BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI:
I. Tính giới hạn bằng cách dùng giới hạn cơ bản hoặc VCB, VCL
1
1
1 0 0
1
1 (1 ) 1
1/ lim lim lim 1
1(1 )
1
: (1 )
1
1~
nn
m
x t t
m
t x VCB t
x t m
nn
xt
tm
VCB x x
33
0 0 0
1.2
tan( 1 2 1) 1 2 1 2
3
2. lim lim lim
: tan (
3
) ~ ( ), ( ) 0
x x x
x
xx
xx
VCB
VCB x x x
x
(
1 ln
1 0 0 0 0
)
( 1) ( 1) ( ln )
3/ lim 1lim lim lim lim ln
1
:1 ~ ( ), ( ) 0 ( ( ) )
x t t t a
x t t
x
tt
VCB
e
a a a a a a a e a t a
t x a a
x t t t t
VCB x x x VCB

22
2 0 0 0 0
ln2 ln(1 )
ln(2 ) 2
11
log 1 log (2 ) 1 1
ln2 ln2 2
4 / lim 1lim lim lim lim
2
ln(1:~2
)
x t t t t
t
t
VCB t
xt
tx
x t t t t
VCB xx


0 0 0
4
2
00
2
2 2cos( )
2 2cos 2 2(cos sin ) 1 cos sin
4
6 / lim lim lim 2 lim
4 4 4 4
12
2
2 lim 2 lim
44
4
1
1 cos ~ ,sin ~
4
2
:
t t t
x
tt
t
x t t t t
x t t t
tx
tt t
tt
VCB
VCB
x x x x



Tổng các VCB không cùng bậc tương đương với VCB bậc thấp nhất
2
2 1 2 2 1 21 2
lim
2 2 1 2 21
2 1 2 2 1
8 / lim lim 1 lim 1
2 1 2 1 2 1 x
x
xx
xx
xx
xx
x x x
xe
x x x e






Giới hạn dạng :
1
()
( ) 0
lim (1 ( )) x
xxe

3 3 3
0 0 0
tan sin 1 1
10 / lim lim(tan sin )
tan ~ ,sin ~
lim( )
:
x x x
xx x x x xVCB
xx
x x x
VC xxB
Cách làm này đưa giới hạn cần tính thành dạng 0.∞ nên không sử dụng được.
Cách làm đúng cho bài này như sau:
BÀI TẬP GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
222
122
0 0 0
1
1
cos( ) cos ( 1) (1 cos ) 2
1
11/ lim lim lim lim 0
1arctan arctan
arctan
ttt
x t t t
tt
ee t e t
xtxt t t
x
2
11
cos( )
12 / lim 0
arctan
t
x
ex
x

. Giới hạn này không có dạng vô định vì
2
10
11
lim 0 lim ( cos ) cos0 1, lim arctan 2
x
x x x
e e x
xx
3 2 2
00
sin3 .tan5 3 .5
13/ lim lim 15
()
xx
x x x x
x x x


. Mẫu số là tổng các VCB không cùng bậc,
tương đương với VCB bậc thấp nhất.
2 3 2 3
33
0 0 0
ln(1 2 3 ) 2 3 1
14 / lim lim lim 22
ln(1 2 4 ) 2 4
x x x
x x x x x x x
x
x x x x
2 3 3
33
0
2 3 3 3
15/ lim lim 4
2 4 4
xx
VC
x x x x
x x x
L


52 2 2
0 0 0
log (1 5 ) ln(1 5 ) .5 5
16/ lim lim lim ln5
arcsin arcsin .ln5 .ln5
x x x
xx
x x x x
x x x
2
1
2sin
0
17/ lim cos sin x
xxx
2
1
2sin
0
lim 1 sin x
xxe

.
Không được phép thay hằng số hữu hạn, khác 0 trong tổng. Chỉ được thay hằng số
hữu hạn, khác 0 trong tích hoặc thương
Cách làm đúng cho bài này: (dạng
1()
( ) 0
1 : lim 1 ( ) x
xxe

)
2
12
.
2
cos sin 1
2
22
2
22
00
cos sin 1 1
1sin
1
22
sin
00
1
cos 1 sin 1 1
2
lim lim
11
sin
17 / lim cos sin lim 1 (cos sin 1) xx
xx
xx
x
x
xx
xx
xx
xx
x x x x
e e e











2
11
sin cos 1
11
11
sin cos 1
1 1 1
11
sin cos 1
11 2
sin cos 1 lim lim
lim 11
1
1 1 1 1
18/ lim sin cos lim 1 sin cos 1
xx
x
xx
x
x
xx
xx
x
x x x
xx
xxx
x x x x
e e e e














