BÀI TẬP ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
I. Tính các đạo hàm cấp 1
2 sin cos
32
33
1/ | 1| | 1|
2 / ( )
13
3/
1
xx
y x x
y x x
x
y
xx



22
2
()
22
4 / , 2
5 / ( )
6 / ( ).
7 / (sin ) (cos )
tt
x f x
x t e y te
y f x
y f e e
y f x f x


HD:
2 , 1
1/ | 1| | 1| 2, 1 1
2 ,1
xx
y x x x
xx
2
sin cos ln
2/ x x x x
ye 
3 3 3 3
2 3 2 3
3/ ln ln 1 3 ln 1 . ln 1 3 ln 1y x x x y y x x x



II. Tính đạo hàm cấp 1 tại điểm x0 tương ứng
2
2
0
00
2
0
1, 0
1/ , 0
2 2, 0
,0
2 / ( ) ,
ln(1 ), 0
,| | 1
3 / ( ) , 1
1,| | 1
x
xx
yx
xx
xx
f x x
xx
x e x
f x x
x
e




III. Tính đạo hàm hàm ngược của các hàm sau
2
2
2
1/ ln
2/ 1
3 / 2
4 / sinh
xx
y x x
x
yx
y e e
yx



IV. Tính đạo hàm đến cấp tương ứng
2
2
2 2 ( )
()
1/ ( ) ,
2 / ln(sin cos ),
3 / cos , sin ,
4 / ( ) sinh( 1),
5 / ( ) ( 2),
6 / ln( ( )),
7 / ,
8 / sin( ( ) (2 1)),
x
tt
xn
fx
f x x f
f x x f
x e t y e t y
f x x f
f x e x x f
y f x y
y e y
y f x f x y










2
3
23
4
2 4 2
2
()
1
15 / ,
(2 1)
16 / ( ) ,
17 / ( ) , ,
xx
x f x
x x x
yy
x x x
y x x y
y f e e y y




( ) ( )
1
18 / ( ), ,
19 / ln( ), ,
20 / (ln ),
f x f x
y f y y
x
y e e y y
y f x y


V. Tính vi phân đến cấp tương ứng
22
tan
2
2
1/ ln | 3 2 |,
2 / 1 ,
3 / sin 2 ,
x
y x x d y
y x dy
y f x x dy


32
4
3
4 / 3 ,
5 / arcsin (2 1) ,
6 / 2 3,
y sh x x d y
y f x dy
y x d y



VI. Công thức Taylor – Maclaurint
1. Bài có hướng dẫn
22 2 2 2 4 4
122
4
12
2 4 4
( 1)( 1) 2 1
( ) 1 2 1 2 1 0( )
1
1
( ) , 4
1
1 2 0(
1
)
x
f x n
x
x x x
xx
f x x x x x x
xx


2
2 4 4
22
2
3 5 524
24
0
2
0
( ) ln 1 , 5
13
( ) ( )
1 1 3
1 0( )
28
1
13
1 0( )
28 0( )
6 40
tt
f x x x n
f x f t d
f x x x
x
t t tt x x x xdt


2 2 2 2 3 3
2
32
2 3 3 3 33
1 ( ) ( ) (
1
3, ( ) 1
10
) 0( )
1 2 ( ) ()
x x x x x x x
x x x x x O x
n f x xx
x x x


4
2
23
3
3
3 3 2 3
5
ln(2 1) ln(2 5 ) ln(2 1) ln 2 ln 1 2
1 1 5 1 5 1 5
2 (2 ) (2 ) 0( ) ln 2 ( ) ( ) 0( )
2 3 2 2
21
3, ( ) ln 25
9 9 189
l
2
n2 0( )
2
32
8 24
x
n f x x
x
x
xx
x x x
x
x x x
x x x x x





23
05
5
2 3 3
3
21
1 1 1
3, 2, ( ) 1
( ) 2
2 ( 2) ( 2) ( 2) 0 (
0( )
11
2)
XX X X
x
nx
X
XX
fx x
f x X x
x x x x


2
2
( 1) 1
22
06
2
64 6 6
11
1 ( 1) ( 1) ( 1) 0
6, 1,
( 1)
2! 3
()
() !
x
x
x
e e x x x x
n x f x e
fx 




072
7
2 3 2 3
33
2
11
( 1) 32
1 1 1 1 1 1
() 4 3 4 3
11
43
1 0( ) 1 0( )
4 4 4 4 3 3 3 3
1
1
4, 1, ( ) 6
1
3
5
1
1
34
xxx
f x X x X X XX
XX
X X X X
x
n x f x xx
X X X X
XX
X








 






2 3 4 4
2 3 3
2 2 3 3 4 4
2 3 4 4
2 3 4
44
1 4 3 4 3 4 3
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 0 ( 1)
3.4 12 12 12
1 1 1 1 1 0( )
4 3 4 3 4
X
x x x
X
x
XX
x

