Chương 2 ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG
ThS. Huỳnh Văn Kha
TÓM TẮT NỘI DUNG
1. Định nghĩa đạo hàm. 2. Một số quy tắc tính đạo hàm. 3. Xấp xỉ tuyến tính và vi phân. 4. Cực trị và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. 5. Quy tắc L’Hospital. 6. Phương pháp Newton xấp xỉ nghiệm phương trình
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
2
. (cid:1) (cid:2) = 0 7. Nguyên hàm.
1. ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM
• Hàm đo khoảng cách di chuyển của một chất điểm là thì vận tốc tức thời tại thời điểm là
(cid:5) = (cid:1) (cid:6) (cid:6)(cid:7)
(cid:1) (cid:6)(cid:7) + ℎ − (cid:1) (cid:6)(cid:7) ℎ còn được gọi là đạo hàm của tại thời
(cid:1) (cid:8) (cid:6)(cid:7) = lim(cid:12)→(cid:7) (cid:8) (cid:6)(cid:7) và ký hiệu • Vận tốc điểm .
(cid:6)(cid:7)
tại là • Độ dốc của đường cong
(cid:18) (cid:2)(cid:7), (cid:1) (cid:2)(cid:7) (cid:8) (cid:6)(cid:7) = (cid:1)(cid:17) (cid:6)(cid:7) (cid:5) = (cid:1) (cid:2)
(cid:20) (cid:2)(cid:7) = lim(cid:12)→(cid:7) (cid:1) (cid:2)(cid:7) + ℎ − (cid:1) (cid:2)(cid:7) ℎ còn được gọi là đạo hàm của tại • Độ dốc
(cid:1) (cid:2)(cid:7) (cid:20) (cid:2)(cid:7) và ký hiệu .
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
3
(cid:20) (cid:2)(cid:7) = (cid:1)(cid:17) (cid:2)(cid:7)
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
4
của vật rơi
Ví dụ 1. 1. Tính vận tốc tức thời tại thời điểm (cid:6) = 1 tự do, biết hàm đo khoảng cách rơi tự do là
(cid:5) = 16(cid:6)(cid:23)
(cid:5) = 1/(cid:2)
.
(cid:2) = −1
2. Cho đường cong a) Tính độ dốc của nó tại b) Những điểm nào trên đường cong này có độ dốc bằng
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
5
? −1/4
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
6
Định nghĩa 1. Đạo hàm – derivative Cho
(cid:2)(cid:7) ∈ (cid:27), (cid:28) và hàm số . Ta nói đạo hàm của xác định trên khoảng là giá trị tại
(cid:27), (cid:28) (cid:1) (cid:2) (cid:1) (cid:2) (cid:2)(cid:7)
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
7
(cid:1) (cid:2)(cid:7) + ℎ − (cid:1) (cid:2)(cid:7) ℎ (cid:1)(cid:17) (cid:2)(cid:7) = lim(cid:12)→(cid:7) (nếu giới hạn này tồn tại).
Hàm số đạo hàm
ta nói khả vi • Nếu
(cid:1) có đạo hàm tại (differentiable) tại đó.
xác định bởi • Ta có thể xem
(cid:2)(cid:7) (cid:1) (cid:1)(cid:17) là hàm số theo (cid:2)
(cid:1)(cid:17) (cid:2) = lim(cid:12)→(cid:7) (cid:1) (cid:2) + ℎ − (cid:1) (cid:2) ℎ
được gọi là đạo hàm cấp hai của và ký hiệu
là • Tổng quát, nếu
• Nếu hàm số này có đạo hàm thì đạo hàm của nó (cid:1)(cid:17)(cid:17). (cid:1) (cid:30) thì đạo hàm cấp
(cid:29) + 1
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
8
(cid:1) có đạo hàm cấp (cid:1) (cid:29) được định nghĩa là (cid:1) (cid:30)(cid:31) (cid:2) = (cid:1) (cid:30) (cid:17) (cid:2)
còn được ký hiệu là • Đạo hàm của
(cid:1) (cid:2)
(cid:1)(cid:17) = = (cid:1)
!(cid:1) !(cid:2) bằng ! !(cid:2) • Ta có thể ký hiệu đạo hàm tại
(cid:2) = (cid:27)
= & = (cid:1) (cid:2) & (cid:1)(cid:17) (cid:27) = (cid:1)(cid:17) (cid:2) "
#$%
#$%
!(cid:1) !(cid:2) ! !(cid:2)
(cid:1)(cid:17)(cid:17) =
Đạo hàm và ứng dụng
24/08/2015
9
#$% • Các đạo hàm cấp cao cũng được ký hiệu là !(cid:23)(cid:1) !(cid:2)(cid:23) = !(cid:30)(cid:1) !(cid:2)(cid:30) =
(cid:1) (cid:30) =
!(cid:23) !(cid:2)(cid:23) (cid:1) !(cid:30) !(cid:2)(cid:30) (cid:1)
Định lý 1. (Có đạo hàm thì liên tục) Nếu khả vi tại liên tục tại thì .
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
10
(cid:1) (cid:2) = ’ (cid:1) (cid:2) = ’
Đạo hàm các hàm số sơ cấp
, với là hằng số
+
(cid:2)( (cid:17) = )(cid:2)(* (cid:27)# (cid:17) = (cid:27)# ln (cid:27) 1 (cid:2) ln (cid:27)
log% (cid:2) (cid:17) = sin (cid:2) (cid:17) = cos (cid:2) tan (cid:2) (cid:17) = 1 + tan(cid:23) (cid:2) +(cid:17) = 0 - # (cid:17) = - # 1 ln (cid:2) (cid:17) = (cid:2) cos (cid:2) (cid:17) = − sin (cid:2) cot (cid:2) (cid:17) = − 1 + cot(cid:23) (cid:2)
= = −
1 cos(cid:23) (cid:2) arcsin (cid:2) (cid:17) = 1 sin(cid:23) (cid:2) arctan (cid:2) (cid:17) =
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
11
1 1 + (cid:2)(cid:23) 1 1 − (cid:2)(cid:23)
2. MỘT SỐ QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
(cid:17)
là hằng số.
=
5 ± (cid:8) (cid:17) = 5(cid:17) ± (cid:8)(cid:17) 75 (cid:17) = 75(cid:17), với 7 5(cid:8) (cid:17) = 5(cid:17)(cid:8) + 5(cid:8)(cid:17) 5(cid:17)(cid:8) − 5(cid:8)(cid:17) 5 (cid:8)(cid:23) (cid:8) Ví dụ 2. a) Tính đạo hàm của hàm số
(cid:1) (cid:2) =
(cid:2) 1 + ln (cid:2) b) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số
24/08/2015
12
Đạo hàm và ứng dụng
(cid:1) (cid:2) = 2(cid:2)9 − 2(cid:2) + 1
Đạo hàm hàm hợp
và
5 = : (cid:2) Định lý 2. Đạo hàm hàm hợp Nếu khả vi tại (cid:1) 5 hàm hợp khả vi tại : (cid:2) cũng khả vi tại thì và
(cid:17)
(cid:1) ∘ : (cid:2) = (cid:1) : (cid:2)
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
13
(cid:1) ∘ : (cid:17) (cid:2) = (cid:1) : (cid:2) = (cid:1)(cid:17) : (cid:2) (cid:2) (cid:2) · :(cid:17) (cid:2)
(cid:17)
5( (cid:17) = )5(cid:17)5(* = −
(cid:27)= (cid:17) = 5(cid:17)(cid:27)= ln (cid:27) 5(cid:17) log% 5 (cid:17) = 5 ln (cid:27) sin 5 (cid:17) = 5(cid:17) cos 5 tan 5 (cid:17) = 5(cid:17) 1 + tan(cid:23) 5 5(cid:17) 1 5(cid:23) 5 -= (cid:17) = 5(cid:17)-= 5(cid:17) ln 5 (cid:17) = 5 cos 5 (cid:17) = −5(cid:17) sin 5 cot 5 (cid:17) = −5(cid:17) 1 + cot(cid:23) 5
= = −
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
14
5(cid:17) cos(cid:23) 5 arcsin 5 (cid:17) = 5(cid:17) sin(cid:23) 5 arctan 5 (cid:17) =
5(cid:17) 1 + 5(cid:23) 5(cid:17) 1 − 5(cid:23)
Ví dụ 3. a) Tính đạo hàm của các hàm số
(cid:1) (cid:2) = (cid:2)(cid:23) − 3(cid:2) + 1 : (cid:2) = ln9 (cid:2)
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
15
b) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số ℎ (cid:2) = sin (cid:2)(cid:23)- #
3. XẤP XỈ TUYẾN TÍNH VÀ VI PHÂN
• Trong một số trường hợp, ta cần xấp xỉ một hàm
phức tạp bằng hàm đơn giản hơn.
Định nghĩa 2. Xấp xỉ tuyến tính – linear approximation Nếu thì hàm số khả vi tại
(cid:1) (cid:27)
? (cid:2) = (cid:1) (cid:27) + (cid:1)(cid:17) (cid:27) (cid:2) − (cid:27) tại .
(cid:1) (cid:27) được gọi là tuyến tính hóa (linearization) của Và xấp xỉ
tại .
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
16
(cid:1) (cid:2) ≈ ? (cid:2) được gọi là xấp xỉ tuyến tính của (cid:1) (cid:27)
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
17
Ví dụ 5. 1. Xấp xỉ tuyến tính hàm số
(cid:1) (cid:2) = 1 + (cid:2) và tính xấp xỉ giá trị
. 4.1 (cid:2) = 3
tại điểm 2. Xấp xỉ tuyến tính hàm số
(cid:1) (cid:2) = cos(cid:23) (cid:2)
và tính xấp xỉ giá trị
(cid:2) = B/4 cos(cid:23) 44(cid:7) .
tại 3. Xấp xỉ tuyến tính hàm số
(với là hằng số) tại
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
18
7 (cid:1) (cid:2) = 1 + (cid:2) C . (cid:2) = 0
Vi phân
,
!(cid:2) • Trong cách ký hiệu phân của biến số là vi phân của hàm số được gọi là vi .
(cid:5)(cid:17) = !(cid:5)/!(cid:2) và !(cid:5) (cid:2) (cid:5)
Định nghĩa 3. Vi phân - differential Nếu khả vi thì vi phân của hàm số này là
(cid:5) = (cid:1)((cid:2))
!(cid:5) = (cid:1)(cid:17) (cid:2) !(cid:2) (cid:5) = (cid:2)F + 3(cid:2)(cid:23) + (cid:2) .
!(cid:5)
Ví dụ 6. Cho hàm số a) Tìm vi phân . b) Tìm
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
19
!(cid:5) 1
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
20
4. CỰC TRỊ VÀ GTLN, GTNN
đạt giá trị lớn nhất (hay cực đại toàn cục
(cid:1) (cid:2)
Định nghĩa 4. GTLN, GTNN – global extremum Hàm số – global maximum – absolute maximum) tại điểm của thuộc miền xác định ’ với mọi nếu
G (cid:1) (cid:1) (cid:2) ≤ (cid:1) ’ .
đạt giá trị nhỏ nhất (hay cực tiểu toàn cục
(cid:1) (cid:2)
’ với mọi (cid:2) ∈ G Hàm số – global minimum – absolute minimum) tại điểm của thuộc miền xác định nếu
(cid:1) (cid:2) ≥ (cid:1) ’ G (cid:1) .
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
21
(cid:2) ∈ G
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
22
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
23
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
24
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
25
(cid:1) Định lý 3. (về GTLN, GTNN – extreme value theorem) Nếu đạt giá trị (cid:1) lớn nhất liên tục trên khoảng đóng và giá trị nhỏ nhất thì (cid:27), (cid:28) trên khoảng đó.
K
thuộc sao cho
(cid:27), (cid:28) J Nghĩa là có hai số và , với mọi (cid:1) (cid:2) = .
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
26
K (cid:1) (cid:2)(cid:23) = J (cid:2) , (cid:2)(cid:23) K ≤ (cid:1) (cid:2) ≤ J (cid:2) ∈ (cid:27), (cid:28)
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
27
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
28
Cực trị địa phương
đạt cực đại địa phương (local maximum)
thuộc miền xác định nếu có của
G (cid:1) Định nghĩa 5. Cực trị địa phương - local extremum Hàm số tại điểm sao cho L > 0 . với mọi
(cid:1) (cid:2) ’ (cid:1) (cid:2) ≤ (cid:1) ’ (cid:2) ∈ G ∩ ’ − L, ’ + L
đạt cực tiểu địa phương (local minimum)
thuộc miền xác định của nếu có
G (cid:1) Hàm số tại điểm sao cho với mọi L > 0 .
(cid:1) (cid:2) ’ (cid:1) (cid:2) ≥ (cid:1) ’ (cid:2) ∈ G ∩ ’ − L, ’ + L
(cid:1) (cid:2) được nói là đạt cực trị địa phương (local nếu nó đạt cực đại hay cực tiểu địa
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
29
Hàm số extremum) tại ’ phương tại đó.
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
30
đạt cực trị địa phương tại điểm trong của miền
(cid:1) ’ Định lý 4. Định lý Fermat Nếu xác định và nếu
(cid:1)(cid:17) ’
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
31
tồn tại thì (cid:1)(cid:17) ’ = 0
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
32
Tìm GTLN, GTNN
chỉ có thể • Cực trị (địa phương hay toàn cục) của
(cid:1)(cid:17) = 0 (cid:1)(cid:17) không xác định
(cid:1)
xảy ra tại một trong các loại điểm sau đây – Điểm trong của miền xác định và – Điểm trong của miền xác định và – Điểm biên của miền xác định.
(cid:1)(cid:17) ’ = 0 là điểm tới hạn
’ • Nếu là điểm trong của miền xác định và ’ không tồn tại thì ta nói hoặc (cid:1)(cid:17) ’ (critical point) của .
(cid:1)
• Để tìm GTLN, GTNN của
(cid:1)
(cid:1)
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
33
ta làm như sau tại các điểm tới hạn và các điểm biên. – Tình giá trị của – Lấy giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong các giá trị nói trên.
10(cid:2) 2 − ln (cid:2)
O
(cid:1) (cid:2) =
trên
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
34
Ví dụ 7. a) Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên khoảng 1, -(cid:23) . b) Tìm GTLN, GTNN của hàm số (cid:1) (cid:2) = (cid:2)(cid:23) khoảng −2,3 .
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
35
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
36
Định lý Rolle
Định lý 4. Định lý Rolle Cho là hàm số liên tục trên khoảng đóng
(cid:5) = (cid:1) (cid:2)
và khả vi trên khoảng mở thì có ít nhất một . Nếu (cid:27), (cid:28) sao cho .
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
37
(cid:1) (cid:27) = (cid:1)(cid:17) ’ = 0 ’ ∈ (cid:27), (cid:28) (cid:27), (cid:28) (cid:1) (cid:28)
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
38
Định lý Lagrange
Định lý 5. Định lý Lagrange Cho là hàm số liên tục trên khoảng đóng
(cid:5) = (cid:1) (cid:2) và khả vi trên khoảng mở . Khi đó có ít nhất
(cid:27), (cid:28) (cid:27), (cid:28) một số sao cho
’ ∈ (cid:27), (cid:28)
(cid:1)(cid:17) ’ =
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
39
(cid:1) (cid:28) − (cid:1) (cid:27) (cid:28) − (cid:27)
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
40
• Định lý Lagrange là định lý cơ bản của phép tính vi phân. Nhiều kết quả quan trọng được suy ra từ đây.
với mọi thì , với là
(cid:1)(cid:17) (cid:2) = 0 (cid:2) ∈ (cid:27), (cid:28) (cid:1) (cid:2) = + + Hệ quả 1. Nếu hằng số.
với mọi
(cid:2) ∈ (cid:27), (cid:28) . Nghĩa là thì tồn tại hằng là hàm
+ (cid:1) (cid:2) = : (cid:2) + + (cid:1) − : (cid:1)(cid:17) (cid:2) = :(cid:17) (cid:2) sao cho . Hệ quả 2. Nếu số hằng trên
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
41
(cid:27), (cid:28)
Sự đơn điệu của hàm số
• Ngoài ra ta còn hệ quả quan trọng sau đây về sự đơn
điệu (tăng, giảm) của hàm số.
Hệ quả 3. Cho hàm số liên tục trên và khả vi trên .
(cid:1)
- Nếu (cid:27), (cid:28) thì tăng trên (cid:27), (cid:28) .
(cid:1) (cid:27), (cid:28)
thì giảm trên . - Nếu
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
42
(cid:1) (cid:27), (cid:28) (cid:1)(cid:17) (cid:2) > 0, ∀(cid:2) ∈ (cid:27), (cid:28) (cid:1)(cid:17) (cid:2) < 0, ∀(cid:2) ∈ (cid:27), (cid:28)
Tìm cực trị địa phương
là điểm tới hạn của hàm số liên tục và giả sử • Cho
(cid:1) ’ khả vi trên một khoảng mở chứa (có thể ngoại
’ (cid:1) trừ tại ).
’
là cực tiểu địa
– Nếu
đổi dấu từ âm sang dương thì ’
(cid:1) phương.
là cực đại địa
– Nếu
đổi dấu từ dương sang âm thì ’
(cid:1) phương.
không đổi dấu (nghĩa là
dương cả hai bên hoặc âm
– Nếu
(cid:1)
(cid:1)
không phải là cực trị địa phương.
cả hai bên điểm ’
) thì ’
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
43
• Khi di chuyển từ trái sang phải
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
44
O
Ví dụ 8. a) Tìm cực trị địa phương của b) Tìm cực trị địa phương của
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
45
(cid:1) (cid:2) = (cid:2)(cid:23) − 3 - # (cid:2) − 4 (cid:1) (cid:2) = (cid:2)
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
46
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
47
Một số bài toán ứng dụng
• Một cái hộp không nắp đậy được làm bằng cách cắt
ở 4 góc của
(cid:2) × (cid:2) 12 × 12 cm(cid:23) (xem hình vẽ). Tìm giá trị bỏ 4 hình vuông nhỏ kích thước một tấm bìa của để thể tích hộp nói trên lớn nhất.
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
48
(cid:2)
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
49
• Bạn được yêu cầu thiết kế một cái hộp hình trụ tròn đứng có thể tích 1 lít. Bán kính và chiều cao của hình trụ bằng bao nhiêu để ít tốn nguyên liệu nhất?
sản phẩm,
là doanh thu khi bán được là chi phí để sản xuất
(cid:2) sản phẩm,
(cid:2)
là lợi nhuận thu được.
T (cid:2) ’ (cid:2) U (cid:2) = T (cid:2) − ’ (cid:2) • Trong kinh tế người ta gọi
là doanh thu biên (marginal revenue), là chi phí biên (marginal cost), là lợi nhuận biên (marginal profit).
– – –
T(cid:17) (cid:2) ’(cid:17) (cid:2) U(cid:17) (cid:2)
• Ký hiệu – – –
• Khi đạt được lợi nhuận tối đa thì doanh thu biên sẽ
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
50
bằng chi phí biên.
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
51
và • Giả sử
T (cid:2) = 9(cid:2) ’ (cid:2) = (cid:2)9 − 6(cid:2)(cid:23) +
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
52
15(cid:2), với (cid:2) là số triệu máy nghe nhạc MP3 được sản xuất. Tìm (cid:2) để lợi nhuận thu được là tối đa và mức lợi nhuận tối đa đó là bao nhiêu?
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
53
5. QUY TẮC L’HOSPITAL
trên một khoảng
(cid:1), : khả vi và (có thể ngoại trừ tại ). Giả sử một trong
(cid:27) :(cid:17) (cid:2) ≠ 0 (cid:27) Định lý 6. Quy tắc L’Hospital. Cho các hàm mở chứa hai điều sau đây là đúng
a) hoặc
b) .
lim#→% (cid:1) (cid:2) = lim#→% : (cid:2) = 0 lim#→% (cid:1) (cid:2) = lim#→% : (cid:2) = ±∞
Thì khi đó
= lim#→% lim#→% (cid:1)(cid:17) (cid:2) :(cid:17) (cid:2) (cid:1) (cid:2) : (cid:2) miễn là giới hạn vế phải tồn tại (có thể bằng ).
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
54
±∞
• Chú ý, nếu thay
(cid:2) → (cid:27) (cid:2) → (cid:27)*, (cid:2) → ∞ hay (cid:2) → (cid:27)(cid:31), bằng thì quy tắc trên vẫn đúng.
(cid:2) → −∞
Ví dụ 9. Tính các giới hạn
(cid:27)) lim#→
(cid:28)) lim#→Z ln (cid:2) 1 − (cid:2) ln (cid:2) (cid:2)
’)
sin (cid:2) 1 − 2 cos (cid:2)
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
55
!) lim#→ lim#→[/(cid:23) - # (cid:2)(cid:23)
-) lim#→(cid:7) 3(cid:2) − sin (cid:2) (cid:2)
(cid:1)) lim#→(cid:7) 1 + (cid:2) − 1 (cid:2)
:) lim#→(cid:7) 2 1 + (cid:2) − (cid:2) − 2 (cid:2)(cid:23)
− ℎ) lim#→ 1 ln (cid:2)
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
56
\) lim#→Z (cid:2) sin (cid:2) (cid:2) − 1 1 (cid:2)
6. PHƯƠNG PHÁP NEWTON
• Trong nhiều trường hợp, ta không thể tính được
nghiệm chính xác của phương trình
. (cid:1) (cid:2) = 0
• Một phương pháp có thể tính gần đúng nghiệm
phương trình được đề xuất bởi Newton.
Phương pháp Newton 1. Chọn nghiệm xấp xỉ ban đầu .
(cid:2)(cid:7)
2. Tính các xấp xỉ tiếp theo bằng công thức
(cid:2)(cid:30)(cid:31) = (cid:2)(cid:30) − ∀(cid:29) ∈ ℕ ,
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
57
(cid:1) (cid:2)(cid:30) (cid:1)(cid:17) (cid:2)(cid:30)
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
58
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
59
• Tính gần đúng
2
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
60
bằng cách giải phương trình (cid:2)(cid:23) − 2 = 0
và • Tìm hoành độ giao điểm của đường
(cid:5) = (cid:2)9 − (cid:2) đường thẳng .
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
61
(cid:5) = 1
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
62
7. NGUYÊN HÀM
được gọi là nguyên hàm của trên khoảng
^ (cid:1) _ Định nghĩa 6. Nguyên hàm - antiderivative Hàm số nếu .
^(cid:17) (cid:2) = (cid:1) (cid:2) , ∀(cid:2) ∈ _
Tìm một nguyên hàm cho các hàm số
+ 2-(cid:23)# cos (cid:2) 2(cid:2) 1 (cid:2)
là một nguyên hàm của thì nguyên hàm tổng
Định lý 7. Nếu ^ quát của có dạng là hằng số. (cid:1) với
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
63
(cid:1) ^ (cid:2) + + +
của
. ^ 1 = −1 ^
Ví dụ 10 a) Tìm nguyên hàm b) Tìm nguyên hàm của
c) Tìm nguyên hàm của (cid:1) (cid:2) = 3(cid:2)(cid:23) biết (cid:1) (cid:2) = (cid:2)F. .
#
(cid:1) (cid:2) =
# (cid:23)
d) Tìm nguyên hàm của
e) Tìm nguyên hàm của f) Tìm nguyên hàm của
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
64
. (cid:1) (cid:2) = sin (cid:1) (cid:2) = -*9#. (cid:1) (cid:2) = 2#.
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
65
Bảng các nguyên hàm
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
66
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
67
• Từ các tính chất của đạo hàm, dễ dàng suy ra các tính
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
68
chất sau đây của nguyên hàm.
Ví dụ 11.
a) Tìm nguyên hàm của .
(cid:1) (cid:2) =
b) Tìm nguyên hàm của
9 # + sin 2(cid:2) . (cid:31)‘ab cd (cid:23)
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
69
(cid:1) (cid:6) =
Tích phân bất định
(cid:1) Định nghĩa 7. Tích phân bất định – indefinite integral. Tập hợp tất cả các nguyên hàm của được gọi là tích phân bất định và ký hiệu là
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
70
e(cid:1) (cid:2) !(cid:2)
Ví dụ 12. Tính các tích phân bất định.
(cid:27)) e (cid:2)9 − 2(cid:2) + 1 !(cid:2)
(cid:28)) e !(cid:6)
’) e − !(cid:5)
(cid:6) (cid:6) + (cid:6) (cid:6)(cid:23) 2 1 − (cid:5)(cid:23) 1 c (cid:5)
!) e 2 cos 2(cid:2) − 3 sin 3(cid:2) !(cid:2)
24/08/2015
Đạo hàm và ứng dụng
71
-) e -9# + 5-*# !(cid:2)
