Ậ BÀI T P Đ I S S C P
>
3( ,
a b c ,
0)
́ ́ ư ̉ Ạ Ố Ơ Ấ ́ ́ ư Ch ng minh cac bât đăng th c:
2
2
2
a,
+
b c + b
c
+ ab bc
ca
Bai 1/369 c + + (cid:0) a + (cid:0) ̀ a b a b,
,
,
Giai:̉
a b c b c a
�
3
3
� ( đpcm)
b + + c
c a
abc bca
2
+
a b +
́ ́ ̣ a, Ap dung BĐT Cauchy cho 3 sô không âm , ta co:́
2
2
2
2
(cid:0)
b c 2 a �
ca
c a
+ c + b
ca + + ab bc
= )
+ 2 a b )
(
+ b c (
)
(
)
0
c + + (cid:0) a 2 b a 2(
+ ab bc + 2 c ) 2(
� ( đpcm)
a b b,
- - - -
+
a
b
1,
+
́ (cid:0) (cid:0) Ch ng minh cac BĐT ab 1 ̀ Bai 2/369 + (cid:0) a b 1 a,
a b(cid:0)
1
2
2
1 + b
2 + ab
1
1
1
+
(cid:0) (cid:0) thi ̀ b, V i ́ơ ́ ư trong đo ́ 1 + a
+ (cid:0) a b
a
b
(1)
1
1,
1
2
2
2
2
+ +
� �
a a
+ 2 2 ab a b + 2 2 ab a b
� ) 0
2
(cid:0) (cid:0)
+ 2
� �
ab + ab b 2 + ab b 2 2 b 1 1)(1
a a (
2 2 a b 2 � b ) 0 2
2
a
a
1 0
2
2
a
b
1,
1
�
a
b
(
1)(1
� ( đpcm) ) 0
2
1 0 2
b
1 0
1
0
+
- - trong đo ́ + � 1 2 - + (1 2 � 0 - - Giai:̉ a, (1) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) Vi ̀ - (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
a b(cid:0)
1
2
2
b 2 + ab
1 + b
1
1
1
+
(cid:0) (cid:0) (2) b, V i ́ơ thi ̀
�
� 0
2
2
2
2
2
2
+
1 + a + b
1 + b + ab
a
b
1 (1
1 )(1
+ )(1
)
۳
0
3
2
2
2
+
ab ) + )(1 +
- (2)
2 2 a b
a
2
b 2
� 2 0
3
2
+ +
- - -
ab
ab 2
- + (1 ab ) + - 1 2 � 0
2
- - -
� � �
- - -
2
- -
�
� ( a b(cid:0)
ab
a b
1
(
1)(
)
� 0
1 + a 2 + ab 1 + + a )(1 (1 ) + + 2 2 b a )(1 (1 + + + 2 3 a b a ab b ab 1 + 2 2 2 3 a a b ab b a b 2 2 � a b ab a b ) ) ( 0 ( 2 � a b ab 0 1)( ) nên ab (cid:0) 1
(cid:0) - - Vi ̀
>
+
+
ứ
(
)
cd
ab
,
0
,
,
(cid:0) ứ Bài 3/369 Ch ng minh b t đ ng th c ) + 0 ấ ẳ ( a b c d , ,
) ( a c b d i:ả Gi Ta có: a b c d > nên bình ph , Do
ươ ế ng hai v ta đ ượ c
+
+
+
+ ab ad cb cd
+ ab cd
abcd
2
�
� 2
(cid:0)
abcd ) 2
�
ad
bc
� 0
> a b c d , ,
,
0.
- "
+ ad bc ( đpcm.
(cid:0)
m
n
n
m
>
m
n
n
m
+
n
n
́ - - (cid:0) ́ơ v i a > b > 0 ; n > m; m, n N a,
+ +
a a + - (1
b b x )
2
m
n
n
m
(cid:0) ̀ ́ ư Bai 4/369 Ch ng minh cac BĐT b b < n x ) ́ ơ v i |x| < 1 va n N, n > 1
>
m
n
n
m
b b
n
n
m
+ m
n
m
- - (cid:0) ́ơ v i a > b > 0 ; n > m; m, n N a,
�
0
n
n
m
m
n
+
+
+ + n +
+
a a
b b
+ m a a
b b
a a
( (
)( )(
) > )
) )
>
�
0
2( n a
a a b a )( n m a b )( m n a b + n b
b b b m b n m a b + m a
) m b
(
)(
)
- - - ̀ a a b, (1 Giai:̉ a a ( ( -
m n
m n
>
>
�
a
b
0
n
n
- - -
+
m n a � � � � � b � � < n x 2 )
a
+ - (1 x
n
n
+ =
=
�
�
a b
+ a b
2
)
(
2
b
n
x n
n
<
x ) = + 1 = - 1 b+
2
(cid:0) ̀ ́ ơ b, (1 (1) v i |x| < 1 va n N, n > 1 (cid:0) (cid:0) Đăt ̣ (cid:0)
n
n
n
n
1
=
+
+
b
- -
n
n
n
1
a =
n 1 na b + + n
b
- -
n
nab n
n
( 1
<
�
nab
) b+ n
a
a + + ..
0
2
+ + nab .. + + n 1 na b .. > nên
- - (1) � a Ta co: ́ + a b ) ( + � a b ) ( Ma ̀ n 1 na b (đpcm)
b
a
+ (cid:0) 2 1
2
+
2
ab 2
a 2
2
2 2 + 2
ọ ớ
+ b 2
- - -
b 0
a + 2 1) +
2
2
2
2
2
+
+
- - -
� � b, �
�
+ ab a
2 ( ab
+ a b
a
a
b
b
� 8 2
2
2
)
+ + a 4 4
+ b 4
� 4 0
- - - ứ Bài 5/369 Ch ng minh BĐT sau v i m i a, b, c. + + + 2 a, ab a b ế ớ Nhân hai v v i 2 ta đ + + (cid:0) 2 b 2 + ab b a 2 + 2 a b a ( ( ) + (cid:0) + 2 2 ab b a 4 + 2 b 2 ượ c: + b a 2 2 + + � a 1 2 1 0 � (luôn đúng " a, b, c) 2 b ( 1) + a b ) + 4 (
2
+ 2
�
a b
a
)
(
+ 2 2)
b (
2)
0
� (luôn đúng "
2
2
2
+
+
- - - a, b, c)
a
b
c
+ ab ac
bc 2
( 1 4
2
2
2
+
+
+
(cid:0) - c,
a
b
c
ab ac
bc 2
�� 0
� 0
1 4
1 � - + a b c � 2 �
2 � � �
- - (luôn đúng " a, b, c)
2
+ xy
2
4
25 y
3 0
2
2
2
ớ ằ ọ ,x y ta có - - ứ x
(
(
y
x
y
y
) + 1
2
2
2
2
2
2
2 +
=
- - -
+ y
y
+ ( ) - + (cid:0) y 1
1 1
�
- -
0
) - + y 1 ) ) ( + 1 2 1 � đpcm.
Bài 6/369 Ch ng minh r ng v i m i + + > x y 6 i:ả Gi Ta có: = x VT ( x 2 VT >
Bài 7
ế ỏ ố a) N u hai s x, y th a mãn x ằ ứ 2 + y 2 = 1, ch ng minh r ng
4
4
- (cid:0) 2 + (cid:0) x y 2
+ (cid:0) ứ ế ằ b) N u a + b = 1, ch ng minh r ng a b . 1 8
Gi iả
ế ỏ ố a) N u hai s x, y th a mãn x ằ ứ 2 + y 2 = 1, ch ng minh r ng
- (cid:0) 2 + (cid:0) x y 2
ặ ố ấ ẳ ứ ụ Cách 1: Áp d ng b t đ ng th c Bunhiacopski cho hai c p s : (1, 1) và (x,
2
2
2
y) Ta có:
1.x
1.y
x2
y
2
yx
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
x2
y
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) x cos (cid:0) Cách 2: Đ t ặ (cid:0) (cid:0) (cid:0) y sin
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 1 1 cos sin cos cos Ta có : mà (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 4 4
4
4
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 2 yx Nên hay đpcm. 2 2 cos sin
+ (cid:0) ứ ế ằ b) N u a + b = 1, ch ng minh r ng a b . 1 8
2
2
Cách 1:
(
) 2
4
4
4
2
2
+ = + = - - a b a b 2ab 1 2ab
2 2a b
2 2a b
+ = + = - 2 - - a b (a 4) (1 2ab) (1)
+ + (a b) a b (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Vì a + b = 1, ab hay ab nên 0 ab 4 1 4 2
4
4
2
2
Thay ab = vào (1) ta đ c:ượ 1 4
2 2a b
2 2 1 � � � = 2 � � � 4 � � �
+ = - - (cid:0) - - a b (1 2ab) 1 4 1 8 � 1 2. � �
2
2
2
Cách 2:
2
2
2
+ = + = � (a b) 1 a + b = 1 (1) � a + 2ab b 1
- (cid:0) - ặ (a b) 0 m t khác (2) � a + 2ab b � 0
2
2
2
2
4
4
4
ế ộ c ng v (1) và (2) ta đ ượ c
4 b )
+ + + + �� � 2(a b ) 1 a b 2(a a b 1 � � 4 1 � 8 1 � 2
ả ấ D u “=” x y ra khi a = b = 1 2
2
ứ ằ Bài 8. Ch ng minh r ng
2
+ x (cid:0) " (cid:0) 2, x R; a) 2 + x 1
(cid:0) " 6, x>1; b) -
+ x 8 x 1 + " (cid:0) + (cid:0) b)(ab 1) 4ab, a, b 0; c) (a
2
Gi iả
2
+ x (cid:0) 2, a) 2 + x 1
2
ụ Áp d ng Cosi cho hai s 1+ và 1, ta có
2
2
2
ố 2x + x " (cid:0) ۳ + (cid:0) + x R; 2 x 2 2 x 1 2 + 1 x
(cid:0) " 6, x>1; b) - + x 8 x 1
ụ ố Áp d ng Cosi cho hai s x 1 và 9, ta có
" + (cid:0) + - - ۳ 6, x>1; � � x 8 2 9(x 1) x 8 6 (x 1) - + x 8 x 1
+ " (cid:0) + (cid:0) b)(ab 1) 4ab, a, b 0; c) (a
ụ ố Áp d ng Cosi cho hai s a và b, ta có (1) + (cid:0) b a 2 ab
+ (cid:0) ụ ố Áp d ng Cosi cho hai s ab và 1, ta có (2) ab 1 2 ab
+ + (cid:0) b)(ab 1) 4ab ế ớ ế ủ Nhân v v i v c a (1) và (2) ta đ ượ (a c
ằ
)
2
2
2
2
2
+ + (cid:0) " (cid:0) a a 8abc, a, b, c 0; Bài 9. Ch ng minh r ng a) (
)
)
( a 1 b
( 2 c 1 a
+ + + + + (cid:0) ứ ) ( ) ( + b b c c ( ) b 1 c 6abc. b)
)
) ( ) ( + b b c c
+ + (cid:0) " (cid:0) a a 8abc, a, b, c 0; iả Gi a) (
ụ ố Áp d ng Cosi cho hai s a và b, ta có (1) + (cid:0) b a 2 ab
ụ ố Áp d ng Cosi cho hai s b và c, ta có (2) + (cid:0) b c 2 bc
+ (cid:0) ụ ố Áp d ng Cosi cho hai s a và c, ta có (3) a
2
2
2
2
2
c 2 ac + + (cid:0) + b)(b c)(c a) 8abc ượ (a c
)
)
( a 1 b
( 2 c 1 a
2
2
2
2
2
2
2
2
+ + + + + (cid:0) ế ớ ế ủ Nhân v v i v c a (1), (2) và (3) ta đ ( ) b 1 c 6abc. b)
2
2
2
2
2
2
6
6
ụ Áp d ng Cosi cho 6 s a b , b , b c , c , c a , ta có ố 2a ,
2 a b
2 b c
2 c a
6 6 6 a b c
2
2
2
2
+ + + + + (cid:0) a b c
2 c (1 a ) 6
+ + + + (cid:0) + 2 a (1 b ) b (1 c )
Bài 10.
(cid:0) ứ ằ a) Cho x 2 + y 2 = 1. Ch ng minh r ng + x 2y 5
(cid:0) ứ ằ b) Cho 2x 2 + 3y 2 = 5. Ch ng minh r ng + 2x 3y 5
Gi iả
2
2
2
2
ặ ố
) (
(
2 1
+ + (cid:0) ụ ) a) Áp d ng bunhiacopki cho 2 c p s (1, 2), (x, y) ta có: ) ( + x 2y y x 2
) 2
( +�
(cid:0) (cid:0) 2 (cid:0) y x � 5 x 2y
2
2
2
2
2
ụ
+ + + (cid:0) 2, 3 , ( ) ( )
) 2x, 3y ta có: )
(
2. 2x 3. 3y 3 2 2x 3y 5 ặ ố ( b) Áp d ng bunhiacopki cho 2 c p s ) ( ) ( � � � � � �
(
) 2
(cid:0) +� � + 2x 3y 2x 3y 5 5
2
2
+
+
ằ ứ Bài 11/370 Ch ng minh r ng
x
x R
x
cos
x
x
1 2 sin
1 2 cos
25 2
2 � � + � � � �
2 � � �
� sin � � Gi
(cid:0) " (cid:0)
i:ả
2
2
+
+
x
x
sin
, cos
1,1 và
x
x
1 2 sin
1 2 cos
2
2
2
2
+
+
+
+
+
+
ấ ẳ ụ ứ Áp d ng b t đ ng th c Bunhiacopski cho
)
x
x
x
x
2 1
2 1
cos
sin
cos
x
x
x
x
1 2 sin
1 2 cos
1 2 sin
1 2 cos
2 � � + � � � �
2 � � �
� � sin � � � � �
2 � � � � � � � � � �
=
+
=
(cid:0) ta có: (
(
) 2
+ 1 4
25
4 2 sin x
� 1 � �
� � �
2
2
+
+
�
�
x
x
cos
x
x
1 2 sin
1 2 cos
25 2
� sin � �
2 � � + � � � �
2 � � �
2
2
2
2
+
+
(cid:0)
c
2
2
b 2
+
a 2 +
+
ằ
(
+ (
d )
+ ax b
x
x
+ cx d
x R
= . Ch ng minh r ng 1 ( 22 x
(cid:0) " (cid:0) Bài 12/370 Cho ) ứ ) 2 + 1 ,
x x ,
, 1
x a b và , ,
i:ả
2
2
2
2
2
2
+
+
+
ta có:
) (
x
x
x
x
b
a
+ ax b
) + 2 1
(1)
,
x x ,
, 1
x c d và ,
(cid:0)
2
2
2
2
2
2
+
+
+
ta có:
+ cx d
d
x
x
c
x
x
) + 2 1
(2)
(cid:0)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
ộ
) ( c: )
(
(
)
(
+ ax b
a
x
x
x
x
b
c
d
x
) ( 1
) 1
2
(cid:0) ượ + cx d
(cid:0) Gi ấ ẳ ứ Áp dung b t đ ng th c Bunhiacopski cho ( ) ( + ấ ẳ ứ Áp dung b t đ ng th c Bunhiacopski cho ( ) ( + C ng (1) và (2) ta đ ) ( đpcm
+
>
+ + ...
ứ ằ Bài 13:Ch ng minh r ng:
1 +
1 +
n
n
1
2
1 n 2
1 2
a)
n
1
+
<
+ + ...
1 2 n
n
1 2 2
1 2 3
- b)
ả ờ L i gi i:
a) Ta có:
>
1 +
n
1
>
1 +
2
1 n 2 1 n 2
n ...
=
1 n 2
1 n 2
+
>
n
+ + ...
1 +
1 +
1
2
1 � � � � n 2 � �
+
>
�
+ + ...
n 1 +
n 1 +
n
n
1
2
1 n 2 1 n 2
1 2
ừ ế ộ ươ ượ C ng t ng v các ph ng trình ta đ c:
n
1
+
<
+ + ...
1 2 n
n
1 2 2
1 2 3
- b)
<
= - 1
<
1 1.2 1 2.3
1 = - 2
1 2 1 3
1 2 2 1 2 3 ...
1
<
=
Ta có:
1 n
n
n
n
1 n
(
1 1)
1
- - -
ứ ừ ế ộ ấ ẳ C ng t ng v các b t đ ng th c trên ta có:
n
1
+
+ + ...
1
1 2 n
n
1 n
n
1 2 2
1 2 3
1 < - + - + + ... 2
1 2
1 3
1 1 - = - = 1 n 1
- (đpcm) -
1
n
Bài 14/370
a ...
n
a a 1 2
,...,
n
a a , 1 2
a . Ch ng minh r ng:
+
+ + ...
1 a n
1 a 1
1 a 2
(cid:0) ố ươ ứ ằ a. Cho n s d ng
n
a a , 2 ,...,
ế ề ọ
n
a ) ,..., a thì:
2
2
2
+
+
a
ươ ằ ủ 1 ( V trái g i là trung bình đi u hòa c a a a , b. Ch ng minh r ng v i s n d 1 2 ng
a n
a n
a 1
2
a 1
a 2
n
n
n
ứ + + ... ớ ố + + ... (cid:0)
,...,
n
a a , 2
a ).
ọ ươ ủ 1 ng c a
(V trái g i là trung bình toàn ph Gi ế i.ả
,...,
,
,...,
n
a a , 2
a là các s d
1 a
1 a
n
1 a 1
2
(cid:0) ố ươ ố ươ a. Vì 1 ng là các s d ng
,
,...,
1 a
1 a
n
1 a 1
2
=
+
(cid:0) ố ươ ụ ta đ c:ượ Áp d ng BĐT Côsi cho các s d ng
n
n
n .
+ + ...
n .
...
1 a
1 a
1 a
n
n
n
1 a a a ... . 1 2
1 a 1
2
1
n
(cid:0)
a ... n
a a . 1
2
+
+ + ...
n
1 a
1 a
n
= 1 a 1
2
n
1 1 . a a 2 1 1 1 a a a ... . 1 2
1
(cid:0)
a ...
n
n a a . n 1 2
+
+ + ...
1 a n
1 a 1
1 a 2
+
(cid:0) V y ậ
a
a
n
n
n
a a , 1 2
2
a d
k
k
k
+ + ... +
n + + ...
x b
x n
x 2
k x 1
,...,
(cid:0) ươ ứ ằ Bài 15/371 Ch ng minh r ng: ,..., ng và a. N u ế
n
x x , 1 2
x d
n
n
a = thì 1 a a a 1 2. ... 1 + + + x ... �(cid:0) 2 � �
x � 1 � �
ươ b. N u ế ng thì v i ớ k N(cid:0)
,...,
Gi
n
a a , 1 2
a ta đ
=
n
+ + ...
a ...
n
n
a 1
1
ố ươ ng c ượ (cid:0) ụ a i.ả a. Áp d ng BĐT Côsi cho n s d + n a a a . . n 2 2
̀ ́ ́ ̀ ươ ̣ ̣ c chia thanh n sô hang d ng sao cho tich
,...,
́ ng a đ ́ ươ ́ ượ ́ ́ ̉ ̣
a n
a a , 1 2
+
a
a
ươ ươ ượ ̀ ng la ́ Môt sô d Bai 16/371 ́ ́ ơ cua chung l n nhât. Tinh cac sô hang ây Giai:̉ ́ ̉ ử Gia s sô d ng A đ
n
2
,...,
a n
a a , 1
2
n
a � 1 � �
+
a
n � � � + + ...
a n
a 1
2
=
a
a
= = ...
́ ̀ c chia thanh n sô d + + ... (cid:0) Theo Cô – si
n
1 2... n
a 1
2
n
+
=
=
a
n
+ + ...
1,
́ ́ ̣ ơ ̣ ̉ Tich ́ ̀ ́ a a a đat gia tri l n nhât la ̀ khi va chi khi
n
na i , i
=� a i
= A a 1
a 2
A n
Khi đo ́
̀ ́ ượ ̀ ư ươ ̣ ́ ̀ c phân tich thanh n th a sô d ng sao cho
ng p đ ́ ́ ́ ́ Môt sô d ́ ̀ ́ ơ ̀ ư ̉ ̉
ươ Bai 17/371 ́ ́ tông cua chung la l n nhât. Tinh cac th a sô ây Giai:̉
a n
,...,
́ ̀ ư ươ ng
n
a a , 1 2
a ta co:́
+ + ...
n
n a a n 1 2
a 2
n
=
=
ươ ̣ ̉ ng (cid:0) ́ ̀ ́ ượ ̉ ử ươ c phân tich thanh n th a sô d Gia s sô d ng p đ =� a a a a a p ... , ,..., n 1 2 1 2 ́ ́ ́ ́ ư Ap dung bât đăng th c Cô – Si cho n sô d + a a a ... n 1
Min
a
a
a ...
= = ...
a i
n
n
n a a n 1 2
2
a khi 1
i
= 1
n
n
=
=
p
p
(cid:0)
a i
=� a i
a a 1... n
0
,
Khi đo ́
x a b > . Tim gia tri nho nhât cua biêu th c: ́ ư ,
)
́ ́ ̀ ̣ ̉ ̉ ̉ Nêu ́
̀ Bai 18/371 + + a x b x )( ( x ̀ ́ ̣ ̣
+
+
(
)
=
A
́ Khi nao đat gia tri đo? Giai:̉
2
+
+
+
+
a x b x )( x ab
x
(
(
)
)
=
+ + +
=
x a b
ab x
+ a b x x
0
,
x
,
Đăt ̣ ta có
a x b x )( x x a b > . Ap dung bât đăng th c Cô – si cho hai sô d ́ ,
ab x
+
+
)
(
+ = + + (cid:0)
(
) 2
x
+� ab
ab a b
a
b
2
2
́ ́ ́ ư ươ ̣ ̉ Do ng
=
+
(
) 2
a
b
MinA
x
a x b x )( x ab =� x
Ta co:́ ab x
ỏ ấ ủ
2 2
c) f(x) = ị Bài 19/371 Tìm giá tr nh nh t c a a) f(x) = (2x 1)(3 – 5x) b) f(x) = (1 + x)3(1 – x) x 2 (cid:0)x
2
2
x (cid:0)x
(
)3
d) f(x) =
iả
Gi a) f(x) = (2x 1)(3 – 5x) = 10x2 + 11x – 3
11 20
1 40
= 10(x2 – 2. x + ) +
121 400 (cid:0)
1 40
1 40
= 10(x )2 +
11 20 1 40
ậ V y max f(x) =
11 20
11 20
ả ấ ỉ D u “=” x y ra khi và ch khi (x )2 = 0 (cid:0) x =
b) f(x) = (1 + x)3(1 – x)
1 3
= (1+x)(1+x)(1+x)(3 – 3x)
x
x
1
01 x
x
0
33
1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ớ ấ Ta th y v i thì f(x) (cid:0) 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
x
x
1
1
01 x 0 ấ ẳ
33 ụ
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) V i ớ (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ố ố ươ ng x + 1, x + 1, x + 1, x – 1 ta
x
x
331
1
1
3
4
x
(
x )33()1
x 4
4
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ứ Áp d ng b t đ ng th c Côsi cho b n s d có x (cid:0) (cid:0) (cid:0)
4
x
x
(
3 ()1
)1
3 2
4
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
1 3
1 3
27 16
3 (cid:0) 2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (x+1)2(3 – 3x) (cid:0) . = (cid:0) (cid:0)
27 16
ậ V y max f(x) =
1 2
(cid:0) ả ấ ỉ D u “=” x y ra khi và ch khi 3 – 3x = x + 1 x =
c) f(x) =
2 và 2 ta có:
x 2 (cid:0)x 2 ấ ẳ 2 (cid:0)
x
ứ ố
x 22 x
22 1
2
x
2
x
22
22 1
ụ Áp d ng b t đ ng th c Côsi cho hai s không âm x X2 + 2 (cid:0) x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
22
ậ V y max f(x) =
2 = 2
x
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ả ấ ỉ D u “=” x y ra khi và ch khi x
2
2
2
(
d) f(x) =
2, 1, 1 ta có:
2
ứ ố ụ Áp d ng b t đ ng th c Côsi cho ba s không âm x
x
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
x (cid:0)x )3 ấ ẳ 2 3 311 2 3 x
)2
(
x x 27 2
2
x
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
2
2
1 27
x
x
(
)2
x 27
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
1 27
ậ V y max f(x) =
+
3
=
f x ( )
22 x x
ị ươ ỏ Bài 20/370 Tìm giá tr d ấ ủ ng nh nh t c a
+
3
=
x >
0
f x ( )
0
Gi i:ả
> mà
x + > nên 22 3 0
22 x x
=
+
x
f x ( )
2
3 x
2 ,x
Ta có:
3 x
=
x
2
x 2 2.3. .
2 6
3 + (cid:0) x
1 x
=
=
=
�
�
MinA
x
x
2 6
2
ấ ẳ ụ ứ ố Áp d ng b t đ ng th c Côsi cho 2 s ta có:
3 x
3 2
V y ậ .
Bài 21. Cho các s x, y, z th a mãn: ố
4
4
4
+
+
=
+
+
xy
yz
zx
4
x
y
z
f x ( )
ỏ
= . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c
ấ ủ ứ ể ỏ ị
Bài làm:.
2, y2, z2) ta
ặ ố ấ ẳ ứ AD b t đ ng th c bunhiacopski cho 2 c p s (1, 1, 1) và (x
4
4
4
2
2
+
+
+
+
đ cượ
y
z
x
2 (1
+ + 2 1
)
(
z 2
4
4
y + 2
2 2 ) +
2 1 )( + 4
x +
�
�
x
(
3(
4
4
2 2 ) 4
x 2
y 2
y +
z +
+
+
�
x
y
z
x
y
z
3(
)
� (
z ) 2 2 ) (1)
(cid:0)
ậ ố ấ ẳ ứ AD b t đ ng th c bunhiacopski cho 2 c p s (x, y, z) và (z, x, y) ta
2
2
2
2
2
2
2
+
+
+
+
+
+
đ cượ
xy
x
y
z
x
y
z
(
)
yz + 2
zx ) + 2
+
)( +
�
x
y
z
xy
yz
zx
(
( 2 2 )
� (
2 ) (2)
(cid:0)
4
4
2
4
+
+
+
+
�
x
y
z
xy
yz
xz
3(
� (
)
) 4
4
4
+
+
�
x
y
z
3(
� ) 16
4
4
4
+
+
�
�
x
y
z
(
)
16 3
ừ T (1) và (2)
2 3
16 3
(cid:0) ấ ạ ậ ỏ ị V y f(x) đ t giá tr nh nh t là khi x = y =z = .
ả ấ ươ i các b t ph ng trình:
5
- a, (1)
x 7 6 x 5 7
9 25
x 2 35
- - b, (2) Bài 23/370 Gi x 1 3 - > 2 2 x 13 < + 21 15
5
x 3 2
- a, (1) ờ ả L gi x 7 6 i: 1 - > 2
2
27
>
0
+ > (cid:0)
> 0
x 3 > - 2
9 2
x- 3
9 2
x- 3
9 2
+ x 6
- - - (1) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
x 7 6 2x + 27 > 0 (cid:0)
27 2
(cid:0) 2x < 27 (cid:0) x < .
x 2 35
+
+
x <
- - (2) b,
0
0
x 5 7 (2) (cid:0)
514 525
x - 88 105
514 < 525
x 15 514
440
- - (cid:0) (cid:0)
9 25 x 2 35 < (cid:0) 0
9 13 88 < 21 25 105 440x – 514 < 0 (cid:0)
x 13 < + 21 15 x 5 7 x - 525
257 220
(cid:0) x <
ủ ấ ươ ệ Bài 24/372 Tìm các nghi m nguyên c a các b t ph ng trình:
20
x 2 3
(cid:0) - (i)
20
1 a, 3x 4 b, 23 (cid:0) 2x – 10 (ii) ả ờ i: L i gi 1 4
x 2 3
44
243
(cid:0) - a, 3x (i)
20
0
0
(cid:0) 0 (cid:0)
x - 2 3
x - 11 3
81 4
x - 12
- (cid:0) (cid:0) (i) (cid:0) 3x + (cid:0)
1 4 44x – 243 (cid:0) 0 (cid:0)
243 44
(cid:0) x (cid:0) (cid:0) 5,5
} 6;7;8;9;...
(cid:0) ệ {
2x – 10 (ii)
13 2
- ậ V y btp (i) có các nghi m nguyên là x b, 23 (cid:0) Ta có: (ii) (cid:0) 13 (cid:0) 2x (cid:0) x (cid:0) (cid:0) 6,5
} 6; 5; 4; 3;...
(cid:0) - - - - ệ ậ V y bpt (ii) có các nghi m nguyên là x {
́ ̀ ̀ ̉ ̣ ̣ Bai 25. Giai va biên luân theo m cac BPT
a, x + 4 > 2x + m2
b, mx – 1 >x +4m2
Giai:̉
a, x + 4 > 2x + m2 (cid:0) x < 4 m2
́ ́ ̀ ươ ̣ ̣ Vây bât ph ́ ng trinh luôn co nghiêm v i ơ " m
b, mx – 1 >x +4m2 (cid:0) (m1)x > 4m2 +1(1)
(cid:0) 0x = 1(vô ly) ́ (cid:0)
+
>
x
̀ ́ơ ươ ̣ V i m = 1; (1) ph ng trinh vô nghiêm
24 m m
1 1
+
<
x
m > 1 (cid:0) -
24 m m
1 1
m < 1 (cid:0) -
2
2
( x m
) + (cid:0) 1
)
ả ệ ậ ấ ươ ng trình: - Bài 26/372 Gi m a i và bi n lu n theo m các b t ph 1;
b
)
.
2
x 2 +
(
x m
1 + 1
) 1
2
2
- (cid:0)
m i:ả ( x m
m
) + (cid:0) 1
1
2
- Gi a )
x
2 1 0
m + > nên b t ph
2
m m
1 + . 1
- (cid:0) ấ ươ ấ Vì ệ ng trình có nghi m duy nh t là:
b
)
x 2 +
(
x m
1 + 1
) 2 1
- (cid:0)
x
(
1)
(2)
2
2
2
m Ta có: x 2 +
x 2 +
(
(
(
x (cid:0)� m
m
m
m
) 1
) 1
+ m 1)( ) + 1
- -
1 + 1 ( + m
m
) 2 > 1
0
" (cid:0) -
1 x
+ m
x
2
x
2
1
(cid:0) - +) (2) nên 1) (cid:0) -
1)( ( + - xm x m �
1
- - -
(cid:0) - ệ ng trình vô nghi m. (vô lý) (cid:0) -
1 1
� +) V i ớ +) V i ớ +) V i ớ V y: ậ
- ươ x (cid:0) x (cid:0) . .
-
x (cid:0) x (cid:0)
1 1
m m x (1 ) 0m = ta có 0 1m > b t ph ấ 1m < b t ph ấ 0m = b t ph ấ 1m > b t ph ấ 1m < b t ph ấ
- ươ ươ ươ ươ ươ ấ b t ph 2 ệ ng trình có nghi m ệ ng trình có nghi m ệ ng trình vô nghi m ệ ng trình có nghi m ệ ng trình có nghi m .
3
>
x
3
+ (cid:0)
+
3 7
- <
x
7
9 10
- <
ươ ế ng trình tuy n tính: - - (cid:0) (cid:0) ệ ấ ả i các h b t ph x 1 1 2 3 (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) a, (I) Bài 27 Gi x 2 x 4 (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0)
4 x 3 4
x +
x + (cid:0)
2 x
2
x
3 3 x 8 3 - > + x 3
3
2
x
+ x
5
1 4
6
- (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) b, (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0)
x
>
1 1 2 3
x
3
+ (cid:0)
+
3 7
- <
x
7
9 10
4 x 3
ờ L i gi - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) a, (I) ả i: x 3 2 x 4 (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0)
Ta có:
1
3
13
5
1 2 +
>
>
0
0
- >
5 0
x 6 +
x 3 + x
x 2 - + x
x
12
2
13
x +
13 x
0
0
2
25 4
x
22
13 0 < 57 0
4 x
22
57
<
< 19 0
0
22 3
4 x 3
- - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (I) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) - (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
>
x
5 13
x
x< <
5 13
57 22
<
x
13 2 57 22
>
(cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
x
1
- <
>
x
4
1
x
3
x +
x + (cid:0)
2 x
x
2
6
2
x< (cid:0)
3
>
>
x
x
3 3 x 8 3 - > + x 3
3
2
5
x
5 2
x
+ x
2 x
5
1 4
6
7
x
5 2 7
(cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) b, (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
x
x
(1)
5
3
1 2
2
x
(
(
)1
)2
(2)
9
m
1
3(
x
(3)
ươ ệ ể ệ ấ ng trình sau vô nghi m (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ị Bài 28/372 Xác đ nh m đ h b t ph (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
x
3
1
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
x 2 xm m )2 ừ T (1) và (2) ta có: ả Gi (m – 1)(m – 2)x > m – 1 (*)
i (3):
x
m
2
1
ệ ệ ặ ớ +) V i m = 1 ho c m = 2 thì (*) vô nghi m nên h vô nghi m ệ 1 (cid:0) ệ ặ ớ +) V i m < 1 ho c m < 2 thi (*) có nghi m (cid:0)
m
2
3
1
m
2
1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ể ệ ệ Đ h vô nghi m thì (cid:0)
x
m
2
1
(cid:0) ớ ừ +) V i 1 < m < 2, t (*) ta có (cid:0)
m
3
2
m
5 3
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ể ệ ệ Đ h vô nghi m thì (cid:0)
2 (cid:0) m
2
5 3
(cid:0) ệ ệ ậ V y h vô nghi m khi m = 1;
ả ấ ươ i các b t ph ng trình Bài 29. Gi
> a. 5 (1) - + x 9 x 1
" (cid:0) (cid:0) x 1, x R ề ị Mi n xác đ nh là . Khi đó
- - - > � � � (1) 5 0 0 0 - - - + x 9 x 1 + 4x 14 > x 1 + 2x 7 > x 1
-
� � � < < 1 x 7 2 - 7 2
+ > 2x 7 0 - > x 1 0 + < 2x 7 0 - < x 1 0 � � � � � � � � � � � � � < � x 7 2 � � � > x 1 � � � > x � � � < x 1 � � �
x ủ ấ ệ ậ ươ V y nghi m c a b t ph ng trình (1) là 7 � � (cid:0) � � 1, 2 � �
2x
+ (cid:0) - b. (2) x 3 + 2x 5 + x 1
" (cid:0) - (cid:0) x ề ị Mi n xác đ nh là
2x
( + x 1
+ - + - 2x 5 1, x R . Khi đó ) ( ) + x 3 x 1 (2) ۳ ۳ 0 0 + x 2 + x 1
- 2
(cid:0) - (cid:0) - (cid:0) 1 x 1 � � ề ế ợ � (cid:0) ệ K t h p đi u ki n (cid:0) - (cid:0) - (cid:0) x 2 2
(cid:0) - 1 x � � � x � � � x � � � x � � � + � ��� x 2 0 � � + (cid:0) x 1 0 � � � + (cid:0) x 2 0 � � � + (cid:0) x 1 0 � � �
> - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) x x 1 2
(
]
) �
( - + � � � , 2
- - x 1, ủ ấ ệ ậ ươ V y nghi m c a b t ph ng trình (2) là
2x
+ - 3x 1 (cid:0) - c. (3) x - 2 x
" (cid:0) (cid:0) x ề ị Mi n xác đ nh là . Khi đó
2x
+ - + - 2, x R ) ( - 3x 1 x 2 x (3) ۳ ۳ 0 0 - - 5x 1 2 x 2 x
x 1 5
- (cid:0) (cid:0) 2 x 0 x 2 (cid:0) 1 5 x 2 - (cid:0) (cid:0) x 1 5
- (cid:0) (cid:0) 2 x 0 x 2 -� ��� 5x 1 0 � � � � (cid:0)��� � 5x 1 0 � � � � � � � � � � � � � � � � � �
< (cid:0) 1 5 x 2 ế ợ ệ ề K t h p đi u ki n ta có:
(cid:0) (cid:0) x ủ ấ ệ ậ ươ V y nghi m c a b t ph ng trình (3) là (cid:0) 1 � � ,2 5 � �
ả ấ ươ Bài 29. Gi i các b t ph ng trình
> a. 5 (1) - + x 9 x 1
" (cid:0) (cid:0) x 1, x R ề ị Mi n xác đ nh là . Khi đó
- - - > � � � (1) 5 0 0 0 - - - + x 9 x 1 + 4x 14 > x 1 + 2x 7 > x 1
-
� � � < < 1 x 7 2 - 7 2
+ > 2x 7 0 - > x 1 0 + < 2x 7 0 - < x 1 0 � � � � � � � � � � � � � < � x 7 2 � � � > x 1 � � � > x � � � < x 1 � � �
x ủ ấ ệ ậ ươ V y nghi m c a b t ph ng trình (1) là 7 � � (cid:0) � � 1, 2 � �
2x
+ (cid:0) - b. (2) x 3 + 2x 5 + x 1
" (cid:0) - (cid:0) x ề ị Mi n xác đ nh là
2x
( + x 1
+ - + - 2x 5 1, x R . Khi đó ) ( ) + x 3 x 1 (2) ۳ ۳ 0 0 + x 2 + x 1
- 2
(cid:0) - (cid:0) - (cid:0) 1 x 1 � � ế ề ợ � (cid:0) ệ K t h p đi u ki n (cid:0) - (cid:0) - (cid:0) x 2 2
(cid:0) - 1 x � � � x � � � x � � � x � � � + � ��� x 2 0 � � + (cid:0) x 1 0 � � � + (cid:0) x 2 0 � � � + (cid:0) x 1 0 � � �
> - (cid:0) x 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) x 2
(
]
) �
( - + � � � , 2
- - x 1, ủ ấ ệ ậ ươ V y nghi m c a b t ph ng trình (2) là
2x
+ - 3x 1 (cid:0) - c. (3) x - 2 x
" (cid:0) (cid:0) x ề ị Mi n xác đ nh là . Khi đó
2x
+ - + - 2, x R ) ( - 3x 1 x 2 x (3) ۳ ۳ 0 0 - - 2 x 5x 1 2 x
x 1 5
- (cid:0) (cid:0) 2 x 0 x 2 (cid:0) 1 5 x 2 - (cid:0) (cid:0) x 1 5
- (cid:0) (cid:0) 2 x 0 x 2 -� ��� 5x 1 0 � � � � (cid:0)��� � 5x 1 0 � � � � � � � � � � � � � � � � � �
< (cid:0) 1 5 x 2 ế ợ ệ ề K t h p đi u ki n ta có:
(cid:0) (cid:0) x ủ ấ ệ ậ ươ V y nghi m c a b t ph ng trình (3) là (cid:0) 1 � � ,2 5 � �
>
x x 3
x x 2
+
ả ấ ươ i các b t ph ng trình: - ; a, -
x
4
x
4
(cid:0) b,
(
)
2 (
(
x
6
2
0
3
2
+ x )
(
+ x )
(
x
x
7
2
- ; ) Bài 30/373 Gi + 2 2 + 1 1 9 + ) 3 1 (cid:0) . c, - -
>
2 1
Gi - a, -
x (cid:0)
x x 2 1 3
- i:ả + x 2 + x 1 3 x (cid:0) và
>
�
x x 3
x x 2
2 1
+
0 (
1 2 + x + x 3 ( x
x
x
) 1
>
�
0
- - - - - ĐK: + 2 + 1 - - -
x 2 x 1 2 ) ( x 2 2 (
x
x
3
) ( 1 2
) ( + 2 3 ) 1
-
2 > 1 ) 1 + )
>
�
0
- -
(
8 x
x
( x x ) ( + 1 2
) 1
3
x
-
8x -
- (cid:0) - 0 8 +(cid:0)
- - 8 0 +
( x x
)8
1 3 25 3 25 9
1x +
3
- - - - 0 + + 0
1 2 15 2 15 4 5 2
0 + 1 + + 25 +
1x -
2
5 3
- 1 0 + 15 +
=
+ 0 + 0 VT
S
, 0
,8
1 3
1 2
-� � � � � � . � � � � � � � � � � �
+
(cid:0) V y ậ
x
4
9 + R
2 \{2}
2
+
(cid:0) b, ;
x
8 9
2
x
4
0
x x
x TXĐ: 9 + �۳ + x 2
- + x 4 + 2
2
-
(
x
۳
0
) 1 +
2
2
-
x (
x
0
) 1
> -
�
�
x
2
x +
x
2
+ (cid:0)
)
2,
4
3
(cid:0) - (cid:0) " (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
)
(
)
( (
x
2
6
S = ) 1
0
2
3
(
+ x )
(
x
2
3
4
3
- V y ậ ( (cid:0) c, - - . + x )
R (
x 7 } { \ 2, 7 ( )
)
(
)
x
x
2
6
) 1
6
(cid:0)� 0
0
3
2
3
- - TXĐ: ) ( 1
+ x )
(
+ x )
(
( + x )
x
x
x
7
7
( x
- - -
2 6 1 7 +(cid:0)
(
- (cid:0)
(
0 + +
0 + + + 0 +
) 3 1x - 6x + ) 3 7x - VT
+ +
ả ệ ậ ấ ươ Bài 31 : Gi i và bi n lu n theo m các b t ph ng trình:
2x mx m 3 0
2
+ > + - (1)
)
+ - (cid:0) + m 1 x 2mx 2m 0 a. b. ( (2)
ả i:
2
2
+ - (1) ờ L i gi 2x mx m 3 0 a.
(
) (
)
)
+ D = = + = - - - - + > ( m 4 m 3 m 4m 12 m 6 m 2 Ta có
2
D < - < " (cid:0) � ệ ố +) < 2 m 6 0 . Khi đó (1) nghi m ệ (vì h s a = 1 > 0) x R
2 >
( (
) + x 1 )
(cid:0) > (cid:0) 0 (cid:0) (cid:0) D = (cid:0) 0 (cid:0) +) Khi đó (1) (cid:0) (cid:0) - = - m 2 = m 6 x 3 0 (cid:0)
x"
" (cid:0) - (cid:0) x 1, x 3 ươ ệ ươ ấ B t ph ng trình nghi m ệ khác nghi m kép, hay t ng
ng.ứ
(
)
) ( m 6 m 2
(
)
) ( m 6 m 2
)
(cid:0) + + - m (cid:0) > x (cid:0) (cid:0) 2 D > (cid:0) 0 ệ (cid:0) +) Khi đó (1) có nghi m là: (cid:0) (cid:0) < - m 2 > m 6 + - - m (cid:0) < x (cid:0) (cid:0) 2
( -�
" (cid:0) m 2,6 ậ V y thì (1) nghi m ệ x R
" (cid:0) - (cid:0) 1, x x 3 ệ ặ
)
(
) � � � � thì (1) có nghi m là:
- - m = 2 ho c m = 6 thì (1) nghi m ( + 6, , 2 m ệ
(
)
(
)
) ( m 6 m 2
) ( + m 6 m 2
2
+ + - - - m - � x + , 2 2 � � � � , � � � � m � � � � � � � � � � �
)
+ - (cid:0) + m 1 x 2mx 2m 0 (2)
(cid:0) b. ( * m = 1, ta có 2x – 2 (cid:0) 0 x 1
(
)
2 ' m 2m
D = - = - - (cid:0) - + m m 2 , ta có: * m 1
2 – 0x (cid:0)
ớ ở ươ ệ + V i m = 0, (2) tr thành x ấ 0 . b t ph ng trình có nghi m duy
ấ nh t là x = 0.
2 + 4x – 4 (cid:0)
ở 0 (cid:0) ( x – 2)2 (cid:0) 0 ( luôn
(
(
+ x , 2
) � .
). -
) �� x , 1 1, x2 ]
ươ ươ ệ ệ ng trình có t p nghi m là S = ng trình có t p nghi m là S = [x
ấ ậ ậ ệ ớ + V i m = 2, (2) tr thành x đúng x" ấ ớ + V i 2 < m < 1, b t ph ấ ớ + V i 1 < m < 0, b t ph ươ ớ + V i m > 0, b t ph ng trình vô nghi m.
ả ấ ươ Bài 32/374 Gi i các b t ph ng trình
2x
2
2
- - < 1 2x 0 a. (1)
- (cid:0) x + + 3x 2 x 2x b. (2)
- (cid:0) + 2x 1 c. 1 4x (3)
2
- - ả i: < 1 2x 0 ờ L i gi 2x a. (1)
2
2
2
(cid:0) < - (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) � x x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 0 - < > 1, x 1 < < + - - (cid:0) (cid:0) 2x 1 0 x 1 2 x � � � � (cid:0) (1) (cid:0) 1 2 � � - < < - < (cid:0) (cid:0) � � x 1 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 x 1 < - > - + - + (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 x 2, x 1 2 (cid:0) x - > 2x 1 0 (cid:0)
(cid:0) - 2 (cid:0) (cid:0) - � 1 < < + 2 x 1 2 (cid:0) (cid:0) 1 - + 1 < < + x 1 2 < < 2 x 1
-
)
( �
2
2
x + 2, 1 2 1 ủ ệ ậ V y nghi m c a (1) là
2
2
- (cid:0) x + + 3x 2 x 2x b. (2)
2
2
2
2
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) + (cid:0) - (cid:0) + (cid:0) - (cid:0) (cid:0) x x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) 3x 2 0 + (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 3x 2 0 + + 3x 2 x 2x 0 (cid:0) 2x � � (cid:0) (2) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) - (cid:0) (cid:0) 5x 2 0 + < 3x 2 0 (cid:0) x � x � (cid:0) (cid:0) - (cid:0) + < 3x 2 0 - + + 2 - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 2 0 (cid:0) (cid:0) 3x 2 x x 2x 0 (cid:0)
-� �(cid:0) x 1, x 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 (cid:0) (cid:0) x 1 2, x 2 (cid:0)��(cid:0) x 1 2, x < < (cid:0) 1 x 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 2 (cid:0)
[
) � � � �
- (cid:0) x + 2, ủ ệ ậ V y nghi m c a (2) là 1 � � , � � 2
- (cid:0) + 2x 1 c. 1 4x (3)
- x 1 4
- (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 0 � � � � (cid:0) (3) (cid:0) - - (cid:0) x 1
(cid:0) - (cid:0) (cid:0) 1 4x + 2x 1 x 1 -� �� �� 1 4x 0 � � � + 1 4x 2x 1 � � � < 1 4x 0 � � � - + � � � � � � x 0 � � � > x 1 4 � � � � � �
(
- 1 4x 0 � � � x 0 � � � < 1 4x 0 � � � x 1 0 � � � [ ] ) � � � � x + 1, ,0 ủ ệ ậ V y nghi m c a (2) là
ả ấ ươ Bài 33/374 Gi i các b t ph ng trình
2
+ > - 7 4x a. 2x 5 (1)
2
- (cid:0) 1 b. (2) x 2 x 4x + + x 2
2
- x (cid:0) 1 c. (3) - + 5x 4 4 x
ờ L i gi ả : i
2
2
+ > - 7 4x a. 2x 5 (1)
+ + > + - � 4x
20x 25 49 56x 16x + 2 - - �
12x 2 - � 3x > 76x 24 0 + > 19x 6 0
< < � x 6 1 3
2
x ủ ấ ậ ậ ươ ệ V y t p nghi m c a b t ph ng trình (1) là 1 � � (cid:0) � � ,6 3 � �
- (cid:0) 1 b. (2) x 2 x 4x + + x 2
2
2
2
2
2
(cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) x 4x 0 (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 (cid:0) + (cid:0) - (cid:0) (cid:0) 5x 2 0 (cid:0) x 2 x x 2 � x 4x + + x 2 4x + + x 2 (cid:0)� (2) � (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) - (cid:0) x (cid:0) < (cid:0) (cid:0) 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) < 4x 0 + 2 - - (cid:0) (cid:0) x 2 x (cid:0) 2x 3x 2 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 (cid:0) (cid:0) 4x + + x 2 + 2 x 4x + + 2 x 2 �(cid:0) x
(cid:0) (cid:0) x 0, x 4 - (cid:0) (cid:0) (cid:0) - �۳ (cid:0) x 2 5 ủ ậ ệ V y nghi m c a (2) là (cid:0) 2 5 (cid:0) x < < (cid:0) 0 x 4
2
�(cid:0) x (cid:0) -� 2 �+� , 5 � �
x
5
4
1
2
x
- (cid:0) c, (3) -
x (cid:0)
2
+ x 4 ệ
2
x
5
4
1
2
2
x
x
4
5
1
1
2
2
x
5
4
x
+ x 4
1
2
x
+ x 4 + x 4
2
(cid:0) ề ể Đi u ki n đ (3) có nghĩa là (cid:0) - (cid:0) - (cid:0) (cid:0) - - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) Ta có: (3) (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0)
2
x
2
2
2
x
5
4
x
x
5
4
0
2
+ (cid:0)
1 0
0
2
x x
5 4
2
x
+ + x 4 x
4
2
2
x
5
8
x
x
x
5
+ x 4 + (cid:0) x 4
4
8 5
(cid:0) - (cid:0) - (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
< -
x
2 <
x
2
0
x
5 2
x
<
x
2
8 5
x
5 2 8 5
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) . (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
, 2
,
�
8 5 � � � �+� � . � � � 5 2 � � � �
ấ ậ ươ ệ V y b t ph ậ ng trình (3) có t p nghi m là S =
2
2
2
- = -
̀ ́ ̀ ươ ̉ ̣ ̣ ng trinh - -
x a
a
2
Giai va biên luân a theo bât ph x (1) x a
x
� � < ) 2
2( 2
x a +
ax + -
- - - ̀ Bai 34/374 - < x a ax 2 + V i ́ơ x � (1)
0
(*)
2 < a 2 2 2
-
1
(1 - < <
-
a x (2 2 ) = - + 2 a a a 2 2 ) ́ ươ bât ph ng trinh (*) vô nghiêm nên bât ph 1a
́ ̀ ̀ ươ ̣ ng trinh (1) vô
) ́
̣ - - ̀ ́ ươ ̣ ̣ ng trinh (*) co hai nghiêm phân biêt nên
2
̣ ̣ ́ ng trinh (1) co hai nghiêm phân biêt.
� x D = - Co ́ ' Nêu ́ 1 nghiêm. + Nêu ́ � � � � bât ph a ( (1, ́ ươ bât ph - < 2 a
, 1) ̀ - < - + 2 a
a
x
1
1
1
1
- - -
>
a
2
2
- > 2
a
- + 1
1 0
a(cid:0)
x a
a
0
- + a 1
1
< -
a
2
<
x
a
- < x a
0
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) - Vi ̀x nên va ̀ (cid:0) (cid:0)
2( 2
ax x + +
- - - + V i ́ơ � (1)
x
2 < a
� < a x ) 2 + 2(1
a x )
2 2
0
(**)
-
+
-
� D = Co ́ ' D > ' 0
(
, 1)
(1,
)
� � � (**) co nghiêm
2
- - ́ ̣
a
2 1 a �� a - < - < + 2 x a
a
1
1
1
1
- -
>
a
2
- < 2
a
1 0
- + < a x
0
< -
a
2
2
2
(cid:0) - (cid:0) (cid:0) thi ̀ 1 (cid:0) (cid:0)
x a
+ - 1
1
1
- - - ̣
0 �
a
2)
)
a a 1 ̀ � thi bât ph
- < < - + 2 a x a ́ ươ ng trinh co nghiêm
2
- - ́ ̀ ̣ ̣ vây + ( 2,
a
- < - < a 1 � � ( , - < < - + 2 a x
a
a
1 Vây + - 1
1
1
1
-
2
̀ ́ ́ ơ Tim a l n nhât sao cho
x
x R
ax
0x (cid:0)
x 1 + Xet ́
Bai 35/374 + (cid:0) " (cid:0) (1) ̀ x +
2
+�۳
x
ax
x
0 (1)
x +
+ 2
�
1 x
x
x
+ )(1
� ) 0
2
x ax ( +
+
�
ax
a
x
(
1)
� 0
(*)
-
2
D =
+ a
(
1)
0
(cid:0) > x
a
a
"�� (cid:0) 0
1
(3)
+
0 a
=
0
1 a
S 2
2
0x < ta có
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - ̣ ́ (*) co nghiêm (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0)
1
2
+
�
�
�
ax
x
x
ax
(1)
1) 0 (**)
x
x
1
( 1
1
+ Xet ́ x - - - -
�
ax
(**)
� 1 0
x
2
- - -
1 + x ax ax
0
1
2
- (cid:0) -
x + x ax ax
0
0x < nên
x
1
0
2
0
0
+ x ax ax - < x <
1 x
0
0
(4)
a = -
max
1
a ̀ ư
(cid:0) (cid:0) - (cid:0) Vi ̀ (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
̣ ̀ T (3) va (4) suy ra vây a = 1
ả ấ ươ Bài 36. Gi i các b t ph ng trình
- - + > 1 a. (1) - - x 4 x 3 x 2 x 1
" (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 1, x 3, x R ị ề . Khi đó:
) + -
- Mi n xác đ nh là ( - - - x 3 x 4 - - � � (1) 0 0 - - - - x 3 x 2 > x 1 2x 7 x 3 x 2 > x 1
2
(
(
)
) ( x 2 x 3
)
)
(
) ) ( 2x 7 x 1 ) ( ( x 1 x 3
2
- - - - - - > > � � 0 0 - - - - + 4x 1 x ) ( x 1 x 3
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) > + 2 3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - < - x 2 < 3, x > (cid:0) (cid:0) + > 4x 1 0 ) ( ) > x 1 x 3 0 (cid:0) x 1, x 3 3, x > + 2 3 � � � (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) 3 < - x 2 < < 1 x 3 � (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - x ( � � � x ( (cid:0) (cid:0) (cid:0) + < 4x 1 0 ) ( ) < x 1 x 3 0 � � < < + � 2 3 2 x � < < 1 x 3 (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:0) 3, x > + 2 3 (cid:0) ế ợ ệ ề K t h p đi u ki n ta có: (cid:0) < - x 2 < < 1 x 3
ậ ệ ủ ấ ươ
(
- - ng trình (1) là: ) V y nghi m c a b t ph ( � �
) �
( ) + � � 2 1,3
2
3 ,2 x + 3,
2
+ - > (2) b . 7 - x x 2x 63 + 8x 7
2
2
2
" (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 1, x ề ị Mi n xác đ nh là
2
+ - - - . Khi đó ) - x + 8x 7 > < (2) � � 0 0 - - x 3x x + 29x 56 + 8x 7
(
) ( x 7 x 8 3 ( ) ) ( x 1 x 7
- - 7, x R ( 2x 63 7 x + 2 8x 7 ) - < < � � 0 0 - - - x 8 3 x 1
< - �(cid:0) x 8 3 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) � � < < 1 x 8 3 (cid:0) - > x 1 0 > - (cid:0) x 8 3 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - < x 1 0 (cid:0)
< < 1 x 8 3 ế ợ ệ ề K t h p đi u ki n ta có:
x ủ ấ ệ ậ ươ V y nghi m c a b t ph ng trình (2) là: 8 � � (cid:0) � � 1, 3 � �
ả ấ ươ Bài 37. Gi i b t ph ng trình
2x
+ > a. (1) 10 - + 10x 16 x 1
2
2
" (cid:0) (cid:0) ề ị Mi n xác đ nh là . Khi đó
(
) 1
+ + - - + x 1, x R ) ( 10x 16 10 x 1 x x > > � � 0 0 - - x 1 26 x 1
2x
(
) 1, +� �
� � Do > 0 - > x 1 0 > x 1 26+
4
x ủ ấ ệ ậ ươ V y nghi m c a b t ph ng trình (1) là
2
2
- > 0 (2) b. 17x 2 -
)
2
( x x
- - x ( x x ( + 2 60 ) + 8x 5 ) ( 5 x x > � 0 (2) - 12 ) + 8x 5
ứ ở ế ể ả ấ ậ L p b ng xét d u bi u th c ủ v trái c a (2) ta có:
ả ủ ấ ệ ng trình (2) là:
- - - K t h p hai b ng trên ta có nghi m c a b t ph )
)
)
ế ợ ( �
( �
( �
ươ ( + �
) �
5, 12 12, 0, 4 11 5 x 4 11, +
+
+
ả ấ ươ Bài 38. Gi i các b t ph ng trình:
2
1 +
x
2 - + x
x
x 2 + 3 x
1
1
3 1
4
(cid:0) a)
>
0
2
+ 2 + x
x x x (
x 3 8
2 5)
- b) . -
+
+
ờ L i gi ả : i
2
1 +
x
2 - + x
x
x 2 + 3 x
1
1
3 1
(cid:0) a) (1)
ĐK: x ≠ 1.
(1) (cid:0) (cid:0) 0
0 (cid:0) (cid:0) 0 (cid:0) (cid:0)
(cid:0) (cid:0)
Vì x x + 1 > 0
(cid:0) (cid:0)
(cid:0) ủ ấ ệ ậ ươ V y nghi m c a b t ph ng trình là: x Vì x x + 1 > 0 ; 1) (cid:0) ((cid:0) [0 ; 1].
b) > 0 (2)
ĐK: D = R.
(2) (cid:0) > 0
(cid:0) (x 2)(x 1) > 0 ( vì x x + 30 > 0)
ả ấ Ta có b ng xét d u:
(cid:0) +(cid:0)
+ + + + 1 + 1 + + + + x 2 x 1 Bi uể
th cứ
ấ ừ ả ủ ấ ệ ươ ng trình là:
T b ng xét d u ta có nghi m c a b t ph x(cid:0) (1; 1) (cid:0) ( ;+(cid:0) ; ) (cid:0) ((cid:0) ).
2
3
x
a
)
0
x
2
4
ấ ươ i các b t ph ng trình: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
b
0
)
2
x x
x ) 3 15
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ả Bài 39/374 Gi x 2 3 x 2( x 4 x 8
Gi
- iả 3 x 3 > a 0 ) -
(cid:0) (cid:0) x - + x x ) x 0, 2
2
- > b 0 ) -
4
3 0
2
22 x x (2 ệ Đi u ki n: + 2 4 x 3 4 + x 15 8 x ệ Đi u ki n. + (cid:0) 2 4 x x + x
x
8
15 0
4
+ (cid:0) 2
x
4
3 0
2
x
x + x
8
15 0
(cid:0) (cid:0) x 5, 3 ề x x ề (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
�
�
x
[ 1,1]
3]
+ [ 3,
� )
x
� � ( , + [5,
� � � � )
,3]
(
�
�
�
x
� � � ,
(
3]
[ 1,1]
[ 3,3)
+ � � (5, )
x
� � � � � [
, 1]
(
)
+ [1,
3, 3]
x
[3,5]
(cid:0) (cid:0) - - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - - (cid:0) (cid:0) - - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
2
x
x
4
4
a
x
)
81
3
2
x
x
x
2
34
2
0
2
2
ệ ấ ươ ng trình: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Bài 40/375 Gi 5 ả i các h b t ph 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
x
y
4
b
)
2
y
x
3
6
0
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
2
x
4 0
4
<
a
x
)
81
2
+ 2
x
x
x
2
3
(cid:0) - iả Gi + (cid:0) x 5 (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0)
2 0 + [4,
,1]
( 3,3)
� � � � i , 3 ) )
+ i (3 , + (3,
� � � � )
, 3) i i ( 3 ,3 )
x
� � � � x ( ) -� �(cid:0) x x ( ��(cid:0) x ( -�(cid:0) x -� � (
,1]
- (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
� � � � )
,1]
+ [4,
x ( � � x
� � x
( 3,1]
x
,1]
2
2
- (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) (cid:0)
( 3,3) -� � ( +
y
x
b
)
2
4 + (cid:0) x
y
3
6 0
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0)
x
4
6
2
�
y � 6 0
(cid:0) - (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0)
= x � = y
0
2
x
x
x 3 -� x 3 � 3
6 4
(cid:0) (cid:0) - (cid:0) - (cid:0)
2
̀ ả ấ ươ Bai 41/375 i các b t ph ng trình. Gi 2 - - (cid:0) - a x x x ) 3 10 2
2
2
(cid:0) (cid:0) - - (cid:0) x x 10 0 (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) x 3 2 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) - x x x x 3 10 + 4 4 (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) x 2 0 (cid:0)
- - (cid:0) x � � � � � ) , 2] ( + [5, (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) x 14 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 2 (cid:0)
- - � � � � ) , 2] ( + [14,
2
- - b x < + 2 x x ) 21 4 3
(cid:0) - - (cid:0) x 0 (cid:0) � (cid:0) x 21 4 + > x 3 0 (cid:0) - - (cid:0) x > 2 x 21 4 + x 9 9
- - (cid:0) x + 2 x + [3, , 7) (cid:0) � � � � ) ( > - � (cid:0) x (cid:0) 3 < x (cid:0) 13 13
� � x (1,3]
2
̀ ả ươ Bai 42/375 Gi i các b t ph ng trình
2
- a - + x x )1 2 ấ - < x 3 5 0
2
- � x x 2 - < - x 5 3 1
2
(cid:0) (cid:0) - - (cid:0) x 3 5 0 (cid:0) (cid:0) x - < (cid:0) 2 x 1 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) x (cid:0) (cid:0) 1 0 2 (cid:0) - - (cid:0) x x x 2 - < x 5 3 + 2 1 (cid:0)
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) x 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x (cid:0) (cid:0) 5 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) < (cid:0) x 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 1 (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) x - < x 6 0 (cid:0)
(cid:0) (cid:0) x (cid:0) x 3 (cid:0)<� (cid:0) 5 2 (cid:0) 5 2 < < x 1 3
+ b x ) 2 + < 1 - 1) x
x (cid:0)
ệ ề x 2( 2 2 Đi u ki n
2
(cid:0) + (cid:0) 0 (cid:0) - (cid:0) (cid:0) x 2( 2 x 1) x � 1 0 +� 2 (cid:0) + + x 4( (cid:0) x 2 + < 1 1) 2 - (cid:0) 2 + x x 4 4
)
- - � (cid:0) � � x , 0,2 4 x � ( �(cid:0) � 1 11 3 13 2 �
- a x x ) - > x 7 2 8
+ - 3 + (cid:0) (cid:0) x (cid:0) - (cid:0) (cid:0) 3 0 x 7 0 (cid:0) (cid:0) - (cid:0) x 2 (cid:0) (cid:0) - (cid:0) x - + x x 8 0 + > 3 7 2 8
[ > -
] + 2
(
) (
)
(cid:0) - (cid:0) x 3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 7 4,7 � � (cid:0) x � � x 4 - (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x 2 x � � 4 22 56 (cid:0) > - - x x 2 7 2 8 (cid:0)
[
]
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) x 4,7 (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) x + x 2 > 60 0
[ x 4,7 �<� 5 > 6
(cid:0) (cid:0) 22 ] (cid:0) (cid:0) 7 (cid:0) � x (cid:0) < < x < < x 6 � 4 5 (cid:0) (cid:0) (cid:0) x (cid:0)
- - - - b x x ) 2 7 3 2
- - � - > x - + - x x x 2 > 3 2 7
(
) (
)
- (cid:0) (cid:0) x 2 (cid:0) - - (cid:0) 0 x 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) 3 2 x 7 0 (cid:0) (cid:0) - - - - - x x x + x 1 3 2 2 > - 3 2 7 (cid:0)
(
) (
) > + x
- (cid:0) (cid:0) x (cid:0) (cid:0) 3 2 (cid:0) (cid:0) - - - x x 2 3 2 4 (cid:0)
)
[
2
( ) ( � x 2 � + < x 4 + (cid:0) x - + x 6
2
- (cid:0) (cid:0) - (cid:0) x (cid:0) (cid:0) x (cid:0) (cid:0) 3 2 (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) - - - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 3 2 � 0 + 2, , (cid:0) (cid:0) (cid:0) 3 � ) � � � � 2 � (cid:0) (cid:0) (cid:0) � � (cid:0) (cid:0) (cid:0) 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) < - (cid:0) 3 2 � � x � � x 4 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 4 0 (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 4 (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) > 2 x x 2 + + x 16 8 (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) x x 9 > 22 0 (cid:0) (cid:0)
- (cid:0) (cid:0) x (cid:0) (cid:0) 3 2 < - (cid:0) (cid:0) x 4 (cid:0) (cid:0) < - (cid:0) � � x 2 (cid:0) - (cid:0) x 4 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) < - (cid:0) � (cid:0) x 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) > (cid:0) (cid:0) x 11 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ả ấ ươ Bài 43. Gi i các b t ph ng trình:
a) > ;
b) > .
ờ L i gi ả : i
a) >
(cid:0) > + (1)
ế ề ể ươ ế ượ Vì hai v đ u không âm nên ta có th bình ph ng hai v ta đ c bpt
ươ ươ ng:
t (1) (cid:0) ng đ (cid:0)
(cid:0) (cid:0)
(cid:0) ủ ấ ệ ậ ươ V y nghi m c a b t ph ng trình là: x (luôn đúng) [4; 7].
b) >
(cid:0) + > (2)
ế ề ể ươ ế ượ Vì hai v đ u không âm nên ta có th bình ph ng hai v ta đ c bpt
ươ ươ ng:
t (2) (cid:0) ng đ (cid:0)
(cid:0)
(cid:0) (cid:0) (I)
(*) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:0) Khi đó (I) (cid:0) x < 2
ệ ậ ủ V y nghi m c a bpt là: x < 2.
̀ ấ ươ Bai 44/375 i các b t ph ng trình.
+
a
x
)
- > 3
(*) -
5 x
3
- -
ề
1
- (cid:0) ả Gi 2 16 x x 3 ệ Đi u ki n x b ) 1 4 3x > + x 2
- (cid:0) x 0 ươ ươ ươ Do 1 4 ấ nên b t ph ng trình đã cho t ng đ ớ ng v i
2
2
2
- (cid:0) < x (cid:0) 1 2 (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) x + < (cid:0) (cid:0) x (cid:0) 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 0 + (cid:0) (cid:0) (cid:0) x (cid:0) 1 0 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) -� x 1 2 1 4 � 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) x + x 1 4 (2 1) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) + x x (2 1) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 4 - + (cid:0) x + x (2 1) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 4 x 1 4 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0)
"� � x 0
a
x
x
3
1
2
2
3
̀ ươ Gi 2 i các ph 3 3 - (cid:0) ng trình 0 Bai 45/375 3 ) 2
3 �
2
ả + - 1 + - � x 1 3 1
x 2 + 2 - x � 1 3 1
� 2 0
x
3
� � x 2 + 3 3
8 +
) 2
3
2
3
2 + (cid:0) 2 + � x 2 -� 2 x -� b x ) ( � x � x 2
+ 8 + + x x � x 12 8 8
+ � x 6 +� � x x 2) 0 ( -� � � x 0 2
̀ ươ ng trình
- ấ i các b t ph 3
x 3x (cid:0)
ả Gi + > 1 ệ Bai 46/375 3) a x ề Đi u ki n
3
2
)
(
(
) 1
2
3
+ > - � x 3
3
+ + 2 - - � x x x x 2 27 27
2
x + > 1 + 2 - - � x x x 10
- - x 25 + x 3 x 9 < 28 0 < 4) 0 7)(
7 0
ề ệ < 7x(cid:0) 3
x
x
4
9
b x )(
3)
� x ( - <� x <� x 7 ế ợ K t h p đi u ki n suy ra + 2 2 - (cid:0) -
̀ ươ
- - - - (cid:0) - x Gi x ng trình. 2) 3)( 2
2
3 0
(cid:0) ế Bai 47/376 18 2 ề x ả . Chia c 2 v cho ta đ cượ Đi u ki n 2 x -
4
- - - (cid:0) 2 18 9 - - ả ấ i b t ph x 3 9 (2 4 2x (cid:0) ệ 2 3 x x 2 x x 2 2 3
2
- t (cid:0) Đ t ặ 4 =t, 0 - x x 2 2 3
t
t 2
(cid:0)� � + - t 9
18 0
0
3 2
(cid:0) ệ ệ t (cid:0) Ta đ c ượ . Do 0 nên h có ngh m
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 2
- (cid:0) (cid:0) x � � 4 � x �(cid:0) � x �(cid:0) - (cid:0) 211 146 3 2
n
1
<
+
1 2 n
1 2 2
n ớ ổ
= -
<
Ta c ó
;
- x 2 x 2 3 x 2 + + ... b. ۳ 1 2 3
1 2.3
1 < 2 3
1 2 2
1 1 2 3
...
1
<
=
Cách 1: So sánh v i t ng trung gian. 1 1 1 = - 2.1 1 2
1 2 n
n
(
1
- - -
n
1
<
+
+
�
+ + ...
+ + ...
= - + - + + ...
-
1 n 1) 1 2 n
n
n
1 n
n
1 2 2
1 n 1).
(
1 1 1 2
1 1 2 3
1 1 - = - = 1 n 1
- -
n
1 n 1 2.3 1
<
+
+ + ...
n 1 1.2 1 2 n
n
1 2 3
1 2 3 1 2 2
- V y ậ
<
=
1 2
k
1
+
<
+ + ...
1 2 3
ươ ạ - ớ V i n=2 ta có luôn đúng Cách 2: Dùng ph 1 2 2 ng pháp quy n p. 2 1 2 - ả ử ứ ớ Gi s BĐT đúng v i n=k, t c là (1)
1 2 2 ớ
1 2 k ứ
k ứ
+
<
+
...
2
k +
k
k
ứ
1 + 1)
1
(
Ta ph i ch ng minh BĐT đúng v i n=k+1, t c là ch ng minh: 1 2 2 ả 1 2 3
2
3
2
ế ủ ộ ượ ộ C ng vào 2 v c a BĐT (1) m t l ằ ng b ng ta đ cượ
1 k + 1) ( k
k
1
1
+
<
+
<
+
=
+
�
+ + ...
+ + ...
2
2
1 2
1 +
1 +
k +
1 2 k
k
k
k
k
1 2 k
1 2 2
1 2 3
(
1)
(
1)
+ k k k (
1)
+
<
- - -
�
+ + ...
= 2
2
k +
1 +
k +
1 +
1 +
k
k
k k (
1)
1
k k (
< 2 1)
1
1 2 3
1)
1) 2 1)
1 2 2 ậ
k ( V y BĐT luôn đúng v i n=k+1
- -
1 1 2 2 3 2 + 2 k k ( + k k ( ớ n
1
<
+
+ + ...
n
1 2 n
1 2 2
1 2 3
- V y ậ
3
3
ả ệ ậ ấ ươ Bài 48 : Gi i và bi n lu n theo m b t ph ng trình:
x
xm
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (1)
3
3 (cid:0)
ả ờ L i gi i:
(cid:0) ym
2
3 x => y3 = x, ta có : y +
3
2
3
2
ặ Đ t y =
ym
y
y
y
y
y
m
8
12
6
6
12
8
)2(0
'
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
y
m
m
)6(
8(6
)
12
6
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
y < 0 => 6m – 12 < 0 (cid:0)
ệ N u ế (cid:0) ệ m < 2 thì (2) vô nghi m => (1) vô nghi m
y = 0 => 6m – 12 = 0 (cid:0)
1 = y2 = 1
ệ N u ế (cid:0) m = 2 thì (2) có nghi m kép: y
ệ ệ 0 => 6m – 12 (cid:0) 0 (cid:0) m (cid:0) 2 thì (2) có 2 nghi m phân bi t : => x = 1 y (cid:0) N u ế (cid:0)
6
12
m 6 6
(cid:0) (cid:0) y1,2 =
6
12
m 6 6
(cid:0) (cid:0) )3 => x1,2 =(
ế ậ K t lu n :
ệ ế N u m < 2 thì (1) vô nghi m
1 = x2 = 1
ệ ế N u m = 2 thì (1) có nghi m kép: x
6
12
1,2 =
m 6 6
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ế ệ ệ N u m 2 thì (1) có 2 nghi m phân bi t : y
̀ Ự ̉ ́ TH C HANH GIAI TOAN
+
a
b
a b(cid:0)
̀ Bai 1/376
> thi ̀ 1
1 + (cid:0) a
1 b
̀ ́ ư ́ a, Ch ng minh răng nêu
́ ́ ươ ̣ ̀ Ta dung ph
a
b
0
1 + - a
- (cid:0)
�
a b
(
� 0
+ )
=
- -
VT
a b
(
a b
0
a b(cid:0)
> nên 1
>
�
ab
1
1
0
1 > ab
0
- - ng phap xet hiêu: 1 b 1 1 � � � � b a � � 1 � � ) 1 � � ab � � - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Vi ̀ - (cid:0) (cid:0)
+
(
)
a b
n
n Z
VT (cid:0) ́ ư
+
a
b
̣ (cid:0) (cid:0) (cid:0) ̀ thi:̀ Vây ́ b, Ch ng minh răng nêu
(
a b
a
a b
(
n + (cid:0) a ươ n + - a
0
n
a b
n b ̀ ự y a ta dung ph n b a n = - = - + b ab b a b >
ab
n
VT (cid:0)
0
́ ̣ ng phap xet hiêu: T ng t - ươ ) - - ́ ́ n � � ) 1 � � ab � � - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Vi ̀ (cid:0)
x
0
1
̣ Vây
x y > thoa man ̃ ,
y+ = . Tim ̀ MinP
2
2
=
+
+
P
1 2 x
̀ ̣ ̉
�� y �� � �
Cho Vây � � �
2
2
+
=
+
=
= P x y
+ + + 1 1
2
1 2 x y
1 xy
� xy � �
2 � � �
1 1 xy
� � 1 � xy � � �
2 � � � � � �
>
Bai 2/376 � 1 x � 2 y � Giai:̉
x
0
<
y
4
1 xy
0 + > y
x
1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Do (cid:0) (cid:0)
2
2
=
+
=
P
17 2 4
1 1 xy
� � 1 � xy � � �
2 � � � � 1 + � 4 � � 4 � � � � �
2
x
y= =
MinP =
(cid:0) Suy ra
1 2
17 2 4
̉ ̀ khi va chi khi
+
x
y
)
̀ ̀ ́ ̀ ́ ư ́ ơ ươ ̣ ̣ ̉ ́ Ch ng minh răng v i moi bô sô d ng x, y, z, t co tông băng 2
16
+ + y
x
z t ,
(cid:0) Bai 3/376 ́ ̀ ta đêu co: + + y z x )( ( xyzt
+ + (cid:0) + +
y
z
́ ̣ ̉
+ + +� x t 2 (
4 4(
z t )
)
2
+
�
�
x
+ + y
x
z
t
x
(
z t )
y zt )
� ( +
) +
�
�
x
y
x
xyz
(
4( 2 y zt )
4.4
+
x + + y + + y + + y
x
� ) 4( y
(
)
Giai:̉ ́ ́ ́ ươ ư Ap dung bât đăng th c Côsi cho 2 sô d y y x ( ng z t )
16
z x )( z x )( xyzt
+ + =
(cid:0)
t
z
x
=
�
y + = y
z
x
x y x t ( , , ) ,
,
,
,1
1 1 1 4 4 2
� � �
� � �
=
y
x
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ́ ̉ Dâu “=” xay ra khi: (cid:0) (cid:0)
= + + a b c
+
+
́ ̀ ̀ ́ ̣ 2 p ̣ ̣ Cho tam giac ABC co đô dai 3 canh la a, b, c. Goi
2
1 + + b
1 c
1 � � a �
� � �
(cid:0) - - - ̀ 1 p c
+
̀ Bai 4/376 ́ ư ch ng minh răng: 1 1 p b p a Giai:̉
4 +
1 x
1 y
x
y
(cid:0) ́ ư ử ̣ ̉ ́ S dung bât đăng th c:
+
2
+
=
+
+
�
� 4
�
 (cid:0) - - - - (cid:0) (cid:0)
2 p a
2 p b
2 p c
1 + + b
1 c
� 2
1 � � a �
� � �
+
1 p b 1 p c 1 p a
4 p a b 4 p b c 4 p c a
4 = (cid:0) c 4 a 4 = (cid:0) b
2
- - - - - - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - - - Ta co:́ 1 p a 1 p b 1 p c
+
+
2
1 p a
1 p b
1 p c
1 + + b
1 c
1 � � a �
� � �
(cid:0) Suy ra: - - -
3
3
+
3 3
0
̀ ́ ư - (cid:0) Cho a, b, c > 0. Ch ng minh răng abc
3
3
3
2
+
=
b
ca
= abc 3
)
2
2
2
=
+
+
́ ̣ - - - - ̀ Bai 5/376 + a c b Giai:̉ ươ ử S dung ph + c a VT ng ab bc ́ ươ ̉ ươ ng phap biên đôi t ng đ + + + + 2 2 a b c a c b )( (
+ + a b c
a
c
ab
(
)(2
b 2
2
2
bc 2
ca 2 )
2
2
=
+ 2
- - -
+ + a b c
a b
c a
(
)
+ b c ( )
(
)
� ) ( �
1 2 1 2
>
- - -
VT
0
� � > a b c , ,
0
"
̀ ̣ ̉ ̀ Theo đâu bai a, b, c > 0 nên ́ ư ượ Vây ta đ ̀ c điêu phai ch ng minh.
