Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH - CHÂU
Chöông 1: ÑOÄNG HOÏC CHAÁT ÑIEÅM
1.1 Caùc khaùi nieäm cô baûn:
- Chaát ñieåm laø 1 vaät coù khoái löôïng, coù kích thöôùc raát nhoû so vôùi khoaûng caùch vaø kích
thöôùc cuûa vaät khaùc.
- Heä chaát ñieåm: laø taäp hôïp nhieàu chaát ñieåm rôøi raïc. - Vaät raén: laø taäp hôïp nhieàu chaát ñieåm phaân boá lieân tuïc vaø coù moái lieân keát raén
Cuïc gaïch: vaät raén.
(khoaûng caùch giöõa caùc chaát ñieåm laø khoâng thay ñoåi). Vd: Ñoáng caùt khoâng phaûi laø vaät rắn do khoaûng caùch thay ñoåi. - Chuyeån ñoäng: laø söï thay ñoåi vò trí cuûa chaát ñieåm trong suoát quaù trình chuyeån ñoäng. - Heä quy chieáu: laø heä vaät quy öôùc ñöùng yeân ñeå khaûo saùt caùc vaät khaùc chuyeån ñoäng
ñoái vôùi noù. Thöôøng ngöôøi ta gaén heä truïc toïa ñoä vaøo heä quy chieáu.
1.2 Phöông trình chuyeån ñoäng cuûa chaát ñieåm:
y
r z k .
r . x i
r r
=
+
+
- Vectô vò trí cuûa chaát ñieåm: r y j .
x, y, z laø haøm theo thôøi gian t.
M
x ⎧ ⎪ y ⎨ ⎪ z ⎩
rr
Toïa ñoä ñieåm M:
r j
r i
- Phöông trình chuyeån ñoäng cuûa chaát ñieåm M: .
*vectô vò trí * toïa ñoä ñieåm M
x
r k
0 - Quyõ ñaïo cuûa chaát ñieåm M: f (x,y,z) = 0: laø taäp hôïp
Z
caùc vò trí cuûa chaát ñieåm trong suoát quaù trình chuyeån ñoäng.
2
−
+
=
- Muoán tìm phöông trình quyõ ñaïo cuûa chaát ñieåm, ta khöû t ôû phöông trình chuyeån
r i
r )j2
Vd: ñoäng chaát ñieåm: 2 daïng + Daïng 1: phöông phaùp theá + Daïng 2: sin & cos theo t: aùp duïng sin2 + cos2 = 1 r r
( t
t 2
2
= t = x ⇒ M 0 2 = − y 2 x2 ( x2 ≥ ) ⎧ ⎨ ⎩ = − t 2 2 t y 2
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ =⇒ y x4 0
=− 2 Giôùi haïn quyõ ñaïo: t > 0 → 2x > 0 → x > 0
cos
sin
r r
A
A
t ω
ω
=
+
r ) t i
(
(
cos
=
t ω
M
⇒
⇔
cos sin
t ω t ω
x A =⎧ ⎨ y A =⎩
t ω
=
x A y A
2
2
2
2
sin
cos
1
1
=
t ω
t ω
+
= ⇔ +
2
2
⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ sin ⎪⎩ y A
x A
rΔr
Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH - CHÂU r ) j
r ϑ
y
1rr
2rr
=
=
t 1 t 2 r ϑ
M → → 1 M → → 2 r r − 2 t −
r r 1 r r 2 r r Δ t Δ
r r 1 t 1
2
Tröôøng hôïp naøy khoâng coøn giôùi haïn quyõ ñaïo 1.3 Vectô vaän toác: r 1/ Vectô vaän toác trung bình: ϑ
r 2/ Vectô vaän toác töùc thôøi: ϑ r =ϑ
r Δ r Δ t
r =ϑ
x z 0
=
+
lim →Δ t 0 r rd dt r x
r r
r y
v z
k
Ñieåm ñaët: ñieåm ñang xeùt Phöông: tieáp tuyeán vôùi quyõ ñaïo taïi M Chieàu: cuøng chieàu chuyeån ñoäng
r 2 ϑ+ϑ+ϑ=ϑ=ϑ x
2 y
2 z
⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩
r =ϑ
=
+
+
r i
r j
r k
+ i r rd dt
j dx dt
dy dt
dz dt
2
r =ϑ
dx dt
dy dt
dz dt
⎛ ⎜ ⎝
2 ⎞ +⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎝
2 ⎞ +⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
Ñoä lôùn:
2
t
r j
+
r ) i 1 r jt 2
r r r ϑ
2
( t += r i += r =⇒ ϑ
41 t +
r 1ϑ
r a
r 2ϑ
Vd:
M → → 1
r a
=
=
y
r ϑΔ
1.4 Vectô gia toác: r 1/ Vectô gia toác trung bình: a r r r t ϑϑϑ 1 2 1 t t
t
Δ Δ
− −
t
2
1
r ϑ 1 r ⇒ ϑ 2
M → → 2
2
r 2ϑ
Δ → =
r 2ϑ
r 1ϑ
r a r ϑ Tònh tieán veà r Δ ϑ t Δ
2/ Vectô gia toác töùc thôøi: => ar x z 0
r a
=
r ϑ Δ t Δ
r a
=
r
.
r a
=
r . a j a k +
+
r a
a
a
a
Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH - CHÂU
+
+
y
z
2 z
2 x
2 y
2
2
d ϑ y
r k
r a
r i
r j
=
=
+
+
d ϑ y
=
lim 0 t Δ → r d ϑ dt r . a i x r d ϑ dt
d ϑ x dt
dt
d ϑ z dt
d ϑ x dt
dt
d ϑ z dt
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎝
2 ⎞ +⎟ ⎠
Ñieåm đặt: ñieåm ñang xeùt M Phöông: ñöôøng thaúng ñi qua M Chieàu: höôùng veà beà loõm cuûa quyõ ñaïo Ñoä lôùn: a ==
⎛ ⎜⎜ ⎝
⎞ +⎟⎟ ⎠
2
2
2
r a
=
+
+
2 d x 2 dt
2 d y 2 dt
2 d z 2 dt
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
2
2
r a
r i
r i 0
2
r a
r j
0
2
r r tj 2 ϑ= + ⇒ =
=
+ ⇒ =
+
=
2
r d ϑ dt
Vd:
nar .
tar
Vectô gia toác töùc thôøi ñöôïc chieáu leân phöông tieáp tuyeán vaø phaùp tuyeán, ta coù vectô gia toác tieáp tuyeán vaø vectô gia toác phaùp tuyeán
tar
Vectô gia toác tieáp tuyeán
ϑ> 1
ϑ 2
<
Chieàu: dϑ > 0 ,
r ϑ r ϑ
1ϑ ϑ: chuyeån ñoäng chậm daàn =>
2
⎧ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
a
=r a
=
dϑ < 0 , Ñieåm ñaët: ñieåm ñang xeùt r Phöông: tieáp tuyeán vôùi quyõ ñaïo taïi M (cuøng phöông ϑ ) r ↑↑ta : chuyeån ñoäng nhanh daàn => r ↑↓ta
t
t
d ϑ dt
M
Ñoä lôùn:
tar
Vectô gia toác tieáp tuyeán ñaëc tröng cho söï biến đổi veà ñoä lôùn cuûa vectô vaän toác. Chieàu
ñaëc tröng: chaäm daàn, nhanh daàn.
nar
⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩
=
Ñieåm ñaët: ñieåm ñang xeùt Phöông: ñt ⊥ tieáp tuyeán vôùi quyõ ñaïo taïi M Chieàu: höôùng vaøo taâm cuûa voøng troøn quyõ ñaïo taïi M
an
2ϑ R
(R: baùn kính quyõ ñaïo taïi M) Ñoä lôùn:
r Do ñoù ñeå tìm baùn kính cong: phaûi coù ñoä lôùn ϑ r . vaø an
nar
ñaëc tröng cho söï thay ñoåi veà phöông cuûa vectô vaän toác.
Vectô gia toác phaùp tuyeán nar nhoû => R lôùn
r ϑ
r 1ϑ
1nar
r 2ϑ
2nar
nar lôùn => R nhoû
Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH - CHÂU
r a
r a
+
=
t
n
r a
a
a
=
+
2 t
2 n
Vectô vaän toác töùc thôøi: r a
ar ñaëc tröng cho söï thay ñoåi veà ñoä lôùn vaø phöông cuûa vectô vaän toác. 1.5 Chuyeån ñoäng thaúng:
R
a
R
a
;
0
0=→∞=→
=
=→∞=
na
n
n
2 ϑ R
Quyõ ñaïo laø ñöôøng thaúng: (vì )
Neân ñöa chuyeån ñoäng thaúng veà 1 truïc -> chæ caàn 1 thaønh phaàn ñeå bieåu dieãn.
r r x r . x i = →
~ = r ϑ ϑ ϑ ϑ x r i = → x
x
2 d x 2 dt
~ r a a a = = r a i = → x dx dt d ϑ x dt
uuuuur const 1/ Chuyeån ñoäng thaúng ñeàu: r ( ϑ=
)
x
0
∫
x
t ∫ ϑ 0
0
const
a =r
)
=
r ta
const dx dt dx dt x ϑ = = ⇔=⇒ ϑ = x =⇔ t ϑ + dx dt
uuuuur const t
r na
∫
0
ϑ 0
x
t
2
at dt a a + = =⇒ ϑ d ϑ = ϑ 0 dx dt 2/ Chuyeån ñoäng thaúng thay ñoåi ñeàu: ( r = 0 a = ⇒ ϑ ϑ d ∫ →= dt
( at
) dt
0
∫
∫
0
x
0
dx x at t ⇒ = + x −⇔ = + ϑ 0 ϑ 0 1 2
2
Hay:
0
2
x at t x = + + ϑ 0
)0
( xa chuyeån ñoäng nhanh daàn ñeàu chuyeån ñoäng chaäm daàn ñeàu
x −
1 2 2 − = ϑϑ 0 r ar cuøng chieàu →ϑ r ar ngöôïc chieàu →ϑ
Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH - CHÂU
1.6 Chuyeån ñoäng troøn: quyõ ñaïo laø ñöôøng troøn ⇒ R = const 1/ Vectô vaän toác goùc ωr :
∀
truïc voøng troøn quyõ ñaïo (vectô truïc)
Ñieåm ñaët: ñieåm∈ Phöông: truïc cuûa voøng troøn quyõ ñaïo Chieàu: theo quy taéc vaën nuùt chai
d
r ϑ
⎞ ⎟ ⎠
⎧ ⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
.
=
=
r ωω =
=
=
ωr
S ⎛ ⎜ R ⎝ dt
1 R
dS dt
ϑ R
d dt
r R nar
r
rrr ,ωϑ , R
r R
r ϑ ω= ×
ωr tar Ñoä lôùn:
r β
dω
0 > →
:
Lieân heä giöõa r 2/ Vectô gia toác goùc: β
0 < →
dω
Ñieåm ñaët: ∀ ñieåm∈truïc voøng troøn quyõ ñaïo (vectô truïc). Phöông: truïc cuûa voøng troøn quyõ ñaïo . r β Chieàu: r β cuøng chieàu ωr (chuyeån ñoäng nhanh daàn) ngöôïc chieàu ωr (chuyeån ñoäng chaäm daàn)
r β
d
⎧ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
rr ,β ,
r r Rβ= ×
. = r ββ = = = Ñoä lôùn: d ω dt ϑ ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ R ⎠ ⎝ dt 1 R d ϑ dt a t= R
r ( ar cuøng chieàu ϑ
r at
t
r ta
: R : nhanh daàn) Lieân heä giöõa
2
2
R = . β a t
2 ω
n
a R . = = . R R
4 2 ω β +
2 ϑ ω = R 2 a t
2 n
a a R + = =
const
3/ Chuyeån ñoäng troøn ñeàu:
r ϑ
const
a =⇒ n
const
=
r a
0
=
n
const
⎫ ⎪ ⎬ ⎪⎭ r a =→=
R r a t r ω
θ
dt
=
ω
t θωθ 0
∫
d θ ⇒= dt
t ∫ d ωθ = 0
θ 0
=⇒ +
4/ Chuyeån ñoäng troøn thay ñoåi ñeàu:
Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH - CHÂU
t
t
ω
const = a const = R . β a =⇒ t const r β R = ⎫ , ⎬ ⎭
∫
∫ d βω = 0
ω 0
t
θ
dt β =⇒ + t ωβω 0 d ω ⇒= dt
) dt
2 + θωβθ 0
0
∫
( ∫ d ωβθ 0
0
θ 0
2
t t t ω + = =⇒ + Maø: 1 2 d θ ⇒= dt
(
)0 = θθβωω
2 0
2 − −
1.7 Chuyeån ñoäng trong gia toác gr
:(chuyeån ñoäng parabol)
r gj (1) r a
r ϑ
r a r gj dt . = ⇒ = − r d ϑ r g = = − r d ϑ dt
∫
t ∫ = − 0
r gj dt . ⇔ r d ϑ
r ϑ 0 r ϑ
t 0
r ϑ r ϑ 0
r gt j . ⇔ = − = − r r ⇒ − ϑ ϑ 0
(
(
cos sin + = Maø: r gt j . r r r ) j ) i αϑαϑϑ 0
0 r i
)
0 r ) ϑ ϑ α ⇒ = 0
0
( ( sin ϑ α + − ⎤ ⎡ ⎦ ⎣ 14243 144424443
ϑ x
ϑ y
t
r r
cos (2) gt r j + = r dr dt
( ) cos ϑ α
(
) sin ϑ α
0
0
∫
∫
2
0
r r 0
+
=
r 2 x ϑϑϑ y
2
r dr r i ⇒ = gt + − + ⎡ ⎣ r ⎤ j dt ⎦ maø:
( cos t ϑ α
)
( sin t ϑ α
)
0
0
2
r r r i gt r j r j + r r − = 0 1 2 ⎧ + − ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭
) ( cos ϑ α
) ( sin ϑ α
0
0
gt t r ti r j r r ⇔ − = + r r 0 1 2 ⎡ + − ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎦
maø:
2
r hj = r r 0
0
1 2
) ( t cos ϑ α ⎤ ⎡ ⎦ ⎣ 1442443 x
gt t r i . r r ⇒ = + +
⎤ ⎡ r h j ) ( . sin + − ϑ α ⎢ ⎥ 0 ⎦ ⎣ 14444244443 y
=> phöông trình quyõ ñaïo:
( ) cos ϑ α
0
0
2
t x t ⇒ = = x cos ϑ α M (3)
sin ϑ α
0
1 2
g
2
y
x
tg
= −
+
+ h
gt + t h + ⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ = − y ⎪⎩
(
) xα .
2
α
2 2 .cos ϑ 0
=> (4)
Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH - CHÂU
Caùc vaán ñeà thöôøng gaëp:
• ÔÛ ñoä cao cöïc ñaïi: (B): tieáp tuyeán naèm ngang
g=
0=→ yϑ ;
nBa
cos
0
=⇒=
=
0
ϑ By
ϑαϑϑ B
Bx
=
=> t B αϑ sin0= g
an
2
B
2ϑ R
2 B
r Bϑ
Ta coù: => α
a
r g
↓↓ ⇒ =
r (Vì a
2 ϑϑ 0 = a g = ) n
t
B
B
r 0ϑ
gr
α
M
2
cos g R B 0, = a n
0
rr
r ϑ
gt y ⇒ = − + t h + • Ñoä cao max: theá tB vaøo (1) ( ) sin ϑ α
A 0rr
2
2 0
0
gr
sin ϑ α
0
g h + + y ⇒ = − B
C
sin ϑ α . 2 g
sin ϑ α g
1 2 1 2
x
2
0
2 0
sin ϑ α g
1 2
h + y ⇒ = B
2
gt
h
t
0
= −
+
t sin ϑ α
0 + = ⇒ >
• Tại điểm chạm đất (C):
y c
c
c
c
0
1 2
2
.
0
y
tg
h
= −
+
+ = ⇒ > 0
* Thời gian chạm đất;
(
) α
c
x c
x c
cx
2
g .cos
α
2 2 ϑ 0
=
tC
• Khi ném tại mặt đất (h=0)
2 0 αϑ sin g
2
2
sin .cos
α
2 ϑ α α ϑ 0
0
*Tầm xa :
=
=
* Điểm chạm đất cách chân điểm ném:
Cx
g
sin 2 g
2
2 ϑ
α
=
*Độ cao cực đại:
By
1 2
0 sin g
⇒ Ñeå xC max α = 45o
=
=
R C
2 ϑ C a
g
2 ϑ o . cos
α
n
@Hoûi goùc α?:
Cx,0ϑ cho tröôùc
1
* Baùn kính cong cuûa quyõ ñaïo taïi C: ( at=gsinα ; an=gcosα ; ϑc=ϑ0 )
2
sin sin 2 = = ⇒ ⇒ β α β 2 = α β 2 α π β = − x g . C 2 ϑ o ⎧ ⎨ ⎩ − 2 2 βα ⎧ = ⎪ 2 ⎨ πα ⎪ = ⎩
Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH - CHÂU
1.8 Pheùp bieán ñoåi vaän toác – gia toác:
+
r r r = ' ϑϑϑ n
t
t
b
n
b
o
r r r ' r r r += ⎧ o ⎪ r r r ' ϑϑϑ += ⎨ o ⎪ r r r ' a aa += ⎩ • Quan nieäm cô hoïc coå ñieån:
r yj
xi
+
r zk r y j '
y’
M
r O r : = r r z k O r x i ' ' : ' ' + + = uuuuur uuuur uuuur OM OO O M ' '
+
=
y
Thôøi gian coù tính tuyeät ñoái, khoâng phuï thuoäc vaøo heä quy chieáu. Trong khi vò trí, khoâng gian coù tính töông ñoái, phuï thuoäc vaøo heä quy chieáu. Xeùt 2 heä quy chiếu O, O’ ; vaø O’ chuyeån ñoäng tònh tieán so vôùi O. khi ñoù chuyển động ñieåm M đ/v O và O’: +
rr
'rr
⇒ r r r ' r r r += o r r r ' ϑϑϑ += o r r r ' aa a +=
o
hay:
x’
0rr
0
Vaän toác ñie åm M so vôùi O
x
0
Vaän toác ñieåm M so vôùi O’
z’
z
Vaän toác cuûa O’ so vôùi O :
Gia toác ñieåm M so vôùi O :
Gia toác ñieåm M so vôùi O’
: Gia toác cuûa O’ so vôùi O r ⎧ :ϑ ⎪⎪ r :' ϑ ⎨ r ⎪ oϑ ⎪ ⎩ r a ⎧ ⎪ r :' a ⎨ ⎪ r oa ⎩
