Cơ sở
Cơ Học Lượng Tử
Lê Quang Nguyên
www4.hcmut.edu.vn/~leqnguyen
nguyenquangle59@yahoo.com
Nội dung
1. Lưỡng tính sóng-hạt của vật chất
2. Phương trình Schrödinger
3. Hạt trong giếng thế vô hạn một chiều
4. Hệ thức bất định Heisenberg
5. Kính hiển vi quét dùng hiệu ứng đường ngầm
(STM)
1. Lưỡng tính sóng hạt của vật chất
a. Giả thuyết De Broglie
b. Ví dụ
c. Kiểm chứng
d. Ứng dụng
e. Bản chất của sóng vật
chất
f. Bài tập
Louis De Broglie
1892-1987
1a. Giả thuyết De Broglie
• Ánh sáng có lưỡng tính sóng-hạt.
• Các hạt vật chất phải chăng cũng có lưỡng tính
sóng-hạt?
• De Broglie, 1923 − các hạt vật chất cũng là
sóng, bước sóng vật chất (hay sóng De Broglie)
của một hạt có động lượng p là:
h
p
λ
=
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
1b. Ví dụ 1
• Voi Dumbo khối lượng
1000 kg, bay với vận tốc
10 m/s sẽ có bước sóng
De Broglie là bao nhiêu?
• Bước sóng này quá nhỏ
để có thể quan sát được.
34
38
3
6,626 10 6,626 10
10 10
h J s
m
p kg m s
λ
−
−
× ⋅
= = = ×
×
1b. Ví dụ 2
• Bước sóng De Broglie của một hạt bụi khối
lượng 10−9 kg rơi với vận tốc 0,020 m/s.
• Bước sóng này cũng quá nhỏ để có thể quan sát
được.
• Các hạt vĩ mô không thể hiện rõ tính sóng.
23
9
6,626 10 3,313 10
10 0,020
h J s
m
p kg m s
λ
−
−
−
× ⋅
= = = ×
×
1b. Ví dụ 3
• Một electron trong mạch điện hay trong
nguyên tử có động năng trung bình vào khoảng
1 eV, có bước sóng De Broglie bằng:
• Bước sóng này vào cỡ kích thước của nguyên
tử nên có thể quan sát được.
• Các hạt vi mô thể hiện rõ tính sóng.
( ) ( )
31 19
9
6,626 10
22 9,11 10 1,6 10
10 10Å
h J s
mK
kg J
m
λ
−
− −
−
× ⋅
= = × ⋅ × ⋅
= =
1c. Kiểm chứng thực nghiệm 1
•Davisson và Germer, 1927: electron có thể
nhiễu xạ trên tinh thể Nickel giống như tia X
vậy.
• Nhiễu xạ của electron trên tinh thể cũng tuân
theo định luật Bragg.
• Bước sóng electron đo được phù hợp với giả
thuyết De Broglie.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
1c. Kiểm chứng thực nghiệm 2
• G. P. Thomson, 1927: electron có thể nhiễu xạ
trên màng mỏng kim loại, tạo ra vân tròn
tương tự như tia X nhiễu xạ trên bột đa tinh
thể.
Electron Tia X
1c. Kiểm chứng thực nghiệm 3
• Zeilinger et al., 1988: Nhiễu xạ neutron trên hai
khe.
1c. Kiểm chứng thực nghiệm 4
• Sóng dừng của electron trên bề mặt đồng, ảnh
chụp bằng Scanning Tunneling Microscope (IBM
Almaden Research Center).
1d. Ứng dụng của sóng De Broglie
• Kính hiển vi điện tử dùng sóng electron thay
cho sóng ánh sáng, có độ phóng đại lên đến 2
triệu lần.
• Nhiễu xạ electron, nhiễu xạ neutron được dùng
để tìm hiểu cấu trúc vật chất, tương tự như
nhiễu xạ tia X.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
1e. Bản chất của sóng De Broglie − 1
•Giao thoa của sóng electron trên hệ hai khe:
100 electrons 3000 electrons
70 000 electrons
Nơi hạt đến nhiều
cũng là nơi có cường
độ sóng lớn.
Càng nhiều hạt, quy luật
sóng càng rõ.
1e. Bản chất của sóng De Broglie − 2
• Max Born, 1928: sóng vật chất là sóng xác suất.
• Bình phương biên độ hàm sóng ở một vị trí thì
tỷ lệ với xác suất tìm thấy hạt tại đó.
• Gọi Ψ(x,y,z) là hàm sóng vật chất tại vị trí (x,y,z)
của một hạt, dV là một thể tích nhỏ bao quanh
vị trí này, xác suất tìm thấy hạt trong thể tích
dV là:
• |Ψ(x,y,z)|2 là mật độ xác suất của hạt tại (x,y,z).
(
)
2
, ,
dP x y z dV
= Ψ
1e. Bản chất của sóng De Broglie − 3
• Ψ(x,y,z) là một số phức, nên ta còn có:
• Xác suất tìm thấy hạt trong toàn bộ không gian
V, trong đó hạt tồn tại, phải bằng đơn vị, do đó:
• Đó là điều kiện chuẩn hóa của hàm sóng vật
chất.
(
)
2
*
, ,x y z
Ψ = Ψ⋅Ψ
( )
2
, , 1
V
x y z dV
Ψ =
∫
1f. Bài tập 1
• Hình bên cho thấy sóng
dừng trong một lò vi ba,
màu xám là nơi sóng điện
từ bằng không, còn màu
trắng và đen là nơi sóng
cực đại.
• Hãy so sánh mật độ photon
ở các vị trí A, B và C trên củ
cà-rốt.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
1f. Bài tập 1
• Mật độ hạt (hay xác suất) tỷ
lệ với bình phương biên độ
sóng vật chất (sóng điện từ
đối với photon).
• Biên độ sóng cực đại ở A và
C,
• do đó mật độ photon cũng
cực đại ở A và C.
1f. Bài tập 2
Hàm sóng của một hạt bị “giam” trong khoảng
từ 0 đến L là Asin(πx/L), A là một hằng số. Xác
suất tìm thấy hạt ở vị trí nào sau đây là lớn
nhất?
(a) L/4
(b) L/2
(c) 3L/4
(d) L
1f. Trả lời bài tập 2
• Mật độ xác suất:
•w = A2sin2(πx/L)
• Cực trị của w được
cho bởi:
• sin(πx/L)cos(πx/L) =
0
•πx/L = 0, π/2, π
•x = 0, L/2, L
•w cực đại ứng với x =
L/2.
• Câu trả lời đúng là
(b).
L/2
Hàm
sóng
Mật độ
xác suất
1f. Bài tập 3
Bước sóng De Broglie của một electron được
tăng tốc không vận tốc đầu bởi hiệu điện thế U
bằng:
(a) (b)
(c) (d)
2
e
h
m eU
e
h
m eU
2
2
e
h
m eU
2
e
h
m eU
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt