Các ứng dụng của Bài toán luồng cực đại
BM Khoa học Máy tính • TOÁN RỜI RẠC • Fall 2005 • NGUYỄN ĐỨC NGHĨA
Max Flow Applications
s
Toán rời rạc – Fall 2005
NGUYỄN ĐỨC NGHĨA
2
Bộ môn KHMT
t
NỘI DUNG
Một số bài toán luồng tổng quát
–Bài toán với nhiều điểm phát và điểm thu –Bài toán với hạn chế thông qua ở nút
Một số ứng dụng trong tổ hợp
–Bài toán cặp ghép cực đại trong đồ thị hai phía –Độ tin cậy của mạng
Toán rời rạc – Fall 2005
NGUYỄN ĐỨC NGHĨA
3
Bộ môn KHMT
Một số bài toán luồng tổng quát
Toán rời rạc – Fall 2005
NGUYỄN ĐỨC NGHĨA
4
Bộ môn KHMT
M¹ng víi nhiÒu ®iÓm ph¸t vµ ®iÓm thu
XÐt m¹ng G víi p ®iÓm ph¸t s1, s2,..., sp với lượng ph¸t là a1, a2, ..., ap vµ q ®iÓm thu t1, t2,..., tq với lượng thu là b1, b2, ..., bq Gi¶ sö r»ng luång cã thÓ ®i tõ mét ®iÓm ph¸t bÊt kú ®Õn tÊt c¶ c¸c ®iÓm thu. T×m luång cùc ®¹i tõ c¸c ®iÓm ph¸t ®Õn c¸c ®iÓm thu
s1
t1
s2
t2
sp
tq
Toán rời rạc – Fall 2005
NGUYỄN ĐỨC NGHĨA
5
Bộ môn KHMT
M¹ng víi nhiÒu ®iÓm ph¸t vµ ®iÓm thu
Đa vµo mét ®iÓm ph¸t gi¶ s vµ mét ®iÓm thu gi¶ t vµ c¸c c¹nh nèi s víi tÊt c¶ c¸c ®iÓm ph¸t vµ c¸c c¹nh nèi c¸c ®iÓm thu víi t. Kntq cña cung (s,si) sÏ b»ng ai là lîng ph¸t cña si. Kntq cña (ti, t) sÏ bằng bi là lîng thu cña ®iÓm thu ti. Bài to¸n dẫn về bài to¸n với 1 điểm ph¸t và một điểm thu.
s1
t1
b1
a1
s2
t2
t
b2
a2
s
ap
bq
sp
tq
Toán rời rạc – Fall 2005
NGUYỄN ĐỨC NGHĨA
6
Bộ môn KHMT
Bài toán với hạn chế thông qua ở nút
Gi¶ sö trong m¹ng G, ngoµi kh¶ n¨ng th«ng qua cña
c¸c cung c(u, v), ë mçi ®Ønh v(cid:0)V cßn cã kh¶ n¨ng
th«ng qua cña ®Ønh lµ d(v), vµ ®ßi hái tæng luång ®i
vµo ®Ønh v kh«ng ®îc vît qu¸ d(v), tøc lµ
f(w,v) d(v).
du
4
u
wV dt 5 ds
t
s
1
3 2
v
• T×m luång cùc ®¹i từ s đến t trong m¹ng G.
dv
Toán rời rạc – Fall 2005
NGUYỄN ĐỨC NGHĨA
7
Bộ môn KHMT
Bài toán với hạn chế thông qua ở nút
X©y dùng mét m¹ng G' sao cho: mçi ®Ønh v cña G t¬ng øng víi
2 ®Ønh v+, v- trong G', mçi cung (u, v) trong G øng víi cung (u-,
v+) trong G', mçi cung (v,w) trong G øng víi cung (v-, w+) trong
G'. Ngoµi ra, mçi cung (v+, v-) trong G' cã kh¶ n¨ng th«ng qua lµ
d(v), tøc lµ b»ng kh¶ n¨ng th«ng qua cña ®Ønh v trong G.
