tr nậ ị có k tr riêng  i



1, k



dim ( )

ệ phân bi t và .

E  i i ề Khi đó, ba đi u sau đây là t

ươ ng đ ươ ng:

n ) k

1) Ma tr nậ A chéo hóa đ c;ượ



...

n 3) 1

; ứ ặ ư ủ A có d ng:ạ 2) Đa th c đ c tr ng c a n n        P  ) ...( ) ( ( ( ) 2 1 A    k

ươ

ạ

ậ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn

ngươ 3.3. Ma tr n làm chéo hóa

ượ

ồ

• Cho ma tr n ậ

c. Khi đó, t n

( ) ¡

chéo hóa đ 



ỏ

ạ t i ma tr n

... 0

ị ậ P kh ngh ch th a 0 ... 0  2



)

diag

Trong đó,

  ( , ,..., 1 2

 n

A M ả    1   0        

1P A P D          M M M M    0 0 ... 

ậ

ươ

ạ

ậ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn



ph ][ u

ngươ ]...[ u

([ u

• Xét ma tr n ậ

, ta có:

])n



A P



1,2,..., ) n

PD  i

[ ] i

[ ] ( i u i

Suy ra

1P A P D  [ ] [ ] u D A u i i iêng và

 là tr rị

A u iu là vector riêng c a ủ A .

ậ

ồ

ị



các c tộ là các vector riêng đltt ươ ứ D g m các tr riên ng ng

g t

• V y ậ P là ma tr n có c a ủ A . Ma tr n chéo ớ v i các vector riêng trong ma tr n

ậ P .

ươ

ạ

ậ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn

ngươ 3

1 3

   3 5 A ị có 2 tr riêng là: VD 2. Ma tr n ậ

  

1 Ứ ớ 1 • ng v i

 (0; 1; 1)

có 2 vector riêng đltt là: .



1 3 3                3     

Ứ ớ 2 1 • ng v i 1

0 1

    0 1 0 D P và . V y ậ

  , 2 1 2 .    2  u  (1; 0; 1) 1            

u  , 2 u  có 1 vector riêng là 3            1          

(1; 1; 1) .  2 0 0     2 0     0 1 

 1 1 1

0 41

ươ

ậ

ạ

Ø Ch

ng 5 Chéo hóa matr n – D ng toàn

ngươ



 

1 k )] .

 P A P D  ( PDP A k PD P A

ậ Nh n xét  1  

1 .



2 PD P  n 1 .

,...,

). P

V y ậ

k  ( . P diag 1

  A PDP  1 1  )( ) PDP 1   .[ ( ,..., P diag 1 k  n

10 2

  0 0 1

  0 1 1 A

ế           

VD 3. Ti p VD 2, ta có:   1 1         1 0 2           

 1 1 1 0 1  1             0 0     10  0 1 2    0 1 1 1    

ươ

ạ

ậ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn

ngươ 

ph 1023

 1

1023 2047 1023 .

 1023 1023 1             1023          

ươ

ạ

ậ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn

ngươ

ậ

 0 3.4. Thu t toán chéo hóa ma tr n I A ậ vuông A c p ấ n th cự c a ủ A . ị tìm tr riêng

ướ Gi i ả

B c 1.

ườ

ợ A không có tr riêng

th cự nào thì ta k t ế

ng h p

ị cượ .

ị

ệ thì A chéo

ướ

c 2).

• Tr lu n ậ A không chéo hóa đ ườ • Tr hóa đ

ng h p cượ . Ta làm ti p b



1,...,

)

ợ A có n tr riêng phân bi t ỏ ế ướ c 3 (b qua b  ( i t ệ i

ườ ng h p • Tr ớ ố ộ ươ ứ v i s b i t  

...

ị ợ A có k tr riêng phân b in thì n u:ế n

ng ng   n

 A không chéo hóa đ

cượ .



...

, ta làm ti p b

 1 n  1 n

ế ướ . c 2 44

ươ

ạ

ậ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn



 ta tìm (

ớ ỗ i

r i

ế

r i n

)i I . thì ta k t lu n

ế ậ A

ọ v i m i

 thì A chéo hóa đ

cượ .

ngươ  B c ướ 2. V i m i r A    Suy ra dim ( )i n E    mà dim ( )i ộ i E • N u có m t cượ . không chéo hóa đ   ớ • N u ế dim ( )i n E ế ướ Ta làm ti p b

c 3.



vector c s ơ ở

ậ P có các c t là các  ườ ộ 1P A P D v i ớ D là ma tr n ậ ầ ượ t

 xu t hi n liên ti p

 (m i ỗ i

ậ B c ướ 3. L p ma tr n ( )iE  . Khi đó, c a ủ ầ ử chéo có các ph n t trên đ ấ ệ là ng chéo chính l n l ế in l n).ầ

ươ

ậ

ạ

Ø Ch

ph 3 1

ị

ộ

có tr riêng b i hai là

VD 4. Ma tr nậ

  2 2 A

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn ngươ   1     1     

ng 4).

2 2 0         

Do dim (2) 1 2

ươ nên A không chéo hóa đ

c.ượ

2 (xem VD 9, §2, ch     E

ươ

ạ

ậ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn

ngươ

VD 5. Ma tr nậ nào sau đây chéo hóa đ



C ,

    

 1 0     2 3 

    2 5 

 3     

c:ượ  1 3     1 

     1  

A. A và B; B. B và C; C. C và A; D. A, B và C.



 ) . 11 .

