Bài giảng Toán cao cấp: Chương 5

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

Trường Đại học Kinh tế - Luật Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

Ngày 23 tháng 10 năm 2016

Danh sách hàm sơ cấp cơ bản

Xem trang 1 giáo trình.

Một hàm số được gọi là sơ cấp nếu nó là một sự kết hợp của các hàm cơ bản.

Lưu ý trường hợp dùng phép chia và lấy căn, ta phải cẩn thận với miền xác định của hàm số

Ôn tập

Giới hạn Xem “Calculus in 20 minutes".

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

Hàm lượng giác ngược Xem trang 2 giáo trình.

Một hàm số được gọi là sơ cấp nếu nó là một sự kết hợp của các hàm cơ bản.

Lưu ý trường hợp dùng phép chia và lấy căn, ta phải cẩn thận với miền xác định của hàm số

Ôn tập

Giới hạn Xem “Calculus in 20 minutes".

Hàm lượng giác ngược Xem trang 2 giáo trình.

Danh sách hàm sơ cấp cơ bản

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

Xem trang 1 giáo trình.

Lưu ý trường hợp dùng phép chia và lấy căn, ta phải cẩn thận với miền xác định của hàm số

Ôn tập

Giới hạn Xem “Calculus in 20 minutes".

Hàm lượng giác ngược Xem trang 2 giáo trình.

Danh sách hàm sơ cấp cơ bản

Xem trang 1 giáo trình.

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

Một hàm số được gọi là sơ cấp nếu nó là một sự kết hợp của các hàm cơ bản.

Ôn tập

Giới hạn Xem “Calculus in 20 minutes".

Hàm lượng giác ngược Xem trang 2 giáo trình.

Danh sách hàm sơ cấp cơ bản

Xem trang 1 giáo trình.

Một hàm số được gọi là sơ cấp nếu nó là một sự kết hợp của các hàm cơ bản.

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

Lưu ý trường hợp dùng phép chia và lấy căn, ta phải cẩn thận với miền xác định của hàm số

Ôn tập

Giới hạn Xem “Calculus in 20 minutes".

Hàm lượng giác ngược Xem trang 2 giáo trình.

Danh sách hàm sơ cấp cơ bản

Xem trang 1 giáo trình.

Một hàm số được gọi là sơ cấp nếu nó là một sự kết hợp của các hàm cơ bản.

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

Lưu ý trường hợp dùng phép chia và lấy căn, ta phải cẩn thận với miền xác định của hàm số

Mọi hàm sơ cấp đều liên tục trên miền xác định của nó.

Đạo hàm

x(cid:209)x0

Định nghĩa: f x f x0 f 1 lim p q (cid:1) q p x0 x p q (cid:16) x0 (cid:1)

Ý nghĩa hình học: f 1 chính là hệ số góc của đường tiếp x0 p q tuyến đồ thị hàm f tại điểm x0.

Cách tính đạo hàm: Tự ôn

Ôn tập (tt)

Tính liên tục của hàm số

Định nghĩa: f x f a lim x(cid:209)a p q (cid:16) p q

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

Hình ảnh: Hàm liên tục có đồ thị được vẽ từ một nét bút.

Đạo hàm

x(cid:209)x0

Định nghĩa: f x f x0 f 1 lim p q (cid:1) q p x0 x p q (cid:16) x0 (cid:1)

Ý nghĩa hình học: f 1 chính là hệ số góc của đường tiếp x0 p q tuyến đồ thị hàm f tại điểm x0.

Cách tính đạo hàm: Tự ôn

Ôn tập (tt)

Tính liên tục của hàm số

Định nghĩa: f x f a lim x(cid:209)a p q (cid:16) p q

Hình ảnh: Hàm liên tục có đồ thị được vẽ từ một nét bút.

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

Mọi hàm sơ cấp đều liên tục trên miền xác định của nó.

Ý nghĩa hình học: f 1 chính là hệ số góc của đường tiếp x0 p q tuyến đồ thị hàm f tại điểm x0.

Cách tính đạo hàm: Tự ôn

Ôn tập (tt)

Tính liên tục của hàm số

Định nghĩa: f x f a lim x(cid:209)a p q (cid:16) p q

Hình ảnh: Hàm liên tục có đồ thị được vẽ từ một nét bút.

Mọi hàm sơ cấp đều liên tục trên miền xác định của nó.

Đạo hàm

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

Định nghĩa: f x0 f 1 p q x0 lim x(cid:209)x0 p q (cid:16) f p x0 x q (cid:1) x (cid:1)

Ôn tập (tt)

Tính liên tục của hàm số

Định nghĩa: f x f a lim x(cid:209)a p q (cid:16) p q

Hình ảnh: Hàm liên tục có đồ thị được vẽ từ một nét bút.

Mọi hàm sơ cấp đều liên tục trên miền xác định của nó.

Đạo hàm

Định nghĩa: f x0 f 1 p q x0 lim x(cid:209)x0 p q (cid:16) f p x0 x q (cid:1) x (cid:1)

chính là hệ số góc của đường tiếp x0 p q

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

Ý nghĩa hình học: f 1 tuyến đồ thị hàm f tại điểm x0. Cách tính đạo hàm: Tự ôn

Ôn tập (tt)

Tính liên tục của hàm số

Định nghĩa: f x f a lim x(cid:209)a p q (cid:16) p q

Hình ảnh: Hàm liên tục có đồ thị được vẽ từ một nét bút.

Mọi hàm sơ cấp đều liên tục trên miền xác định của nó.

Đạo hàm

Định nghĩa: f x0 f 1 p q x0 lim x(cid:209)x0 p q (cid:16) f p x0 x q (cid:1) x (cid:1)

chính là hệ số góc của đường tiếp x0 q p

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

Ý nghĩa hình học: f 1 tuyến đồ thị hàm f tại điểm x0. Cách tính đạo hàm: Tự ôn

Ôn tập (tt)

Vi phân

dy y 1 x dx (cid:16) p q Ý nghĩa: Tính xấp xỉ.

Đạo hàm và vi phân bậc cao

1, y 3

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

y 1 y 2 v.v... (cid:16) p (cid:16) q y 2 Ý nghĩa: Xấp xỉ bậc cao hơn (Khai triển Taylor)

Ôn tập (tt)

Vi phân

dy y 1 x dx (cid:16) p q Ý nghĩa: Tính xấp xỉ.

Đạo hàm và vi phân bậc cao

1, y 3

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

y 1 y 2 v.v... (cid:16) p (cid:16) q y 2 Ý nghĩa: Xấp xỉ bậc cao hơn (Khai triển Taylor)

Bước 2 Giải f 1 x 0 ta được các điểm dừng x 1 hay x 2 (cid:16) (cid:1) (cid:16) p q (cid:16) Bước 3 Tại x đổi dấu từ - sang + nên -1 là cực tiểu địa 1, f 1 x (cid:16) (cid:1) p q phương, còn tại x 2, f 1 x đổi dấu từ + sang - nên 2 là cực p q (cid:16) đại địa phương. Lưu ý: Thay vì xét dấu f 1 gần điểm dừng, ta có thể xét dấu f 2 ngay tại điểm dừng để xác định cực trị địa phương.

