Trần Mậu Quý - Cao học Toán 16 (2007-2009) 1
BÀI TẬP MÔN CƠ SỞ ĐẠI SỐ
DÀNH CHO CAO HỌC TOÁN 16
Ngày 16 tháng 1 năm 2008
Câu 1. Cho f:M−→ Nlà đồng cấu R-môđun.
a) Chứng minh rằng Slà một hệ sinh của Mthì đồng cấu fđược xác định
bởi giá trị của ftrên S.
b) Tìm ví dụ chứng tỏ nếu Skhông phải là hệ sinh của M thì có ánh xạ
g:S−→ Nkhông thể mở rộng thành đồng cấu môđun từ Mvào N.
c) Chứng minh rằng nếu Slà một cơ sở của Mthì mỗi ánh xạ h:S−→ N
đều có thể mở rộng thành đồng cấu môđun từ MvàN.
Câu 2. R-môđun Mđược gọi là nửa đơn nếu mọi môđun con của Mđều là một
hạng tử trực tiếp. Cho Mlà một R-môđun khác 0. Chứng minh các phát biểu
sau là tương đương:
a) Mlà nửa đơn.
b) Mlà tổng trực tiếp các môđun con đơn của M.
c) Mlà tổng các môđun con đơn của M.
Câu 3. Chứng minh rằng mọi môđun tự do Xtrên miền nguyên Rlà không
xoắn (tức là không có x∈X\ {0}, λ ∈R\ {0}sao cho λx = 0).
Nếu Xlà R-môđun không xoắn với Rlà một miền nguyên thì có thể kết luận
được Xlà R-môđun tự do không?
Câu 4. Cho Mlà R-môđun tự do, Rlà miền nguyên chính. Chứng minh mọi
môđun con của Mđều là R-môđun tự do.
Câu 5. Cho biểu đồ:
Y
β
Xα//Aα0
//
β0
X0//0
Y0
0
trong đó các dòng và cột đều khớp. Chứng minh β0αlà toàn cấu khi và chỉ khi
α0βtoàn cấu.
Câu 6. Cho X1, X2là các môđun con của X. Chứng minh dãy sau là khớp:
0−→ X2/(X1∩X2)ϕ
−→ X/X1
ψ
−→ X/(X1+X2)−→ 0
L
A
T
EX - http://esnips.com/web/chyputy
Trần Mậu Quý - Cao học Toán 16 (2007-2009) 2
với ϕ(x+X1∩X2) = x+X1và ψ(x+X1) = x+ (X1+X2).
Câu 7. Cho U, V là các không gian vectơ hữu hạn chiều trên trường K. Chứng
minh:
a) U⊗KVlà không gian vectơ trên trường K.
b) dim(U⊗KV) = dimKU. dimKV.
Câu 8. Cho I, J là các iđêan của vành R. Chứng minh các đẳng cấu R-môđun
sau:
a) (R/I)⊗RM∼
=M/(IM).
b) (R/I)⊗R(R/J)∼
=R/(I+J).
Câu 9. Cho Alà R-môđun. Chứng minh nếu đồng cấu
λ:Hom(A, R)⊗A−→ Hom(A, R ⊗A)
f⊗c7−→ λ(f⊗c)
(λ(f⊗c) : A−→ R⊗A
a7−→ f(a)⊗c)
là toàn cấu thì Ahữu hạn sinh.
Câu 10. Cho Rlà vành chia được, Mlà R-môđun. Đặt D=HomR(M, M).
Chứng minh:
a)Mlà một D-môđun với phép nhân ngoài được định nghĩa như sau: r.m =
r(m),∀r∈D, ∀m∈M.
b)Tồn tại đẳng cấu vành từ Rvào HomD(M, M).
Câu 11. Chứng minh mọi dãy khớp ngắn
0//A//B//C//0
các R-môđun đều có thể nhúng vào một biểu đồ giao hoán:
0
0
0
0//U//
V//
W//
0
0//X//
Y//
Z//
0
0//A//
B//
C//
0
0 0 0
L
A
T
EX - http://esnips.com/web/chyputy
Trần Mậu Quý - Cao học Toán 16 (2007-2009) 3
trong đó các dòng và cột đều khớp, dòng giữa chẻ ra, X, Y, Z là các môđun xạ
ảnh, các dãy khớp ngắn
0//U//X//A//0
0//W//Z//C//0
có thể cho trước tùy ý.
Câu 12. Chứng minh rằng mọi môđun xạ ảnh Xtrên miền nguyên Rlà không
xoắn.
—Hết—
L
A
T
EX - http://esnips.com/web/chyputy