275 HỆ PHƯƠNG TRÌNH
TỪ BOXMATH
πhttp://boxmath.vn
257 Hệ Phương Trình từ BoxMath
1Giải hệ phương trình:
√x+ 3 = y3−6
√y+ 2 = z3−25
√z+ 1 = x3+ 1
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
Lời giải
Đặt a=√x+ 3, b =√y+ 2, c =√z+ 1 (a, b, c ≥0).
Hệ phương trình trở thành
a=b2−23−6
b=c2−13−25
c=a2−33+ 1
⇔
a−b=b2−23−b−6 = f(b)
b−c=c2−13−c−25 = g(c)
c−a=a2−33−a+ 1 = h(a)
Ta có:
a≥0
b≥0⇒
b2−23≥6>13
c2−13≥25 >23⇒
b > √3
c > √3
Suy ra:
a2−33+ 1 >√3⇒
a > √3
a2−3>3
q√3−1>1
21
3(∗)
Ta có:
f′(b) = 3b2−22.2b−1>3.1.2√3−1>0∀b > √3
g′(c) = 3c2−12.2c−1>3.22.2√3−1>0∀c > √3
h′(a) = 3a2−32.2a−1>3.1
22
3
.2√3−1>3.1
2.2√3−1>0∀a(∗)
Suy ra: f(b), g(c), h(a)là hàm đồng biến và f(2) = g(2) = h(2) = 0
Trường hợp 1: a > 2⇒h(a)> h(2) = 0 ⇒c > a > 2⇒g(c)> g(2) = 0 ⇒b > c > 2⇒f(b)>
f(2) = 0 ⇒a > b > 2⇒a > b > c > a. Suy ra trường hợp a > 2vô lý.
Trường hợp 2: a < 2, lý luận tương tự ta suy ra điều vô lý.
Vậy ta có:
a= 2 ⇒c=a+h(a) = 2 ⇒b=c+g(c) = 2
a=b=c= 2 ⇔
√x+ 3 = 2
√y+ 2 = 2
√z+ 1 = 2
⇔
x= 1
y= 2
z= 3
Thử lại : x= 1, y = 2, z = 3 là nghiệm của hệ
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là: (x;y;z) = (1; 2; 3)
2Giải hệ phương trình:
1
x−1
2y= 2 (y4−x4)
1
x+1
2y= (x2+ 3y2) (3x2+y2)
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
boxmath.vn 1
πhttp://boxmath.vn
Lời giải
Điều kiện:
x6= 0
y6= 0
Hệ phương trình tương đương với
2
x= 2y4−2x4+ 3x4+ 3y4+ 10x2y2
1
y= 3x4+ 3y4+ 10x2y2−2y4+ 2x4
⇔
2 = 5y4x+x5+ 10x3y2
1 = 5x4y+y5+ 10x2y3
⇔
x5+ 5x4y+ 10x3y2+ 10x2y3+ 5xy4+y5= 2 + 1
x5−5x4y+ 10x3y2−10x2y3+ 5xy4−y5= 2 −1
⇔
(x+y)5= 3
(x−y)5= 1
⇔
x+y=5
√3
x−y= 1
⇔
x=
5
√3 + 1
2
y=
5
√3−1
2
Vậy hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm là: (x;y) = 5
√3 + 1
2;
5
√3−1
2!