Tìm cực trị một hàm số

Ví dụ

Tìm cực tiểu và cực đại địa phương (nếu có) của hàm số

f x 2x 3 3x 2 12x 5 p q (cid:16) (cid:1) (cid:0) (cid:1) (cid:0)

Lời giải:

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

Bước 1 f 1 x 6x 2 6x 12 p q (cid:16) (cid:1) (cid:0) (cid:0)

Bước 3 Tại x 1, f 1 x đổi dấu từ - sang + nên -1 là cực tiểu địa (cid:16) (cid:1) p q đổi dấu từ + sang - nên 2 là cực phương, còn tại x 2, f 1 x p q (cid:16) đại địa phương. Lưu ý: Thay vì xét dấu f 1 gần điểm dừng, ta có thể xét dấu f 2 ngay tại điểm dừng để xác định cực trị địa phương.

Tìm cực trị một hàm số

Ví dụ

Tìm cực tiểu và cực đại địa phương (nếu có) của hàm số

f x 2x 3 3x 2 12x 5 p q (cid:16) (cid:1) (cid:0) (cid:1) (cid:0)

Lời giải:

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

x 6x 2 6x 12 p (cid:0) (cid:0) Bước 1 f 1 Bước 2 Giải f 1 q (cid:16) (cid:1) x 0 ta được các điểm dừng x 1 hay x 2 p q (cid:16) (cid:16) (cid:1) (cid:16)

Lưu ý: Thay vì xét dấu f 1 gần điểm dừng, ta có thể xét dấu f 2 ngay tại điểm dừng để xác định cực trị địa phương.

Tìm cực trị một hàm số

Ví dụ

Tìm cực tiểu và cực đại địa phương (nếu có) của hàm số

f x 2x 3 3x 2 12x 5 p q (cid:16) (cid:1) (cid:0) (cid:1) (cid:0)

Lời giải:

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

6x 2 x 6x 12 p (cid:0) (cid:0) q (cid:16) (cid:1) x 0 ta được các điểm dừng x 1 hay x 2 p q (cid:16) (cid:16) (cid:1) (cid:16) Bước 1 f 1 Bước 2 Giải f 1 Bước 3 Tại x 1, f 1 đổi dấu từ - sang + nên -1 là cực tiểu địa p 2, f 1 x đổi dấu từ + sang - nên 2 là cực p q (cid:16) x (cid:16) (cid:1) q phương, còn tại x đại địa phương.

Tìm cực trị một hàm số

Ví dụ

Tìm cực tiểu và cực đại địa phương (nếu có) của hàm số

f x 2x 3 3x 2 12x 5 p q (cid:16) (cid:1) (cid:0) (cid:1) (cid:0)

Lời giải:

6x 2 x 6x 12 p (cid:0) (cid:0) q (cid:16) (cid:1) x 0 ta được các điểm dừng x 1 hay x 2 p q (cid:16) (cid:16) (cid:1) (cid:16) Bước 1 f 1 Bước 2 Giải f 1 Bước 3 Tại x 1, f 1 đổi dấu từ - sang + nên -1 là cực tiểu địa p đổi dấu từ + sang - nên 2 là cực 2, f 1 x (cid:16) p q

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

x (cid:16) (cid:1) q phương, còn tại x đại địa phương. Lưu ý: Thay vì xét dấu f 1 gần điểm dừng, ta có thể xét dấu f 2 ngay tại điểm dừng để xác định cực trị địa phương.

Tìm cực trị một hàm số

Ví dụ

Tìm cực tiểu và cực đại địa phương (nếu có) của hàm số

f x 2x 3 3x 2 12x 5 p q (cid:16) (cid:1) (cid:0) (cid:1) (cid:0)

Lời giải:

6x 2 x 6x 12 p (cid:0) (cid:0) q (cid:16) (cid:1) x 0 ta được các điểm dừng x 1 hay x 2 p q (cid:16) (cid:16) (cid:1) (cid:16) Bước 1 f 1 Bước 2 Giải f 1 Bước 3 Tại x 1, f 1 đổi dấu từ - sang + nên -1 là cực tiểu địa p đổi dấu từ + sang - nên 2 là cực 2, f 1 x (cid:16) q p

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

Tuy nhiên, trong phần lớn bài tập điều này không thực hiện được và ta sẽ thực hiện toàn bộ tính toán dựa vào phương trình tham số.

Đạo hàm của ẩn hàm

Định nghĩa

nhưng ta không biết f là gì, chỉ có phương trình f x (cid:16) p q Hàm y tham số

x y x y t t " p p q q (cid:16) (cid:16) trong đó t là một tham số.

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

Trong các bài dễ, ta có thể khử biến t để có công thức hàm f .

Đạo hàm của ẩn hàm

Định nghĩa

nhưng ta không biết f là gì, chỉ có phương trình f x (cid:16) p q Hàm y tham số

x y x y t t " p p q q (cid:16) (cid:16) trong đó t là một tham số.

Trong các bài dễ, ta có thể khử biến t để có công thức hàm f .

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

Tuy nhiên, trong phần lớn bài tập điều này không thực hiện được và ta sẽ thực hiện toàn bộ tính toán dựa vào phương trình tham số.

Đạo hàm của ẩn hàm

Định nghĩa

nhưng ta không biết f là gì, chỉ có phương trình f x (cid:16) p q Hàm y tham số

x y x y t t " p p q q (cid:16) (cid:16) trong đó t là một tham số.

Trong các bài dễ, ta có thể khử biến t để có công thức hàm f .

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

Tuy nhiên, trong phần lớn bài tập điều này không thực hiện được và ta sẽ thực hiện toàn bộ tính toán dựa vào phương trình tham số.

Ví dụ

Tính đạo hàm cấp 1 và 2 của

cos t y t 0, 2π (cid:16) 2 sin t x " P r s (cid:16)

Đạo hàm của ẩn hàm (tt)

Đạo hàm

Cấp 1

, D y 1 x y 1 x 1 dy dx (cid:16) t @ P p q (cid:16) t p t p q q

Cấp 2

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

(cid:10) y 2 x q q d dt (cid:2) x 1 p q (cid:16) y 1 t p x 1 t p t q p

Đạo hàm của ẩn hàm (tt)

Đạo hàm

Cấp 1

, D y 1 x y 1 x 1 dy dx (cid:16) t @ P p q (cid:16) t p t p q q

Cấp 2

(cid:10) y 2 x q q d dt (cid:2) x 1 p q (cid:16) y 1 t p x 1 t p t q p

Ví dụ

Tính đạo hàm cấp 1 và 2 của

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

t 0, 2π cos t 2 sin t y x " P r s (cid:16) (cid:16)

Đạo hàm của ẩn hàm (tt)

Đạo hàm

Cấp 1

, D y 1 x y 1 x 1 dy dx (cid:16) t @ P p q (cid:16) t p t p q q

Cấp 2

(cid:10) y 2 x q q d dt (cid:2) x 1 p q (cid:16) y 1 t p x 1 t p t q p

Ví dụ

Tính đạo hàm cấp 1 và 2 của

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

t 0, 2π cos t 2 sin t y x " P r s (cid:16) (cid:16)

Một số hàm dùng trong Kinh tế

Hàm cung - hàm cầu

Cho mô hình một hàng hóa độc lập. Gọi P là giá của hàng hóa

. S P (cid:16) p q

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

P S . Hàm cung (supply function): Hàm tăng theo theo giá P: Qs Hàm cầu (demand function): Hàm giảm theo theo giá P: Qs (cid:16) p q Trong điều kiện lý tưởng, ta có cân bằng cung - cầu

Một số hàm dùng trong Kinh tế

Hàm cung - hàm cầu

Cho mô hình một hàng hóa độc lập. Gọi P là giá của hàng hóa

. S P (cid:16) q p

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

Xem ví dụ hàm sản xuất Cobb-Douglas. Trong ngắn hạn, giả sử vốn K không đổi, khi đó hàm sản xuất chỉ còn phụ thuộc L

Q Q L p q (cid:16)

Một số hàm dùng trong Kinh tế (tt)

Hàm sản xuất ngắn hạn

Hàm sản xuất phụ thuộc 2 yếu tố

Vốn (capital) K

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

Lượng lao động (labor) L

Trong ngắn hạn, giả sử vốn K không đổi, khi đó hàm sản xuất chỉ còn phụ thuộc L

Q Q L p q (cid:16)

Một số hàm dùng trong Kinh tế (tt)

Hàm sản xuất ngắn hạn

Hàm sản xuất phụ thuộc 2 yếu tố

Vốn (capital) K

Lượng lao động (labor) L

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

Xem ví dụ hàm sản xuất Cobb-Douglas.

Một số hàm dùng trong Kinh tế (tt)

Hàm sản xuất ngắn hạn

Hàm sản xuất phụ thuộc 2 yếu tố

Vốn (capital) K

Lượng lao động (labor) L

Xem ví dụ hàm sản xuất Cobb-Douglas. Trong ngắn hạn, giả sử vốn K không đổi, khi đó hàm sản xuất chỉ còn phụ thuộc L

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

Q Q L q p (cid:16)

Một số hàm dùng trong Kinh tế (tt)

Hàm sản xuất ngắn hạn

Hàm sản xuất phụ thuộc 2 yếu tố

Vốn (capital) K

Lượng lao động (labor) L

Xem ví dụ hàm sản xuất Cobb-Douglas. Trong ngắn hạn, giả sử vốn K không đổi, khi đó hàm sản xuất chỉ còn phụ thuộc L

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

Q Q L q p (cid:16)

Hàm lợi nhuận (profit) π TR Q TC Q (cid:16) p q (cid:1) p q

Hàm tiêu dùng - hàm tiết kiệm

Gọi Y là thu nhập

Hàm tiêu dùng (consumption): C C Y p q (cid:16) Hàm tiết kiệm (savings): S S Y (cid:16) p q

Một số hàm dùng trong Kinh tế (tt)

Doanh thu - Chi phí - Lợi nhuận

Gọi Q là sản lượng. Khi đó

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

Hàm doanh thu (Total revenue) TR TR Q . p q Hàm chi phí (Total cost) TC TC (cid:16) Q p q (cid:16)

Hàm tiêu dùng - hàm tiết kiệm

Gọi Y là thu nhập

Hàm tiêu dùng (consumption): C C Y p q (cid:16) Hàm tiết kiệm (savings): S S Y (cid:16) p q

Một số hàm dùng trong Kinh tế (tt)

Doanh thu - Chi phí - Lợi nhuận

Gọi Q là sản lượng. Khi đó

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

Hàm doanh thu (Total revenue) TR TR Q . p q Hàm chi phí (Total cost) TC TC (cid:16) Q p Hàm lợi nhuận (profit) π q TC (cid:16) TR Q Q (cid:16) p q (cid:1) p q

Hàm tiết kiệm (savings): S S Y p q (cid:16)

Một số hàm dùng trong Kinh tế (tt)

Doanh thu - Chi phí - Lợi nhuận

Gọi Q là sản lượng. Khi đó

Hàm doanh thu (Total revenue) TR TR Q . p q Hàm chi phí (Total cost) TC TC (cid:16) Q p Hàm lợi nhuận (profit) π q TC (cid:16) TR Q Q (cid:16) p q (cid:1) p q

Hàm tiêu dùng - hàm tiết kiệm Gọi Y là thu nhập

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

Hàm tiêu dùng (consumption): C C Y p q (cid:16)

Một số hàm dùng trong Kinh tế (tt)

Doanh thu - Chi phí - Lợi nhuận

Gọi Q là sản lượng. Khi đó

Hàm doanh thu (Total revenue) TR TR Q . p q Hàm chi phí (Total cost) TC TC (cid:16) Q p Hàm lợi nhuận (profit) π q TC (cid:16) TR Q Q (cid:16) p q (cid:1) p q

Hàm tiêu dùng - hàm tiết kiệm Gọi Y là thu nhập

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

Hàm tiêu dùng (consumption): C C Y p q (cid:16) Hàm tiết kiệm (savings): S S Y (cid:16) p q

Một số hàm dùng trong Kinh tế (tt)

Doanh thu - Chi phí - Lợi nhuận

Gọi Q là sản lượng. Khi đó

Hàm doanh thu (Total revenue) TR TR Q . p q Hàm chi phí (Total cost) TC TC (cid:16) Q p Hàm lợi nhuận (profit) π q TC (cid:16) TR Q Q (cid:16) p q (cid:1) p q

Hàm tiêu dùng - hàm tiết kiệm Gọi Y là thu nhập

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

Hàm tiêu dùng (consumption): C C Y p q (cid:16) Hàm tiết kiệm (savings): S S Y (cid:16) p q

Ý nghĩa của đạo hàm

Nhắc lại

Đạo hàm bắt nguồn từ bài toán tìm vận tốc tức thời (instantaneous velocity) của một vật chuyển động. Vận tốc này (đạo hàm của hàm khoảng cách) là giới hạn của vận tốc trung bình (average velocity)

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

Ý nghĩa hình học: Đường tiếp tuyến (tangent line) là giới hạn của cát tuyến (secant line) khi 2 giao điểm tiến sát nhau dọc đồ thị.

Ý nghĩa của đạo hàm

Nhắc lại

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

Ý nghĩa hình học: Đường tiếp tuyến (tangent line) là giới hạn của cát tuyến (secant line) khi 2 giao điểm tiến sát nhau dọc đồ thị.

Khi ∆x rất nhỏ (∆x 0) thì tốc độ này tiến đến tốc độ thay (cid:209) đổi tức thời (instantaneous rate of change) của f so với x .

∆x(cid:209)0

f x ∆x f x f 1 x lim p (cid:0) q (cid:1) p q ∆x p q (cid:16)

Ý nghĩa của đạo hàm (tt)

Trong kinh tế

là một đại lượng thay đổi theo x . Khi đó, f x là sự thay đổi của f khi x thay đổi (cid:0) (cid:16) p q q (cid:1) x Cho f q p ∆f ∆x x f p một lượng ∆x .

Tỉ số f x f x p (cid:0) q (cid:1) p q ∆x ∆x

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

là tốc độ thay đổi trung bình (average rate of change) của f so với x

Ý nghĩa của đạo hàm (tt)

Trong kinh tế

là một đại lượng thay đổi theo x . Khi đó, f x là sự thay đổi của f khi x thay đổi (cid:0) (cid:16) p q q (cid:1) x Cho f q p ∆f ∆x x f p một lượng ∆x .