<
ứ ằ ạ ộ Bài 8. cho tam giác ABC có đ dài 3 c nh là a, b, c. Ch ng minh r ng:
1
a b
b + + c
c a
a c
b a
c b
- - -
Gi i:ả
<
a, Phân tích
1
a b
c + + - a
b c
a c
b a
c b
- - ấ ẳ ứ ể ể ứ đ ch ng minh b t đ ng th c ể ta khai tri n bi u
) (
) (
)
(
a b b c c a
1 abc
- - - ứ ế ử ụ ứ th c v trái thành ấ ẳ và s d ng b t đ ng th c trong
ệ ạ ờ ỏ ơ ạ ạ tam giác hi u hai c nh bao gi cũng nh h n c nh còn l i. Ta đi đ n l ế ờ i
ả gi i sau:
2
2
2
2
2
=
ả ờ b, L i gi i:
(
)
+ + a c ab
bc
2 a b b c ac
a b
c + + - a
b c
a c
b a
c b
1 abc
- - - - - ế ta có v trái:
2
2
2
2
=
+
+
+
(
)
2 abc a c ab
bc
2 a b b c ac
abc
1 abc
2
2
2
=
+
- - - -
(
) +
(
)
(
)
(
)
2 abc b c
bc
+ 2 ac
a c abc
ab
2 a b
1 abc
2
=
+
- - - -
)
)
)
)
( bc a b
( c a b
( ac a b
( ab a b
1 abc
=
- - - - - -
(
(
)
)
)
)
) ( a b bc
+ 2 c
= ac ab
( a b c
( � a b c b c �
� �
1 abc
1 abc
=
- - - - - - -
(
) (
) (
)
a b b c c a
1 abc
- - -
(
) (
) (
)
abc
< a b b c c a ,
��
- < a b c - < b c a - < c a b
 (cid:0) - - ấ ẳ ứ Theo b t đ ng th c trong tam giác ta có: (cid:0)
(
) (
) (
)
< a b b c c a
1 abc
abc abc
- - - Do đó
Hay ta có đpcm.
c, Khai thác bài toán
ươ ự ể ứ T ng t ta có th ch ng minh các bài toán sau:
Gi i:ả
2
2
2
2
2
ủ ộ
) +
)
)
( 3 a b
( 3 c a
+ 2 a
< b
c
0
- - - ạ
Bài toán 1: Cho a, b, c là 3 c nh c a m t tam giác và a + ứ ủ ọ ộ ạ
Bài toán 2: Cho a, b, c là đ dài 3 c nh c a m t tam giác. Ch ng minh: 1
+ -
a b c 1
+ -
b c a 1
+
+ -
c a b 1
a 1
+ +
b 1
c (cid:0) ̀ ̀ ́ ̀ ́
ư ̣ ̣ ̉ ̣ Bai 9/377 Cho a, b, c la đô dai 3 canh cua môt tam giac. Ch ng minh răng p a p b p c ( )( )( ) �
=
p
�
� �
�
� p a p b p c , - >
, 0 abc
8
Vi 2p la n a chu vi cua tam giac ABC nên - - - (cid:0) ̀
+ +
a b c
2 - - ́ ̀ ̀ ử ̉ - + - p a ́ ̣ Ap dung côsi p b
= ( p a p b
)( ) 2
- + - p b p c
= � � � p a p b p c ( p b p c
)( ) ( )( )( ) � abc
8 2
- + - p c p a
= ( p c p a
)( ) 2 c
2
a
2
b
2  - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - - - - (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) + ứ ằ Bài 10. Cho a, b (cid:0) 1. ch ng minh r ng + +
... n 1
+ + 1
+
a 1
a 1 1 a
... 1 n a
1 2 n n
a a
1 2 (cid:0) (1) a. phân tích ầ ớ ệ ứ
Bài toán yêu c u ch ng minh cho n s c a ố ủ na . Ta nghĩ t ứ
i vi c ch ng minh ằ ươ ạ ướ ứ ế bài toán b ng ph ng pháp qui n p. Tr c h t ta ch ng minh cho tr ườ
ng ứ ườ ợ ờ ợ
h p n = 2. sau đó đi ch ng minh cho tr ng h p n = k+1. ta có l i gi ả ủ
i c a ư bài toán nh sau: ả ờ
b. L i gi i + ứ ườ ợ * ta ch ng minh cho tr ng h p n = 2: 1
+ + 1
+
a 1 1 1 a
1 2 2
a a
1 2 + = (cid:0) 1
+ 1
+ + + + 1 1 1 1 1 1 1 a
1 1
+
a
2 a
1 1
+
a
2 2
a a
1 2 1
+
a a
1 2 1
a a
1 2 + + ( ) ( ) ) ( ) ) ( a 1 1 (
- +
1 +
1 )
(
- +
1 ) (
+
1 a
2 a a
1 2 a
1 a a
1 2 a
1 2 = a
1
+ a
2
+ + ( +
1
) ( )
(
+ +
1
) ( ) 1 1 1 a
1 a
2 a a
1 2 2 - - - Xét hi u : ệ - - a 2 2 a
1 = ứ ẳ vì a, b (cid:0) 1 nên đ ng th c luôn đúng trong - - - a a
1
) ( a 2 2 2 2 a
1 a a
1 a a
1 ườ tr ợ
ng h p n= 2 + + +
... k 1
+ + 1
+
a 1
a 1 1 a
... 1 k a
1 2 k k
a a
1 2 (cid:0) ả ử ứ Gi ớ
s (1) đúng v i n = k t c là + + ứ ả ớ Ta ph i đi ch ng minh (1) đúng v i n = k + 1 + +
... k +
1 1
+ + 1
+
a 1
a 1 1 1 k a
1 2 +
1 k
1
a
a a
...
k
1 2 +
1 (cid:0) 2 2 2 Bài 11. + u v ọ ố ự ứ ằ ớ
1.Ch ng minh r ng v i m i s th c u, v ta có 2 +� �
u v
(cid:0) � �
2
� � gi i: ả ể ả ằ ẳ ộ ứ
a) Phân tích : Đây là 1 đ ng th c khá quen thu c, ta có th gi i b ng cách ế ờ ệ ế ế ả ả xét hi u v trái và v ph i. Ta đi đ n l i gi i sau: 2 2 2 2 2 2 ả ờ
L i gi i 2 2 2 + + - - - u v v u
2 v
2 uv
2 - Xét hi u ệ 2 u
4 +
2
u v
� �
=
� �
2
� � 2 2 2 - u v = = (cid:0) 0 +
uv
2
4 -� �
u v
� �
2
� � + u v V y ậ 2 +� �
u v
(cid:0) � �
2
� � ả ấ ỉ D u “=” x y ra khi và ch khi u = v c. khai thác bài toán ấ ủ ệ ượ ự ằ
b ng ph ng pháp xét d u c a hi u A – B ta xét đ ắ ủ ấ
c s đúng đ n c a b t 2 2 2 ể ả ươ ự ẳ
đ ng th c và có th gi i các bài toán t ng t sau: ươ
ứ A B(cid:0) 2
�
�
� + + a c ứ ố ự bài toán 1: ch ng minh v i ớ " s th c a, b, c. b
3 + +�
a b c
(cid:0) �
3
� ổ Ta có bài toán t ng quát sau n n n + a b Bài toán 2: 2 +� �
a b
(cid:0) � �
2
� � 2 2 2 Gi i: ả + k 1 + k 1 1 + a b ớ ệ ằ V i n = 2 ta có ( b ng cách xét hi u ) 2 +� �
a b
(cid:0) � �
2
� � ++
k
b k k k k a ả ử ấ ẳ ứ ứ ớ Gi s b t đ ng th c đúng v i n = k+1, t c là 2 +� �
a b
(cid:0) � �
2
� � +
+
k
1
a b
� �
� �
2
� � + k k k 1 1 + + a b b ậ ậ
Th t v y 2 +
a b a
2 2 +
k
a b
� �
�۳� �
2
� � ++
k
b + k k k 1 +
1 + a b (cid:0) ứ Ta ch ng minh: 2 +
a b a
2 2 k
a b
k k k +
1 k k + + � � b a ab
+
k
1 - - � ab �
0 ) 2 - - � a b a �
0 k k ) k
2
a b - - +
k +
2 - a
(
( b
) +
a b b
) (
( � a b a ab b + +
... �
0 4 4 Suy ra đpcm (cid:0) ứ ằ a b+ 1. Cho a+b = 1, ch ng minh r ng: 1
8 4 4 a. Phân tích ừ ề ế ệ ổ ứ ứ T đi u ki n cho a + b =1, ta bi n đ i ề ể
v bi u th c có ch a a + b a b+ ấ ẳ ứ ự ế ờ ả và áp d ng các b t đ ng th c đã bi t. Ta có l i gi i sau: 2 2 ờ
b. L i gi i ) 2 4 4 4 2 2 + + = - = - ả
( a b b 2ab 1 2ab a 2
2a b 2
2a b = + + = -
2 - - a b (a 4) (1 2ab) (1) + + a b (a b) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Vì a + b = 1, ab hay ab nên 0 ab 2 4 1
4 4 4 2 2 Thay ab = vào (1) ta đ c:ượ 1
4 2
2a b 2
2
1
� � �
=
2
� � �
4
� � � + = - - (cid:0) - - a b (1 2ab) 1
4 1
8 �
1 2.
�
� c. Khai thác bài toán 3 3 4 4 ể ề ươ ấ
Ta có th đ xu t các bài toán t + + (cid:0) ứ ế ằ ự
ng t
a b+ (cid:0) Bài toán 1: Ch ng minh r ng n u 2 thì a b a b ứ ố Bài toán 2: Cho a, b, c là các s không âm và a + b + c = 1. Ch ng minh + + + + a b b c + (cid:0)
c a 6 4 + y4 + z4 ấ ủ ỏ ị Bài 12: cho xy + yz + xz = 4. Tìm giá tr nh nh t c a Q = x a. Phân tích: (cid:0) ấ ủ ể ể ế ể ỏ ổ ị ứ
Đ tìm giá tr nh nh t c a bi u th c Q ta đi bi n đ i Q đ đánh giá Q ấ ủ ằ ố ớ ỏ ị m ( v i m là 1 h ng s ), khi đó giá tr nh nh t c a Q = m. ự ả ế ứ ế ể ệ ấ D a vào gi thi ấ ẳ
t ta dùng các b t đ ng th c đã bi t đ làm Q xu t hi n 1 ượ l ng xy + yz + xz = 4. b. Gi i:ả 2 , y2, z2) ta ấ ẳ ộ ố ụ ứ Áp d ng b t đ ng th c Bunhiacopski cho 2 b s (1,1,1) và (x có:
(12 + 12 + 12)(x4 + y4 + z4) (cid:0) (x2 + y2 + z2)2 (cid:0) 3(x4 + y4 + z4) (cid:0) (x2 + y2 + z2)2 (1) ụ ấ ẳ ộ ố ứ Áp d ng b t đ ng th c Bunhiacopski cho 2 b s (x, y, z) và (y , z, x) ta có:
(x2 + y2 + z2)(x2 + y2 + z2) (cid:0) (xy+ yz + zx)2 = 16 (cid:0) (x2 + y2 + z2)2 (cid:0) 16 (2) ừ T (1) và (2) ta có:
3(x4 + y4 + z4) (cid:0) 16 (cid:0) (x4 + y4 + z4) (cid:0) 4 + y4 + z4) = khi x = y = z = 2(cid:0)
3 ấ ủ ậ ỏ ị V y giá tr nh nh t c a Q = (x c.khai thác bài toán 2 + y2 = ấ ủ ị ế ủ ươ ỏ
Tìm giá tr nh nh t c a xy bi ệ
t x,y là nghi m c a ph ng trình: x 2 2 2(1 xy) x y+ =
M x - +
y y x 1 1 = . Tìm GTLN c a ủ
1 - Bài 13/378 Cho ẽ ế ổ ế ể Phân tích
2 + k thì
Đ tìm GTLN c a M ta s bi n đ i M sao cho M = [f(x, y)]
ứ
ể
t đ tìm. Nhìn vào bi u th c i 1 x- ặ ố ủ
ể
ặ ự
ủ
GTLN c a M = k ho c d a vào BĐT đã bi
M ta th y ấ
ả
ờ
L i gi
ụ
Áp d ng BĐT Bunhiacopski cho c p s (x, y) và ( , 1 y- ) ta 2 2 2 2 ) ( x - +
y y x +
2
x y x y ( 1 1 ) ) (
- + -
y
1 = -
x
1 2 x y+ = )
1 + + có: - (cid:0) - (vì x x x a 1
+ +
2 1
4 (cid:0) ả ệ ậ ấ ươ Bài 14/378 Gi i và bi n lu n b t ph ng trình (1). x ể ứ ứ ề ệ c tiên vì bi u th c có ch a căn th c nên ta tìm đi u ki n đ ể Phân tích
ướ
Tr - (cid:0) ể ứ ặ ấ bi u th c có nghĩa. Ta có ĐK: ấ
, m t khác th y đây là b t ph ươ
ng ứ ể ầ ộ ổ ổ
ệ ừ ệ ễ ộ ứ
1
4
ạ
trình vô t có ch a căn t ng mà bi u th c trong căn bi n đ i thành d ng
ậ ượ
c
bình ph ứ
ng c a m t t ng hay m t hi u, t ế
đó ta d dàng bi n lu n đ + + > + > � x x x a x x x a 2 1
+ +
2 1
4 1
+ +
4 1
�
2 1
+ +
4 1
4 2 2 > + + + > + > � � x x a a x x x a ) ( ( ) ả ỉ
ươ
ờ
L i gi ủ
i 1
2 1
+ +
4 1
4 1
2 1
+ +
4
ệ (2) 1
2
ệ
ế
N u a < 0 bpt (2) vô nghi m => bpt (1) vô nghi m
N u a ế (cid:0) 0 daucan 2004 + + x 1 1 + + + x x x x > +
x + +
.. ả ấ ươ Bài 15. Gi i b t ph ng trình 4
2 1
2 1 4 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 4 3 a. Phân tích ấ ấ ậ ươ ể ầ Ta nh n th y b t ph ứ
ng trình trên ch a căn t ng, đ gi ả ượ
i đ ấ
c b t 2 ươ ể ả ầ ằ ầ ph ấ
ng trình này ta ph i làm m t d n căn t ng. Đ ý r ng: + + + + + + x x x 1 1 1 1 + x = +
x 4
2 2 2 4
4 4
4 �
1
= �
� �
�
� ờ ả Ta có l i gi i sau. ả ờ
b. L i gi i ta có daucan 2004 + + x 1 1 + + + x x x x + +
.. 4
2 1 4 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 4 3 daucan 2003 + + x 4 1 1 = + + + x x x x + +
.. 2 1 4 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 4 3 = ...... + ướ c) x 1 +
( Sau 2004 b
1 = +
x 4
2 + + x 1 1 + � x > +
x + + x 1 1 + - � x 0 1
2
1
- >
x
2 � 4
2
4
2
+ >
1 0 x
+ > � 4
x 4 1 0 - >�
x 1
4 - > ấ ậ ươ ệ x V y b t ph ng trình có nghi m 1
4 C, Khai thác bài toán ị ụ ể ể ả Coi x là các giá tr c th ta có th gi i các bài toán sau: ứ ế ấ Bài toán 1: Ch ng minh + + + + < ( v trái có 100 d u căn) 2 2 ... 2 2 2 Gi i:ả 1 < Ta có a = 2 2 2 = + < + = a 2 2 2 2 a
1 2 = + < + = a 2 2 2 2 a
3 .............
= + < + = 2 2 2 2 a
100 a
99 ậ V y ta có đpcm ndaucan 2 + + a 1 1 + + < a a a ằ ứ
Bài toán 2: Ch ng minh r ng: + +
a
...
1 4 4 44 2 4 4 4 43 4
2 - - ả ấ ươ Bài 16. gi i b t ph ng trình: (1) x x + (cid:0)
x
4 5 2 4 a. Phân tích ể ả ấ ươ ả ự ề ế ầ ị ỉ Đ gi i b t ph ổ
ng trình vô t , ta c n ph i d a vào các đ nh lý v bi n đ i ) 2 ) (
f x k 2 ) ) (
f x (
g x )
) (
g x
)
(
g x
(
f x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 0
(
k x g (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ ươ ấ ầ t ng đ ng và làm m t d n căn. Do đó (cid:0) < (cid:0) 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 0 (cid:0) (cid:0) ờ ả ta có l i gi i sau: ả b. ờ
L i gi i ( ) 2 2 ) ( )
1 ( ) 2 - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 - - 4 0
( (cid:0) (cid:0) x x 5 2 4 (cid:0) (cid:0) (cid:0) x
2
+ (cid:0)
x
4
- < (cid:0) x 2 (cid:0) (cid:0) 3 (cid:0) - (cid:0) 4 0
+ (cid:0)
x x 5 4 0 (cid:0) ả ệ ủ ể Ta gi i riêng tùng h c a tuy n: 2 2 2 ) 2 - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 (cid:0) (cid:0) ả Gi i (2) - - - 4 0
( (cid:0) (cid:0) x
� -
x + (cid:0)
x x 5 4 4 +
x
16 16 x �
x x
2
+ (cid:0)
x
4 2 5 4 (cid:0) (cid:0) (cid:0) x (cid:0) (cid:0) vô nghi mệ 2
+
2 - - (cid:0) (cid:0) x 3 x
11 12 0 2 < (cid:0) x 2 (cid:0) (cid:0) x 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 1 x 1 ả Gi i (3) - (cid:0) - <
4 0
+ (cid:0)
x �
x 5 4 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) �
x 4 (cid:0) ủ ấ ươ V y xậ (cid:0) 1 là nghi m c a b t ph
ệ ng trình đã cho. c. Khai thác bài toán 2 ươ ự ể ả ấ ươ T ng t ta có th gi i các b t ph ng trình sau: - - (cid:0) - 1. x x x 3 10 2 2 2 3 3 x 2. 4 4 + (cid:0)
1x 2 2 3 3 - 3. x x 2 + (cid:0)
1 3 1 2 2 3 3 - ả Gi i: 3. x x 2 + (cid:0)
1 3 1 2 - x 2 3 1 x
2 + (cid:0)
1
+ - x �
1 3 1 �
2 0 �
x
2
-�
2
x
-� � �
x 2 2 2 - 2; 2 ấ ậ ươ ệ ậ V y b t ph ng trình đã cho có t p nghi m S = �
� �
� - ả ấ ươ i b t ph ng trình Bài 17. gi x x + < -
x
2
3 3 a. Phân tích ể ả ấ ươ ầ ỉ ị Đ gi i b t ph ề ế
ả ự
ng trình vô t , ta c n ph i d a vào các đ nh lý v bi n ươ ế ờ ấ ậ ả ủ ổ ươ
đ i t ng đ ng và làm m t căn b c hai. Ta đi đ n l i gi i c a bài toán ả b. ờ
L i gi i Ta có 2 (
( ) {
) { (cid:0) a - (cid:0) (cid:0) x x + < -
x
3
2 3 b (cid:0) c. Khai thác bài toán ươ ự ể ả ấ ươ T ng t ta có th gi i các b t ph ng trình sau: - - 1. x < +
2
x
x 21 4 3 25
x 2. - > -
x
1 2 2 ả ấ ươ Bài 18. gi i b t ph ng trình - (cid:0) - 1. x x x x - +
2 4 +
6 11 a. Phân tích ổ ươ ế ể ươ ườ không th dùng các phép bi n đ i t ng đ ng thông th ng đ gi ể ả
i 2 ươ ẽ ể ậ ộ ph ng trình vì s ấ
làm tăng b c m t cách đáng k . Xét th y ( ) 2
+ (cid:0)
3 - - ủ ể ậ x +
x x 6 =
11 2 2 . Vì v y chúng ta có th tìm GTLN c a v ế ủ ế ả ớ ồ ờ ả ủ trái r i so sánh v i GTNN c a v ph i. Ta có l i gi i c a bài toán 2 ờ ả b. L i gi i - (cid:0) - x x x x - +
2 4 +
6 11 2 - (cid:0) (cid:0) x 2 4 ) ( - + - (cid:0) ) (
- + -
x 2
1 ề
ệ
Đi u ki n:
Khi đó ( x x x 2 1 4 +
2
1 =
2 4 4 1 - � x x - +
2 4 �
2 - - x 2 = ả ấ D u “=” x y ra � 4
1 2 � x =
�
x 3 - - x
1
- = -
4
2
( ế ả x +
x x V ph i: 6 =
11 x
) 2
+ (cid:0)
3 2 2 (cid:0) ả ấ D u “=” x y ra x=3 (cid:0) ậ ế ằ
V y hai v b ng nhau x=3 ế ấ ậ ươ ấ K t lu n; B t ph ệ
ng trình có nghi m duy nh t x=3 c.Khai thác bài toán 2 ươ ươ ự ể ả ấ ươ Dùng ph ng pháp t ng t có th gi i các b t ph ng trình sau: 2 - (cid:0) - Bài toán 1. x x x x - +
3 3 +
8 18 2 - (cid:0) - Bài toán 2. x x x x - +
4 12 +
16 68 2 2 2 - (cid:0) - Bài toán 3. x x x x - +
2 20 +
22 127 + + + (cid:0) - - 2. x x x x x x 3 6 + +
7 5 10 21 5 2 a. Phân tích ử ụ ươ ậ ẽ ể ế ấ không nên s d ng phép bình ph ng đ làm m t căn vì n u v y s làm ươ ặ ẩ ụ ể ế ộ ậ ủ
tăng b c c a ph ả
ng trình m t cách đáng k . N u đ t n ph cũng ph i ố ế ậ ủ ươ ứ ể ể ằ ng trình. Đ ý r ng các bi u th c d ướ
i (
a x - ạ ờ ả b bi n đ i làm tăng b c c a ph
) 21
+ ề
ấ
d u căn đ u có d ng , ta có l i gi i sau: 2 2 2 ả ờ
b. L i gi i 2 2 + (cid:0) - - x x x x x 3 6 + +
7 10 21 5 2 ( )
1 2 2 2 + + + + +
2 - +
( +
( � x x x x x +
x 3 2 5
)
+ + +
1 4 x
)
1 5 2 16 �
6 2 ( ( ( ( )
1 )
1 )
1 )
1 + + + - � x x +
x 3 + +
4 5 16 �
6 ( ( ) 21 ) 2
1 ) 2
1 + (cid:0) (cid:0) x + x + Vì ( 0 nên 3 4 4 do đó x + 3 + (cid:0) 2
4 (cid:0) ả ấ D u “=” x y ra x= 1 ( ) 2
1 2 2 (cid:0) + ươ ấ ả T ng t ự d u “=” x y ra x= 1 4(cid:0) x + 5 16 ( ( )
1 )
1 + + + ế
Vây v trái 6(cid:0) x x 3 + +
4 5 16 ( ) 2
+
1x (cid:0) - ả ế ấ ả 6(cid:0) d u “=” x y ra x= 1 (cid:0) ả V ph i
6
Suy ra (1) (cid:0) ế
ế
v trái = v ph i = 6 x = 1 ấ ậ ươ ệ ấ V y b t ph ng trình có nghi m duy nh t x = 1 c.Khai thác bài toán ả ươ ị ớ ằ ấ ấ Ta đã gi i ph ế
ng trình trên b ng cách tính giá tr l n nh t, bé nh t (n u ủ ế ộ ươ ổ ế ươ có) c a 2 v . Đây cũng là m t ph ng pháp khá ph bi n ( ph ng pháp ể ự ọ ả ộ ố ươ đánh giá). H c sinh có th t nêu ra và gi i m t s bài toán t ng t ự
. ạ ẳ Ch ng h n: 2 2 2 ả ấ ươ Gi i các b t ph ng trình + + + + + (cid:0) - - - 1. x x x x x x 8 48 76 3 18 36 13 12 2 2 2 2 + + - - - 2. x x x x x x 8 8 + +
3 12 12 + (cid:0)
7 1 16 16 x x 2 1 3 2 ươ ng trình (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ả
Bài 19/378 Gi
2
x
x
)1 ấ
i các b t ph
1 x x x 3 2 2 1 )2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x )3 1 x
3
x 2
1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ứ ấ ệ ố ố ị
ệ ố ừ ị ng xét các kho ng đ i
ươ ấ Phân tích
ớ
V i bài toán có ch a d u giá tr tuy t đ i ta th
ả
ớ
v i bi n đ b d u giá tr tuy t đ i, t đó gi ườ
i các b t ph ả
ng trình 2 x x 1 3 ể ỏ ấ
i (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ế
ờ
L i gi
x
1 ả
2 ạ 2 x x x x
1)
ớ
V i x < 1 thì BPT đã cho có d ng:
x + 1 – x + 2 = x2 – 3x + 1 (cid:0)
3
1 2 2 x2 – x – 2 = 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2) x 01 x 2 0 x 2 x 1 x 01 x 2 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Ta có: x2 – 3x + 2 > 0 (cid:0) (x – 1)(x – 2) > 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ớ ạ ặ x2 – 3x + 2 < 2x + 1 (cid:0) ớ ạ 2 x x x x 1( 1( 1 ) ) 1( ) 0 x
3
x x
3
x x
3
x 2
1 2
1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 3) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) V i x > 2 ho c x < 1 thì BPT đã cho có d ng:
x2 – 5x + 1 < 0 (cid:0)
V i 1 < x < 2 thì BPT đã cho có d ng:
(x2 – 3x + 2) < 2x + 1 (cid:0)
2
1 x2 – x + 3 > 0 (luôn đúng)
x
3
2
x
1(
)
(
)
1
(
)
1
)
![Quyển ghi Xác suất và Thống kê [chuẩn nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20251030/anh26012006/135x160/68811762164229.jpg)