3Giải hệ phương trình:
z2+ 2xyz = 1 (1)
3x2y2+ 3xy2= 1 + x3y4(2)
z+zy4+ 4y3= 4y+ 6y2z(3)
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
Lời giải
Vì z= 0 không là nghiệm của hệ phương trình nên:
(1) ⇔xy =1−z2
2z
Đặt z= tan ϕ(∗)với ϕ∈−π
2,π
2\{0}
Ta có:
xy =1−z2
2z=1−tan2ϕ
2 tan ϕ= cot 2ϕ
Thay vào (2) ta được :
3cot22ϕ+ 3ycot 2ϕ= 1 + ycot32ϕ⇔y=3cot22ϕ−1
cot32ϕ−3 cot 2ϕ=1
cot 6ϕ= tan 6ϕ
Ta suy ra: x= cot 2ϕ. cot 6ϕThay vào (3) ta được :
z=4 tan 6ϕ−4tan36ϕ
1−6tan26ϕ+ tan46ϕ= tan 24ϕ(∗∗)
boxmath.vn 2
πhttp://boxmath.vn
Từ (∗)và (∗∗)ta có:
tan 24ϕ= tan ϕ
⇔24ϕ=ϕ+kπ, k ∈Z
⇔ϕ=kπ
23 , k ∈Z
Với ϕ∈−π
2,π
2\{0}ta thu được:
ϕ=±π
23,±2π
23 ,±3π
23 ,±4π
23 ,±5π
23 ,±6π
23 ,±7π
23 ,±8π
23 ,±9π
23 ,±10π
23 ,±11π
23
Vậy hệ phương trình có các nghiệm là: (x;y;z) = (cot 2ϕ. cot 6ϕ; tan 6ϕ; tan ϕ)
với ϕ=±π
23,±2π
23 ,±3π
23 ,±4π
23 ,±5π
23 ,±6π
23 ,±7π
23 ,±8π
23 ,±9π
23 ,±10π
23 ,±11π
23
4Giải hệ phương trình:
x2+y2+xy = 37 (1)
x2+z2+xz = 28 (2)
y2+z2+yz = 19 (3)
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
Lời giải
Ta có
(1) −(2) ⇒y2−z2+x(y−z) = 9 ⇔(y−z) (x+y+z) = 9 (4)
(2) −(3) ⇒x2−y2+z(x−y) = 9 ⇔(x−y) (x+y+z) = 9 (5)
(4) −(5) ⇒[(y−z)−(x−y)] (x+y+z) = 0 ⇔
x+y+z= 0
y−z=x−y
Trường hợp x+y+z= 0 ⇔z=−(x+y). Thay vào hệ ta được:
x2+y2+xy = 37
x2+y2+xy = 28
x2+y2+xy = 19
(vô nghiệm)
Trường hợp: y−z=x−y=t⇔
x=y+t
z=y−tThay vào (4) ta được:
t(y+y+t+y−t) = 9 ⇔ty = 3 ⇔t=3
y(6)
Thay vào (3) ta được:
y2+ (y−t)2+y(y−t) = 19 ⇔3y2−3ty +t2= 19 ⇔3y2+t2= 28 (7)
Thay (6) vào (7) ta được:
3y2+9
y2= 28 ⇔3y4−28y2+ 9 = 0 ⇔
y2= 9 ⇔y=±3⇒t=±1
y2=1
3⇔y=±√3
3⇒t=±3√3
boxmath.vn 3
πhttp://boxmath.vn
Giải từng trường hợp
y= 3
t= 1 ⇒
x= 4
z= 2
y=−3
t=−1⇒
x=−4
z=−2
y=√3
3
t= 3√3⇒
x=10√3
3
z=−8√3
3
y=−√3
3
t=−3√3⇒
x=−10√3
3
z=8√3
3
Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm là:
(x;y;z) = (4; 3; 2) ,(−4; −3; −2) ,10√3
3;√3
3;−8√3
3,−10√3
3;−√3
3;8√3
3
5Giải hệ phương trình:
4x+1
2−14y+1
2−1= 7.2x+y−1(1)
4x+ 4y+ 2x+y−7.2x−6.2y+ 14 = 0 (2)
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
Lời giải
Đặt :
u= 2x
v= 2y(u > 0; v > 0)
Phương trình (2) trở thành u2+ (v−7)u+v2−6v+ 14 = 0, có nghiệm khi
∆ = (v−7)2−4v2+ 24v−56 ≥0
⇔ −3v2+ 10v−7≥0⇔1≤v≤7
3
Mặt khác viết phương trình (2) dưới dạng v2+ (u−6)v+u2−7u+ 14 = 0, có nghiệm khi
∆ = (u−6)2−4u2+ 28u−56 ≥0
⇔ −3u2+ 16u−20 ≥0⇔2≤u≤10
3
Phương trình (1) tương đương với 2u−1
u2v−1
v=7
2
Xét hàm số : z= 2t−1
t, t ≥1, có z′= 2 + 1
t2>0,∀t≥1
Do đó hàm số zđồng biến với t≥1
Khi đó:
u≥2⇒2u−1
u≥7
2
v≥1⇒2v−1
v≥1⇒2u−1
u2v−1
v≥7
2
Dấu bằng trong phương trình (1) xảy ra khi
u= 2
v= 1 ⇔
x= 1
y= 0
Vây hệ đã cho có 1 nghiệm là : (x;y) = (1; 0)
boxmath.vn 4