10/10/2019

NỘI DUNG

 Ma trận

 Các loại ma trận

 Phép toán ma trận:  Cộng  Trừ  Nhân vô hướng  Nhân hai ma trận

 Ma trận nghịch đảo

 Ứng dụng ma trận

CHƯƠNG 1

MA TRẬN - ĐỊNH THỨC & MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

10/10/2019

1

10/10/2019 2

ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN

VÍ DỤ

Một ma trận cấp 2x3

// 2 dòng, 3 cột

Một ma trận cấp mxn là một bảng số hình chữ nhật gồm mxn phần tử, gồm m hàng và n cột.

(m x n): cấp của ma trận A = [aij] // aij is called (i, j)-entry

7 -3 1/2 A = (1,3)-phần tử a[1,3] = 1/2 a13 = 1/2 3 -5 0

3 x 3matrix, a square matrix 3 x 1 matrix column matrix 10/10/2019 3 10/10/2019 4

VÍ DỤ

CÁC LOẠI MA TRẬN

 Ma trận vuông

Ký hiệu ma trận:

 Ma trận không

 Ma trận hàng - ma trận cột

Ví dụ:

 Ma trận tam giác trên – dưới

 Ma trận chéo

 Ma trận đơn vị

 Ma trận chuyển vị

Đây là ma trận thực cấp 3x4. Gồm có 3 hàng và 4 cột

 Ma trận bậc thang

 Ma trận đối xứng

Các phần tử

 Ma trận phản đối xứng

1

10/10/2019 5 10/10/2019 6

10/10/2019

MA TRẬN VUÔNG

MA TRẬN KHÔNG

Nếu m=n ta nói A là ma trận vuông cấp n.

Tất cả các phần tử đều bằng 0.

Ký hiệu: 0 hay 0mxn

Đường chéo chính gồm các phần tử:

10/10/2019 7 10/10/2019 8

MA TRẬN HÀNG, CỘT

MA TRẬN TAM GIÁC TRÊN

Ma trận hàng: chỉ có một hàng

Ma trận cột: chỉ có một cột

Ma trận vuông

Các phần tử dưới đường chéo chính bằng 0

10/10/2019 9 10/10/2019 10

MA TRẬN TAM GIÁC DƯỚI

MA TRẬN CHÉO

Ma trận vuông

 Ma trận vuông

Các phần tử trên đường chéo chính bằng 0

 Tam giác trên: dưới đường chéo chính bằng 0

 Tam giác dưới: trên đường chéo chính bằng 0

2

10/10/2019 11 10/10/2019 12

10/10/2019

MA TRẬN BẬC THANG – STAIRCASE MATRIX

MA TRẬN ĐƠN VỊ

Phần tử cơ sở của hàng: phần tử khác 0 đầu tiên của một hàng kể từ bên trái.

Ma trận chéo

Ma trận bậc thang:  Hàng không có phần tử cơ sở (nếu tồn tại) thì nằm dưới cùng.  Phần tử cơ sở của hàng dưới nằm về bên phải (không cùng cột) so với phần tử cơ sở của hàng trên.

Các phần tử chéo đều bằng 1. Ký hiệu: In là ma trận đơn vị cấp n

10/10/2019 13 10/10/2019 14

VÍ DỤ 1

VÍ DỤ 2

bậc thang

Không là bậc thang

bậc thang

Không là bậc thang

10/10/2019 15 10/10/2019 16

MA TRẬN CHUYỂN VỊ

MA TRẬN ĐỐI XỨNG – PHẢN ĐỐI XỨNG

3

10/10/2019 17 10/10/2019 18

10/10/2019

CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TRÊN HÀNG

VÍ DỤ 3

Thực hiện phép biến đổi ma trận sau:

1. Đổi chỗ hai hàng với nhau

2. Thay một hàng bởi hàng đó nhân với một số khác 0

3. Thay một hàng bởi hàng đó cộng với hàng khác nhân với

một số.

Ma trận A’ gọi là ma trận tương đương hàng với ma trận A.

Ký hiệu: A’ ~ A

4. Tổng hợp phép 2 và 3.

Tương tự ta có các phép bđsc trên cột.

10/10/2019 19 10/10/2019 20

ĐƯA MA TRẬN VỀ DẠNG BẬC THANG

VÍ DỤ 4

Định lý. Mọi ma trận đều có thể đưa về dạng bậc thang bằng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng.