2. Bài tập: Khai triển Taylor các hàm sau tại x0 đến cấp n tương ứng
2
10
2
1
1. ( ) , 0, 4
1
xx
f x x n
xx


2
2
20
2. ( ) , 0, 5
xx
f x e x n
. Tính
(4)
2(0)f
30
40
cos
50
3. ( ) ln(cos ), 0, 6
4. ( ) tan , 0, 5
5. ( ) , 0, 4
x
f x x x n
f x x x n
f x e x n
32
60
2
21
6. ( ) , 2, 3
65
xx
f x x n
xx


. Tính
(3)
6(2)f
VII. Tính giới hạn
1. Bài có hướng dẫn
2
2 3 3 2 2 3 4
22
12
6
44
00
2
3 4 6 4
44
00
0
1 2 1
( ) . ( )
3! 6 36
lim lim
2 1 1
. ( )
6 36 3
sin
lim sin
lim 1
3
lim
xx
xx
x
x x x O x x
xx
Lxx
x x x x O x
xx
x x x O x x
xx




200 0 0 0
111
lim lim lim lim
. 2 2
()1
1 1 1
lim 2
1
x
x
xxx
xxx
xx
e x e x e x
x x x
x
Lxex
e




2 2 2 2
2 2 2
00
22
3 3 2 2 2
2 2 2
22
00
2
32
4 6 2 2 2 4 6
4
0
02
22
1 cos sin cos
lim lim
sin .
11
( ) 1 ( )
sin cos 62
lim lim
..
1 1 1
. . ( )
s
3
1
lim cot
36 4
lim li
in
xx
xx
x
x
x x x x
x x x
x x O x x x O x
x x x
xx
x x x x x x O
x
x
x
Lx
x
xx









4
4
0
2
3
3
m2
x
x
x
411
1
lim ln(1 ( 1))
1
lim 1
ln ln
xx
x
Lxx
x
x



2
2
22
0
0
12
ln( )
1lim
l
1
23
5
im
00
ln( )
lim lim
x
x
xx
x
x
e
xe
xe x
x
xx
xx
xe
e e eL x e e
ln l
1
ln 1(n
ln( ) ln
600
1)
0
llim im lim
xx
xx
x
eex
xx
eeL x e



2 4 4 2
4
0
44
4
2
74
0
0
1 1 1
1 ( ) 1
2! 4! 2
li
1
cos m
12
lim
1
2
1()
24
im 4
l
x
x
x
x x O x x
x
x O x
x
Lx
x
x
2
2
2
2
2
2
cos .ta
2
8
2
1
ln(tan ) 2
1
( 2 )ln(tan ) ( 2 ) ( 2 )
2 2 2
( 2 )
( 2 )
n
()
2
sin ( )cot( ) ( )
2
2. 2. 0
2
2
2
2
lim lim limlim ta
lim l m
n
1i
xx
x
x
xx xx
x x x
x
x
xx
x x x
x
x
e e e
e e e
Lx






22 2
00
2 2 2
90
1 1 1 1 1
1 1 0. ( ) 1 2 . .( 1)(2 ) ( )
2 2 2 2 2
lim lim 1
1
1 cos 1
1
( ( ))
22
2
lim ln( 1)
x
x
x
x x O x x x O x x
x x O x x x
x x x
Lxx




2 3 3 2 2
03 3 2 3 3 3 3
3 3 3
03 3 3 3
10 0
1 1 1 1 1 1
1(
11 ) 1 ( ) 1
2 6 2 2 2 2
lim 1 1 1
( ) 1 0. ( ) ( )
6 2 6
11 ()
68
lim 1 1 1
lim sin
7
2
()
2 6 6
x
x
x
x
x x x O x x x x O x
x x O x x x O x x x O x
x x O x
x x x O x
e x x
Lxchx shx

 0
2. Bài tập
2
0
2
0
sin
3
0
1
0
0
2
0
2
4
0
3
0
sin
1. lim tan
cot 1
2. lim
3. lim
5. lim ( 0)
(1 )
6. lim
11
7. lim 1
()
8. lim ( 0)
cos
9. lim
sin ( 1)
10. lim
x
x
xx
x
xa
xa
x
x
x
x
xx
x
x
x
x
x
xx
xx
xx
x
aa
x
ax
a
xa
xe
x
xe
a x a a
x
xe
x
e x x x
x






2
2
1
1
1
tan 2
1
tan2
4
cot( )
ln
1
0
0
0
0
1
16. lim ln 1
17. lim
18. lim 2
19. lim tan
tan
20. lim tan
21. lim ln
sin
22. lim
1
23. lim ln
24. lim
25. lim cot
x
x
x
x
x
x
x
xa
xa
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx x
x
x
x
x
a
x
x
x
x
x
x
x


















sin x
sin
2
0
32
5
0
4
0
3
2
4
0
1 (cos )
11. lim
sin(sin ) 1
12. lim
cos(sin ) cos
13. lim
tan 1
14. lim 2sin 1
ln(cos )
15. lim ln(cos )
x
x
x
x
x
x
x
x
x x x
x
xx
x
x
x
ax
bx

3
1
3 2 6
4
sin
26. lim 1 1 2
27. lim 1
2
ln
28. lim
29. lim ( 0).
1 sin cos
30. lim sin cos
x
x
x
x
n
ax
x
x
x
x x x x
x
x x e x
x
x
xa
e
x x x
x x x e











