Cực trị toàn cục và cực trị ràng buộc, phương pháp
nhân tử Lagrange
Lê Đức Hưng
Bộ Môn Giải Tích, ĐH KHTN, Khoa Toán-Tin Học
Ngày 02 tháng 06 năm 2022
Nhắc lại: Điều kiện cần của cực trị địa phương
Cho f:D⊂Rn→Rlà hàm có đạo hàm riêng theo các biến trên D.
Điều kiện cần để fđạt cực trị địa phương tại a∈Dlà
∂f
∂xi(a) = 0,∀i=1,n.
Đẳng thức này có nghĩa rằng ∇f(a) = 0. Điểm ađược gọi là điểm dừng
của f.
Nhắc lại: Điều kiện cần của cực trị địa phương
Cho f:D⊂Rn→Rlà hàm có đạo hàm riêng theo các biến trên D.
Điều kiện cần để fđạt cực trị địa phương tại a∈Dlà
∂f
∂xi(a) = 0,∀i=1,n.
Đẳng thức này có nghĩa rằng ∇f(a) = 0. Điểm ađược gọi là điểm dừng
của f.
Điều kiện trên có nghĩa rằng:
fđạt cực trị địa phương tại a=⇒ ∇f(a) = 0.
Chiều ngược lại không đúng (ví dụ, hàm một biến f(x) = x3với a=0).
Nhắc lại: Điều kiện cần của cực trị địa phương
Cho f:D⊂Rn→Rlà hàm có đạo hàm riêng theo các biến trên D.
Điều kiện cần để fđạt cực trị địa phương tại a∈Dlà
∂f
∂xi(a) = 0,∀i=1,n.
Đẳng thức này có nghĩa rằng ∇f(a) = 0. Điểm ađược gọi là điểm dừng
của f.
Điều kiện trên có nghĩa rằng:
fđạt cực trị địa phương tại a=⇒ ∇f(a) = 0.
Chiều ngược lại không đúng (ví dụ, hàm một biến f(x) = x3với a=0).
Điểm tới hạn x=acủa hàm f:Rn→Rlà điểm mà tại đó ∇f(a)không
tồn tại hoặc ∇f(a) = 0.
Nhắc lại: Điều kiện đủ cho cực trị của hàm nbiến
Với hàm f:D⊂Rn→Rthuộc lớp C2và điểm dừng a∈D, ta có
∇f(a) = 0, ta viết ϕ(h,k)ở dạng vectơ (ma trận) như sau:
ϕ(h,k) = h1... hn
∂2f
∂x2
1(a)... ∂2f
∂x1∂xn(a)
∂2f
∂x2x1(a)... ∂2f
∂x2∂xn(a)
... ... ...
∂2f
∂xnx1(a)... ∂2f
∂x2
n(a)
k1
k2
...
kn
=thHf(a)k,
trong đó, thlà ma trận chuyển vị của ma trận cột hvà Hf(a)còn được
gọi là ma trận Hesse (Hessian) của ftại a.
Hàm ϕlà một dạng toàn phương trên Rnxác định bởi ma trận Hesse
Hf(a). Ta lưu ý rằng ma trận Hf(a)là một ma trận đối xứng.