Chú ý. Khi dùng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng ta thu được nhiều ma trận bậc thang khác nhau

10/10/2019 21 10/10/2019 22

VÍ DỤ 4

CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN

1. Ma trận bằng nhau

2. Cộng hai ma trận cùng cấp

3. Nhân một số với ma trận

4. Nhân hai ma trận

5. Lũy thừa của một ma trận

4

10/10/2019 23 10/10/2019 24

10/10/2019

HAI MA TRẬN BẰNG NHAU

PHÉP TOÁN MA TRẬN

Hai ma trận A và B bằng nhau (ký hiệu A = B) khi và chỉ khi:

Hai ma trận phải cùng cấp

1. Chúng có cùng cấp. 2. Các phần tử tương ứng bằng nhau.

Cộng hai ma trận A + B = [aij + bij] Trừ hai ma trận A – B = [aij – bij] Nhân vô hướng

Example. Given

Nhân hai ma trận

discuss the possibility that A = B, B = C, A = C

10/10/2019 25 10/10/2019 26

CỘNG HAI MA TRẬN

CỘNG HAI MA TRẬN

Điều kiện: hai ma trận phải cùng cấp

Cộng các phần tử tương ứng với nhau

Điều kiện: hai ma trận phải cùng cấp

10/10/2019 27 10/10/2019 28

NHÂN MỘT SỐ VỚI MA TRẬN

TÍNH CHẤT

Nhân một số với ma trận ta lấy số đó nhân vào tất cả các phần tử của ma trận.

Ví dụ.

5

10/10/2019 29 10/10/2019 30

10/10/2019

VÍ DỤ

ADDITION. DIFFERENCE SCALAR MULTIPLICATION

Rút gọn biểu thức:

day 1

2(A + 3C) - 3(2C-B) - 3[2(2A +B - 4C) - 4(A - 2C)]

Trong đó A, B, C là các ma trận cùng cấp.

Đáp án: 2A-3B

day 2

110 230 280 300 155 389 117 201 35

addition difference day 1 + day 2? day 1 – day 2? 2(day 1)? Scalar multiplication

10/10/2019 31 10/10/2019 32

PHÉP NHÂN HAI MA TRẬN - INTRO

PHÉP NHÂN HAI MA TRẬN

// cấp và thứ tự phải phù hợp

Am  n . Bn  p = Cm  p

group A group B

peanuts 8 15

soda 5 7

hot dogs 12 13

Phần tử cij = (hàng i của A).(cột j của B)

selling price store 1 store 2 store 3 store 4 peanuts 2 2.5 2 2.5 3 4 1.1+2.1 4 3 1 1 2 2 soda 2.5 2 2.75 2 hot dogs 3 3 2.5 3 -1 -2 -1 0 -1 -2 -1 0 -2 0 -2 0 2 2 -4 8x2.5 + 5x2 + 12x3 = 66$

Q. Điều kiện để hai ma trận nhân được với nhau?

group A group B store 1 64.5 86.5 store 2 66 87.5 store 3 59.75 81.75 store 4 66 90.5

A.

10/10/2019 33 10/10/2019 34

VÍ DỤ 5

QUI TẮC NHÂN HAI MA TRẬN

Các ma trận nào nhân được với nhau?

Phần tử nằm ở vị trí ij của ma trận mới bằng hàng i của ma trận đầu nhân với cột j của ma trận sau.

Ví dụ. Muốn tìm phần tử c23 ta lấy hàng 2 của A nhận với cột 3 của B. (giống nhân tích vô hướng các vecto)

6

10/10/2019 35 10/10/2019 36

10/10/2019

VÍ DỤ 6

VÍ DỤ 7. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MA TRẬN

10/10/2019 37 10/10/2019 38

ỨNG DỤNG

TÍNH CHẤT

D=

0 5 2 4 3 0 0 3 3 5

(3, 5)

A

 (2, 3) (4, 3)   (5, 0) (0, 0)

0 10 4 8 6

, 𝑇ì𝑚 𝐴𝐷. Cho A = 2 0 0 2

   

0 0 6 6 10 A

10/10/2019 39 10/10/2019 40

LŨY THỪA CỦA MA TRẬN

VÍ DỤ 8

7

10/10/2019 41 10/10/2019 42

10/10/2019

VÍ DỤ 9

VÍ DỤ 10

10/10/2019 43 10/10/2019 44

VÍ DỤ 11

HẠNG CỦA MA TRẬN

Định nghĩa. Giả sử Amxn tương đương hàng (cột) với ma trận bậc thang E. Khi đó ta gọi hạng của ma trận A là số các hàng khác không của ma trận bậc thang

Ký hiệu: r(A) hay rank(A)

r(A) = số hàng khác không của ma trận bậc thang E

Ma trận bậc thang của A:

A→..bđsc theo dòng… →A’ (có dạng bậc thang)

10/10/2019 45 10/10/2019 46

VÍ DỤ 12

VÍ DỤ 13

Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp tìm hạng các ma trận sau.

