52
CHƯƠNG 2: THNG DƯ V NG DNG
2.1. Khái niệm
2.2. Định lý thặng dư
3.3. Thặng dư tại các cực
2.4. Zero và cực cấp m
2.5. Tích phân xác định
2.6. Tích phân Laplace ngược
Bài tập
53
Đối với các hàm giải tích trong một vùng hình
khuyên hay một vòng tròn thủng: 𝑟1< 𝑧−𝑧0< 𝑟2
0 < 𝑧−𝑧0< 𝑟2ta có thể biểu diễn f(z) bằng chuỗi
Laurent:
𝑓 𝑧 = ෍
n=−∞
∞an(𝑧−𝑧0)𝑛
54
2.1 Khái nim
Hệ số a-1 của 1/(z-z0) trong triển khai Laurent
của f(z) trong cận:
0 < │z - z0│< R của một điểm bất thường cô lập z -
z0được gọi là thặng dư của f(z) tại z0, ký hiệu là
Res{f(z); z0}.
55
2.2 Định lý
Định lý 1:
Nếu C là một đường kín đơn và f(z) là hàm giải tích
trong và trên C ngoại trừ tại một số điểm bất thường zk
trong C thì:
( )
zk
c
n
k
zfesRidzzf ;2)(
1
=
=
56
2.2 Định lý
Định lý 2: Nếu f(z) có quá nhiều điểm cực trong C,
việc tính toán thặng dư cũng khá vất vả.Ta sử dụng
công thức sau để tính:
=
0;
11
Re.2)( 2z
fsidzzf z
c