Khai triển Taylor
Cho g:D⊂R→Rlà hàm thuộc lớp Cn+1(D),n ≥1. Khai triển Taylor cấp n
của hàm g(t)xung quanh điểm t0có dạng
g(t) = g(t0) +
n
X
k=1
g(k)(t0)
k!(t−t0)k+1
(n+ 1)!g(n+1)(ξ)(t−t0)n+1 (1.1)
với ξlà điểm nằm giữa tvà t0.
Vấn đề: Cho f:D⊂R2→Rlà hàm thuộc lớp Cn+1(D),n ≥1. Khai triển
Taylor cấp ncủa hàm f(X)xung quanh điểm X0có dạng như thế nào?
Bước 1: Viết phương trình đoạn thẳng đi qua 2 điểm Xvà X0.
Giả sử phương trình đoạn thẳng d(t)đi qua 2 điểm Xvà X0có dạng
d(t) = αt +β, với t∈[0,1] (1.2)
thỏa
(d(0) = X0
d(1) = X(1.3)
Vi tích phân 2 Ngày 27 tháng 2 năm 2025 3 / 36
Khai triển Taylor
Giả sử rằng glà hàm có bán kính hội tụ lớn hơn 1. Khi đó, từ (1.1), ta
được
g(1) = g(0) +
n
X
k=1
g(k)(0)
k!+1
(n+ 1)!g(n+1)(ξ)với ξ∈(0,1).(1.6)
Thay (1.5) vào (1.6), ta có
f(X) = f(X0) +
n
X
k=1
1
k!
∂kf
∂tk(X0) + 1
(n+ 1)!
∂n+1f
∂tn+1 (θ)(1.7)
với θnằm giữa Xvà X0.
Xác định công thức ∂kf
∂tk(X0)?
Giả sử X= (x,y)và X0= (x0,y0). Khi đó, từ (1.4), ta được
g(t) = f(X−X0)t+X0=f(x−x0)t+x0
|{z },(y−y0)t+y0
| {z }.
x y (1.8)
Vi tích phân 2 Ngày 27 tháng 2 năm 2025 5 / 36
