CHƯƠNG 5: BIẾN ĐỔI FOURIER
5.1. Phép biến đổi Fourier
5.2. Chuỗi Fourier
5.3. Biến đổi Fourier hữu hạn
5.4. Phép biến đổi Fourier rời rạc
5.5. Bài tập
CHƯƠNG 5: BIẾN ĐỔI FOURIER
5.1. Phép biến đổi Fourier
Biến đổi Fourier được định nghĩa:
Ƹ𝜒 𝑓 = ℱ 𝑥 𝑡 = න
_∞
+∞𝑥 𝑡 𝑒−𝑖2𝜋𝑓𝑡𝑑𝑡;𝑓 ∈ ℝ
Trong kỹ thuật, nếu 𝑥 𝑡 là hàm dạng sóng theo thời
gian t th Ƹ𝜒 𝑓 được gọi là phổ hai phía của x(t), còn tham
số f chỉ tần số, có đơn vị là Hz.
Từ công thức tích phân Fourier ta có công thức biến
đổi ngược:
𝑥 𝑡 = ℱ−1 Ƹ𝜒 𝑓 = න
_∞
+∞ Ƹ𝜒 𝑓 𝑒𝑖2𝜋𝑓𝑡𝑑𝑓
CHƯƠNG 5: BIẾN ĐỔI FOURIER
5.2. Chuỗi Fourier
5.2.1. Chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn chu kỳ 2𝜋
𝑥 𝑡 = 𝑎0
2+ ෍
𝑛=1
∞𝑎𝑛c𝑜𝑠𝑛𝑡+𝑏𝑛sin𝑛𝑡
được gọi là chuỗi Fourier của hàm x(t) .
Các hệ số xác định bởi:
𝑎0=1
𝜋׬0
2𝜋𝑥 𝑡 𝑑𝑡;
𝑎𝑛=׬0
2𝜋𝑥 𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑡𝑑𝑡; 𝑏𝑛=׬0
2𝜋𝑥 𝑡 𝑠𝑖𝑛𝑛𝑡𝑑𝑡
𝑎0, 𝑎𝑛, 𝑏𝑛: gọi là các hệ số Fourier.
CHƯƠNG 5: BIẾN ĐỔI FOURIER
5.2. Chuỗi Fourier
5.2.2. Chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn chu kỳ 2𝐿
𝑓 𝑥 = 𝑎0
2+ ෍
𝑛=1
∞𝑎𝑛cos𝑛𝜋𝑡
𝑙+𝑏𝑛sin𝑛𝜋𝑡
𝑙
được gọi là chuỗi Fourier của hàm x(t) .
Các hệ số xác định bởi:
𝑎0=1
𝑙׬0
2𝑙𝑥 𝑡 𝑑𝑡;
𝑎𝑛=׬0
2𝑙𝑥 𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑛𝜋𝑡
𝑙𝑑𝑡;
𝑏𝑛=׬0
2𝑙𝑥 𝑡 𝑠𝑖𝑛𝑛𝜋𝑡
𝑙𝑑𝑡
𝑎0, 𝑎𝑛, 𝑏𝑛, : gọi là các hệ số Fourier.
CHƯƠNG 5: BIẾN ĐỔI FOURIER
5.2. Chuỗi Fourier
5.2.3. Dạng phức của chuỗi Fourier
Sử dụng công thức Euler thế vào công thức chuỗi, ta có:
𝑥 𝑡 = 𝑎0
2+ ෍
𝑛=1
∞𝑎𝑛𝑒𝑖𝑛𝑡 +𝑒−𝑖𝑛𝑡
2+𝑏𝑛𝑒𝑖𝑛𝑡 −𝑒−𝑖𝑛𝑡
2𝑖
𝑥 𝑡 = 𝑎0
2+ ෍
𝑛=1
∞𝑎𝑛−𝑖𝑏𝑛
2𝑒𝑖𝑛𝑡 +𝑎𝑛+𝑖𝑏𝑛
2𝑒−𝑖𝑛𝑡
𝑥 𝑡 = ෍
𝑛=−∞
∞𝑐𝑛𝑒𝑖𝑛𝑡
Trong đó: 𝑐0=𝑎0
2; 𝑐𝑛= 𝑎𝑛−𝑖𝑏𝑛
2; 𝑐−𝑛= 𝑎𝑛+𝑖𝑏𝑛
2