10/3/2014

Chương 5. LÝ THUYẾT CHUỖI

Chương 5. Chuỗi 5.1. Định nghĩa. 5.2. Chuỗi số không âm. 5.3. Chuỗi đan dấu. 5.4. Chuỗi lũy thừa.

I. Khái niệm về chuỗi số 1. Định nghĩa, ví dụ Định nghĩa 1 Cho dãy số thực

Biểu thức

nu n = ,

+

u

+ + ...

u

u

(1)

u 1

2

n

n

1, 2,... +¥ + = ∑ ...

= 1

n

đgl một chuỗi số, un đgl số hạng tổng quát thứ n.

+¥

n

q

Ví dụ 1 Chuỗi cấp số nhân

∑

=

+

u

+ + ...

u

S

đgl tổng riêng thứ n

=

u 1

2

n

n

0

n

+¥

n

q

* Nếu

thì chuỗi

hội tụ và có tổng

q <

1

∑

=

Tổng của chuỗi. - Nếu

(hữu hạn) thì chuỗi (1) được gọi

S

=

S lim n

0

n

n

+¥

bằng

1

n

1 1 q-

=

q

.

+¥

∑

là chuỗi hội tụ và S được gọi là tổng của chuỗi Sn và ta viết:

fi ¥

=

1

q

0

n

S

u

.n

= ∑

+¥

= 1

n

n

* Nếu

thì chuỗi

-

phân kỳ.

q

q ‡

1

∑

=

0

n

- Chuỗi không hội tụ được gọi là chuỗi phân kỳ.

Ví dụ 3 Xét sự hội tụ của chuỗi

Ví dụ 2 Tính tổng của chuỗi

+¥

+¥

∑

+  1 ln 1    n

= 1

n

1)

1 +∑ ( n n n = 1

1

10/3/2014

2. Điều kiện cần để chuỗi hội tụ

Ví dụ 4 Xét sự hội tụ của các chuỗi sau

+¥

+¥

=

u

0 .

u

-

Định lý 1 Nếu chuỗi

hội tụ thì

n

n

∑

lim n

a

)

= 1

n

∑

n n 3

1 + 2

= 1

n

fi ¥

Hệ quả 1

+¥

2

+

Nếu

(hoặc không tồn tại) thì chuỗi

u

0

b

)

(

n

1);

n

∑

lim n

= 1

n

+¥

u

phân kỳ.

n

∑

+¥

= 1

n

c

)

sin

n

∑

= 1

n

+

u

+ + ...

u

...

(2)

+¥

+¥

+ 1

2

n

n

hội tụ.

++ Chuỗi u m đgl chuỗi dư của chuỗi (1).

v n

∑ ∑ ,n u

= 1

n

= 1

n

+¥

+¥

+

hội tụ và

cu

u

v n

,n

n

„ fi ¥

3. Các tính chất của chuỗi Định lý 2 Cho các chuỗi Khi ấy, các chuỗi ∑

∑

Định lý 3 Chuỗi (1) hội tụ khi và chỉ khi chuỗi (2) hội tụ.

= 1

n

= 1

n

+¥

=

cu

u

,

n

n

+¥ ∑ . c

∑

n

n

= 1 +¥

= 1 +¥

Hệ quả 2 Tính hội tụ hay phân kỳ của một chuỗi số không đổi khi ta bớt đi hoặc thêm vào chuỗi số đó một số hữu hạn các số hạng đầu tiên.

=

+

u

v

v

.

n

n

n

n

∑

+¥ ∑ ∑ + u

= 1

n

= 1

n

= 1

n

II.Chuỗi số không âm (chuỗi số dương)

+¥

+¥

+¥

u

Định nghĩa 2 Chuỗi

được gọi là chuỗi số

n

Các tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số dương 1. Tiêu chuẩn so sánh 1. Cho hai chuỗi số dương

thỏa mãn

v n

∑ ∑ ,n u

= 1

n

= 1

n

không âm nếu

∑ n n 0,

ℕ .

nu

<

0

u

,

n

ℕ .

= 1 Khi đó:

n

v n

+¥

+¥

+¥

u

i) Nếu

hội tụ thì

hội tụ.

‡ " ˛ £ " ˛

ℕ

n

∑

u

v n

∑

> " 0,

n

,

Nếu

thì

được gọi là

n

∑

nu

= 1

n

n

= 1

n

+¥

= 1 +¥

chuỗi số dương (thực sự).

u

ii) Nếu

phân kỳ thì

phân kỳ.

v n

∑

n

∑

= 1

n

= 1

n

2

˛

10/3/2014

+¥

+¥

+¥

1

2. Tiêu chuẩn so sánh 2 Cho hai chuỗi số dương

và

v n

∑ ∑ ,n u

1.

∑

= 1

n

= 1

n

Ví dụ 5 Xét sự hội tụ của các chuỗi số + n 2 n

n

n

= 1

=

k

.

Khi đó:

lim n

+¥

+¥

+¥

u

0 :

u v n k =

n

∑

hội tụ.

n

2.

= 1

n

∑

∑ v i) hội tụ thì = 1

n

n

n

n 3 +

+¥

+¥

5

2

n

= 1

ii)

cùng bản chất.

0

k< < +¥

:

v n

∑ ∑ ,n u

= 1

n

= 1

n

+¥

+¥

+¥

n

u

3.

v

n

iii)

hội tụ thì

hội tụ.

∑

k = +¥

:

∑

n

∑

3

+ - 6 2( 1) + n 2

= 1

n

n

= 1

= 1

n

fi ¥

3. Tiêu chuẩn tỷ số D’Alembert

Ví dụ 6. Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau

+¥

+¥

+ 1

=

u

Cho chuỗi số dương

Đặt:

D

.

.n

∑

1.

∑

lim n

u n u

= 1

n

n

+ 1 + 2 3

n n

2

= 1

n

+¥

u

i) Nếu

thì

hội tụ.

1,D <

n

∑

+¥

n

+

n

= 1 +¥

2.

∑

5

1 +

= 1

n

1,D >

ii) Nếu

thì

phân kỳ.

2

n

3

u

n

∑

= 1

n

1,D =

iii) Nếu

thì chưa thể kết luận.

fi ¥

4. Tiêu chuẩn căn số Cauchy

Ví dụ 7 Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau:

+¥

+¥

n

3

=

u

Cho chuỗi số dương

Đặt:

C

u

.

.n

∑

n

lim n

1.

= 1

n

∑

+¥

n n e

= 1

n

u

C <

1,

i) Nếu

thì

hội tụ.

n

∑

+¥

2

= n 1 +¥

2.

∑

C >

1,

ii) Nếu

thì

phân kỳ.

u

n

∑

n ( !) n (2 )!

= 1

n

= 1

n

C =

1,

iii) Nếu

thì chưa thể kết luận

3

fi ¥

10/3/2014

n

+¥

k +¥ [ ,

).

1.

∑

Ví dụ 8 Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau:  + 1 1    n

1 n 3

= 1

n

+¥

f n ( )

n

5. Tiêu chuẩn tích phân Cho hàm f là hàm liên tục, dương, giảm trên Khi đó chuỗi số dương +¥ =∑ ∑ u

+¥

n

= n k

= n k

.

∑ 2.

+¥

n n 3

= 1

n

và tích phân suy rộng

cùng hội tụ hoặc

f x dx ( )

∫

k

cùng phân kỳ.

n

+¥

∑ 3.

  

+  3 +  4

4 n 3 n

= 1

n

Chuỗi có dấu bất kỳ

Ví dụ 9 Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau:

+∞

+¥

u

n

nu ∈

∑

1.

∑

n

= 1

tùy ý.

=

n

n

1 3 ln

n

2

+∞

sin

=

sin 1

+

sin 4

+

sin 9

+

...

+¥

ℝ • Chuỗi với được gọi là chuỗi có dấu

VD 19.

( n

)2

∑

n

= 1

a

2.

,

ℝ .

∑

1 na

n

= 1

+∞

= −

+

−

+

...

( −

n ) 1

∑

n

n +

1

1 2

2 3

3 4

n

= 1

Mã MH: C01004- Chương 1

04/11/2012

22

Chuỗi có dấu bất kỳ

Chuỗi có dấu bất kỳ

+∞

+∞

+∞

+∞

+∞

˛

(cid:1) Mệnh đề. Nếu hội tụ thì hội tụ. n

n

∑

∑

Ta có:

∑

∑

n

= 1

n

= 1

4

3

4

n

n

n

= 1

= 1

= 1

3 n n

+∞

n n 2 + 1 u u ∼ = 1 ∑ hội tụ 4/3 n n n + 1

(

)

+ 1

VD 20. Xét sự hội tụ của chuỗi

( −

n ) 1

+∞

∑

4

3

n

= 1

hội tụ

∑

4

3

+ 1 n n + ⇒ n 2 ( . ) 1

Giải

n

= 1

n n + n 2 (

) 1

+∞

+∞

Xét chuỗi:

( −

n ) 1

hội tụ.

∑

∑

(

n ) 1

4

4

3

3

4

n

n

3

= 1

= 1

+∞ ∑ ⇒ − n = 1

+ 1 + 1 + 1 = n n n n + + n n + n 2 (

) 1

n 2 ( . ) 1 n 2 (

) 1

Mã MH: C01004- Chương 1

Mã MH: C01004- Chương 1

04/11/2012

23

04/11/2012

24

4

10/3/2014

Chuỗi có dấu bất kỳ

Chuỗi có dấu bất kỳ

+∞

n

+ 1

)

α

=

n

∑

u lim n u n →+∞

n

( n cos 2 n

(cid:1) Định lý. Cho chuỗi . Đặt u = 1

n

+∞ ∑ VD 21. Chuỗi hội tụ. = 1

n

+∞

α

+∞

. Khi đó

u

hay

=

n

lim n n →+∞

u

u

(cid:1) Lưu ý. Khi chuỗi có hội tụ thì ta nói

n

n

∑

∑

n

= 1

n

= 1

+∞

1α <

• Nếu thì chuỗi đã cho hội tụ.

u

chuỗi hội tụ tuyệt đối.

n

∑

n

= 1

• Nếu thì chuỗi đã cho phân kỳ.

1α >

Mã MH: C01004- Chương 1

Mã MH: C01004- Chương 1

04/11/2012

25

04/11/2012

26

Chuỗi có dấu bất kỳ

Chuỗi có dấu bất kỳ

+∞

+∞

(cid:2) Chuỗi đan dấu: Dạng

u

( −

n ) 1

n

u n

, > 0.

VD 22. Khảo sát tính hội tụ của chuỗi:

.

∑

n

= 1

n ( ) −∑ 3 3 n

n

= 1

Giải

(cid:1) Tiêu chuẩn Leibnitz

3

u

n 3

+ 1

α

Nếu là dãy số dương, giảm và hội tụ về 0 thì

=

=

= > 3

1

{ }nu

3

lim n →+∞

lim n →+∞

n u

n

+

( n

) 1

1 n )

u n

+∞

n

+∞ −∑ ( chuỗi đan dấu hội tụ. = 1

phân kỳ.

⇒ ∑

3 n − ( ) 3 n

n

= 1

Mã MH: C01004- Chương 1

Mã MH: C01004- Chương 1

04/11/2012

27

04/11/2012

28

Chuỗi có dấu bất kỳ

Chuỗi có dấu bất kỳ

n

+∞

+∞

VD 24. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi:

VD 23. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi:

.

∑

n −∑ ) ( 1 n

n

n

= 1

= 1

( ) − 1 ( n + ln

. ) 1

Giải

Giải

Ta thấy dãy là dãy dương, giảm, tiến về 0

=

• Ta thấy

=

>

0,

n ∀ ≥

1.

nu

nu

1 n

ln

+

1 ( n

) 1

+∞

chuỗi hội tụ.

⇒ ∑

1 n − ( ) n

n

= 1

n

) 1

Mã MH: C01004- Chương 1

Mã MH: C01004- Chương 1

04/11/2012

29

04/11/2012

30

5

i u = = 0. lim n →+∞ lim n →+∞ ln 1 ( n +

10/3/2014

Chuỗi có dấu bất kỳ

Chuỗi hàm

• Cho dãy hàm số cùng xác định trên

( ),...

f x 1( ),...,

n

+ =

1

f x n tập hợp Ta gọi tổng

D ⊂ ℝ .

)

) 1

+∞

Vậy theo tiêu chuẩn Leibnitz, chuỗi đã cho hội tụ.

( ), (1)

...

i u , n ∀ ≥ 1. u < = n 2 ln ln 1 ( n + 1 ( n +

f x ( ) n

f x n

f x ( ) 1

f x ( ) 2

n

= 1

là chuỗi hàm số (hay vắn tắt là chuỗi hàm).

Mã MH: C01004- Chương 1

Mã MH: C01004- Chương 1

04/11/2012

31

04/11/2012

32

Chuỗi hàm

Chuỗi hàm

+∞

n

n

2

+ + + ... + ≡ ∑

VD 25.

• Tập hợp các điểm hội tụ của chuỗi hàm được gọi là

x

x

x

x

...

...

3 x = + + + + +

∑

n

= 1

miền hội tụ của chuỗi hàm.

+∞

nx

x

nx

2

−

x −

−

−

e

e

e

e

∑

n

= 1

+∞

= + + + ... + ...

D∈

( f x • Nếu tại , là một chuỗi số hội tụ n

)0

0x

∑

n

= 1

(phân kỳ) thì ta nói là điểm hội tụ (điểm phân kỳ)

0x

của chuỗi hàm (1).

Mã MH: C01004- Chương 1

Mã MH: C01004- Chương 1

04/11/2012

33

04/11/2012

34

Chuỗi hàm

Chuỗi hàm

+∞

+∞

nx

−

VD 26. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm

∑

• Nếu . Khi đó, hội tụ.

D

x

> ⇒ <

0

∑ 0 ne

n

= 1

n

1 =

ne .nx − 1 0

Giải

+∞

+∞

−

• Nếu thì chuỗi có dạng . Đây là chuỗi

n

x

0

=0

Thay , ta được chuỗi số

∑

∑ 0 .nx ne

1n =

n

1 =

phân kỳ.

nx

−

x −

x −

n

0

0

0

n

D

ne

ne

e

=

=

=

.

lim n →+∞

lim n →+∞

Vậy, miền hội tụ của chuỗi là

D

+∞

= +∞0,

ℝ x x = ∈0

(

)

nx

−

• Nếu . Khi đó, phân kỳ.

D

x

< ⇒ >

0

∑ 0 ne

n

1 =

Mã MH: C01004- Chương 1

Mã MH: C01004- Chương 1

04/11/2012

35

04/11/2012

36

6

. 1 0

10/3/2014

Chuỗi hàm

Chuỗi hàm

n

2

+∞

x

0

≠0 • Nếu , ta có

VD 27. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm

∑

x n

n

n

1 =

1 )+

n ( 2 0

C

=

0 = <

1.

=

. ! :

Giải

lim n →+∞

n

2 x 0 n

2 x 0 +

1

 x   n ( +

   

n

+∞

Thay , ta được chuỗi số

x

x = ∈0

∑

2 x 0 n

Theo tiêu chuẩn tỷ số, ta suy ra chuỗi hội tụ.

n

1 =

• Nếu thì chuỗi hội tụ.

x

0

=0

Vậy miền hội tụ của chuỗi là:

D = ℝ .

Mã MH: C01004- Chương 1

Mã MH: C01004- Chương 1

04/11/2012

37

04/11/2012

38

Chuỗi hàm

Chuỗi hàm

+∞

• Chuỗi lũy thừa là chuỗi hàm dạng

lim n →+∞ 1)! ! ℝ !

VD 28. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm

+∞

n

2

1 ∑ .x n n = 1

Giải

a

a

−

−

+

( c x n

)

) a − +

)

( ) ..., 2

c = + 0

( c x 1

( c x 2

∑

n

=

0

• Với , chuỗi đã cho hội tụ.

x >

với

,

,

,...,

ℝ .

c ∈ n

a c c 1 2

a

• Điểm được gọi là tâm của chuỗi lũy thừa (2).

x ≤

1

• Với , chuỗi đã cho phân kỳ.

• được gọi là các hệ số của chuỗi (2).

,...,

,...

Vậy miền hội tụ của chuỗi là:

1

c n

D = +∞ ( 1;

)

c c 2, 1

Mã MH: C01004- Chương 1

Mã MH: C01004- Chương 1

04/11/2012

39

04/11/2012

40

Chuỗi hàm

Chuỗi hàm

• Bằng phép biến đổi tuyến tính, chuỗi lũy thừa trên

2x Nếu chuỗi (3) phân kỳ tại thì nó sẽ phân kỳ tại mọi

x điểm mà

x

x>

được viết lại dưới dạng:

2.

+∞

n

n

2

(cid:1) Định nghĩa

+

+ + ...

+

c x n

c x n

c ≡ + 0

c x 1

c x 2

( ) ... , 3

∑

n

Nếu chuỗi (3) hội tụ tại mọi điểm và phân

x

R R ,

( ∈ −

)

0 = (cid:1) Định lý

x

x

R

R> kỳ tại mọi điểm mà thì được gọi là bán

Nếu chuỗi (3) hội tụ tại thì nó sẽ hội tụ tại mọi điểm

1x

kính hội tụ của chuỗi (3).

x

x

x

;

.

1

1

( ∈ −

)

Mã MH: C01004- Chương 1

Mã MH: C01004- Chương 1

04/11/2012

41

04/11/2012

42

7

.

10/3/2014

Chuỗi hàm

Chuỗi hàm

(cid:1) Hệ quả

(cid:1) Định lý +∞

+ 1

n

r Cho Đặt hay

=

r

a

.n

=

.

a x n

n

∑

lim n →+∞

a lim n a n →+∞

n

=

0

n

• Nếu chuỗi (3) hội tụ với mọi thì

R = +∞ .

x ∈ ℝ

Khi đó, bán kính hội tụ được cho bởi:

• Nếu chuỗi (3) chỉ hội tụ tại thì

R =

0.

x =

0

r

,

=

0,

R

r

0,

, = +∞

r

,

0

< < +∞ .

1 r

 + ∞ =  

Mã MH: C01004- Chương 1

Mã MH: C01004- Chương 1

04/11/2012

43

04/11/2012

44

Chuỗi hàm

Chuỗi hàm

+∞

n

(cid:1) Thuật toán tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

VD 29. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi

x

.

+∞

n ( ) −∑ 1 n

n

= 1

.n Cho chuỗi lũy thừa Để tìm miền hội tụ, ta tiến

a x n

Giải

∑

0

=

n

n

n hành các bước sau:

Ta có

a

⇒

=

=

.

=

n

na

n

n )1 ( − n

1 n

)1 n ( − n

Tìm bán kính hội tụ

Bước 1.

.R

n

r

a

=

=

=

1

n

n

lim n →+∞

lim n →+∞

1 n

• Nếu thì miền hội tụ là

0R =

D =

{ }0 .

Bán kính hội tụ

R

1.

• Nếu thì miền hội tụ là

R = +∞

D = ℝ .

1 = = r

Mã MH: C01004- Chương 1

Mã MH: C01004- Chương 1

04/11/2012

45

04/11/2012

46

Chuỗi hàm

Chuỗi hàm

• Nếu thì ta có khoảng hội tụ là

0 R< < +∞

;R R− (

)

x

D

R= − • Chỉ hội tụ tại thì miền hội tụ là

= − [

R R ;

).

Lúc này ta chuyển sang bước 2.

x

R= ± • Không hội tụ tại thì miền hội tụ là

.

R R− ( ;

)

x

= −

R x R .

=

,

Bước 2. Xét tính hội tụ của chuỗi tại

x

• Hội tụ tại thì miền hội tụ là

D

R= ±

R R ;

.

[ = −

]

• Chỉ hội tụ tại thì miền hội tụ là

D

x R=

= − (

R R ;

].

Mã MH: C01004- Chương 1

Mã MH: C01004- Chương 1

04/11/2012

47

04/11/2012

48

8

10/3/2014

Chuỗi hàm

+∞

(

n

VD 30. Tìm miền hội tụ của chuỗi

x

.

n −∑ 1 ) n

n

= 1

+∞

VD 31. Tìm miền hội tụ của chuỗi

.

n x −∑ ( ) 1 n n 2

n

= 1

+∞

n

n

x

2

.

VD 32. Tìm miền hội tụ của chuỗi

∑

n

= 1

----------------------------------------

Mã MH: C01004- Chương 1

04/11/2012

49

9