Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH - CHÂU
Chöông 1: ÑOÄNG HOÏC CHAÁT ÑIEÅM
1.1 Caùc khaùi nieäm cô baûn:
- Chaát ñieåm laø 1 vaät coù khoái löôïng, coù kích thöôùc raát nhoû so vôùi khoaûng caùch vaø kích
thöôùc cuûa vaät khaùc.
- Heä chaát ñieåm: laø taäp hôïp nhieàu chaát ñieåm rôøi raïc.
- Vaät raén: laø taäp hôïp nhieàu chaát ñieåm phaân boá lieân tuïc vaø coù moái lieân keát raén
(khoaûng caùch giöõa caùc chaát ñieåm laø khoâng thay ñoåi).
Vd: Ñoáng caùt khoâng phaûi laø vaät rắn do khoaûng caùch thay ñoåi.
Cuïc gaïch: vaät raén.
- Chuyeån ñoäng: laø söï thay ñoåi vò trí cuûa chaát ñieåm trong suoát quaù trình chuyeån ñoäng.
- Heä quy chieáu: laø heä vaät quy öôùc ñöùng yeân ñeå khaûo saùt caùc vaät khaùc chuyeån ñoäng
ñoái vôùi noù. Thöôøng ngöôøi ta gaén heä truïc toïa ñoä vaøo heä quy chieáu.
1.2 Phöông trình chuyeån ñoäng cuûa chaát ñieåm:
- Vectô vò trí cuûa chaát ñieåm:
...rxiyjzk=++
r
rr
r
x, y, z laø haøm theo thôøi gian t.
Toïa ñoä ñieåm M:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
z
y
xM
Z
y
x
r
r
j
r
i
r
k
r
0
- Phöông trình chuyeån ñoäng cuûa chaát ñieåm M: .
*vectô vò trí
* toïa ñoä ñieåm M
- Quyõ ñaïo cuûa chaát ñieåm M: f (x,y,z) = 0: laø taäp hôïp
caùc vò trí cuûa chaát ñieåm trong suoát quaù trình
chuyeån ñoäng.
- Muoán tìm phöông trình quyõ ñaïo cuûa chaát ñieåm, ta khöû t ôû phöông trình chuyeån
ñoäng chaát ñieåm: 2 daïng
+ Daïng 1: phöông phaùp theá
+ Daïng 2: sin & cos theo t: aùp duïng sin2 + cos2 = 1
Vd:
()
j2ti
2
t
r2rr
r−+=
()
02x4y
2x2y
0x2t
2ty
2
t
x
M
2
2
2
=−=⇒
⎩
⎨
⎧
−=
≥=
⇒
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=
=
Giôùi haïn quyõ ñaïo: t > 0 → 2x > 0 → x > 0
Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH - CHÂU
()()
22
22
22
cos sin
cos
cos
sin sin
sin cos 1 1
rA tiA tj
x
t
xA t A
M
y
At y
tA
yx
tt
AA
ωω
ω
ω
ωω
ωω
=+
⎧
=
⎪
=
⎧⎪
⇒⇔
⎨⎨
=
⎩⎪=
⎪
⎩
+=⇔+
=
r
r
r
x
ϑ
r
1
r
r
2
r
r
z
y
0
rΔr
Tröôøng hôïp naøy khoâng coøn giôùi haïn quyõ ñaïo
1.3 Vectô vaän toác:
1/ Vectô vaän toác trung bình: ϑ
111
222
21
21
tMr
tMr
rr r
tt t
ϑ
→→
→→
−Δ
==
−Δ
r
r
rr
r
r
2/ Vectô vaän toác töùc thôøi: ϑ
r
222
kji
0t
dt
dz
dt
dy
dt
dx
k
dt
dz
j
dt
dy
i
dt
dx
dt
rd
zyxr dt
rd t
r
lim
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=ϑ
++==ϑ
++=
=ϑ
Δ
Δ
=ϑ →Δ
r
rrr
r
r
v
rrr
r
r
r
r
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
Ñieåm ñaët: ñieåm ñang xeùt
Phöông: tieáp tuyeán vôùi quyõ ñaïo taïi M
Chieàu: cuøng chieàu chuyeån ñoäng
Ñoä lôùn: 2
z
2
y
2
xϑ+ϑ+ϑ=ϑ=ϑ
r
Vd:
()
2
2
41
2
1
t
jti
jtitr
+=⇒
+=
++=
ϑ
ϑ
r
rr
r
r
r
r
1.4 Vectô gia toác:
x
1
ϑ
r
z
y
0
ϑ
Δr
2
ϑ
r
2
ϑ
r
a
r
1/ Vectô gia toác trung bình: a
r
11
22
tM
tM
1
2
ϑ
ϑ
→→
→→
r
r ⇒ ttt
aΔ
Δ
=
−
−
=
ϑ
ϑϑ
r
r
12
12
Tònh tieán 2
ϑ
veà 1
ϑ
r
=> at
ϑ
ϑ
Δ
Δ→=
Δ
r
rr
2/ Vectô gia toác töùc thôøi:
a
r
Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH - CHÂU
0
22
222
222
lim
...
t
xy z
y
xz
at
d
adt
aaiajak
d
ddd
aij
dt dt dt dt
dx dy dz
adt dt dt
ϑ
ϑ
ϑ
ϑϑϑ
Δ→
Δ
=Δ
=
=++
== + +
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
=++
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
r
r
r
r
r
rr
r
rr
rr
r
r
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
Ñieåm đặt: ñieåm ñang xeùt M
Phöông: ñöôøng thaúng ñi qua M
Chieàu: höôùng veà beà loõm cuûa quyõ ñaïo
Ñoä lôùn:
2
2
2
222
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
++==
dt
d
dt
d
dt
d
aaaaa
z
y
x
zyx
ϑ
ϑ
ϑ
r
2
k
Vd:
22
2020
d
itja i ja
dt
ϑ
ϑ
=+ ⇒ = = + ⇒ = + =
r
rrr rr
rr
22
Vectô gia toác töùc thôøi ñöôïc chieáu leân phöông tieáp tuyeán vaø phaùp tuyeán, ta coù vectô gia
toác tieáp tuyeán vaø vectô gia toác phaùp tuyeán
t
a
r
n
a
r
.
Vectô gia toác tieáp tuyeán t
a
r
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
Ñieåm ñaët: ñieåm ñang xeùt
Phöông: tieáp tuyeán vôùi quyõ ñaïo taïi M (cuøng phöông
ϑ
Vectô gia toác tieáp tuyeán ñaëc tröng cho söï biến đổi veà ñoä lôùn cuûa vectô vaän toác. Chieàu
ñaëc tröng: chaäm daàn, nhanh daàn.
t
a
r
M
r
)
Chieàu: dϑ > 0 , 12
n
a
r
Do ñoù ñeå tìm baùn kính cong: phaûi coù ñoä lôùn
ϑ
r
vaø an
r
.
Vectô gia toác phaùp tuyeán ñaëc tröng cho söï thay ñoåi veà phöông cuûa vectô vaän toác.
n
a
r
n
a
r
nhoû => R lôùn
ϑ
>: chuyeån ñoäng nhanh daàn =>
ϑ
r
r
ϑ
↑↑
t
a
dϑ < 0 , 21
ϑ
ϑ
: chuyeån ñoäng chậm daàn =>
ϑ
r
r
<
↑↓
t
a
Ñoä lôùn: dt
d
aa tt
ϑ
==
r
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
Ñieåm ñaët: ñieåm ñang xeùt
Phöông: ñt ⊥ tieáp tuyeán vôùi quyõ ñaïo taïi M
Chieàu: höôùng vaøo taâm cuûa voøng troøn quyõ ñaïo taïi M
Ñoä lôùn:
R
an
2
ϑ
= (R: baùn kính quyõ ñaïo taïi M)
Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH - CHÂU
ϑ
1
ϑ
r
1n
a
r
2
ϑ
r
n
a
r
lôùn => R nhoû
2n
a
r
r
Vectô vaän toác töùc thôøi:
22
nt
nt
aaa
aaa
+=
+=
r
r
r
r
a
r ñaëc tröng cho söï thay ñoåi veà ñoä lôùn vaø phöông cuûa vectô vaän toác.
1.5 Chuyeån ñoäng thaúng:
Quyõ ñaïo laø ñöôøng thaúng: 0
=
→∞=→ n
aR (vì 0;
2
=→∞== nn aR
R
a
ϑ
)
Neân ñöa chuyeån ñoäng thaúng veà 1 truïc -> chæ caàn 1 thaønh phaàn ñeå bieåu dieãn.
2
2
.
~
~
xx
x
xx
rxi x
dx
idt
ddx
aai aa dt dt
ϑϑ ϑϑ
ϑ
=→
=→ =
=→ = =
r
r
rr
r
r
1/ Chuyeån ñoäng thaúng ñeàu:
()
const
ϑ
=uuuuur
r
0
0
0
xtxdtdxdtdxconst
dt
dx tx
x
+=⇔=⇔=⇒== ∫∫
ϑϑϑϑ
2/ Chuyeån ñoäng thaúng thay ñoåi ñeàu:
(
)
consta
=
r
0
n
aa=⇒
rr
= t
a const=uuuuur
r
()
tatxxdtatdx
dt
dx
atdtad
dt
d
a
tx
x
t
0
2
0
0
0
0
0
2
1
0
0
ϑϑ
ϑϑϑ
ϑ
ϑ
ϑ
+=−⇔+=⇒
=+=⇒=→=
∫∫
∫∫
Hay:
()
00
2
00
2
2
2
1
xxa
xtatx
−=−
++=
ϑϑ
ϑ
a
r cuøng chieàu →
ϑ
r
chuyeån ñoäng nhanh daàn ñeàu
a
r ngöôïc chieàu chuyeån ñoäng chaäm daàn ñeàu →
ϑ
r
Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH - CHÂU
1.6 Chuyeån ñoäng troøn: quyõ ñaïo laø ñöôøng troøn ⇒ R = const
1/ Vectô vaän toác goùc
ω
r:
ω
r
Lieân heä giöõa R
r
r
r
,,
ωϑ
:
R
ϑω
=
×
r
r
r
2/ Vectô gia toác goùc:
β
r
β
r
Lieân heä giöõa : Rat
r
r
r,,
β
t
aR
β
=×
r
r
r
t
(a
r
cuøng chieàu
ϑ
r
: nhanh daàn)
222
2
22 4 2
.
..
t
n
tn
aR
R
aR
RR
aaaR
β
ϑω ω
ω
β
=
== =
=+= +
3/ Chuyeån ñoäng troøn ñeàu:
0
0
0
0
θωθωθ
θ
ω
ω
ϑ
θ
θ
+=⇒=⇒=
=
=→=
=⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=
=
∫∫ tdtd
dt
d
const
aaa
consta
constR
const
t
nt
n
r
rrr
r
4/ Chuyeån ñoäng troøn thay ñoåi ñeàu:
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
Ñieåm ñaët: ñieåm
∈
∀
truïc voøng troøn quyõ ñaïo (vectô truïc)
Phöông: truïc cuûa voøng troøn quyõ ñaïo
Chieàu: theo quy taéc vaën nuùt chai
Ñoä lôùn:
ϑ
r
t
a
r
ω
r
β
R
d
t
dS
R
d
t
R
S
d
d
t
d
ϑ
ωω
==
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=== .
1
r
n
a
r
R
r
r
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
Ñieåm ñaët:
∀
ñieåm
∈
truïc voøng troøn quyõ ñaïo (vectô truïc).
Phöông: truïc cuûa voøng troøn quyõ ñaïo .
Chieàu: 0d
ω
β
>→
r
cuøng chieàu
ω
r
(chuyeån ñoäng nhanh daàn)
0d
ω
β
<→
r
ngöôïc chieàu
ω
r
(chuyeån ñoäng chaäm daàn)
Ñoä lôùn: R
a
dt
d
Rdt
R
d
dt
dt
==
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
===
ϑ
ϑ
ω
ββ
.
1
r