du
du
u+
u-
4 5 4
u
dt 5 ds ds dt 1
t-
t+
t
s+
s-
s
1
3 2 dv 2 3
v
v+
v-
dv
Qui về bài toán tìm luồng cực đại trong G’
Toán rời rạc – Fall 2005
NGUYỄN ĐỨC NGHĨA
8
Bộ môn KHMT
Các ứng dụng của bài toán luồng cực đại
ỨNG DỤNG TRONG TỔ HỢP
Toán rời rạc – Fall 2005
NGUYỄN ĐỨC NGHĨA
9
Bộ môn KHMT
Bài toán ghép cặp (Matching Problems)
Toán rời rạc – Fall 2005
NGUYỄN ĐỨC NGHĨA
10
Bộ môn KHMT
Cặp ghép (Matching)
Cho G = (V, E) là đồ thị vô hướng. Cặp ghép trong đồ thị G là tập các cạnh của đồ thị đôi một không có đỉnh chung
Bài toán cặp ghép cực đại : Tìm cặp ghép với lực lượng lớn nhất
Toán rời rạc – Fall 2005
NGUYỄN ĐỨC NGHĨA
11
Bộ môn KHMT
Bài toán cặp ghép cực đại trên đồ thị hai phía
1
6
2
7
Đồ thị vô hướng G=(V,E) là hai phía nếu V có thể phân hoạch thành 2 tập X và Y sao cho mỗi cạnh eE đều có thể biểu diễn e=(x, y) với xX và yY.
3
8
Cặp ghép là tập các cạnh đôi một không có đỉnh chung.
4
9
5
10
Bài toán cặp ghép cực đại : Tìm cặp ghép có lực lượng lớn nhất
Toán rời rạc – Fall 2005
NGUYỄN ĐỨC NGHĨA
12
Bộ môn KHMT
Qui dẫn về bài toán luồng cực đại
Xây dựng mạng G’
6
1
Mỗi cung (j, t) có kntq là 1.
1
7
2
8
3
s
t
9
4
1
∞
Mỗi cung (s, i) có kntq là 1.
5
10
Toán rời rạc – Fall 2005
NGUYỄN ĐỨC NGHĨA
Mỗi cạnh (x,y) thay bởi cung (x,y) với kntq +∞.
13
Bộ môn KHMT
Tìm luồng cực đại
1
6
2
7
3
8
s
t
4
9
5
10
Giá trị luồng cực đại từ s đến t là 4.
Cặp ghép cực đại có lực lượng là 4.
Toán rời rạc – Fall 2005
NGUYỄN ĐỨC NGHĨA
14
Bộ môn KHMT
Bipartite Matching: Tính đúng đắn
Đinh lý. Lực lượng của cặp ghép cực đại trong G = giá trị của luồng cực đại trong G'. CM. Chỉ cần chứng minh G có cặp ghép lực lượng k khi và chỉ khi G’ có luồng với giá trị k. ) Cho cặp ghép M có lực lượng k. Xét luồng f đẩy luồng 1 đơn vị dọc theo mỗi một trong k đường đi.
1
1'
1
1'
1
1
2
2'
2
2'
3
3'
s
3
3'
t
4
4'
4
4'
G'
G
5
5'
5
5'
f là luồng có giá trị k. ■
Toán rời rạc – Fall 2005
NGUYỄN ĐỨC NGHĨA
15
Bộ môn KHMT
Bipartite Matching: Tính đúng đắn
) Cho f là luồng giá trị k trong G'. Từ định lý về tính nguyên tìm được luồng nguyên: f(e) chỉ là 0
Gọi M = tập các cạnh e từ X sang Y với f(e) = 1.
– mỗi đỉnh trong X và Y là đầu mút của một cạnh trong M – |M| = k, do luồng có giá trị k nên có đúng k cạnh từ X sang Y với
hoặc 1.
1
1'
1
1'
1
1
2
2'
2
2'
3
3'
s
t
3
3'
4
4'
4
4'
G'
G
5
5'
5
5'
giá trị luồng trên cung là 1 ■
Toán rời rạc – Fall 2005
NGUYỄN ĐỨC NGHĨA
16
Bộ môn KHMT
Cặp ghép hoàn hảo (Perfect Matching)
ĐN. Cặp ghép M E được gọi là hoàn hảo (perfect) nếu mỗi đỉnh của đồ thị là đầu mút của đúng 1 cạnh trong M.
Câu hỏi. Khi nào đồ thị hai phía có cặp ghép hoàn hảo?
Cấu trúc của đồ thị hai phía có cặp ghép hoàn hảo. Rõ ràng ta phải có |X| = |Y|.
Điều kiện nào là cần nữa?
Các điều kiện đủ là gì?
Toán rời rạc – Fall 2005
NGUYỄN ĐỨC NGHĨA
17
Bộ môn KHMT
Cặp ghép hoàn hảo
Ký hiệu. Gỉa sử S là tập con các đỉnh, ký hiệu (S) là tập các đỉnh kề với các đỉnh trong S.
1
1'
2
2'
Không có cặp ghép hoàn hảo:
3
3'
S = { 2, 4, 5 } (S) = { 2', 5' }.
4
4'
5
5'
Nhận xét. Nếu đồ thị hai phía G = (X Y, E) có cặp ghép hoàn hảo, thì | (S)| |S| với mọi tập con S X. CM. Hai đỉnh bất kỳ trong S gắn với hai đỉnh khác nhau trong (S).
X
Y
Toán rời rạc – Fall 2005
NGUYỄN ĐỨC NGHĨA
18
Bộ môn KHMT
Định lý về các đám cưới (Marriage Theorem)
Marriage Theorem. [Frobenius 1917, Hall 1935] Giả sử G = (X Y, E) là đồ thị hai phía với |X| = |Y|. Khi đó, G có cặp ghép hoàn hảo khi và chỉ khi | (S)| |S| với mọi tập con S X.
1
1'
2
2'
Không có cặp ghép hoàn hảo:
3
3'
S = { 2, 4, 5 } (S) = { 2', 5' }.
4
4'
5
5'
CM. ) Vừa chứng minh ở trên.
X
Y
Toán rời rạc – Fall 2005
NGUYỄN ĐỨC NGHĨA
19
Bộ môn KHMT
Chứng minh định lý về các đám cưới
CM. ) Giả sử G không có cặp ghép hoàn hảo.
Xét bài toán luồng cực đại tương ứng và (A, B) là lát cắt nhỏ nhất trong G'.
Theo định lý luồng cực đại và lát cắt nhỏ nhất, cap(A, B) < | X |. Gọi XA = X A, XB = X B , YA = Y A. cap(A, B) = | XB | + | YA |. Do lát cắt nhỏ nhất không sử dụng cạnh : (XA) YA. Suy ra:
|(XA )| | YA | = (| XB | + | YA |) - | XB | = cap(A, B) - | XB | < | X | - | XB | = | XA |.
Chọn S = XA ta có |(S)| < |S| ?! ■
1
1
G'
1'
A
2'
2
1
s
3'
1
3
4
XA = {2, 4, 5} XB = {1, 3} YA = {2', 5'} (XA) = {2', 5'}
t
4'
5
1
5'
Toán rời rạc – Fall 2005
NGUYỄN ĐỨC NGHĨA
20
Bộ môn KHMT
Ví dụ
Boys Girls
1 5
2 6
3 7
4 8
Có cách tổ chức các đám cưới?
Toán rời rạc – Fall 2005
NGUYỄN ĐỨC NGHĨA
21
Bộ môn KHMT
Qui về bài toán luồng cực đại
Boys Girls
1 5
1 1
2 6 1
s t 1 1 1
3 7 1 1
4 8
Tồn tại luồng cực đại với giá trị 4?
Toán rời rạc – Fall 2005
NGUYỄN ĐỨC NGHĨA
22
Bộ môn KHMT
Bipartite Matching: Thời gian tính
Sử dụng thuật toán luồng cực đại nào để tìm cặp ghép? Đường tăng luồng tuỳ ý: O(m val(f*) ) = O(mn). Thang độ hoá kntq: O(m2 log C ) = O(m2). Đường tăng ngắn nhất: O(m n1/2).
Cặp ghép trên đồ thị tổng quát. Thuật toán trổ hoa (Blossom algorithm): O(n4). [Edmonds 1965] Thuật toán tốt nhất hiện biết: O(m n1/2). [Micali-Vazirani 1980]
Toán rời rạc – Fall 2005
NGUYỄN ĐỨC NGHĨA
23
Bộ môn KHMT
Đối ngẫu: Bài toán phủ đỉnh tối tiểu
1 1
6 6 6
2 2
7
Bài toán phủ đỉnh tối tiểu: Tìm phủ đỉnh với lực lượng nhỏ nhất
3 3
8 8 8
Phủ đỉnh là tập đỉnh CV sao cho mỗi cạnh của đồ thị có ít nhất một đầu mút trong C
4 4
9
5 5
10
Ví dụ: C = {2, 5, 6, 8} là một phủ đỉnh
Toán rời rạc – Fall 2005
NGUYỄN ĐỨC NGHĨA
24
Bộ môn KHMT
Tìm luồng cực đại
1
6
2
7
3
8
s
t
4
9
5
10
Giá trị luồng cực đại từ s đến t là 4.
Cặp ghép cực đại có lực lượng là 4.
Toán rời rạc – Fall 2005
NGUYỄN ĐỨC NGHĨA
25
Bộ môn KHMT
Xác định lát cắt nhỏ nhất
1 1
6 6
2
7
3 3
8 8
s s
t
4 4
9
5
10
S = {s, 1, 3, 4, 6, 8}. T = {2, 5, 7, 9, 10, t}.
Không có cung từ {1, 3, 4} đến {7, 9, 10} hoặc từ {6, 8} đến {2, 5}.
Toán rời rạc – Fall 2005
NGUYỄN ĐỨC NGHĨA
26
Bộ môn KHMT
Ý nghĩa của lát cắt nhỏ nhất
1 1
6 6 6
2 2
7
ss s s
t t
3 3
8 8 8
4 4
9
5 5
10
Xét tập đỉnh C = (X \ S) (T\t).
Mỗi cạnh của đồ thị xuất phát G kề với một đỉnh như vậy.
Toán rời rạc – Fall 2005
NGUYỄN ĐỨC NGHĨA
27
Bộ môn KHMT
Đối ngẫu
1 1
6 6 6
2 2
7
3 3
8 8 8
Phủ đỉnh là tập đỉnh CV sao cho mỗi cạnh của đồ thị có ít nhất một đầu mút trong C
4 4
9
Tập đỉnh C = (X \ S) (T\ t) = { 2, 5, 6, 8 } là một phủ đỉnh
5 5
10
Lực lượng của cặp ghép cực đại là bằng lực lượng của phủ đỉnh nhỏ nhất.
Toán rời rạc – Fall 2005
NGUYỄN ĐỨC NGHĨA
28
Bộ môn KHMT
Độ tin cậy của mạng Network Reliability
Toán rời rạc – Fall 2005
NGUYỄN ĐỨC NGHĨA
29
Bộ môn KHMT
Độ tin cậy của mạng
Xét mạng truyền thông (Communication Network) Hỏi có bao nhiêu đường đi không giao nhau cạnh từ s đến t? Xác định số này bằng cách nào?
Định lý. Giả sử G = (V,E) là đồ thị có hướng. Khi đó số lớn nhất các đường đi không giao nhau cạnh từ s đến t là bằng số ít nhất các cạnh cần loại bỏ khỏi G để không còn đường đi từ s đến t.
s t
Toán rời rạc – Fall 2005
NGUYỄN ĐỨC NGHĨA
30
Bộ môn KHMT
Có 3 đường đi không giao nhau cạnh từ s đến t
1
5
9
2
6
10
t
s
3
7
11
4
8
12
Toán rời rạc – Fall 2005
NGUYỄN ĐỨC NGHĨA
31
Bộ môn KHMT
Xoá 3 cạnh để tách s và t
Đặt S = {s, 3, 4, 8}. 3 cạnh cần xoá là tất cả các cạnh từ S sang T = N\S.
1
5
9
2
6
10
t
s
3
7
11
4
8
12
Toán rời rạc – Fall 2005
NGUYỄN ĐỨC NGHĨA
32
Bộ môn KHMT
Đường đi không giao nhau đỉnh
Hai đường đi từ s đến t được gọi là không giao nhau đỉnh nếu chúng có duy nhất hai đỉnh chung là s và t.
Bằng cách nào có thể xác định số lượng đường đi từ s đến t không giao nhau đỉnh?
Trả lời: Tách nút
Định lý. Giả sử G = (V,E) là mạng không có cung trực tiếp từ s đến t. Số lớn nhất các đường đi không giao nhau đỉnh là bằng số nhỏ nhất các đỉnh mà việc loại bỏ chúng làm gián đoạn mọi đường đi từ s đến t.
Toán rời rạc – Fall 2005
NGUYỄN ĐỨC NGHĨA
33
Bộ môn KHMT
Có 2 đường đi không giao nhau đỉnh từ s đến t
1
5
9
2
6
10
t
s
3
7
11
4
8
12
Toán rời rạc – Fall 2005
NGUYỄN ĐỨC NGHĨA
34
Bộ môn KHMT
Xoá đỉnh 5 và 6 tách t khỏi s?
Gọi S = {s, 1, 2, 3, 4, 8}
Gọi T = {7, 9, 10, 11, 12, t}
1
5
9
2
6
10
t
s
3
7
11
4
8
12
Không có cung từ S sang T.
Toán rời rạc – Fall 2005
NGUYỄN ĐỨC NGHĨA
35
Bộ môn KHMT
Toán rời rạc – Fall 2005
NGUYỄN ĐỨC NGHĨA
36
Bộ môn KHMT
Bài toán đường đi không giao nhau cạnh (Edge Disjoint Paths)
Định nghĩa. Hai đường đi được gọi là không giao nhau cạnh nếu chúng không có cạnh chung.
Bài toán đường đi không giao nhau cạnh. Cho đồ thị có hướng G = (V, E) và hai đỉnh s và t, tìm số lượng lớn nhất các đường đi từ s đến t không giao nhau cạnh.
2
5
s
t
3
6
4
7
Ví dụ: mạng truyền thông
Toán rời rạc – Fall 2005
NGUYỄN ĐỨC NGHĨA
37
Bộ môn KHMT
Bài toán đường đi không giao nhau cạnh (Edge Disjoint Paths)
Định nghĩa. Hai đường đi được gọi là không giao nhau cạnh nếu chúng không có cạnh chung.
Bài toán đường đi không giao nhau cạnh. Cho đồ thị có hướng G = (V, E) và hai đỉnh s và t, tìm số lượng lớn nhất các đường đi từ s đến t không giao nhau cạnh.
2
5
s
t
3
6
4
7
Ví dụ: mạng truyền thông
Toán rời rạc – Fall 2005
NGUYỄN ĐỨC NGHĨA
38
Bộ môn KHMT
Bài toán đường đi không giao nhau cạnh
1
1
1
1
1
1
1
1
s
t
1
1
1
1
1
1
Quy về bài toán luồng cực đại: gán cho mỗi cạnh kntq là 1.
Định lý. Số lượng lớn nhất các đường đi từ s đến t không giao nhau cạnh là bằng giá trị của luồng cực đại. CM. Điều kiện cần Giả sử có k đường đi không giao nhau cạnh P1, . . . , Pk. Đặt f(e) = 1 nếu e thuộc vào ít nhất một trong số các đường đi; và
Do các đđ không có cạnh chung nên f là luồng có giá trị k. ■
f(e) = 0, nếu trái lại.
Toán rời rạc – Fall 2005
NGUYỄN ĐỨC NGHĨA
39
Bộ môn KHMT
Bài toán đường đi không giao nhau cạnh
Quy về bài toán luồng cực đại: gán cho mỗi cạnh kntq là 1.
1
1
1
1
1
1
1
1
s
t
1
1
1
1
1
1 Định lý. Số lượng lớn nhất các đường đi từ s đến t không giao nhau cạnh là bằng giá trị của luồng cực đại. CM. Điều kiện đủ
Giả sử luồng cực đại có giá trị k. Theo định lý về tính nguyên tồn tại f là luồng 0-1 với giá trị k. Xét cạnh (s, u) với f(s, u) = 1.
–
–
theo đk cân bằng luồng, tồn tại cạnh (u, v) với f(u, v) = 1 tiếp tục cho đến khi đạt tới t, luôn sử dụng cạnh mới
Tạo được k đường đi (không nhất thiết là đơn) không giao nhau cạnh. ■
Toán rời rạc – Fall 2005
NGUYỄN ĐỨC NGHĨA
nếu cần, có thể cắt chu trình để thu được đường đi đơn
40
Bộ môn KHMT
Bài toán về độ liên kết của mạng (Network Connectivity)
ĐN. Tập cạnh F E được gọi là tách t với s nếu mọi đường đi từ s đến t đều đi qua ít nhất một cạnh trong F.
Liên kết mạng. Cho đồ thị có hướng G = (V, E) và hai đỉnh s và t, tìm số lượng cạnh ít nhất cần loại bỏ để tách t với s.
2
5
s
t
3
6
4
7
Toán rời rạc – Fall 2005
NGUYỄN ĐỨC NGHĨA
41
Bộ môn KHMT
Đường đi không giao nhau cạnh và Độ liên kết mạng
Định lý. [Menger 1927] Số lớn nhất các đường đi không giao nhau cạnh từ s đến t là bằng số nhỏ nhất các cạnh cần loại bỏ để tách t với s.
Do mọi đường đi từ s đến t đều có ít nhất một cạnh trong F, suy ra số
CM. Điều kiện đủ Giả sử loại bỏ F E ngăn cách t từ s, và |F| = k.
2
5
2
5
s
t
3
6
s
t
3
6
4
7
4
7
lượng đường đi không giao nhau cạnh không vượt quá k. ■
Toán rời rạc – Fall 2005
NGUYỄN ĐỨC NGHĨA
42
Bộ môn KHMT
Đường đi không giao nhau cạnh và Độ liên kết mạng
Khi đó giá trị luồng cực đại là k.
Từ định lý Max-flow min-cut lát cắt nhỏ nhất (A, B) có kntq k.
Gọi F là tập các cạnh từ A sang B.
Định lý. [Menger 1927] Số lớn nhất các đường đi không giao nhau cạnh từ s đến t là bằng số nhỏ nhất các cạnh cần loại bỏ để tách t với s. CM. Điều kiện cần Giả sử k là số lượng lớn nhất các đường đi không giao nhau cạnh.
2
5
2
5
A
s
t
3
6
s
t
3
6
4
7
4
7
|F| = k và F tách t với s. ■
Toán rời rạc – Fall 2005
NGUYỄN ĐỨC NGHĨA
43
Bộ môn KHMT
Bài toán giao hàng
Toán rời rạc – Fall 2005
NGUYỄN ĐỨC NGHĨA
44
Bộ môn KHMT
Bài toán giao hàng
kho hàng đại lý bán lẻ
6 1
6 5 6 2
7 7 4 3
8 6 5 4
9 5 4 5
Có cách chuyển hàng từ các kho đáp ứng yêu cầu của các đại lý bán lẻ?
Toán rời rạc – Fall 2005
NGUYỄN ĐỨC NGHĨA
45
Bộ môn KHMT
Quy về bài toán luồng cực đại
kho hàng đại lý bán lẻ
6 1
6
6 5 6 6 2 5 tổng yêu cầu của các đại lý là 24
7 7 7 4 4 3
s
t 5
8 6 6 5 4 4
9 5 5 4 5
Tồn tại tương ứng 1-1 giữa luồng từ s đến t với giá trị 24 với một cách chuyển hàng đáp ứng yêu cầu của các đại lý bán lẻ.
Toán rời rạc – Fall 2005
NGUYỄN ĐỨC NGHĨA
46
Bộ môn KHMT
Bài toán lập lịch
Toán rời rạc – Fall 2005
NGUYỄN ĐỨC NGHĨA
47
Bộ môn KHMT
Bài toán
Có n chi tiết (job) cần được gia công. Có M máy (giống hệt nhau) để thực hiện việc gia công. Đối với chi tiết j biết:
tj - thời gian hoàn thành rj - thời điểm sẵn sàng dj - thời hạn hoàn thành
Tìm cách bố trí việc thực hiện gia công n chi tiết trên M máy: Mỗi chi tiết j được bắt đầu gia công ở thời điểm không sớm hơn rj Thời điểm hoàn thành việc gia công chi tiết j không muộn hơn dj Tại mỗi thời điểm có không quá 1 máy thực hiện việc gia công chi tiết j và tổng thời gian thực hiện gia công chi tiết j trên M máy là bằng tj
Cách bố trí thoả mãn các điều kiện vừa nêu gọi là lịch
Toán rời rạc – Fall 2005
NGUYỄN ĐỨC NGHĨA
48
Bộ môn KHMT
Lập lịch trên các máy song song
Job ( j )
1
3
4
2
1.5
4.5
5
3
Thời gian hoàn thành ( tj )
2
2
4
0
Thời điểm sẵn sàng ( rj )
5
7
9
4
Thời hạn ( dj )
Giả sử có M = 2 máy song song
4
2
1
3
Không có lịch ngoại trừ khi cho phép ngắt quãng
Toán rời rạc – Fall 2005
NGUYỄN ĐỨC NGHĨA
49
Bộ môn KHMT
Lập lịch trên các máy song song
Job ( j )
1
2
3
4
1.5
3
4.5
5
Thời gian hoàn thành ( tj )
2
0
2
4
Thời điểm sẵn sàng ( rj )
5
4
7
9
Thời hạn ( dj )
Giả sử có M = 2 máy song song
2
1
4
3
4
3
Có lịch nếu cho phép ngắt quãng
Toán rời rạc – Fall 2005
NGUYỄN ĐỨC NGHĨA
50
Bộ môn KHMT
Qui về bài toán luồng cực đại
jobs
0-2
cung đỏ: thời lượng gia công job j trong khoảng thời gian t nhiều nhất là t.
2
1 4
1.5 2-4 4 2 3
cung xanh lá cây: thời lượng của khoảng thời gian t nhiều nhất là Mt. (M là số máy có thể dùng)
2 s 4.5 1 t 4-5 3 5 4
4 4 5-7
2
7-9
cung xanh da trời: tổng thời lượng dành cho gia công job j trong mọi khoảng là pj.
khoảng thời gian
Toán rời rạc – Fall 2005
NGUYỄN ĐỨC NGHĨA
51
Bộ môn KHMT
Luồng cực đại – Lịch
0-2
Cần phân rã luồng để đưa ra lịch
1
Lịch tồn tại tìm được luồng bão hoà mọi cung ra khỏi s
1 .5 4,2
1.5 2-4 2 1 4,4 2 3
2 s 4.5 2,2 .5 t 4-5 3 5 4,4
4 4,2 5-7 2 1 2 2
7-9
Toán rời rạc – Fall 2005
NGUYỄN ĐỨC NGHĨA
52
Bộ môn KHMT
Questions?
Toán rời rạc – Fall 2005
NGUYỄN ĐỨC NGHĨA
53