Tỉ số f x f x p (cid:0) q (cid:1) p q ∆x ∆x

là tốc độ thay đổi trung bình (average rate of change) của f so với x

0) thì tốc độ này tiến đến tốc độ thay (cid:209) Khi ∆x rất nhỏ (∆x đổi tức thời (instantaneous rate of change) của f so với x .

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

f x f x f 1 x p (cid:0) q (cid:1) p q lim ∆x(cid:209)0 ∆x ∆x p q (cid:16)

Ý nghĩa của đạo hàm (tt)

Trong kinh tế

là một đại lượng thay đổi theo x . Khi đó, f x là sự thay đổi của f khi x thay đổi (cid:16) (cid:0) p q q (cid:1) x Cho f q p ∆f ∆x x f p một lượng ∆x .

Tỉ số f x f x p (cid:0) q (cid:1) p q ∆x ∆x

là tốc độ thay đổi trung bình (average rate of change) của f so với x

0) thì tốc độ này tiến đến tốc độ thay (cid:209) Khi ∆x rất nhỏ (∆x đổi tức thời (instantaneous rate of change) của f so với x .

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

f x f x f 1 x p (cid:0) q (cid:1) p q lim ∆x(cid:209)0 ∆x ∆x p q (cid:16)

Áp dụng vào các hàm thường dùng ta có marginal revenue, cost, production, consumption, savings etc.

Giá trị cận biên

1 thì sự thay đổi của y f x có (cid:16) p q (cid:16) Trong Kinh tế, khi ∆x thể được xấp xỉ bằng

∆y y 1 ∆x y 1 x0 x0 p q p q (cid:16) (cid:19)

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

∆y trong trường hợp này được gọi là giá trị cân biên (marginal value) của y

Giá trị cận biên

1 thì sự thay đổi của y f x có (cid:16) p q (cid:16) Trong Kinh tế, khi ∆x thể được xấp xỉ bằng

∆y y 1 ∆x y 1 x0 x0 p q p q (cid:16) (cid:19)

∆y trong trường hợp này được gọi là giá trị cân biên (marginal value) của y

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

Áp dụng vào các hàm thường dùng ta có marginal revenue, cost, production, consumption, savings etc.

Giá trị cận biên

1 thì sự thay đổi của y f x có (cid:16) p q (cid:16) Trong Kinh tế, khi ∆x thể được xấp xỉ bằng

∆y y 1 ∆x y 1 x0 x0 p q p q (cid:16) (cid:19)

∆y trong trường hợp này được gọi là giá trị cân biên (marginal value) của y

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

Áp dụng vào các hàm thường dùng ta có marginal revenue, cost, production, consumption, savings etc.

Lưu ý: Đừng nhầm lẫn với tăng trưởng âm (negative returns) khi y 1 f 1 x 0 (cid:16) p q ⁄

Quy luật lợi ích cận biên giảm dần

Trong kinh tế, Quy luật lợi ích cận biên giảm dần (Law of diminishing returns) nói rằng trong quá trình sản xuất phụ thuộc nhiều yếu tố, nếu ta chỉ tăng một yếu tố đầu vào trong khi các yếu tố còn lại không đổi thì đến một lúc nào đó sản lượng cận biên đầu ra sẽ giảm dần.

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

f x có đạo p q f 2 x (cid:16) 0. Ý nghĩa hình học: Tại vị trí q ⁄ (cid:16) p Dưới góc nhìn của toán, sản lượng đầu ra y hàm bậc 2 thỏa y 2 xảy ra hiện tượng này, hàm f lồi.

Quy luật lợi ích cận biên giảm dần

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

Lưu ý: Đừng nhầm lẫn với tăng trưởng âm (negative returns) khi y 1 f 1 0 x (cid:16) p q ⁄

Quy luật lợi ích cận biên giảm dần

f x có đạo q p f 2 x (cid:16) 0. Ý nghĩa hình học: Tại vị trí q ⁄ (cid:16) p Dưới góc nhìn của toán, sản lượng đầu ra y hàm bậc 2 thỏa y 2 xảy ra hiện tượng này, hàm f lồi.

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

Lưu ý: Đừng nhầm lẫn với tăng trưởng âm (negative returns) khi y 1 f 1 0 x (cid:16) p q ⁄

Quy luật lợi ích cận biên giảm dần (tiếp theo)

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

Hệ số co giãn (Elasticity)

Cho y là một hàm theo x . Hệ số co giãn của y là

dy y 1 x dx p (cid:15)yx x0 y qy p q (cid:16) (cid:16) x x

Hệ số co giãn cũng thường được tính bằng %

Hệ số co giãn

Độ thay đổi tuyệt đối - tương đối Cho một đại lượng x

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

: Độ thay đổi tương đối (relative) thường tính bằng %. ∆x : Độ thay đổi tuyệt đối ∆x x

Hệ số co giãn

Độ thay đổi tuyệt đối - tương đối Cho một đại lượng x

: Độ thay đổi tương đối (relative) thường tính bằng %. ∆x : Độ thay đổi tuyệt đối ∆x x

Hệ số co giãn (Elasticity)

Cho y là một hàm theo x . Hệ số co giãn của y là

y 1 (cid:15)yx x0 p q (cid:16) (cid:16) dy dx y x x qy p x

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

Hệ số co giãn cũng thường được tính bằng %

Hệ số co giãn

Độ thay đổi tuyệt đối - tương đối Cho một đại lượng x

: Độ thay đổi tương đối (relative) thường tính bằng %. ∆x : Độ thay đổi tuyệt đối ∆x x

Hệ số co giãn (Elasticity)

Cho y là một hàm theo x . Hệ số co giãn của y là

y 1 (cid:15)yx x0 p q (cid:16) (cid:16) dy dx y x x qy p x

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

Hệ số co giãn cũng thường được tính bằng %

Nếu x 1 thì x , y được gọi là điểm co giãn yếu (cid:15)yx | p q| (cid:160) p q (inelastic)

Lưu ý: Trong công thức có dấu vì có nhiều trường hợp hệ số (cid:13) || co giãn âm. Câu hỏi: Nếu bạn là chủ cửa hàng bán laptop và đang cân nhắc (cid:13) việc tăng giá sản phẩm. Giả sử bạn tính được hệ số co giãn của hàm cầu Q P . Hãy cho câu trả lời trong từng trường hợp xem bạn p q có tăng giá hay không biết rằng mục tiêu của bạn là doanh thu ?

Hệ số co giãn (tt)

Phân loại hệ số co giãn

x 1 thì x , y được gọi là điểm co giãn mạnh p q| ¡ p q

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

x , y x được gọi là điểm co giãn đơn vị Nếu (cid:15)yx | (elastic) (cid:15)yx | q| (cid:16) p q p Nếu 1 thì (of unit elasticity) hay điểm đẳng co.

Hệ số co giãn (tt)

Phân loại hệ số co giãn

x 1 thì x , y được gọi là điểm co giãn mạnh p q| ¡ p q

x , y x được gọi là điểm co giãn đơn vị Nếu (cid:15)yx | (elastic) (cid:15)yx | q| (cid:16) p q p Nếu 1 thì (of unit elasticity) hay điểm đẳng co.

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

1 thì x , y được gọi là điểm co giãn yếu q| (cid:160) p q Nếu x (cid:15)yx p | (inelastic)

Câu hỏi: Nếu bạn là chủ cửa hàng bán laptop và đang cân nhắc (cid:13) việc tăng giá sản phẩm. Giả sử bạn tính được hệ số co giãn của hàm cầu Q P . Hãy cho câu trả lời trong từng trường hợp xem bạn p q có tăng giá hay không biết rằng mục tiêu của bạn là doanh thu ?

Hệ số co giãn (tt)

Phân loại hệ số co giãn

x 1 thì x , y được gọi là điểm co giãn mạnh p q| ¡ p q

x , y x được gọi là điểm co giãn đơn vị Nếu (cid:15)yx | (elastic) (cid:15)yx | q| (cid:16) q p p Nếu 1 thì (of unit elasticity) hay điểm đẳng co.

1 thì x , y được gọi là điểm co giãn yếu q| (cid:160) p q Nếu x (cid:15)yx p | (inelastic)

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

Lưu ý: Trong công thức có dấu vì có nhiều trường hợp hệ số || (cid:13) co giãn âm.

Hệ số co giãn (tt)

Phân loại hệ số co giãn

x 1 thì x , y được gọi là điểm co giãn mạnh p q| ¡ p q

x , y x được gọi là điểm co giãn đơn vị Nếu (cid:15)yx | (elastic) (cid:15)yx | q| (cid:16) p q p Nếu 1 thì (of unit elasticity) hay điểm đẳng co.

1 thì x , y được gọi là điểm co giãn yếu q| (cid:160) p q Nếu x (cid:15)yx p | (inelastic)

Lưu ý: Trong công thức có dấu vì có nhiều trường hợp hệ số || (cid:13) co giãn âm. Câu hỏi: Nếu bạn là chủ cửa hàng bán laptop và đang cân nhắc

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

. Hãy cho câu trả lời trong từng trường hợp xem bạn P q p (cid:13) việc tăng giá sản phẩm. Giả sử bạn tính được hệ số co giãn của hàm cầu Q có tăng giá hay không biết rằng mục tiêu của bạn là doanh thu ?

Hệ số co giãn (tt)

Phân loại hệ số co giãn

x 1 thì x , y được gọi là điểm co giãn mạnh p q| ¡ p q

x , y x được gọi là điểm co giãn đơn vị Nếu (cid:15)yx | (elastic) (cid:15)yx | q| (cid:16) p q p Nếu 1 thì (of unit elasticity) hay điểm đẳng co.

1 thì x , y được gọi là điểm co giãn yếu q| (cid:160) p q Nếu x (cid:15)yx p | (inelastic)

Lưu ý: Trong công thức có dấu vì có nhiều trường hợp hệ số || (cid:13) co giãn âm. Câu hỏi: Nếu bạn là chủ cửa hàng bán laptop và đang cân nhắc

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

Khi quy luật lợi ích cận biên giảm dần đúng thì π là hàm lồi và có 1 cực đại duy nhất tại điểm dừng duy nhất.

Điểm này xảy ra khi “doanh thu cận biên và chi phí cận biên bằng nhau"

Xem thêm The marginal decision rule (cid:13) Áp dụng tương tự cho hàm lợi nhuận từ sản xuất (cid:13) π pQ wL C0 trong đó (cid:16) (cid:1) (cid:1) p: giá (hằng)

Q: hàm sản xuất (hàm theo L, giả sử vốn K hằng số)

w: giá 1 lao động (hằng)

L: số lao động (biến)

C0: chi phí cố định (hằng).

Ứng dụng của tối ưu hóa trong kinh tế

R (cid:16) (cid:1)

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

Xét hàm lợi nhuận π C . Muốn tìm lợi nhuận cực đại ta giải bài toán tìm cực đại toàn cục cho hàm π

Điểm này xảy ra khi “doanh thu cận biên và chi phí cận biên bằng nhau"

Xem thêm The marginal decision rule (cid:13) Áp dụng tương tự cho hàm lợi nhuận từ sản xuất (cid:13) π pQ wL C0 trong đó (cid:16) (cid:1) (cid:1) p: giá (hằng)

Q: hàm sản xuất (hàm theo L, giả sử vốn K hằng số)

w: giá 1 lao động (hằng)

L: số lao động (biến)

C0: chi phí cố định (hằng).

Ứng dụng của tối ưu hóa trong kinh tế

R (cid:16) (cid:1)

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

Xét hàm lợi nhuận π C . Muốn tìm lợi nhuận cực đại ta giải bài toán tìm cực đại toàn cục cho hàm π Khi quy luật lợi ích cận biên giảm dần đúng thì π là hàm lồi và có 1 cực đại duy nhất tại điểm dừng duy nhất.

Xem thêm The marginal decision rule (cid:13) Áp dụng tương tự cho hàm lợi nhuận từ sản xuất (cid:13) π pQ wL C0 trong đó (cid:16) (cid:1) (cid:1) p: giá (hằng)

Q: hàm sản xuất (hàm theo L, giả sử vốn K hằng số)

w: giá 1 lao động (hằng)

L: số lao động (biến)

C0: chi phí cố định (hằng).

Ứng dụng của tối ưu hóa trong kinh tế

R (cid:16) (cid:1)

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

Áp dụng tương tự cho hàm lợi nhuận từ sản xuất (cid:13) π pQ wL C0 trong đó (cid:16) (cid:1) (cid:1) p: giá (hằng)

Q: hàm sản xuất (hàm theo L, giả sử vốn K hằng số)

w: giá 1 lao động (hằng)

L: số lao động (biến)

C0: chi phí cố định (hằng).

Ứng dụng của tối ưu hóa trong kinh tế

R (cid:16) (cid:1)

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

Xem thêm The marginal decision rule (cid:13)

p: giá (hằng)

Q: hàm sản xuất (hàm theo L, giả sử vốn K hằng số)

w: giá 1 lao động (hằng)

L: số lao động (biến)

C0: chi phí cố định (hằng).

Ứng dụng của tối ưu hóa trong kinh tế

R (cid:1) (cid:16)

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

Xem thêm The marginal decision rule Áp dụng tương tự cho hàm lợi nhuận từ sản xuất (cid:13) (cid:13) π pQ wL C0 trong đó (cid:1) (cid:1) (cid:16)

Ứng dụng của tối ưu hóa trong kinh tế

R (cid:1) (cid:16)

Xem thêm The marginal decision rule Áp dụng tương tự cho hàm lợi nhuận từ sản xuất (cid:13) (cid:13) π C0 trong đó (cid:16) (cid:1) (cid:1)

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

pQ wL p: giá (hằng) Q: hàm sản xuất (hàm theo L, giả sử vốn K hằng số) w: giá 1 lao động (hằng) L: số lao động (biến) C0: chi phí cố định (hằng).

Ứng dụng của tối ưu hóa trong kinh tế

R (cid:16) (cid:1)

Xem thêm The marginal decision rule Áp dụng tương tự cho hàm lợi nhuận từ sản xuất (cid:13) (cid:13) π C0 trong đó (cid:16) (cid:1) (cid:1)

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

pQ wL p: giá (hằng) Q: hàm sản xuất (hàm theo L, giả sử vốn K hằng số) w: giá 1 lao động (hằng) L: số lao động (biến) C0: chi phí cố định (hằng).

Nếu Sn có lim hữu hạn thì ta bảo chuỗi hội tụ với tổng là S limn(cid:209)8 Sn. (cid:16) Nếu Sn không có lim hữu hạn thì ta bảo chuỗi phân kỳ.

Sơ lược về chuỗi số

Mở đầu Nghịch lý Zeno (Zeno’s paradoxes)

Định nghĩa

un ‚n(cid:16)1

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

Tổng riêng Sn u1 un (cid:16) (cid:0) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:0)

Nếu Sn không có lim hữu hạn thì ta bảo chuỗi phân kỳ.

Sơ lược về chuỗi số

Mở đầu Nghịch lý Zeno (Zeno’s paradoxes)

Định nghĩa

un ‚n(cid:16)1

Tổng riêng Sn u1 un (cid:16) (cid:0) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:0)

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

Nếu Sn có lim hữu hạn thì ta bảo chuỗi hội tụ với tổng là S limn(cid:209)8 Sn. (cid:16)

Sơ lược về chuỗi số

Mở đầu Nghịch lý Zeno (Zeno’s paradoxes)

Định nghĩa

un ‚n(cid:16)1

Tổng riêng Sn u1 un (cid:16) (cid:0) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:0)

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

limn(cid:209)8 Sn. (cid:16) Nếu Sn có lim hữu hạn thì ta bảo chuỗi hội tụ với tổng là S Nếu Sn không có lim hữu hạn thì ta bảo chuỗi phân kỳ.

Sơ lược về chuỗi số

Mở đầu Nghịch lý Zeno (Zeno’s paradoxes)

Định nghĩa

un ‚n(cid:16)1

Tổng riêng Sn u1 un (cid:16) (cid:0) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:0)

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

limn(cid:209)8 Sn. (cid:16) Nếu Sn có lim hữu hạn thì ta bảo chuỗi hội tụ với tổng là S Nếu Sn không có lim hữu hạn thì ta bảo chuỗi phân kỳ.

Nếu q 1 thì chuỗi phân kỳ. | | ¥

Một số chuỗi số hay gặp

Chuỗi cấp số nhân

qn q q2 . . . (cid:16) (cid:0) (cid:0) ‚n(cid:16)1

Tính lim của tổng riêng dùng công thức Newton, ta dễ dàng có kết quả sau:

Nếu 1 thì chuỗi hội tụ q | | (cid:160)

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

q qn 1 q (cid:16) ‚n(cid:16)1 (cid:1)

Một số chuỗi số hay gặp

Chuỗi cấp số nhân

qn q q2 . . . (cid:16) (cid:0) (cid:0) ‚n(cid:16)1

Tính lim của tổng riêng dùng công thức Newton, ta dễ dàng có kết quả sau:

Nếu 1 thì chuỗi hội tụ q | | (cid:160)

q qn 1 q (cid:16) ‚n(cid:16)1 (cid:1)

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

Nếu 1 thì chuỗi phân kỳ. q | | ¥

Một số chuỗi số hay gặp

Chuỗi cấp số nhân

qn q q2 . . . (cid:16) (cid:0) (cid:0) ‚n(cid:16)1

Tính lim của tổng riêng dùng công thức Newton, ta dễ dàng có kết quả sau:

Nếu 1 thì chuỗi hội tụ q | | (cid:160)

q qn 1 q (cid:16) ‚n(cid:16)1 (cid:1)

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

Nếu 1 thì chuỗi phân kỳ. q | | ¥

phân kỳ khi α 1 ⁄

Chuỗi điều hòa đan dấu

1 1 1 . . . α 0 1 p(cid:1) q nα (cid:16) (cid:1) (cid:0) 2α (cid:1) 3α (cid:0) p q ¡ ‚n(cid:16)1

Chuỗi luôn hội tụ với α 0 tùy ý. ¡

Một số chuỗi số hay gặp

Chuỗi điều hòa tổng quát

1 . . . α 0 1 nα (cid:16) (cid:0) 1 2α (cid:0) 1 3α (cid:0) p q ¡ ‚n(cid:16)1

Chuỗi

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

hội tụ khi α 1. ¡

Chuỗi điều hòa đan dấu

1 1 1 . . . α 0 1 p(cid:1) q nα (cid:16) (cid:1) (cid:0) 2α (cid:1) 3α (cid:0) p q ¡ ‚n(cid:16)1

Chuỗi luôn hội tụ với α 0 tùy ý. ¡

Một số chuỗi số hay gặp

Chuỗi điều hòa tổng quát

1 . . . α 0 1 nα (cid:16) (cid:0) 1 2α (cid:0) 1 3α (cid:0) p q ¡ ‚n(cid:16)1

Chuỗi

hội tụ khi α 1.

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

¡ phân kỳ khi α 1 ⁄

Một số chuỗi số hay gặp

Chuỗi điều hòa tổng quát

1 . . . α 0 1 nα (cid:16) (cid:0) 1 2α (cid:0) 1 3α (cid:0) p q ¡ ‚n(cid:16)1

Chuỗi

hội tụ khi α 1.

¡ phân kỳ khi α 1 ⁄

Chuỗi điều hòa đan dấu

. . . α p(cid:1) 1 1 q nα (cid:16) (cid:1) (cid:0) 1 2α (cid:1) 1 3α (cid:0) p 0 q ¡

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

‚n(cid:16)1 Chuỗi luôn hội tụ với α 0 tùy ý. ¡

Một số chuỗi số hay gặp

Chuỗi điều hòa tổng quát

1 . . . α 0 1 nα (cid:16) (cid:0) 1 2α (cid:0) 1 3α (cid:0) p q ¡ ‚n(cid:16)1

Chuỗi

hội tụ khi α 1.

¡ phân kỳ khi α 1 ⁄

Chuỗi điều hòa đan dấu

. . . α p(cid:1) 1 1 q nα (cid:16) (cid:1) (cid:0) 1 2α (cid:1) 1 3α (cid:0) p 0 q ¡

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

‚n(cid:16)1 Chuỗi luôn hội tụ với α 0 tùy ý. ¡

c can an (cid:16) ‚n(cid:16)1 ‚n(cid:16)1 .

Tính chất chuỗi số

Tính chất cơ bản

Thêm hay bớt một số hữu hạn các số hạng vào chuỗi số sẽ không làm thay đổi tính chất hội tụ hay phân kỳ của chuỗi.

8 n(cid:16)1 an và

8 n(cid:16)1 bn cùng hội tụ thì

Giả sử

(cid:176) (cid:176)

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

an bn an bn (cid:0) q (cid:16) (cid:0) ‚n(cid:16)1p ‚n(cid:16)1 ‚n(cid:16)1

Tính chất chuỗi số

Tính chất cơ bản

Thêm hay bớt một số hữu hạn các số hạng vào chuỗi số sẽ không làm thay đổi tính chất hội tụ hay phân kỳ của chuỗi.

8 n(cid:16)1 an và

8 n(cid:16)1 bn cùng hội tụ thì

Giả sử

(cid:176) (cid:176)

an bn an bn (cid:0) q (cid:16) (cid:0) ‚n(cid:16)1p ‚n(cid:16)1 ‚n(cid:16)1

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

c can an (cid:16) ‚n(cid:16)1 ‚n(cid:16)1 .

Tính chất chuỗi số

Tính chất cơ bản

Thêm hay bớt một số hữu hạn các số hạng vào chuỗi số sẽ không làm thay đổi tính chất hội tụ hay phân kỳ của chuỗi.

8 n(cid:16)1 an và

8 n(cid:16)1 bn cùng hội tụ thì

Giả sử

(cid:176) (cid:176)

an bn an bn (cid:0) q (cid:16) (cid:0) ‚n(cid:16)1p ‚n(cid:16)1 ‚n(cid:16)1

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

c can an (cid:16) ‚n(cid:16)1 ‚n(cid:16)1 .

n(cid:16)1 un hội tụ suy ra

n(cid:16)1 vn hội tụ.

n thì vn, ¥ @

n(cid:16)1 vn phân kỳ suy ra

n(cid:16)1 un phân kỳ.

(cid:176) (cid:176)

Điều kiện hội tụ của chuỗi số

8 n(cid:16)1 un phân

0 hay lim không tồn tại thì (cid:24) Nếu limn(cid:209)8 un kỳ (cid:176)

Chuỗi dương

8 n(cid:16)1 un được gọi là chuỗi dương. Giả sử

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

N thì ¥ P Nếu un 0, 8 n(cid:16)1 un và n @ 8 n(cid:16)1 vn dương sao cho u (cid:176) (cid:176) (cid:176)

n(cid:16)1 vn phân kỳ suy ra

n(cid:16)1 un phân kỳ.

(cid:176) (cid:176)

Điều kiện hội tụ của chuỗi số

8 n(cid:16)1 un phân

0 hay lim không tồn tại thì (cid:24) Nếu limn(cid:209)8 un kỳ (cid:176)

Chuỗi dương

8 n(cid:16)1 un được gọi là chuỗi dương. Giả sử

8 n(cid:16)1 vn hội tụ.

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

N thì ¥ P n thì vn, ¥ @ (cid:176) (cid:176) n Nếu un 0, @ 8 8 n(cid:16)1 vn dương sao cho un n(cid:16)1 un và (cid:176) 8 n(cid:16)1 un hội tụ suy ra (cid:176) (cid:176)

Điều kiện hội tụ của chuỗi số

8 n(cid:16)1 un phân

0 hay lim không tồn tại thì (cid:24) Nếu limn(cid:209)8 un kỳ (cid:176)

Chuỗi dương

8 n(cid:16)1 un được gọi là chuỗi dương. Giả sử

8 n(cid:16)1 vn hội tụ.

N thì P ¥ n thì vn, ¥ @ (cid:176) (cid:176)

8 n(cid:16)1 un phân kỳ.

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

(cid:176) n Nếu un 0, @ 8 8 n(cid:16)1 vn dương sao cho un n(cid:16)1 un và (cid:176) 8 n(cid:16)1 un hội tụ suy ra 8 (cid:176) n(cid:16)1 vn phân kỳ suy ra (cid:176) (cid:176)

Điều kiện hội tụ của chuỗi số

8 n(cid:16)1 un phân

0 hay lim không tồn tại thì (cid:24) Nếu limn(cid:209)8 un kỳ (cid:176)

Chuỗi dương

8 n(cid:16)1 un được gọi là chuỗi dương. Giả sử

8 n(cid:16)1 vn hội tụ.

N thì P ¥ n thì vn, ¥ @ (cid:176) (cid:176)

8 n(cid:16)1 un phân kỳ.

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

(cid:176) n Nếu un 0, @ 8 8 n(cid:16)1 vn dương sao cho un n(cid:16)1 un và (cid:176) 8 n(cid:16)1 un hội tụ suy ra 8 (cid:176) n(cid:16)1 vn phân kỳ suy ra (cid:176) (cid:176)

Điều kiện hội tụ của chuỗi số (tt)

Chuỗi dương (tt)

8 n(cid:16)1 vn và

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

k với k hữu hạn và k 0 thì 2 chuỗi ¡ un vn (cid:16) (cid:176) Tiêu chuẩn so sánh dạng giới hạn (asymptotic): Nếu limn(cid:209)8 8 n(cid:16)1 un cùng hội tụ hay cùng phân kỳ. (cid:176)

1 α n 1 cos α n 2 p q (cid:1) p q (cid:18) eαpnq 1 α n (cid:1) (cid:18) p q ln 1 α n 1 α n p (cid:0) p qq (cid:1) (cid:18) p q

Điều kiện hội tụ của chuỗi số (tt)

Ước lượng thường dùng

k thì ta ký hiệu un vn. Các ước lượng hay gặp Khi limn(cid:209)8 (cid:18) un vn (cid:16) α n sin α n .

p tan α q (cid:18) n p α q n p arcsin α q (cid:18) n p q α n

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

p arctan α q (cid:18) n p α q n q (cid:18) p p q

Điều kiện hội tụ của chuỗi số (tt)

Ước lượng thường dùng

k thì ta ký hiệu un vn. Các ước lượng hay gặp Khi limn(cid:209)8 (cid:18) un vn (cid:16) α n sin α n .

p tan α q (cid:18) n p α q n p q (cid:18) n p q α n arcsin α

p arctan α q (cid:18) n

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

p cos α q (cid:18) n q α n 1 p p q q p n α p 1 2 q (cid:18) n α 1 p (cid:1) α (cid:18) n q 1 α n (cid:0) p qq (cid:1) (cid:18) p q (cid:1) eαpnq 1 ln p

Điều kiện hội tụ của chuỗi số (tt)

Ước lượng thường dùng

k thì ta ký hiệu un vn. Các ước lượng hay gặp Khi limn(cid:209)8 (cid:18) un vn (cid:16) α n sin α n .

p tan α q (cid:18) n p α q n p q (cid:18) n p q α n arcsin α

p arctan α q (cid:18) n

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

p cos α q (cid:18) n q α n 1 p p q q p n α p 1 2 q (cid:18) n α 1 p (cid:1) α (cid:18) n q 1 α n (cid:0) p qq (cid:1) (cid:18) p q (cid:1) eαpnq 1 ln p

Điều kiện hội tụ của chuỗi số (tt)

8 n(cid:16)1 vn. Đặt

n?vn. Khi đó,

Tiêu chuẩn Cauchy Chuỗi dương C (cid:176) (cid:16)

limn(cid:209)8 Nếu C (cid:160) 1 thì chuỗi hội tụ. Nếu C ¡ 1 thì chuỗi phân kỳ. Khi C (cid:16) 1, không kết luận được gì.

8 n(cid:16)1 un. Đặt

Tiêu chuẩn D’Alambert Chuỗi dương

(cid:176) D . Khi đó, limn(cid:209)8 (cid:16) un(cid:0)1 un

Nếu D (cid:160) 1 thì chuỗi hội tụ. Nếu D ¡ 1 thì chuỗi phân kỳ. Khi D (cid:16) 1, không kết luận được gì.

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

Điều kiện hội tụ của chuỗi số (tt)

8 n(cid:16)1 vn. Đặt

n?vn. Khi đó,

Tiêu chuẩn Cauchy Chuỗi dương C (cid:176) (cid:16)

limn(cid:209)8 Nếu C (cid:160) 1 thì chuỗi hội tụ. Nếu C ¡ 1 thì chuỗi phân kỳ. Khi C (cid:16) 1, không kết luận được gì.

8 n(cid:16)1 un. Đặt

Tiêu chuẩn D’Alambert Chuỗi dương

(cid:176) D . Khi đó, limn(cid:209)8 (cid:16) un(cid:0)1 un

Nếu D (cid:160) 1 thì chuỗi hội tụ. Nếu D ¡ 1 thì chuỗi phân kỳ. Khi D (cid:16) 1, không kết luận được gì.

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

un chứa giai thừa: D’Alambert.

Điều kiện hội tụ của chuỗi số (tt)

Cách dùng

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

un là hàm hữu tỉ: so sánh un chứa số mũ n: Cauchy

Điều kiện hội tụ của chuỗi số (tt)

Cách dùng

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

un là hàm hữu tỉ: so sánh un chứa số mũ n: Cauchy un chứa giai thừa: D’Alambert.

Điều kiện hội tụ của chuỗi số (tt)

Cách dùng

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

un là hàm hữu tỉ: so sánh un chứa số mũ n: Cauchy un chứa giai thừa: D’Alambert.

Chuỗi đan dấu

Định nghĩa

n(cid:0)1un với un

8 n(cid:16)1p(cid:1)

nun hay Chuỗi dạng được gọi là 1 chuỗi đan dấu.

nun hay

n(cid:0)1un hội tụ khi và

1 0, n q 1 q @ ¥ (cid:176) (cid:176)

8 n(cid:16)1p(cid:1)

Tiêu chuẩn Leibniz 8 n(cid:16)1p(cid:1) 1 q 1 q (cid:176) (cid:176) 0 và

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

¥ (cid:4) (cid:4) (cid:4) ¥ 0. Chuỗi đan dấu chỉ khi an an(cid:0)1 ¥ limn(cid:209)8 an (cid:16)

Chuỗi đan dấu

Định nghĩa

n(cid:0)1un với un

8 n(cid:16)1p(cid:1)

nun hay Chuỗi dạng được gọi là 1 chuỗi đan dấu.

nun hay

n(cid:0)1un hội tụ khi và

1 0, n q 1 q @ ¥ (cid:176) (cid:176)

8 n(cid:16)1p(cid:1)

Tiêu chuẩn Leibniz 8 n(cid:16)1p(cid:1) 1 q 1 q (cid:176) (cid:176) 0 và

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

¥ (cid:4) (cid:4) (cid:4) ¥ 0. Chuỗi đan dấu chỉ khi an an(cid:0)1 ¥ limn(cid:209)8 an (cid:16)

n(cid:16)1 un nhưng

n(cid:16)1 |

Khi không hôi tụ thì ta nói chuỗi un | bán hội tụ. (cid:176) (cid:176)

Hội tụ tuyệt đối - Bán hội tụ

8 n(cid:16)1 un gọi là hội tụ tuyệt đối nếu

8 n(cid:16)1 | hội tụ, nhưng Hội tụ

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

un hội tụ. hội (cid:176) (cid:176) øæ | (cid:127)øæ Chuỗi Lưu ý: Hội tụ tuyệt đối tụ tuyệt đối.

Hội tụ tuyệt đối - Bán hội tụ

8 n(cid:16)1 un gọi là hội tụ tuyệt đối nếu

8 n(cid:16)1 | hội tụ, nhưng Hội tụ

un hội tụ. hội (cid:176) (cid:176) | (cid:127)øæ øæ

8 n(cid:16)1 |

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

không hôi tụ thì ta nói chuỗi un Chuỗi Lưu ý: Hội tụ tuyệt đối tụ tuyệt đối. 8 n(cid:16)1 un nhưng | Khi bán hội tụ. (cid:176) (cid:176)

Hội tụ tuyệt đối - Bán hội tụ

8 n(cid:16)1 un gọi là hội tụ tuyệt đối nếu

8 n(cid:16)1 | hội tụ, nhưng Hội tụ

un hội tụ. hội (cid:176) (cid:176) | (cid:127)øæ øæ

8 n(cid:16)1 |

Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

không hôi tụ thì ta nói chuỗi un Chuỗi Lưu ý: Hội tụ tuyệt đối tụ tuyệt đối. 8 n(cid:16)1 un nhưng | Khi bán hội tụ. (cid:176) (cid:176)

Bài giảng Toán cao cấp: Chương 5 - TS. Nguyễn Phúc Sơn

Chương 5: Vi phân hàm một biến. Sơ lược lý thuyết chuỗi số

Ôn tập

Ôn tập

Ôn tập

Ôn tập

Ôn tập

Ôn tập (tt)

Ôn tập (tt)

Ôn tập (tt)

Ôn tập (tt)

Ôn tập (tt)

Ôn tập (tt)

Ôn tập (tt)

Tìm cực trị một hàm số

Tìm cực trị một hàm số

Tìm cực trị một hàm số

Tìm cực trị một hàm số

Tìm cực trị một hàm số

Đạo hàm của ẩn hàm

Đạo hàm của ẩn hàm

Đạo hàm của ẩn hàm

Đạo hàm của ẩn hàm (tt)

Đạo hàm của ẩn hàm (tt)

Đạo hàm của ẩn hàm (tt)

Một số hàm dùng trong Kinh tế

Một số hàm dùng trong Kinh tế

Một số hàm dùng trong Kinh tế (tt)

Một số hàm dùng trong Kinh tế (tt)

Một số hàm dùng trong Kinh tế (tt)

Một số hàm dùng trong Kinh tế (tt)

Một số hàm dùng trong Kinh tế (tt)

Một số hàm dùng trong Kinh tế (tt)

Một số hàm dùng trong Kinh tế (tt)

Một số hàm dùng trong Kinh tế (tt)

Một số hàm dùng trong Kinh tế (tt)

Ý nghĩa của đạo hàm

Ý nghĩa của đạo hàm

Ý nghĩa của đạo hàm (tt)

Ý nghĩa của đạo hàm (tt)

Ý nghĩa của đạo hàm (tt)

Giá trị cận biên

Giá trị cận biên

Giá trị cận biên

Quy luật lợi ích cận biên giảm dần

Quy luật lợi ích cận biên giảm dần

Quy luật lợi ích cận biên giảm dần

Quy luật lợi ích cận biên giảm dần (tiếp theo)

Hệ số co giãn

Hệ số co giãn

Hệ số co giãn

Hệ số co giãn (tt)

Hệ số co giãn (tt)

Hệ số co giãn (tt)

Hệ số co giãn (tt)

Hệ số co giãn (tt)

Ứng dụng của tối ưu hóa trong kinh tế

Ứng dụng của tối ưu hóa trong kinh tế

Ứng dụng của tối ưu hóa trong kinh tế

Ứng dụng của tối ưu hóa trong kinh tế

Ứng dụng của tối ưu hóa trong kinh tế

Ứng dụng của tối ưu hóa trong kinh tế

Ứng dụng của tối ưu hóa trong kinh tế

Sơ lược về chuỗi số

Sơ lược về chuỗi số

Sơ lược về chuỗi số

Sơ lược về chuỗi số

Một số chuỗi số hay gặp

Một số chuỗi số hay gặp

Một số chuỗi số hay gặp

Một số chuỗi số hay gặp

Một số chuỗi số hay gặp

Một số chuỗi số hay gặp

Một số chuỗi số hay gặp

Tính chất chuỗi số

Tính chất chuỗi số

Tính chất chuỗi số

Điều kiện hội tụ của chuỗi số

Điều kiện hội tụ của chuỗi số

Điều kiện hội tụ của chuỗi số