TS. Ngô Văn Thanh, Viện Vật lý.
Chuyên ngành : Điện tử -Viễn thông , Công nghệ thông tin, Điện -Điện tử
Chương 8: Cơ học lượng tử.
8.1 Lưỡng tính sóng-hạt của các vi hạt.
8.2 Hệ thức bất định Heisenberg.
8.3 Hàm sóng và ý nghĩa thống kê.
8.4 Phương trình Schrödinger và ứng dụng.
@2009, Ngô Văn Thanh -Viện Vật Lý
Cơ học cổ điển
• Cơ học Newton – 3 định luật cơ học. • Không gian và thời gian là tuyệt đối. • Khối lượng là bất biến. • Vận tốc truyền tương tác là vô hạn. • Áp dụng cho thế giới vĩ mô chuyển động với
vận tốc bé
.
Cơ học lý thuyết
• Nguyên lý tương đối của Galilean. • Lý thuyết tương đối của Einstein. • Không gian và thời gian có tính tương đối. • Khối lượng của vật phụ thuộc vào vận tốc. • Áp dụng cho thế giới vĩ mô chuyển động với
vận tốc lớn.
• Các vi hạt mang lưỡng tính sóng-hạt (giả
thuyết của de Broglie).
Cơ học lượng tử
• Hệ thức bất định Heisenberg. • Chuyển động của hạt được mô tả bởi hàm
sóng (phương trình Schrödinger).
• Áp dụng cho thế giới vi mô.
@2009, Ngô Văn Thanh -Viện Vật Lý
8.1 Lưỡng tính sóng-hạt của các vi hạt.
Các giai đoạn lịch sử:
M. Planck đưa ra giả thiết về tính gián đoạn của năng lượng bức xạ điện từ. Năng lượng bức xạ điện từ bằng bội số nguyên của vi lượng 1905: A. Einstein đề xuất tính chất hạt của ánh sáng, hạt photon.
Giải thích được hiệu ứng quang điện. 1923: Hiệu ứng Compton đã kiểm chứng lý thuyết hạt của ánh sáng.
1900: Trong quá trình nghiên cứu về bức xạ của vật đen
đoạn và được gọi là các mức năng lượng.
1914: Franck và Hertz đã kiểm chứng giả thiết của Bohr bằng thực nghiệm. 1923: L. de Broglie đưa ra giả thiết về lưỡng tính sóng-hạt của các vi hạt như
các electron, proton…
1927: Davisson và Germer quan sát bằng thực nghiệm thấy hiện tượng
nhiễu xạ của chùm tia điện tử trên tinh thể.
1913: N. Bohr cho rằng, năng lượng của nguyên tử của các vật liệu cũng gián
@2009, Ngô Văn Thanh -Viện Vật Lý
1925: Heisenberg đưa ra hệ thức bất định. 1926: Schrödinger đưa ra phương trình chuyển động của vi hạt.
Giả thiết của L. de Broglie (1923):
với một sóng phẳng đơn sắc xác định.
Năng lượng của vi hạt liên hệ với tần số dao động của sóng tương ứng theo
các hệ thức:
Động lượng của vi hạt liên hệ với bước sóng của sóng hạt tương ứng theo
hệ thức:
Bước sóng được gọi là bước sóng de Broglie.
gọi là vector truyền (sóng).
@2009, Ngô Văn Thanh -Viện Vật Lý
Đưa ra giả thiết về lưỡng tính sóng hạt của electron và các vi hạt nói chung. Một vi hạt tự do có năng lượngxác định, động lượngxác địnhtương ứng
sử dụng
suy ra
Mặt khác:
Với E là động năng của hạt không tương đối.
Cuối cùng:
@2009, Ngô Văn Thanh -Viện Vật Lý
Xét một hạt có khối lượng m, theo thuyết tương đối của Einstein:
Thí nghiệm nhiễu xạ sóng hạt electron:
(Davisson và Germer -1927)
Cực đại nhiễu xạ:
suy ra năng lượng của điện tử là eU.
Giả sử điện tử được tăng tốc bởi điện thế U,
Sử dụng biểu thức:
Biểu thức này đã được kiểm chứng bằng
thực nghiệm.
