CHƯƠNG 3: TOÁN TỬ LAPLACE
3.1 Biến đổi Laplace thuận
3.2 Biến đổi Laplace nghịch
3.3 Ứng dụng
34. Bài tập
CHƯƠNG 3: TOÁN TỬ LAPLACE
Trong kỹ thuật Điện -Điện tử nhiều bài toán được giải
bằng các phương trình chứa đạo hàm, tích phân, đạo
hàm riêng của các hàm nào đó.Việc giải trực tiếp các
phương trình này có thể rt khó. Heaviside đã vận dụng
phép biến đổi Laplace để giải quyết các bài toán liên
quan đến mạch điện.
Phép biến đổi Laplace biến các hàm gốc theo biến (t)
thành hàm ảnh theo biến (s). Lúc này, việc tìm nghiệm
của phương trình vi phân, phương trình tích phân,
phương trình đạo hàm riêng được quy về tính toán các
biểu thức đại số trên các hàm ảnh. Sau khi biết hàm
ảnh của kết quả,ta sử dụng phép biến đổi ngược để tìm
hàm gốc cần tìm.
CHƯƠNG 3: TOÁN TỬ LAPLACE
3.1. Phép bin đi Laplace
3.1.1.Định nghĩa
Biến đổi Laplace của hàm f(t) được định nghĩa:
▪Phép biến đổi Laplace tồn tại nếu tích phân trên hội tụ với
giá trị thuộc miền nào đó, gọi là khoảng hội tụ.
▪Trường hợp ngược lại ta nói phép biến đổi Laplace không
tồn tại.
▪Phép biến đổi Laplace là thực hay phức khi biến số scủa
hàm ảnh X(s) là thực hay phức.
+ −
== 0)()(L)( dtetftfsF st
3.1.2. Điều kiện tồn tại
Hàm biến thực x(t) được gọi là hàm gốc nếu thoả mãn
3 điều kiện sau:
1) x(t) = 0 với mọi t < 0.
2) x(t) liên tục từng khúc trong miền t ≥ 0.
Điều này có nghĩa là trên nửa trục thực t ≥ 0, hàm chỉ
gián đoạn loại 1 nhiều nht tại một số hữu hạn các điểm.
Tại các điểm gián đoạn, hàm có giới hạn trái và giới hạn
phải hữu hạn.
3) x(t) không tăng nhanh hơn hàm mũ khi t →∞. Nghĩa
là tồn tại M > 0, α0≥ 0sao cho x(t) ≤ M𝑒𝛼0𝑡,
∀
t > 0; 𝛼0
được gọi là chỉ số tăng của x(t) .
Rõ ràng α0là chỉ số tăng th mọi số α1>α0cũng là chỉ
số tăng.
Số TT f(t) F(s)
1u(t) ; s >
0
2e-at ; s > -
a
3cosat ; s >
0
4sinat ; s>
0
5tn; n = 0, 1, 2... ; s >
0
6e-at cosbt ; s> -
a
7e-at sinbt ; s > -
a
8e-at tn; s > -
a
9tcosat ; s >
0
71
Bảng biến đổi laplace
s
1
as +
1
22 as
s
+
22 as
a
+
1
!
+n
s
n
22
)( bas
b
++
1
)(
!
+
+n
as
n
222
22
)( as
as
+
−