0 0 0
1 1 1 1 1 ( )
19/ lim ln lim ln(1 ) ln(1 ) lim 1
1 2 2
x x x
x x x
xx
x x x x
22
200
11 11 2
12
1lim lim
2 2 3
22
1
00
20/ lim lim 1 ( 1)
x
x
xxx
xe x e x x
x
xx
xxx
xe
xx
x e x e e e e








II. Tính bậc của các VCB sau so với x khi x→0
1( ) sin2 2si ~nx x x
 2 2.xx
= 0.
Đây là trường hợp không được thay VCB tương đương.
Cách làm đúng cho câu này như sau:
2
12
1
( ) sin2 2sin 2sin (cos 1) ~ 2. . 2
x x x x x x x x
. Bậc 2
sin sin 2 2
21
11
( ) cos ( 1) (1 cos ) ~ sin ~ ~
22
xx
x e x e x x x x x x
Bậc 1.
33
332
3
2
32
3
2
1 cos
( ) cos cos (cos 1) (1 cos ) (cos 1) 1 cos cos
1 1 1 1
(1 cos ) 1 ~ 1
2 3 3
1 cos cos
x
x x x x x x xx
x x x
xx









Bậc 2.
1 1 1
2 2 2 12
41
( ) 1 2 1 ( 1 2 1) (1 2 ) 1 ~ 2 ~
2
x x x x x x x x x x



Bậc ½
1
22
2
22 2
511
( ) arcsin 4 2 ~ 4 2 2 1 1 ~ 2.
4 2 4 4
xx
x x x x









Bậc 2
32
611
( ) tan sin tan (1 cos ) ~ .22
x x x x x x x x
. Bậc 3
1
44
3
33
444
711
( ) arctan( 8 2) ~ 8 2 2 1 1 ~ 2.
8 3 8 12
xx
x x x x









.
Bậc 4
ln3
8
12
( ) 3 1 1~ ln3 ln3.
xx
x e x x
. Bậc 1/2
111
3232
93
( ) ~ ~x x x x x x x
. Bậc 1/3
32
10 2213
( ) 1 cos (1 cos )(1 cos cos ) ~ .3
22
x x x x x x x
. Bậc 2
III. Tính các giới hạn 1 phía
22
22
2 2 2 2
2
1. lim 1 1 lim 11
22
lim 2, lim 2
1 1 1 1
xx
xx
x
x x x x x x x x
xx
x x x x x x x x
 
 
10
1 0 1 0
1
2. lim arctan 1
11
lim arctan , lim arctan
1 2 1 2
x
xx
x
xx



2
3. lim lim ||
1
lim lim 1, lim lim 1
| | | |
xx
x x x x
xx
x
x
x x x x
x x x x
 
   
1
0
11
00
4. lim ( 1)
lim ( 1) , lim ( 1) 0
x
x
xx
xx
xe
x e x e




IV. Hàm liên tục
1. Tìm a để hàm
sin(ln ),1
() 1
1, 1
xx
fx x
ax x

liên tục với mọi x
Khi x<1 :
sin(ln )
() 1
x
fx x
là hàm sơ cấp nên hàm liên tục
1x
Khi x>1 :
( ) 1f x ax
là hàm sơ cấp nên hàm liên tục
1x
Khi x=1: ta sẽ khảo sát sự liên tục 1 phía của hàm
o Liên tục phải :
Tính giới hạn phải :
10 1
lim ( ) lim ( 1) 1
xx
f x ax a

Và so sánh :
10
lim ( ) (1)
xf x f

Nên hàm liên tục phải khi x=1
o Liên tục trái :
Tính giới hạn trái:
10 11
sin(ln ) ln(1 ( 1))
lim ( ) lim lim 1
11
xxx
xx
fx xx

 


Để hàm liên tục trái khi x=1, ta phải có
10
lim ( ) (1) 1 21
xf x f a a

Vậy hàm liên tục với mọi x khi a = 2
2. Tìm f(0) để hàm f(x) liên tục tại x=0:
3
. ( )
tan( 1 2 1)
. ( )
ax bx
ee
a f x x
x
b f x x

0
0 0 0
lim ,
( 1) ( 1)
. lim ( ) lim lim
,
,
,
ax bx ax bx
x
x x x
ax bx ab
e e e e
a f x x
xx
Khong thay VCB
a b a b
Khong thay VCB
duoc
duoc a b
ab


Để hàm liên tục tại x=0, ta phải có
0
(0) lim ( ) (0) ,
x
f f x f a b
khi
ab
Trường hợp a=b sẽ xét ở chương sau
b. Để hàm liên tục tại x=0, ta phải có
0
2
(0) lim ( ) (0) 3
x
f f x f
(Kết quả ở I.2)