    (1 2     ) ) ) I I I  )(3   6 4 .

 Gi i.ả det( A  det( B  det( C ọ C . ậ V y ch n

ươ

ạ

ậ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn

ngươ

ế ượ

ậ

c) ma tr n

VD 6. Chéo hóa (n u đ

    

 1 0      1 6  



 1



Gi i.ả Ta có:



0  1

chéo hóa đ

c.ượ

  

•



)

(0; 1)

( A

 I

    

 2 0     6 0 

        1 1 A

ươ

ạ

ậ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn

ngươ

 

•



)

(1; 3)

( A

 I

3 x

0 0 

    

     2  



Suy ra:

     

 0 1     1 3  

      

 1 0     0 1  



1 P A P

V y ậ

     

 1 0     0 1 

ươ

ạ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn

. Tính 2010A .

VD 7. Cho ma tr n ậ

ngươ 3 0 

ph     

ậ      1  



det(

 ) 0

 I

Gi i.ả



0  1

chéo hóa đ

c.ượ

  

•



)

(0; 1)

( A

 I

    

 4 0     8 0 

        1 3 A

ươ

ạ

ậ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn

ngươ

 

•



)

(1; 2)

( A

 I

2 x

    

 0 0      4 8  



P A P D

Ta có:

     

 0 1     1 2  

      

 1 0     0 3  

2010 3

2010

V y ậ

2010

  A PD P 

 2 2.3         0     1  

ươ

ạ

ậ

Ø Ch

 4 2

  4 3 6 A . VD 8. Chéo hóa ma tr nậ

ng 5 Chéo hóa matr n – D ng toàn ngươ   1                    

 6 5 6

) A I



Gi i.ả Ta có: det(  4 

 1

2 )

  2       6  (1 )(2

4  3    6 5 6

ộ (b i hai

ị ) là tr riêng

c a ủ A .

     1, 2

ươ

ạ

ậ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn

ngươ 

ph 2

3 0 1 3

      6 5 3 0 1  A I • 1:



3 x



(1; 3; 3) .

1 

3 

    

 6 6 4 0 0 0              1                          1      

  2 2 2 2

      6 3 0 0 0 6 A 2 I • 2:

 6 3 0 0 0 6              1            1                    

ươ

ạ

ậ

Ø Ch

ng 5 Chéo hóa matr n – D ng toàn

ngươ



2 x



(1; 0; 2) . (0; 1; 2)

u u

    



 Do dim (1) dim (2) 3



nên A chéo hóa đ c.ượ

1 P A P

 P V y ậ , v i ớ .

…………………………………………………………………………………

           1 0 0     0 2 0     0 0 2             1 1 0     3 0 1     3 2 2  

ươ

ng 5. D ng toàn ph

ư ạ

ươ

ề ạ

ắ ng v d ng chính t c

ậ

Ø Ch ạ §1. Khái ni m ệ c b nơ ả §2. Đ a d ng toàn ph §3. Lu t quán tính ấ ủ ạ ị

ươ ng

Xác đ nh d u c a d ng toàn ph §4. Rút g n ọ Conic – Quadratic

…………………………………………………………………………… §1. KHÁI NI M Ệ C B NƠ Ả

ạ

ậ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn ph

ươ §2. ĐƯA D NG TOÀN PH

Ạ Ề Ạ

ươ ng ƯƠ NG Ắ V D NG CHÍNH T C

2.1. D ng chính t c c a ạ ắ ủ m t ộ d ng toàn ph ươ ng

ạ

ế ắ ươ (vi t t t là DTP)

ị

Trong Ta nói Q đ

ạ  Đ nh nghĩa n¡

, xét d ng toàn ph ạ c đ a v

ng ượ ư ề d ng ch

ượ

Q . ỉ ế ính t cắ n u ta ch ra ậ ủ ơ ở ộ ơ ở B mà trong c s này, ma tr n c a ạ

c m t c s ườ

ng chéo.

đ Q có d ng đ

Nghĩa là:  ( ) Q x



2 x 2 2 

      ... x

T [ ] x A x B diag

2 n x

[ ] f B

2 x 1 1  n

), [ ] x B

( x 57

 n ... [ ] B   ( , ,..., 1 2

ậ

ươ

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn ph

ng ắ ng v d ng chính t c

ạ ề ạ ự

ươ ế ổ tr c giao ng pháp bi n đ i

ậ ự

Ø Ch ươ ư ạ 2.2. Đ a d ng toàn ph ươ 2.2.1. Ph ị a) Đ nh nghĩa ậ • Ma tr n vuông

P đ

n uế :

i là ọ ma tr n tr c giao c gượ TP 

ế

P  P làm chéo hóa ma tr nậ A

• N u có ma tr n tr c giao ự

ma tr n ậ A .

ậ ự thì ta nói P chéo hóa tr c giao  Chú ý



N u ế

ậ ự là ma tr n tr c giao thì

2 ij



ổ

(t ng bình ph

ươ m iỗ c tộ c a ủ P b ng 1ằ

P a ( )ij n

ươ

ậ

ạ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn ph ậ

ự ma tr n ậ tr c giao ?

VD 4. Ma tr n nào sau đây là



; B.

;

3 1

          

 2      2    2   

          

 2      2    2   



; D.

3 1

          

 2      2    2   

           

 2      2    2   

ạ

ậ

ươ

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn ph

ươ

( )Q x trong

có ma tr n là

n¡

ậ ổ

ạ

Ø Ch ậ b) Thu t toán ạ A . Xét d ng toàn ph ế Ta đi tìm ma tr n ậ tr cự giao P sao cho khi đ i bi n  [ ] x Khi đó,

bi n ế y :

2 y n n

2  y 2 2 ị là các tr riêng c a

v iớ

ủ A .

ị

 c a ủ A và vector riêng

 [ ] D P A P P y có d ng chéo . thì T  ắ ạ [ ] [ ] y D y Q có d ng chính t c theo 2     ( ) ... y Q y 1 1   1,2,..., , i i • B cướ 1. Tìm các tr riêng



ủ

c ơ sở

 ớ iu c a không gian riêng ng v i i – Schmidt các vector ng 3, §5, 5.3). 60

ứ • B cướ 2. Tr c chu n hóa Gram ươ

ẩ iw (xem ch

ự iu thành

 

ạ

ươ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn ph



 [

ậ • B cướ 3. Ma tr nậ tr c giao là: ] P

ự  [ ] [ w w 1 Ma trận c a ủ Q trong c s m i là: ) .

 ]n . ơ ở ớ  diag   ,..., 2 n

2¡

  D P A P ( , 1

VD 5. Trong

( )Q x có ma tr n ậ

ắ ơ ở trong c s chính t c.

2 2 0 2 

ươ , cho d ng toàn ph ng: 4 3 ( ) x x x Q x . 1 2

ị

ươ ứ Ma tr n ậ A có tr riêng và vector riêng t 

 



ng ng là:  (1; 2)

(2; 1);

 2

 1

ạ              3  

ạ

ươ

ự

Ø Ch ươ ẩ Tr c chu n hóa

ậ ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn ph c:ượ



  1; 2

,u u ta đ 2 1 1  2; 1



và . w  1 w  1

ủ

Ma tr n ậ P c a phép chuy n t c s chính t c san



ơ ở ự

ẩ

ắ  2 1      2 1  

    

c s tr c chu n ổ ế [ ]

5 ể ừ ơ ở

Đ i bi n

{ , } w w là 1 2 [ ] :

x P y



, 2

. 2

5 ứ ổ ế

5 x trong công th c đ i bi n trên vào

( )Q x ,



ắ

2 ượ ạ

( ) Q y

4 y

c d ng chính t c

,x Thay 1 ta đ

2 1

2 2

. 62

 2

ươ

Ø Ch

ươ VD 6. Trong

ằ



ề ạ

ắ

v i ớ

, ta đ a ư Q v d ng chính t c là:

5  

 



2 1 4 y

24 y  y

 Q y   Q  4Q y

ạ ậ ng 5.Chéo hóa matr n – D ng toàn ph 2¡ ạ ươ , cho d ng toàn ph ng 2   ) 3 4 ( , x x x Q x x . 2 1 2 1 2  ổ ế ự [ ] [ ] P y x , B ng phép đ i bi n tr c giao    2 1        1 2   2 2 24 y y ; 1 2 2 y ; 2 1

2 1

2 ; 2 . 2

ậ ủ Q là

Gi i.ả Ta có ma tr n c a

    

 0 2     2 3 

ươ

ậ

ạ

ươ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn ph

Suy ra:



D P A P

1 5

      

 2 1     1 2 2 3 1 2  

   2 1 0 2                    

      

 1 0     0 4  

Vậy ta ch n ọ A .

 Chú ý

ứ c a ủ A ng v i

ị Các tr riêng

ớ vector c tộ c a ủ P .

ươ

ậ

Ø Ch

ạ , cho ma tr n ậ A c a ủ DTP ( )Q x có các

ị

ươ ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn ph 3¡ VD 7. Trong ơ ở ươ ứ tr riêng và vector riêng c s t  



ng ng là:    ( 1; 1; 2) 6,

(1; 1; 1);

 1  



 ( 1; 1; 0)

 2 .

u 1 38, u ậ ự

ạ

và 3 Tìm ma tr n tr c giao

ắ c a ủ Q ? P và d ng chính t c 

 1; 1; 1

    (1; 1; 1) w v u , Gi i.ả Đ t ặ

u v 2



  ( 1; 1; 2)



 1; 1; 2 ,

   w

ươ

ạ

ươ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn ph

u v 3

ậ u v 3



 ( 1; 1; 0)



 1; 1; 0

  .

 

ổ ế [ ]

V y ậ

và đ i bi n

  x P y P [ ]

2 2 2 2

6 6 6 6 6 3 3 3 3 3 3 3                  

v 2 w                     ( ) 3 y

ạ ta có d ng chính

ắ t c là

2 1

2 6 y 66 2

2 . 3

  Q y 8 y

ạ

ươ

Ø Ch

ắ ươ sau v d ng chính t c ề ạ

2 1

2 3

   ( ) 3 x Q x 6 x . 4 x x 2 3

ậ ươ ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn ph ư ạ ng VD 8. Đ a d ng toàn ph ự ế ổ tr c giao: b ng ằ bi n đ i 2   4 3 x x x 1 2 2 

 A . Gi i.ả ( )Q x có ma tr n ậ



4 8 x x 1 3  2 4     2 6 2     2 3 

det(

 ) 0

 (

 2) 0

 I

. 2

 

          2 7) (



(1; 0; 1),

• V i ớ

   7      (7)E là:    ; 1; 0    67

ơ ở ủ , ta có 2 vector c s c a  1     2 

ậ

Ø Ch   

ươ ( 2)

ươ ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn ph E  2 , ta có 1 vector c s c a

ng là:

• V i ớ



ạ ơ ở ủ 1 2

   ; 1   

     



(1; 0; 1)

Đ t ặ



 1; 0; 1

2 2

u v 2



; 1;

1 4

     

 1     4 



w



 1; 4; 1

2 6

ươ

ạ

ậ

ươ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn ph

u v 3 u v 3

     1; v v u v

1 2          ; 1    v v



 2; 1; 2

   w .

1 3

 

và đ i bi n

ổ ế [ ]

V y ậ

  0 x P y P [ ]

2 6 2 2 3 2 6 2 2                  

ạ ta có d ng chí

ắ nh t c là

2 1

2 7 y 69 2

2 3

   2 2     3 2    1    3    2    3    ( ) 7 y Q y 2 y

ạ

ươ

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn ph

ươ ậ

ạ

2 i

  ( ) Q x . a x ii a x x ij i

ậ Ø Ch 2.2.2. Thu t toán Lagrange ươ : Xét d ng toàn ph ng n 



 j n

2   1 i

ườ

ng h p

ợ 1 (có 1 h ệs ố

0 )

iia 

ấ ả

a) Tr a  • B cướ 1. Gi s ả ử 11

ớ ể

ố ạ , ta tách t t c các s h ng ạ chứa 1x trong ( )Q x và thêm ho c ặ b t đ có d ng:



 2

11 ,...,

1n 

ch aứ t i đaố

bi n.ế 70

v i ớ 1

    ... x ( ) Q x ) , a x 11 1 ( Q x 1 ,..., 2 a x 1 n

1 a 2( Q x

ậ

ạ

ươ

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn ph



...

  y x i

Ø Ch ươ ổ ế : Đ i bi n  a x 11 1

a x 12 2

a x 1 n



2, n

ượ : c



      2, ... x y i n y x a y 12 2 a y 1 n n



ổ ế Đ i bi n ng 1 a

a a

1 n a 0

  1 ...

Ta có ma tr n ậ

0 a 1 ...  P 1

... ... ...

0 0 ... 1 71

                 

           ...    

ươ

ậ

ạ

ươ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn ph

ớ

ế V i bi n m i thì

2 1

  Q y y ( ,..., Q y 1 2 )n .

11 ư ướ

Q y 1

1 a

ướ ổ ế

2( ,..., )n y ắ Q có d ng chính t c.  P y

ế ụ • B cướ 2. Ti p t c làm nh b … Sau k b c thì Ma tr n ậ đ i bi n P

và [ ]

c 1 cho ạ 1... k P P



 x [ ] .

ườ

1,...,

ợ 2 (h s ệ ố

)



3,..., )

b) Tr ng h p a  Gi s ả ử 12   y

( i

iia ổ ế : 0 , ta đ i bi n   , y y x y 2

, 2



ệ ố ủ 2

1y là

2 ... 2 a y 12 2 ở ạ ườ

Khi đó,

có h s c a ợ ng h p 1.

. Ta tr l i tr

2  2 Q a y 12 1 a  122 0

ậ

ươ

Ø Ch



2 3

2 1

2 x x 2 3

ươ VD 9. Trong ( , Q x x x 1

ắ



 ư 

, 2 ậ 

, 2

, 3



0 1

;



0 0 1

 1 0 0     1 1 0     1 1  



;

0 1 0 0

1 1

ạ ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn ph 3¡ ươ : ạ ng , cho d ng toàn ph 2    2 ) 2 2 x x x x 2 1 2 ề ạ ( )Q x v d ng chính t c Dùng thu t toán Lagrange đ a   ta đ t ặ 1 x x y . 2 ậ ổ ế P là: Ma tr n đ i bi n   1 1 0         1 A.            1 0 0         1 1 0 C.         1 1 1   

     B.          D.    

 1         

ươ

ạ

ậ

ươ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn ph

Gi i.ả Ta có: 

    y x x x y y y

1 y

2 y

     y x x x

  y x x y

ậ

V y ta ch n

3 3 ọ D .

                     

ươ

ậ

ươ

2 2

  2 x

ạ ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn ph ư ngơ : ạ , cho d ng toàn ph 2  8 7 ) x x x . 1 2 1 ậ ổ ế v iớ ma tr n đ i bi n

ề ạ

ắ

, ta đ a ư f v d ng chính t c là:

;

2 1 

    ) y y

2 1 

2 )

      ( , f y y 1 ( , f y y 1

2 ; B. 2 2 ; D. 2

2 2 2 . 2



[ ]

P y

[ ] x



1 2 y

y 75

Ø Ch 2¡ VD 10. Trong  ( , f x x 1 ậ Dùng thu t toán Lagrange  1 0     2 1    ) 2 y 2 1 ứ ổ ế : Gi i.ả Ta có công th c đ i bi n   y x      

   ) 2 y y y 2 y ( , f y y 1 ( , f y y 1 2 y 2 1

ươ

ậ

ạ

ươ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn ph

2 1

2 ) 2

     y y ) 2  8 ( 2 y y 1 ) 2

 2( 2 y 2 .  22 y

ậ Suy ra: 7 ( , y f y y 1 2   y 1 ọ C . V y ta ch n

ậ VD 11. Dùng thu t toán Lagrange

2 3

  ạ d ng chính t c    ( ) Q x x 4 x đ a ư DTP sau v ề ổ ế P : ắ và tìm ma tr nậ đ i bi n 2 4 2 x x x x . 1 3 1 2 2

ế ổ Gi iả . Bi n đ i: 2    ( x 1

    ) Q 4 x 4 x x 2 3

2 2 

2 3 4 x x 2 3 76

   2 x x 1 2 2  ) ( x x x 4 x x 2 2 x 2 3

ậ

ạ

ươ

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn ph

 

Ø Ch ươ ổ ế Đ i bi n:   x y

x x y y

1 y

    y x x P 1

  y x x y            1 1 0     0 1 0     0 0 1                        

ạ Q

ố ớ ế y là: ươ Q đ i v i bi n n ph D ng toà 2 2        y y 2 1

ng  4 y y 2 3

2 1

2 3

2 2 ) y 3

 4 y y ( y

  z y y z

1 y

     2 y z y z 2 z ổ ế Đ i bi n:

  z y y z

                     

ạ

ậ

ươ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn ph

1 0 0

   0 1 . P 2

0 0 1

ươ         

 



( )Q z

V y dậ

ạ ng chính t c c a

ắ ủ Q là

2 1

2 2

     2     

 1 1

   ổ ế 0 1 P Ma tr n ậ đ i bi n là . P P 1 2

0 0 1           2     2     

ươ

ậ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn ph

ạ đ a ư DTP sau v ề ậ VD 12. Dùng thu t toán Lagrange ổ ế P :

ạ d ng chính t c



ắ và tìm ma tr nậ đ i bi n  x x 1 2

2 x x 1 3

  x y y

     ổ ế 1 x y y . Gi i.ả Đ i bi n: P 1

6 x x . 2 3         

 ( ) 2 f x          



 x y  1 1 0     1 0     0 0 1  

6( y

) y y 2



2( y

1 2 y

1 2 1

 2 3

D ng toàn ph y ng  2( + )( y ạ f

2 2 y y 1 3 2  ) 3

    2( y 2 y y ố ớ ươ f đ i v i bi n ế y là: )+2( + ) y y y 1 2 2 3 2 2   ) 2 8 y y y y 2 3 2 3 2 2 2 8 y y y . 2 3 3 2

ậ

Ø Ch

  y y

1 y

  z . ổ ế Đ i bi n: P 2

 z y

ươ          

3 D ng toàn ph  

ạ

 2 z f

3 ng 2  2 2 2( z 2

2 3



2( z

6 z

2 z

    2 z

ươ ạ ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn ph   1 0 1 z          0 1 0        0 0 1    ố ớ ế z là: ươ f đ i v i bi n 2 2 8 2 z z z z 2 3 3 2  4 ) 6 4 z z z z 2 3 3 2 2 2 ) z . 3 3

2 z

 u

   2 z z u ổ ế Đ i bi n: . P 3

2 1 2 1 2 1          

 z u            1 0 0     0 1 2     0 0 1   80

ạ

ươ

ậ

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn ph

V y dậ

Ø Ch ngạ chính t cắ c a ủ Q là: 2 u

2 1

2 2

2 . 3

Ma tr nậ đ i bi n

ổ ế là:

   ( ) 2 u Q u 6 u

  1 1   1 1 P P P P 1 2 3

0 0 1               1     

có th ể

ế trong thu t toán Lagrange Do cách đ i bi n ạ

ậ ắ là không duy nh t.ấ khác nhau nên d ng chính t c 81

 Nh n xét ậ ổ

ạ

ươ

ậ ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn ph Jacobi (tham kh o)ả

Ø Ch 2.2.3. Thu t toán

ị

ươ ậ  Đ nh th c con chính ứ a ậ (

Cho ma tr n vuông

...

ị

Đ nh th c

ứ :

   ) )ij n a 1 k ... ... a 11 ... D k n

... a a

1 ứ

ượ ọ

ị

c g i là

c aủ A .

đ nh th c con chính

ươ A a ( )ij n

  k n  Thu t toán ậ ạ ng • Cho d ng toàn ph ứ ị th aỏ các đ nh th c con . ( )Q x có ma tr n ậ 1,..., 0, kD 82

ươ

ậ

ạ

ị

Ø Ch i

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn ph , ta đ tặ

ứ ủ là đ nh th c c a ma tr n

ậ có

• V i ớ j

iD 

và



 1,

ầ ử ằ các ph n t n m trên giao các dòng  các c tộ 1,2, 1, i (b c t

  1,2, 1j ỏ ộ i ) c a ủ A .



...



...

b y 21 2 y

b y 41 4 b y 42 4

b y 1 n n b y 2 n



ổ ế ứ • Đ i bi n theo công th c:   x b y y  31 3 1 b y x  32 3 n  ............................................................, 



i  ( 1)

b Trong đó, ji

 1 83

ươ

ạ

ậ

ươ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn ph

Khi đó,

và

b n b 2 n ...

0 0 ... 1

 ... 1 b  21   0 1 ...      ... ... ...    

            



...

2  Q D y 1 1

2 2

2 3

2 n

2 D

D D 

ậ

VD 13. Dùng thu t toán  chính t cắ : Q x

2 1

ề ạ 4 x x . 1 3

2 2

2 3

Jacobi đ a ư DTP sau v d ng 3 x x x 1 2 84

    ( ) 2 x x

ươ

ậ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn ph

ạ 2

ậ ủ 3/ 2 1 A ( )Q x là . Gi i.ả Ma tr n c a

0 2

ươ ng  3/ 2 2     0     1 



 

Ta có:

D 1

D   3

2 3/ 2

1 4

17 4

          3/ 2 1

   x

  y 1 x ổ ế Đ i bi n , trong đó:

 x b y 31 3 b y 32 3 y

    

 2 1, 1

 1 2

b y 21 2 y D

    ( 1) , b 21   85 3/ 2 2 3 4 D

ươ

ạ

ươ

Ø Ch

ậ ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn ph 3/ 2 2 0

 3 1, 1

 1 3



 ( 1)

b 31



1/ 4

8 , 2

2 3/ 2 0

 3 1, 2

 2 3



 



 ( 1)

12 .

b 32

 

1/ 4 3/ 4

8 1

  ậ ổ ế ậ ớ 0 1 P V y v i ma tr n đ i bi n thì



1 0 0      12     

( ) Q y

2 y

17 y

2 D y 1 1

2 3

2 1

2 2

2 3

2 2

1 8

2 D

         

ạ

ậ

ươ

Ø Ch

ậ

ổ ơ ấ

và

ờ ặ ạ

đ đ a

nA I ể trên các c t ộ 1( ,...,

nA I

 . )n



ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn ph ng ậ ố ứ ế ổ ơ ấ 2.2.4. Thu t toán bi n đ i s c p ma tr n đ i x ng (tham kh o)ả c a ủ ma tr nậ  • B cướ 1. Bi nế đ i s c p dòng ế ổ ồ đ ng th i l p l i các bi n đ i cùng ki u c a ủ  diag  ề ạ ể ư A v d ng chéo ẽ ở Khi đó, nI s tr thành  ổ ế [ ] • B cướ 2. Đ i bi n x 2   ( ) y Q y 1 1

TP . c:ượ [ ] P y , ta đ 2     ... y 2 2

2 y n n

ậ



ề ạ

 ( ) 2

Q x

VD 14. Dùng thu t toán bi n đ i s c p, 4 x x 1 3

ế ổ ơ ấ đ a ư DTP ắ 6 x x v d ng chính t c. 2 3

x x 1 2

ươ

ạ

Ø Ch

 0 1

1 0 3 A ậ ủ Q là . Gi i.ả Ma tr n c a

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn ph  2          

2 3 0

ậ           

 0 1

Ta có: 

3

A I



 d  1

d  

         

         

 2 1 0 0     1 0 3 0 1 0     2 3 0 0 0 1    1 1 1 1 1 0     1 0 3 0 1 0     2 3 0 0 0 1  

ươ

ạ

ậ

ươ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn ph

 c  1

c  



d  d

2 d  2 d

 2  3

 d   1 2  d 1 3



2 1  0 0 5

1 1   1 1

 2 1 1 1 1 0     1 0 3 0 1 0     1 3 0 0 0 1 

c  c

 2  3

 2 c  2  2 c 3

c   1 c 1

 2 0  0 1  0

 1 0     1 5 1 1 0     1 2    1 0     2 10 1 1 0     1 2  

 0 10  2 1  89                           

ươ

ậ

ạ

ươ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn ph



 3

d  

d 

25 d  

 2 0  0



 3

        

25 c  

c 

 2 0   0

 0 1 1 0     2 10 1 1 0      0 0 48 6 4 2     0 1 1 0         2 0 1 1 0         0 0 48 6 4 2   

  1 1

    1 1 4 P V y ậ



0 0 2            6          

2 y

48 y

Q y

và

2 2

2 3

……………………………………………………………………………………

            ( ) 2 y  1 1 0     1 1 0     6 4 2   2  1

ươ

ạ

ậ

ươ

Ø Ch

Ấ

Ị

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn ph Ậ §3. LU T QUÁN TÍNH Ủ Ạ XÁC Đ NH D U C A D NG TOÀN PH

ƯƠ NG

ậ

ạ



ạ ấ ỳ ề ươ • Trong , m iọ d ng toàn ph



...

ắ  ắ đ a v d ng chính t c trong m t c s chính t c:  (1).

3.1. Lu t quán tính ẩ ắ a) D ng chu n t c n¡ ư ề ạ 2  x Q 1 1

2 x 2 2

 r

ạ

• D ng chính t c

ể ng b t k đ u có th ộ ơ ở 2    ( ... 1 2 r r

ẩ ắ n u:ế

d ng chu n t c

ạ 1,2,...,

ượ ọ c g i là   1, i

ắ (1) đ   i

ươ

ậ

ươ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn ph



ổ 0 và

0 .



  2, 1

ấ • Không làm m t tính t ng quát, g   ,..., ,  1 s

ạ i sả ử:  ,..., 2 r

  s

ẩ ắ

ể ư

ổ ế Đ đ a (1) v d ng chu n t c, ta đ i bi n:

ề ạ 1





1,2,...,

 i 1



2,...,

 



2,..., . n

  



...

 Q x

2 1

2 2

2 s

2  s

2 r

 92

Khi đó, .

ươ

ạ

ậ

Ø Ch VD 1. Trong

4¡ Q x

2 . 3

2 1

2 2

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn ph , cho d ng ạ chính t cắ :   ( ) 2 4 x x 1

 3 x

 y x , 1

1 1

ổ ế Đ i bi n:

  x y y

, 2 .  ( 3) 3

  1

  y x y , 3

1 2

 x y 4 . 4

c 2 y 1

 y        4 ẩ ắ : ượ d ng ạ chu n t c ơ ở ớ Trong c s m i, ta đ 2 2   ( )Q y y . 93 3 2

ươ

ạ

ậ

ươ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn ph

ố ạ

ố ạ ữ

ắ

– ” trong d ng chí ộ ế

ấ ạ ụ

ấ

ươ

S ố s các s h ng mang d u “ + ” và s ố p các s h ng mang d u “ ấ ạ nh t c là nh ng đ i ế ổ ượ ng b t bi n, không ph thu c vào phép bi n đ i l ề ế ư ạ ế tuy n tính không suy bi n đ a d ng toàn ph ng v ắ ạ d ng chính t c.

ậ Lu t quán tính Sylvester ị b) Đ nh lý ( )

 Chú ý

ủ

• S ố p đ

cượ g i là ọ

ch s

ượ ọ ỉ ố ươ ủ • S ố s đ c g i là c a DTP. ch s d ng quán tính

ỉ ốâm quán tính c a DTP.

ượ ọ

ủ

p

• S ố s

c g i là

ch s

ỉ ố(hay ký số) c a DTP.

ươ

Ø Ch

ươ VD 2. Trong

  3 x

ạ ậ ng 5 Chéo hóa matr n – D ng toàn ph 2¡ ươ : , cho d ng toàn ph ng  2 ( ) x x Q x . 1 2

2 2



2 )

( ) Q x

( x

4 x

ế ổ :

• Cách 1. Bi n đ i

2 . 2

ạ 2 x 1

   x x y x Đ i bi n c:ượ , ta đ 2

1 y

2 4 y

2 . 2

2 1

 , 2  ổ ế 1 y ( ) Q y

2 3 ) x 2

2 1

    ( ) Q x ( x x ế ổ : . • Cách 2. Bi n đ i

   x x z Đ i bi n 4 3 c:ượ ổ ế 1 z 1 3 3 , x 2 , ta đ 1

2 1

2 . 2

2 4 3

1 1 3

   ( ) Q z z z

ươ

ậ

ạ

Ø Ch

ị

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn ph ấ ủ ạ 3.2. Tính xác đ nh d u c a d ng toàn ph

ươ ng ươ ng

ị

ạ

ươ ( )Q x .

Trong

, cho d ng toàn ph

• ( )Q x đ

 Đ nh nghĩa n¡ c ượ g iọ là xác đ nh d

ng n

ị 

Q x

c g i

• ( )Q x đ

n uế : n

ị 

Q x

• ( )Q x đ



( ( ) 0,

)

ươ n uế :  ¡   \ { } ( ) 0, . ượ ọ là xác đ nh âm  ¡  ( ) 0, ị ử ượ ọ là n a xác đ nh d c g i    ( ) 0, Q x

Q x

 \ { } . ươ (âm) n uế : ng   x

ị

ế

ậ

•

ấ n u nó nh n

( )Q x đ ả c giá tr d

ượ ọ là không xác đ nh d u c g i ị ươ 96

ẫ ng l n âm.

ươ

ậ

ạ

Ø Ch

ị

VD 3. Trong   ( ) Q x •

2 x 1 



( ) Q x

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn ph 2¡ , ta có: 2 3 2 x x x là xác đ nh d 1 2 2 2   2 0, ) x

( x

 ¡

ươ ng vì 2  \ { } .

2 2



    ( ) f x 4 x •

2 1 ( ) f x

2 2 (2 x

x     0, 4 x x 1 2  x x ị đ nh âm vì 2  ¡ . ử là n a xác 2 ) 2

 ị ( )g x x •



2 2  x 1 2  (1, 1) g

   ấ x x là không xác đ nh d u vì 1 2  và (1, 1) 1 0 1 0 .

ươ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn ph ị

ẩ

ạ d uấ

ị

ươ ủ

ắ c a nó đ u d

ị

ấ ả là xác đ nh âm khi và ch khi t t c

ấ ả ỉ ng khi và ch khi t t c ề ươ ng. ỉ đ u ề âm.

ủ ắ c a nó

ậ 3.3. Các tiêu chu n xác đ nh ị a) Đ nh lý 1 n¡ là xác đ nh d • DTP trong ệ ốở ạ các h s d ng chính t c n¡ • DTP trong ạ các h s ệ ố ởd ng chính t c

ươ

ậ ủ khi ma tr n c a nó có

 H quệ ả ạ • D ng toàn ph

( )Q x là xác đ nhị ị ấ ả t t c các

ạ

ươ

( )Q x là xác đ nh

ỉ ng khi và ch ươ ng. d âm khi và ch ỉ

ị

• D ng toàn ph ậ ủ khi ma tr n c a nó có

ấ ả t t c các

âm.

ươ d tr riêng ị tr riêng 98

ạ

   Q x 5 x x .

Ø Ch ậ ươ ươ ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn ph 3¡ ị ấ ủ DTP sau: , xét tính xác đ nh d u c a VD 4. Trong 2 2   ( ) 4 6 x x x 1 3 3 1

2 2

2 x x 1 2

 4

 A Gi i.ả ( )Q x có ma tr nậ

3           1 3     1 1 0     0 5 



 2( 0)

 13( 0)

       det(  ) 0  ( 2)(  8 A I  3) 0

( )Q x xác đ nh d

ị V y ậ ươ ng.

ạ

  ị x 2 x

Ø Ch ậ ươ ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn ph 3¡ , xét tính xác đ nh d u c a VD 5. Trong   ( ) 7 x f x .

ươ ấ ủ DTP sau: 5 x x 1 3

2 1

2 3

7 0 3

0 2 0 A f x có ma tr nậ Gi i.ả ( )

 3 0          1  

2 2            (

       ) 0 8)( I  4) 0

  ị ( ) f x ấ không xác đ nh d u.

 2 0  2 0  8 0

100

det( A             

ươ

ạ

ậ

ươ

Ø Ch

ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn ph

ạ

ươ

ị

, d ng toàn ph ng ậ ủ ma tr n c a nó có

ươ ng khi là xác đ nh d ứ ị ấ ả t t c các đ nh th c con

n¡ • Trong ỉ và ch khi chính đ u d

ề ươ ng.



Nghĩa là:

ạ

ị

là xác đ nh âm khi và ng ứ các đ nh th c con chính

ẵ ươ

• Trong ỉ ch khi ấ c p ch n d

n¡ ươ , d ng toàn ph ma tr n ậ c a nó có ủ ấ ẻ ng, c p l âm.



k Nghĩa là: ( 1)

101

ị ị b) Đ nh lý 2 ( Đ nh lý Sylvester)

ươ

ậ

ạ

Sylvester xét tính xác

ị

2 3

   ( ) Q x 4 x

2 2   2 A . Gi i.ả ( )Q x có ma tr n ậ

4 0  0 0

Ø Ch ươ ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn ph 3¡ ị VD 6. Trong , dùng đ nh lý ươ sau: ạ ấ ủ d ng toàn ph đ nh d u c a ng 2   4 3 2 x x x x . 1 2 1          3  

2 2          



 



 2 0,

 4 0

Ta có:

và

2 2 



 



det

 12 0

( ) Q x

ị xác đ nh âm.

102

ậ

ạ

ươ

Sylvester xét tính xác

ị

  2 x

Ø Ch ươ ng 5. Chéo hóa matr n – D ng toàn ph 3¡ ị , dùng đ nh lý VD 7. Trong ươ sau: ạ ấ ủ d ng toàn ph đ nh d u c a ng 2 2   ( ) 7 5 x x x x f x . 1 3 3 1

7 0 3

0 2 0 A f x có ma tr n ậ . Gi i.ả ( )

2 2          

 3 0          1  

     7 0,  14 0, Ta có: D D D  32 0 .

………………………………………………………………………………………

103

ị V y ậ ( ) ấ f x không xác đ nh d u.

Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 5: Chéo hóa matrận – Dạng toàn phương

ươ

ạ

ậ

ậ ồ

ạ 2.1. Ma tr n đ ng d ng  Đ nh nghĩa ậ Hai ma tr n vuông

ươ

ạ

ậ

ứ

ư (characteristic c ượ ( ) 0

ươ

ặ đa th c đ c tr ng ươ ng trình ặ ư c a ủ A . 2

ươ

ạ

ậ

ứ ặ ư c aủ f (A là ma tr n ậ ( ) 0

ươ

ộ ơ ở ễ f trong m t c s nào đó) và ặ ư c a ủ f .

ươ

ạ

ậ

 Đ nh lý ị ậ ồ Hai ma tr n đ ng d ng

ươ

ạ

ậ

ươ

ạ

ậ

ị ,

ươ

ậ

ạ

ươ

ạ

ậ

ị ượ ọ c g i là tr riêng n  x [ : x x A

ươ

ạ

ậ

ươ

ậ

ạ

ươ

I det( A n ặ ư . ng trình đ c tr ng

Đ ể x ườ ầ ệ nghi m không t m th V y ậ  là nghi m c a ph ệ ủ

  ( A ng trình • B c 2. ườ ầ nghi mệ không t m th ng là vector riêng

ươ

ạ

ậ

ươ

ậ

ạ

ươ

ạ

ậ

ươ

ạ

ậ

ươ

ạ

ậ

ươ

ạ

ậ

ươ

ậ

ạ



 g i ọ là không gian con riêng (eigenvector space) c a ủ n¡

ươ

ạ

ậ

ươ

ạ

ậ

ươ

ạ

ậ

ươ