@2009, Ngô Văn Thanh -Viện Vật Lý
Ta có:
Thí nghiệm nhiễu xạ sóng hạt electron:
@2009, Ngô Văn Thanh -Viện Vật Lý
Thí nghiệm tán xạ tia X trên tinh thể:
(Tartakowski và Thomson) Cực đại nhiễu xạ - điều kiện Wulf-Bragg:
suy ra:
Bán kính của vân giao thoa trên màn ảnh:
Sử dụng biểu thức:
@2009, Ngô Văn Thanh -Viện Vật Lý
Cuối cùng ta có:
Thí nghiệm nhiễu xạ tia X trên tinh thể:
@2009, Ngô Văn Thanh -Viện Vật Lý
8.2 Hệ thức bất định Heisenberg. Hệ thức bất định đối với tọa độ:
Vị trí và động lượng của hạt không được xác định đồng thời. Nếu vị trí của
hạt càng xác định thì động lượng của hạt càng bất định. Xét hiện tượng nhiễu xạ của chùm vi hạt qua một khe hẹp Bề rộng khe hẹp bằng b,góc nhiễu xạ của hạt là . Vị trí x của hạt trong khe hẹp x (0, b).
Hình chiếu động lượng của hạt theo phương x:
Điều kiện cực tiểu nhiễu xạ:
suy ra:
mặt khác: Cuối cùng ta có:
@2009, Ngô Văn Thanh -Viện Vật Lý
Khái niệm quỹ đạo:
Độ bất định về tọa độ của electron: Độ bất định về vận tốc:
Xét trường hợp trong nguyên tử, electron chuyển động trong phạm vi 10Ao.
electron không có vận tốc xác định.
Trong nguyên tử, electron không chuyển động theo một quỹ đạo xác định. Trong thế giới vi mô, không có khái niệm về quỹ đạo.
Độ bất định về vận tốc của electron là rất lớn, tức là :
động lượng của hạt không được xác định đồng thời.
Hệ thức bất định Heisenberg chỉ áp dụng cho thế giới vi mô khi mà tọa độ và
định đồng thời trong thế giới vĩ mô.
Hai đại lượng không được xác định đồng thời trong thế giới vi mô lại được xác
@2009, Ngô Văn Thanh -Viện Vật Lý
Ví dụ, xét hạt vĩ mô có khối lượng m = 10-15 kg, x =10-8m.
Hệ thức bất định đối với năng lượng: Năng lượng của hệ ở trạng thái nào đó càng bất định thì thời gian để hệ
tồn tại ở trạng thái đó càng ngắn và ngược lại.
trong một khoảng thời gian dài. Ngược lại là trạng thái không bền.
Trạng thái có năng lượng bất định là trạng thái không bền, vì thời gian để
hệ vẫn tồn tại ở trạng thái này là xác định.
Ngược lại, trạng thái có năng lượng xác định là trạng thái bền. Kết luận:
Trạng thái bền của một hệ là trạng thái mà hệ vẫn tồn tại ở trạng thái đó
đồng thời như "tọa độ" – "động lượng", "năng lượng" – "thời gian" mà còn có nhiều đại lượng khác cũng không xác định được một cách đồng thời.
Trong cơ học lượng tử, không chỉ có các cặp đại lượng không được xác định
Không có khái niệm quỹ đạo chuyển động của hạt vi mô, vị trí của hạt không thể xác định một cách chính xác, mà chỉ có thể đoán nhận vị trí của hạt với một xác suất nào đó.
@2009, Ngô Văn Thanh -Viện Vật Lý
Quy luật chuyển động của vi hạt tuân theo các quy luật thống kê.
8.3 Hàm sóng và ý nghĩa thống kê.
Hàm sóng:
tọa độ và thời gian, hàm số đó được gọi là hàm sóng.
Các vi hạt trong thế giới vi mô mang tính chất sóng (lưỡng tính sóng hạt). Trạng thái hay tính chất sóng của vi hạt được mô tả dưới dạng hàm số theo
sóng có dạng tương tự như sóng phẳng đơn sắc của ánh sáng.
Hàm sóng de Broglie
trong đó
là biên độ của hàm sóng được xác định bởi biểu thức
là liên hợp phức của
@2009, Ngô Văn Thanh -Viện Vật Lý
Theo giả thiết của de Broglie, chuyển động của hạt tự do được mô tả bởi hàm
Ý nghĩa thống kê của hàm sóng:
Mật độ xác suất – xác suất tìm thấy hạt trong một đơn vị thể tích:
Xác xuất tìm thấy hạt trong thể tích dV nào đó:
Biểu thức này được gọi là điều kiện chuẩn hóa của hàm sóng.
Xác xuất tìm thấy hạt trong toàn không gian:
Hàm sóng trong cơ học lượng tử mang tính chất thông kê, nó được sử dụng để tính xác suất tìm thấy hạt tại một trạng thái nào đó mà nó không mô tả một sóng thực như sóng cơ, sóng điện từ trong vật lý cổ điển.
@2009, Ngô Văn Thanh -Viện Vật Lý
Các quy luật thống kê trong cơ học lượng tử không chỉ áp dụng cho hệ nhiều hạt giống như trong vật lý phân tử, mà nó còn được áp dụng cho từng hạt riêng lẻ.
Điều kiện của hàm sóng:
Suy ra từ điều kiện chuẩn hóa của hàm sóng, tích phân phải giới nội.
Hàm sóng phải giới nội.
Mỗi một trạng thái của hệ chỉ được đặc trưng bởi một giá trị xác suất tìm
thấy hạt duy nhất.
Hàm sóng phải đơn trị.
Xác suất tìm thấy hạt phải liên tục.
Hàm sóng phải liên tục.
Hàm sóng thỏa mãn phương trình Schrödinger.
@2009, Ngô Văn Thanh -Viện Vật Lý
Đạo hàm bậc nhất của hàm sóng cũng phải liên tục.
Sự liên hệ giữa sóng de Broglie và chuyển động hạt.
Vận tốc pha không phải là vận tốc truyền hạt hay vận tốc truyền năng lượng.
Vận tốc pha của sóng:
Chuyển động của các hạt trong cơ học lượng tử không thể mô tả bởi các sóng đơn sắc riêng biệt, mà nó ứng với một tập hợp sóng có tần số khác nhau. Tập hợp sóng đó được gọi là bó sóng.
Tóm lại: chuyển động của vi hạt có thể được mô tả bởi chuyển động của cả bó sóng.
@2009, Ngô Văn Thanh -Viện Vật Lý
Vận tốc nhóm của bó sóng: vận tốc chuyển động của toàn bộ bó sóng.
8.4 Phương trình Schrödinger và ứng dụng.
Phương trình Schrödinger.
Hàm sóng de Broglie mô tả chuyển động của hạt tự do.
Trường hợp vi hạt chuyển động trong trường thế ngoài
trình – phương trình Schrödinger:
Trong đó thành phần chỉ phụ thuộc vào tọa độ không gian thỏa mãn phương
tính của các nghiệm cũng là nghiệm của nó.
@2009, Ngô Văn Thanh -Viện Vật Lý
Phương trình Schrödinger là phương trình vi phân tuyến tính, tổ hợp tuyến
Trường hợp vi hạt chuyển động tự do.
Xét hàm sóng có dạng
Trong đó
suy ra
Áp dụng toán tử Nabla
cuối cùng ta có
@2009, Ngô Văn Thanh -Viện Vật Lý
Mặt khác
Ứng dụng.
Xét chuyển động của hạt theo phương x, hạt chuyển động
tự do trong giếng thế và không thể vượt ra ngoài. Xét phương trình Schrödinger cho hạt chuyển động
trong thế năng:
Nghiệm tổng quát:
@2009, Ngô Văn Thanh -Viện Vật Lý
Hạt trong giếng thế:
Xét điều kiện biên:
Thay vào biểu thức cho phương trình nghiệm
ta có:
Vì B = 0 nên A phải khác 0, suy ra
Từ điều kiện chuẩn hóa hàm sóng:
ta tính được hệ số chuẩn hóa
Cuối cùng:
@2009, Ngô Văn Thanh -Viện Vật Lý
Vì
Suy ra năng lượng của hạt
Hạt có nhiều trạng thái khác nhau, mỗi một trạng thái
ứng với một hàm sóng.
Năng lượng của hạt trong giếng thế là gián đoạn, tức là năng lượng bị
lượng tử hóa.
Khoảng cách giữa hai mức năng lượng kế tiếp nhau:
@2009, Ngô Văn Thanh -Viện Vật Lý
Mật độ xác suất tìm thấy hạt trong giếng thế
Với n = 1 : xác suất tìm thấy hạt tại là lớn nhất. Với n = 2 : xác suất tìm thấy hạt tại là lớn nhất.
và
Xét trường hợp tổng quát, hạt trong giếng thế 3 chiều
hình hộp lập phương với các cạnh là a1, a2, a3
@2009, Ngô Văn Thanh -Viện Vật Lý
Nghiệm của phương trình:
Từ điều kiện biên:
suy ra
Năng lượng của hạt:
@2009, Ngô Văn Thanh -Viện Vật Lý
Xét chuyển động của hạt theo phương x, từ trái sang phải. Năng lượng của hạt:
Theo quan điểm cơ học cổ điển thì hạt không thể vượt qua rào thế. Theo quan điểm của cơ học lượng tử thì hạt vẫn có thể xuyên qua hàng rào thế năng. Hiện tượng này được gọi là hiệu ứng chui ngầm.
Xét rào thế có dạng hình chữ nhật:
miền I miền II miền III
@2009, Ngô Văn Thanh -Viện Vật Lý
Hiệu ứng đường ngầm:
Phương trình Schrödinger cho từng miền của rào thế:
Miền I:
Miền II:
Miền III:
Nghiệm của các phương trình này:
: đặc trưng sóng tới. : đặc trưng sóng phản xạ trên bờ x = 0.
: đặc trưng sóng truyền qua rào thế. : đặc trưng sóng phản xạ từ vô cực.
@2009, Ngô Văn Thanh -Viện Vật Lý
Các hệ số A1, B1, A3 và B3 = 0 được gọi là biên độ sóng.
Hệ số truyền qua rào thế:
Tại x = 0 : Tại x = a :
Theo điều kiện liên tục của hàm sóng tại x = 0 và x = a
Tại x = 0 : Tại x = a :
Theo điều kiện liên tục của đạo hàm bậc nhất hàm sóng tại x = 0 và x = a
hoặc bề rộng của rào thế
rất lớn
hoặc
@2009, Ngô Văn Thanh -Viện Vật Lý
Giả thiết độ cao của hàng rào thế rất lớn
8.1 Lưỡng tính sóng-hạt của các vi hạt. Giả thiết của de Broglie về lưỡng tính sóng hạt của electron và các vi hạt nói
chung
Năng lượng của vi hạt liên hệ với tần số dao động của sóng
Broglie.
Động lượng của vi hạt liên hệ với bước sóng của sóng hạt - bước sóng de
Vector truyền - số sóng
@2009, Ngô Văn Thanh -Viện Vật Lý
Động năng của hạt không tương đối liên hệ với bước sóng
8.2 Hệ thức bất định Heisenberg. Hệ thức bất định đối với tọa độ
Vị trí và động lượng của hạt không được xác định đồng thời. Nếu vị trí của
hạt càng xác định thì động lượng của hạt càng bất định.
động lượng của hạt không được xác định đồng thời. Hệ thức bất định đối với năng lượng:
Trong thế giới vi mô, không có khái niệm về quỹ đạo. Hệ thức bất định Heisenberg chỉ áp dụng cho thế giới vi mô khi mà tọa độ và
tại ở trạng thái đó càng ngắn và ngược lại.
Năng lượng của hệ ở trạng thái nào đó càng bất định thì thời gian để hệ tồn
trong một khoảng thời gian dài. Ngược lại là trạng thái không bền.
@2009, Ngô Văn Thanh -Viện Vật Lý
Trạng thái bền của một hệ là trạng thái mà hệ vẫn tồn tại ở trạng thái đó
8.3 Hàm sóng và ý nghĩa thống kê. Hàm sóng de Broglie
Mật độ xác suất – xác suất tìm thấy hạt trong một đơn vị thể tích Điều kiện chuẩn hóa của hàm sóng
Hàm sóng phải giới nội và đơn trị. Hàm sóng và đạo hàm bậc nhất của hàm sóng phải liên tục.
Hàm sóng trong cơ học lượng tử mang tính chất thông kê. Điều kiện của hàm sóng:
Vận tốc pha của sóng
@2009, Ngô Văn Thanh -Viện Vật Lý
Vận tốc nhóm của bó sóng:
8.4 Phương trình Schrödinger và ứng dụng. Hàm sóng:
Phương trình Schrödinger cho hạt chuyển động trong trường thế năng.
Hạt trong giếng thế, năng lượng là gián đoạn
Phương trình Schrödinger cho hạt chuyển động tự do
@2009, Ngô Văn Thanh -Viện Vật Lý
Khoảng cách giữa hai mức năng lượng kế tiếp nhau:
Hiệu ứng đường ngầm:
Mật độ xác suất tìm thấy hạt trong giếng thế:
Hàm sóng:
@2009, Ngô Văn Thanh -Viện Vật Lý
Hệ số phản xạ và truyền qua rào thế:
