BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 |
CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC
A. KiÕn thøc cÇn nhí
1. Định nghĩa
Ta biết rằng, mọi số thực x đều có thể biểu diễn được dưới dạng:
x nt= +
với
nZ∈
và
0 1.t≤<
Ví dụ:
6, 7 6 0, 7 ; 6, 7 7 0, 3= + − =−+
Sự biểu diễn trên là duy nhất. Ta gọi số nguyên n là phần nguyên của x ; còn t được gọi
là phần lẻ của x. Từ đây ta đi đến định nghĩa.
Phần nguyên của số thực
x
là số nguyên lớn nhất không vượt quá
,x
kí hiệu là
[ ]
.x
Ta
có
[ ] [ ]
1.xxx≤< +
Thí dụ:
[ ]
13
2 2; 0; 7, 2 8; 2 1;.....
25
= =−=− =
Phần lẻ của số thực
x
là hiệu của
x
với phần nguyên của nó, kí hiệu là
{ }
.x
Ta có
{ }
[ ]
{ }
, 0 1.a aa a=− ≤≤
Thí dụ
{ } { }
11
2,1 0,1; ; 7, 2 0,8;....
22
= =−=
2.Tính chất
1)
[ ]
a aa∈⇔ =
hoặc
{ }
0.a=
2)
n∈
và
[ ]
1.nan a n≤ < +∈ ⇔ =
3)
{ }
[ ]
{ }
0.aa= =
4) Nếu
n∈
thì
[ ] [ ]
{ } { }
;.na n a na a+=+ +=
5) Nếu
[ ]
na n+=
thì
n∈
và
0 1.a≤≤
6)
[ ] [ ]
.ab a b≥⇒ ≥
7)
[ ] [ ] [ ]
.a b ab+ ≤+
Tổng quát
[ ] [ ] [ ] [ ]
1 2 12
... ... ,
nn
a a a aa a+ ++ ≤ + ++
8)
[ ] [ ] [ ]
.a b ab− ≥−
9)
{ } { } { } { } { } { }
;.abababab+ ≥+ − ≤−
10) Nếu
[ ] [ ]
ab=
thì
1.ab−<
11)
[ ] [ ]
12.
2
aa a
++ =
CHỦ ĐỀ
7
PHẦN NGUYÊN
TRONG SỐ HỌC
.179 | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC
