Bài giảng Xác suất thống kê Chương 2: ThS. Nguyễn Phương (2014)

Chương 2: BIẾN NGẪU NHIÊN

Th.S NGUYỄN PHƯƠNG

Khoa Giáo dục cơ bản Trường Đại học Ngân hàng TPHCM Blog: https://nguyenphuongblog.wordpress.com Email: nguyenphuong0122@gmail.com Yahoo: nguyenphuong1504

Ngày 17 tháng 2 năm 2014

1 Biến ngẫu nhiên Định nghĩa Phân loại biến ngẫu nhiên

2 Phân phối xác suất

3 Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên

Phân phối của biến ngẫu nhiên rời rạc Phân phối của biến ngẫu nhiên liên tục Hàm phân phối xác suất

Mode - Giá trị tin chắc nhất Median - Trung vị Expectation - Kỳ vọng Variance - Phương sai

Biến ngẫu nhiên Định nghĩa

Định nghĩa Biến ngẫu nhiên là một phép tương ứng mỗi phần tử ω của Ω với một số thực.

X : Ω −→ R

ω (cid:55)−→ X(ω)

Tập giá trị của X được kí hiệu là X(Ω).

1 Tung hai con xúc xắc, gọi X là tổng số chấm của hai con xúc xắc. Ta có

Ví dụ:

2 Lấy ý kiến khách hàng về một loại sản phẩm ta được Ω={"Kém","Bình

X : ω = (ω1; ω2) −→ ω1 + ω2

thường","Tốt"}. Khi đó, ta đặt X : Ω −→ R X("Kém")= - 1, X("Bình thường")=0, X("Tốt")=1.

Biến ngẫu nhiên Phân loại biến ngẫu nhiên

Dựa vào tập giá trị của biến ngẫu nhiên, ta chia biến ngẫu nhiên làm 2 loại:

Định nghĩa (Biến ngẫu nhiên rời rạc)

Biến ngẫu nhiên mà tập giá trị của nó là một tập đếm được (hữu hạn hoặc vô hạn) được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc.

X là bnn rời rạc (cid:34) {x1, x2, . . . , xn} ⇔ X(Ω) = , Ω có n phần tử. , Ω có vô hạn phần tử đếm được. {x1, x2, . . . , xn, . . .}

Định nghĩa (Biến ngẫu nhiên liên tục)

Biến ngẫu nhiên mà tập giá trị của nó là một tập không đếm được, được gọi là biến ngẫu nhiên liên tục.

Biến ngẫu nhiên Phân loại biến ngẫu nhiên

1 Tung 3 con xúc xắc cân đối. Gọi X là tổng số chấm của 3 con xúc xắc. Ta

Ví dụ:

2 Một người ném bóng vào rổ từ vị trí cách rổ 5m đến khi nào vào rổ thì ghi nhận lại số lần ném bóng của mình (X). Ta có X là bnnrr và X(Ω) = N∗. 3 Đo mực nước biển ở đảo Cát Bà cho thấy nó dao động từ 3,3m đến 3,9m. Gọi X là mực nước biển ở đảo Cát Bà ở một thời điểm ngẫu nhiên. Ta có X là bnnlt và X(Ω) = [3, 3; 3, 9].

có X là bnnrr và X(Ω) = {3, . . . , 18}.

Phân phối xác suất Phân phối của biến ngẫu nhiên rời rạc

Định nghĩa

Phân phối xác suất của X còn được gọi là bảng phân phối xác suất của X, cho biết khả năng X nhận mỗi giá trị trong X(Ω) tương ứng.

. . . . . . X x1 x2 P p1 p2 . . . xn . . . pn

với P(X = xi) = pi

Tính chất (1) (cid:88) pi = p1 + · · · + pn + · · · = 1.

a≤xi

Tính chất (2) (cid:88) P(a ≤ X < b) = pi, xi ∈ X(Ω).

Phân phối xác suất Phân phối của biến ngẫu nhiên rời rạc

1 Một hộp sản phẩm có 6 chính phẩm và 4 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên từ

Ví dụ:

2 Một người ném bóng từ vị trí cách rổ 5m cho đến khi ném vào rổ thì

hộp ra 2 sản phẩm để kiểm tra. Gọi X là số phế phẩm lấy được. a) Tìm phân phối xác suất của X. b) Tính P(X ≤ 1).

dừng. Biết rằng các lần ném độc lập với nhau và khả năng ném bóng vào rổ ở mỗi lần ném là 0,3. Gọi X là số lần người đó đã ném. a) Tìm phân phối xác suất của X. b) Tính xác suất người đó phải ném ít nhất 3 lần.

Phân phối xác suất Phân phối của biến ngẫu nhiên liên tục

Hàm mật độ của biến ngẫu nhiên liên tục:

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X được đặc trưng bởi hàm mật độ xác suất f(x) có các tính chất sau:

+∞ (cid:90)

f(x) ≥ 0, ∀x ∈ R

−∞

b(cid:90)

f(x)dx = 1.

P(a ≤ X ≤ b) = f(x)dx.

Phân phối xác suất Phân phối của biến ngẫu nhiên liên tục

Ví dụ:

Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất:

f(x) = , x < 1 , x ≥ 1    0 c x2

). a) Xác định c. b) Tìm P(−1 ≤ X ≤ 3 2

Phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất

Định nghĩa (Hàm phân phối xác suất)

Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu là FX(x), là hàm được xác định bởi: FX(x) = P(X < x), x ∈ R

Hàm phân phối xác suất cho biết khả năng X nhận giá trị từ −∞ đến x.

x(cid:82)

Nếu X là bnnrr thì (cid:88) (cid:88) FX(x) = P(X = xi) = pi.

−∞

f(t)dt. Nếu X là bnnlt thì FX(x) =

Phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất

1 Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất như sau:

Ví dụ:

X 0 P 0, 2 1 0, 5 2 0, 3

2 Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất là:

a) Tìm hàm phân phối xác suất của X. b) Vẽ đồ thị của hàm phân phối xác suất vừa tìm được.

f(x) = , x < 1 , x ≥ 1    0 1 x2

Tìm hàm phân phối xác suất của X.

Phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất

Tính chất (1) X là bnn liên tục ⇔ F(x) liên tục trên R.

Tính chất (2)

F(−∞) = 0, F(+∞) = 1.

Tính chất (3) P(a ≤ X < b) = P(X < b) − P(X < a) = F(b) − F(a).

Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên Mode - Giá trị tin chắc nhất

Định nghĩa (Mode - Giá trị tin chắc nhất)

Mode của bnn X, kí hiệu là Mod(X).

Nếu X là bnnrr: ModX là (các) giá trị mà X có khả năng nhận được cao nhất trong 1 phép thử.

pi ModX = xk ⇔ pk = max i∈I

Nếu X là bnnlt: ModX là (các) giá trị mà hàm mật độ xác suất ở đó đạt cực đại.

Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên Mode - Giá trị tin chắc nhất

1 Một hộp sản phẩm có 6 chính phẩm và 4 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 2 sản phẩm để kiểm tra. Gọi X là số phế phẩm lấy được, phân phối xác suất của X như sau:

Ví dụ:

P X 0 5 15 1 8 15 2 2 15

2 Xác định ModX với X có đồ thị của hàm mật độ xác suất như sau:

Hãy xác định ModX.

Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên Median - Trung vị

Định nghĩa (Median - Trung vị)

Median của bnn X, kí hiệu là Med(X), là giá trị trung vị của bnn X, là giá trị chia đôi phân phối xác suất của X. (cid:40) Nếu X là bnnrr: MedX = a ∈ X(Ω) ⇔ . P(X < a) ≤ 0, 5 P(X > a) ≤ 0, 5 (cid:34) Nếu X là bnnlt: MedX = a ⇔ . P(X ≤ a) = 0, 5 P(X ≥ a) = 0, 5

Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên Median - Trung vị

1 Cho X có ppxs:

Ví dụ:

P X 0 5 15 1 8 15 2 2 15

2 Cho bnnlt X có đồ thị của hàm mật độ xác suất như sau:

Xác định MedX.

(cid:40) . f(x) = 0 3e−3x , x < 0 , x ≥ 0

Xác định MedX.

Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên Expectation - Kỳ vọng

X1+X2+···+Xn n

Định nghĩa (Expectation - Kỳ vọng)

i∈I

+∞ (cid:82)

Kỳ vọng của bnn X, kí hiệu là E(X), là giá trị trung bình theo xác suất của bnn X. Thực hiện n phép thử độc lập, gọi Xi là kết quả của X ở phép thử i. Khi đó EX = lim n→∞ Nếu X là bnnrr: (cid:88) E(X) = xi.pi = x1.p1 + x2.p2 + . . . + xi.pi + . . .

−∞

Nếu X là bnnlt: E(X) = xf(x)dx

Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên Expectation - Kỳ vọng

1 Cho bnnrr X có bảng ppxs như sau:

Ví dụ:

P X 0 5 15 1 8 15 2 2 15

2 Cho bnn X có hàm mật độ xác suất

Xác định EX.

(cid:40) . f(x) = 0 3e−3x , x < 0 , x ≥ 0

Xác định EX.

Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên Expectation - Kỳ vọng

Tính chất (1)

E(C) = C; ∀C ∈ R

Tính chất (2)

E(X + Y) = E(X) + E(Y)

Tính chất (3)

E(k.X) = k.E(X); ∀k ∈ R.

Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên Expectation - Kỳ vọng

Tính chất (4)

E(aX + bY + c) = aEX + bEY + c, ∀a, b, c ∈ R

Tính chất (5) X, Y là 2 bnn độc lập ⇒ E(X.Y) = E(X).E(Y).

Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên Expectation - Kỳ vọng

Tính chất (6)

i∈I

Nếu X là bnnrr thì (cid:88) E(ϕ(X)) = ϕ(xi)pi = ϕ(x1)p1 + . . . + ϕ(xi)pi + . . .

i∈I x2

1p1 + x2

2p2 + . . . + x2

i pi = x2

i pi + . . .

Từ đó ta được E(X2) = (cid:80)

+∞ (cid:82)

Tính chất (7)

−∞

+∞ (cid:82)

Nếu X là bnnlt thì E(ϕ(X)) = ϕ(x)f(x)dx

−∞

Từ đó ta được E(X2) = x2f(x)dx

Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên Expectation - Kỳ vọng

1 Cho X là bnnrr có ppxs như sau:

Ví dụ:

P X 0 5 15 1 8 15 2 2 15

2 Cho bnnlt X có hàm mật độ xác suất

a) Tính E(X2 − X + 1). b) Cho biết Y là bnn độc lập với X và EY = 10. Tính E(2XY − 3Y + 5).

(cid:40) f(x) = 3e−3x 0 , x ≥ 0 , x < 0

. Xác định E(X2 − X + 1).

Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên Variance - Phương sai

Định nghĩa (Variance - Phương sai) Phương sai của bnn X, kí hiệu là Var(X): Var(X) = E(X − EX)2. Là giá trị trung bình theo xác suất của bình phương độ lệch của X so với EX.

Phương sai của X cho biết mức độ phân tán các giá trị của X so với kỳ vọng của nó.

Công thức thu gọn: Var(X) = E (X2 − 2X.EX + (EX)2) = E(X2) − 2EX.EX + (EX)2

Var(X) = E(X2) − (EX)2

√ Tuy nhiên, do phương sai không cùng thứ nguyên với X nên ta kí hiệu σ(X) = VarX, được gọi là độ lệch chuẩn (standard deviation) của X.

Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên Variance - Phương sai

2σ2

2π e− (x−µ)2

có EX = µ và

Cho biết bnn X có hàm mật độ xác suất f(x) = 1 √ VarX = σ2. Hình vẽ sau đây sẽ minh họa về sự phân bố giá trị của X với các

giá trị phương sai khác nhau.

Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên Variance - Phương sai

1 Cho bnnrr X có bảng ppxs như sau: