10/11/2019
1
ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 5
10/10/2019 1
KHÁI NIỆM
Một ánh xạ
được gọi là tuyến tính nếu thỏa mãn:
:nm
f R R
( ) ( ) ( ), ,
( ) ( ), ,
n
n
f x y f x f y x y R
f x f x x R R
10/10/2019 2
VÍ DỤ
10/10/2019 3
VÍ DỤ 1
Kiểm tra điều kiện đầu tiên.
Đối với điều kiện thứ 2 ta cũng kiểm tra tương tự
Kết luận: f là ánh xạ tuyến tính
10/10/2019 4
VÍ DỤ 2
Các ánh xạ sau đây có phải là ánh xạ tuyến tính hay
không?
22
22
) : , ( , ) ( 2 3 ;6 5 )
) : , ( , ) ( 2 3 ;6 5 5)
a f R R f x y x y x y
b f R R f x y x y x y
10/10/2019 5
MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
:nm
f R R
, 1 2 ... n
A f f f
 


10/10/2019 6
10/11/2019
2
XÂY DỰNG MA TRẬN CỦA F
,
f x A x



10/10/2019 7
VÍ DỤ 3
32
1 2 3 1 2 3 1 3
: , ( , , ) ( 2 3 ,2 )f R R f x x x x x x x x
10/10/2019 8
GIẢI
Ma trận cần tìm:
10/10/2019 9
VÍ DỤ 4
33
1 2 3 1 3 1 2 2 3
: , ( , , ) ( , , )f R R f x x x x x x x x x
1 2 3
1 2 3
( ) (1,1,1); ( 1,1, 2); (1,2,3)
( ) (0,1,1); (1,0,1); (1,1,0)
10/10/2019 10
VÍ DỤ 5
1 2 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2
1 1 2 2
( , , , ) ( , ,
, , )
n n n n n
m m mn n
f x x x a x a x a x a x a x a x
a x a x a x
: ,
nm
f R R
10/10/2019 11
VÍ DỤ 6
Cho ánh xạ tuyến tính:
Biết ma trận của f trong cặp cơ sở:
Là:
A) Tìm f(3,1,5)
B) Tìm f(x) với x=(x1,x2,x3)
32
:f R R
1,1,1 , 1,0,1 , 1,1,0 1,1 , 2,1EF
,
2 1 3
0 3 4
EF
A



10/10/2019 12
10/11/2019
3
VÍ DỤ 6
10/10/2019 13
VÍ DỤ 6
Câu b) Đầu tiên ta biểu diễn vectơ x qua cơ sở (E)
10/10/2019 14
VÍ DỤ 6
10/10/2019 15
VÍ DỤ 7
Cho ánh xạ tuyến tính:
A) Tìm f(2,1,5)
B) Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở:
C) Tính f(2,1,5) theo công thức và so sánh với a)
33
:f R R
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
, , ,2 ,3 4f x f x x x x x x x x x x x x
1,1,1 , 1,2,1 , 1,1,2E
10/10/2019 16
GIÁ TRỊ RIÊNG VÀ VÉC TƠ RIÊNG
11 12 1
21 22 2
12
n
n
n n nn
a a a
a a a
A
a a a



..A x x
10/10/2019 17
VÍ DỤ 8
10/10/2019 18
10/11/2019
4
VÍ DỤ 9
10/10/2019 19
GIÁ TRỊ RIÊNG –VEC TƠ RIÊNG
10/10/2019 20
ĐA THỨC ĐẶC TRƯNG
11 12 1
21 22 2
12
()
n
n
A
n n nn
a a a
a a a
P
a a a
( ) 0
A
P
10/10/2019 21
TÌM TRỊ RIÊNG, VEC TƠ RIÊNG
10/10/2019 22
KHÔNG GIAN CON RIÊNG
10/10/2019 23
BỘI ĐẠI SỐ -BỘI HÌNH HỌC CỦA TRỊ RIÊNG
10/10/2019 24
10/11/2019
5
VÍ DỤ 10
Tìm giá trị riêng,véc tơ riêng của ma trận
3 1 1
242
1 1 3
A





10/10/2019 25
VÍ DỤ 10
10/10/2019 26
VÍ DỤ 11
Tìm giá trị riêng,véc tơ riêng của ma trận
2 1 0
0 1 1
0 2 4
A






10/10/2019 27
ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH CỦA CÁC VECTƠ RIÊNG
Định lý. Các vec tơ riêng ứng với các giá trị riêng khác
nhau thì độc lập tuyến tính.
10/10/2019 28
CHÉO HÓA MỘT MA TRẬN VUÔNG
1
T AT D
10/10/2019 29
CHÉO HÓA MA TRẬN
- Tìm các véc tơ riêng độc lập tuyến tính của A.
-Nếu số véc tơ riêng độc lập tuyến tính nhỏ hơn n ma
trận A không chéo hóa được
-Nếu A có đủ n véc tơ riêng độc lập tuyến tính thì A chéo
hóa được. Ma trận T cần tìm là ma trận mà các cột của T
là các véc tơ riêng độc lập tuyến tính.
Định lý.Ma trận A vuông cấp n chéo hóa được khi và chỉ
khi bội hình học của mọi giá trị riêng luôn bằng bội đại số
của chúng.
10/10/2019 30