8

10/10/2019 47 10/10/2019 48

10/10/2019

VÍ DỤ 14

TÍNH CHẤT

Tìm hạng của ma trận

10/10/2019 49 10/10/2019 50

VÍ DỤ 15

VÍ DỤ 16

10/10/2019 51 10/10/2019 52

MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

VÍ DỤ

Định nghĩa. Cho A là một ma trận vuông A, ma trận B được gọi là ma trận nghịch đảo (inverse) của ma trận A nếu:

Ma trận A có ma trận nghịch đảo thì được gọi là ma trận khả nghịch (invertible matrix) Ma trận nghịch đảo của A kí hiệu là A-1

Tính chất:

9

10/10/2019 53 10/10/2019 54

10/10/2019

CHÚ Ý

THE INVERSE OF 2X2 MATRICES

 Chỉ ma trận vuông mới có thể khả nghịch (khả đảo)

 Không phải bất kỳ ma trận vuông A nào cũng khả nghịch. Có rất nhiều ma trận vuông không khả nghịch

 Ma trận khả nghịch được gọi là ma trận không suy biến.

 Ma trận không khả nghịch được gọi là ma trận suy biến.

determinant of A, denoted by det(A)

Example:

10/10/2019 55 10/10/2019 56

MA TRẬN SƠ CẤP

CHÚ Ý

Ma trận thu được từ ma trận đơn vị I bằng đúng 1 phép biến đổi sơ cấp được gọi là ma trận sơ cấp.

Ví dụ.

 Một phép biến đổi sơ cấp đối với hàng của ma trận A đồng nghĩa với nhân bên trái A với ma trận sơ cấp tương ứng.

 Một phép biến đổi sơ cấp đối với cột của ma trận A đồng nghĩa với nhân bên phải A với ma trận sơ cấp tương ứng.

10/10/2019 57 10/10/2019 58

BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

VÍ DỤ 17

Ta có:

10

10/10/2019 59 10/10/2019 60

10/10/2019

VÍ DỤ 18 - TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

VÍ DỤ 18 - TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

10/10/2019 61 10/10/2019 62

CLASS WORK

TÍNH CHẤT

Cho hai ma trận A, B đều khả nghịch. Ta có:

Hãy tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau nếu có.

10/10/2019 63 10/10/2019 64

SỰ TỒN TẠI MA TRẬN KHẢ NGHỊCH

VÍ DỤ 19

Tìm m để các ma trận sau khả nghịch.

11

10/10/2019 65 10/10/2019 66

10/10/2019

VÍ DỤ

COROLLARY

If A and C are square matrices such that AC = I, then also CA = I. In particular, both A and C are invertible: C = A-1, and A = C-1.

Corollary above is false if A and C are not square matrices

10/10/2019 67 10/10/2019 68

TỔNG HỢP

BÀI 1

Ma trận là gì? Phân loại?

Các phép toán với ma trận?

Hạng của ma trận?

Ma trận khả nghịch?

10/10/2019 69 10/10/2019 70

BÀI 2

BÀI 3

12

10/10/2019 71 10/10/2019 72

10/10/2019

BÀI 4

BÀI 5

10/10/2019 73 10/10/2019 74

BÀI 6

ĐỊNH THỨC DETERMINANT

10/10/2019 75 10/10/2019 76

NỘI DUNG

ĐỊNH THỨC

Cho ma trận A vuông, cấp n.

 Cách tính định thức của một ma trận vuông

Định thức của ma trận A, ký hiệu:

 Biến đổi định thức

 Ứng dụng định thức

Đây là một số thực, được xác định dựa trên các phần tử trong ma trận.

13

10/10/2019 77 10/10/2019 78

10/10/2019

ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VUÔNG CẤP 1, 2

ĐỊNH THỨC (MA TRẬN VUÔNG) CẤP 3

Ma trận vuông cấp 1:

𝐴 =

+ - + 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑖 𝑔 ℎ

det(A) =

Ma trận vuông cấp 2:

+a.det

- b.det

+ c.det

𝑑 𝑒 𝑔 ℎ

𝑑 𝑓 𝑔 𝑖

𝑒 𝑓 𝑖 ℎ

= aei – afh – (bdi – bgf) + cdh – cge

10/10/2019 79 10/10/2019 80

QUY TẮC TÍNH ĐỊNH THỨC CẤP 3

VÍ DỤ

Ta có quy tắc Sarrus.

Tính các định thức sau bằng quy tắc Sarrus

10/10/2019 81 10/10/2019 82

ĐỊNH THỨC CẤP N TỔNG QUÁT

VÍ DỤ 1

Dùng phần bù đại số và khai triển theo hàng (cột)

Cho ma trận:

Ký hiệu Mij là ma trận nhận được từ ma trận A bằng cách bỏ đi hàng thứ i và cột thứ j.

Cofactor(a23)= A23=???

M23=???

Phần bù đại số (cofactor) của phần tử aij ký hiệu và xác định như sau:

Ma trận

Giá trị, số

14

10/10/2019 83 10/10/2019 84

10/10/2019

VÍ DỤ 1

KHAI TRIỂN THEO HÀNG/CỘT

Định thức của ma trận vuông cấp n:

Đây là khai triển theo dòng 1.

Ta có thể khai triển dòng bất kỳ hoặt cột bất kỳ.

10/10/2019 85 10/10/2019 86

TỔNG QUÁT

VÍ DỤ 3

Tính định thức sau:

Khai triển theo dòng 1:

Khai triển theo cột 1.

Nên chọn cột có nhiều số 0 để khai triển. 10/10/2019

10/10/2019 87 88

ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN TAM GIÁC

ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN TAM GIÁC

Ví dụ. Tính định thức của hai ma trận sau:

DETERMINANT = a11.a22…ann

15

10/10/2019 89 10/10/2019 90

10/10/2019

VÍ DỤ

VÍ DỤ

Tìm det(A), det(B), det(AB), det(A+B) biết rằng:

Tìm det(A), det(3A), det(A2) nếu:

𝐴 =

𝐴 =

𝑣à 𝐵 =

−2 3 5 1

−2 1 2 3

5 −2 4 1

o det(cA) = cndet(A) o det(Ak) = [det(A)]k

det(A.B) = det(A).det(B) det(A+B)  det(A) + det(B)

10/10/2019 91 10/10/2019 92

TÍNH CHẤT

VÍ DỤ

o Tính các định thức sau:

Cho A, B là các ma trận vuông cấp n. Ta có:

o det(A.B) = det(A).det(B)

|𝐴| =

= −1.3. −2 = 6,

3 −1 2 3 0 2 0 −2 0

o det(kA) = kndet(A)

o det(AT) = det(A)

= −6 // đổi dòng 1 với dòng 2 từ ma trận A,

0 3 −1 2 0

2 3 0 −2

o det(A-1) = 1/det(A)

o det(Ak) = [det(A)]k

= −12 // nhân hàng 1 của ma trận A với số -2

2 −4 −6 2 3 0 0 −2 0

10/10/2019 93 10/10/2019 94

BIẾN ĐỔI SƠ CẤP VÀ GIÁ TRỊ ĐỊNH THỨC

VÍ DỤ

o Tính định thức sau:

= −5

2 −2 −1 1 0 5 5 2 −4

và

= −5

−1 2 −2 1 5 0 1 0 0

Ma trận trong định thức sau có được từ ma trận ban đầu bằng cách thay dòng 3 bằng (2* dòng2 + dòng 3)

Chúng có cùng định thức

16

10/10/2019 95 10/10/2019 96

10/10/2019

ELEMENTARY OPERATIONS AND DETERMINANTS

EXAMPLE

10/10/2019 97 10/10/2019 98

VÍ DỤ 4

TÍNH ĐỊNH THỨC BẰNG BĐSC

10/10/2019 99 10/10/2019 100

VÍ DỤ 5

VÍ DỤ 5

17

10/10/2019 101 10/10/2019 102

10/10/2019

NGUYÊN TẮC TÍNH BẰNG BĐSC

VÍ DỤ 6 – SINH VIÊN TỰ LÀM

Tính định thức ma trận sau:

1.

2.

3.

10/10/2019 103 10/10/2019 104

VÍ DỤ

ĐỊNH THỨC – HẠNG – KHẢ NGHỊCH Định thức con của ma trận:

Cho A là ma trận cấp mxn. Chọn các phần tử nằm trên giao của k dòng và k cột của A ta được một ma trận vuông cấp k. Định thức của ma trận vuông cấp k này ta gọi là định thức con cấp k của A.

Hỏi. Có bao nhiêu định thức con cấp k trong 1 ma trận A cấp mxn

- Số cách chọn k dòng

- Số cách chọn k cột

 Số định thức con cấp k??? 10/10/2019

10/10/2019 105 106

VÍ DỤ 8

HẠNG CỦA MA TRẬN

Cho ma trận A.

Định nghĩa: Cho A là ma trận cấp m.n khác O. Hạng của ma trận A, kí hiệu rank(A) hay r(A) là cấp cao nhất trong các định thức con khác 0 của ma trận A.

Nếu rank(A)=r thì:

Hãy lập tất cả các định thức con cấp 1; cấp 2; cấp 3?

a) Tồn tại ít nhất một định thức con cấp r khác 0 của A .

Định thức con cấp mấy lớn nhất?

b) Mọi định thức con của A cấp lớn hơn r (nếu có) thì phải bằng 0.

18

10/10/2019 107 10/10/2019 108

10/10/2019

ĐIỀU KIỆN KHẢ NGHỊCH & TÍNH CHẤT

MA TRẬN PHỤ HỢP (CONJUGATE MATRIX)

Cho ma trận A vuông cấp n. Ta có:

 Ma trận phụ hợp của ma trận A, ký hiệu adj(A) hay PA  Là ma trận chuyển vị của ma trận chứa các phần bù đại số của ma trận A.

Nếu ma trận A khả nghịch thì:

10/10/2019 109 10/10/2019 110

MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO – MA TRẬN PHỤ HỢP

VÍ DỤ

Cho ma trận

Định lý. Nếu A là ma trận vuông thì:

A) Tìm ma trận phụ hợp của A

B) Tính các ma trận tích sau:

Nếu detA≠0 thì ma trận A khả nghịch và ma trận nghịch đảo của A cho bởi công thức sau:

10/10/2019 111 10/10/2019 112

VÍ DỤ

VÍ DỤ 9

Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau nếu có

Chú ý:

19

10/10/2019 113 10/10/2019 114

10/10/2019

VÍ DỤ 9

VÍ DỤ 9

Ta có:

Bước 1. Tính detA

Ta có:

detA≠0 nên ma trận A khả nghịch.

Ta tìm các phần bù đại số và lập ma trận phụ hợp PA

10/10/2019 115 10/10/2019 116

VÍ DỤ 13

BÀI 1

Ta có:

Tính định thức của các ma trận sau:

B

10/10/2019 117 10/10/2019 118

BÀI 2

BÀI 3

20

10/10/2019 119 10/10/2019 120

10/10/2019

BÀI 3

BÀI 4

10/10/2019 121 10/10/2019 122

BÀI 5

BÀI 6

10/10/2019 123 10/10/2019 124

BÀI 7

GIẢI TOÁN MA TRẬN BẰNG FX570 ES

1. Nhập ma trận. Nhấn Mode 6 (Matrix)  Chọn 1( matA)  Chọn matrix có số dòng và cột tương ứng cần tính toán.

Nhập kết quả vào bằng phím =,

Sau khi nhập xong ma trận A, có thể nhập thêm ma trận B bằng cách: Nhấn Shift 4 (Matrix)  1 (Dim)  2 (MatB) Lập lại tương tự cho MatC.

Lưu ý: nên nhập qua Shift +4 +1 để đỡ bị lỗi

21

10/10/2019 125 10/10/2019 126

10/10/2019

GIẢI TOÁN MA TRẬN BẰNG FX570 ES

KIỂM TRA 20PH

Bài 1. Cho hai ma trận:

2. Tính định thức

Thao tác như sau để tính định thức cho MatA: Shift 4 (Matrix)  7 (Det)  Shift 4 (Matrix)  3 (MatA)  = 3. Tìm ma trận nghịch đảo

Tìm:

Bài 2. Tìm r(A) và ma trận nghịch đảo của A nếu có:

Thao tác như sau để tìm ma trận nghịch đảo của MatA: Shift 4 (Matrix)  3 (MatA)  x-1 (x-1: là phím nghịch đảo của máy tính, dưới Mode)

4. Giải phương trình: AX = B Thao tác theo các bước bên trên để tính: MatA  x-1  x  MatB để cho kết quả của X.

22

10/10/2019 127 10/10/2019 128