1 | B À I T ẬP G I ỚI H ẠN H À M S Ố
Bài 1: Tính giới hạn của hàm sau:
x0
tanx x
I lim x sinx
Giải bài 1: Thấy khi x 0 thì giới hạn đã cho có dạng bất định là
0
0
.
Áp dụng quy tắc L’Hospital:
2
22
x 0 x 0 x 0 x 0
111 cosx 1 cosx
tanx x 1 cosx 2
cos x
lim lim lim lim 2
x sinx 1 cosx 1 cosx cos x cos x 1


Bài 2: Tính giới hạn sau đây:
1
x
x
e1
I lim 1
x

Giải bài 2:
Khi x

thì giới hạn đã cho có dạng bất định là
0
0
.
Áp dụng quy tắc L’Hospital
1
1x
x20
xx
2
1e
e1 x
I lim lim e 1
11
xx
 
Bài 3: Tính giới hạn sau đây:
x0
lnx
I lim 1
x
Giải bài 3:
Khi x 0 thì giới hạn đã cho có dạng bất định là
.
Áp dụng quy tắc L’Hospital
Bài 4: Tính giới hạn khi
nN
,
a1
n
x
x
x
I lim a

Giải bài 4:
Khi x

thì giới hạn có dạng bất định là
Áp dụng quy tắc L’Hospital
2 | B À I T ẬP G I ỚI H ẠN H À M S Ố
n n 1 n 2
x x x 2 x n
x x x x
x nx n(n 1)x n!
I lim lim lim lim 0
a a lna a (lna) a (lna)

   
(vì n là một số)
Bài 5: Tính giới hạn sau đây khi
0
x0
I limx lnx
Giải bài 5:
Khi x0, giới hạn đã cho có dạng bất định là
0.
, ta đưa về dạng bất định
0
0
x 0 x 0
lnx
I limx lnx lim 1
x


Áp dụng quy tắc L’Hospital
( 1)
( 1)
x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0
1
lnx lnx x x x x
x
I lim lim lim lim lim lim 0
1x x x x
x

Bài 6: Tính giới hạn sau:
2
2
x0
1
I lim cot x x




Giải bài 6:
Khi x 0 thì giới hạn đã cho có dạng bất định là
Đưa
về dạng
0
0
2 2 2 2
2
2 2 2 2 2
x 0 x 0 x 0
2
x0
1 cos x 1 x cos x sin x
I lim cot x lim lim
x sin x x x sin x
xcosx sinx xcosx sinx
lim x sinx sinx





Tới đây tiến hành thay thế VCB tương đương
Khi x 0 thì ta có:
xcosx ~ x
sinx ~ x
x2sinx ~ x3
Vậy xcosx + sinx ~ x + x = 2x
xcosx – sinx không thay được VCB tương đương vì x – x = 0x
22
x 0 x 0 x 0
33
x 0 x 0 x 0
xcosx sinx xcosx sinx xcosx sinx xcosx sinx
I lim lim lim
x sinx sinx x sinx sinx
xcosx sinx 2x xcosx sinx
lim lim 2lim
x x x





Áp dụng quy tắc L’Hospital
3 | B À I T ẬP G I ỚI H ẠN H À M S Ố
3 2 2
x 0 x 0 x 0
x0
xcosx sin x cosx xsinx cosx xsin x
I 2lim 2lim 2lim
x 3x 3x
1 sinx 1 2
2 lim 2 1
3 x 3 3
Bài 7: Tính giới hạn sau đây:
Giải bài 7:
Nhận xét, vì:
3
x0
lim sin 1 x sin1 0
và
5
x0
lim 1 2xlncosx 1 0
ta mới tiến hành thay thế VCB
tương đương được.
3 3 3
3
5 5 5
x 0 x 0 x 0
1 x 1 1 x 1 1 x 1
2cos sin 2cos1 sin
sin 1 x sin1 2 2 2
I lim lim lim
1 2xlncosx 1 1 2xlncosx 1 1 2xlncosx 1

Khi x 0, ta có:
3 3 3 3
1 x 1 1 x 1 1 x x
sin ~ ~
2 2 2 2 4

2
5
3
2 2 2 2 x
1 2xlncosx 1~ xlncosx xln(1 cosx 1) ~ x(cosx 1) ~ x
5 5 5 5 2
x
5



Vậy:
3
3
x0
xcos1 5
2
I lim cos1
x2
5

Bài 8: Tính giới hạn sau đây:
2
2
x
x 4 2x 3 x
I lim x 4 x


Giải bài 8:
Vì
22
xx
lim x 4 2x 3 x lim x 4 x
 
nên ta tiến hành thay VCL
tương đương được.
Khi
x
ta tiến hành lượt bỏ các VCL có bậc thấp hơn, chỉ chọn những VCL có bậc cao
nhất của cả tử và mẫu.
2
x 4 ~ x
và
2
x 4 ~ x
Như vậy, ta có:
4 | B À I T ẬP G I ỚI H ẠN H À M S Ố
x
3x 3
I lim 2x 2


Bài 9: Tính giới hạn sau đây:
23
x0
ln 1 xtanx
I lim x sin x
Giải bài 9:
Vì,
23
x 0 x 0
limln 1 xtanx 0 lim x sin x 0

nên ta thay được các VCB tương đương.
Khi x 0, ta tiến hành thay các VCB tương đương:
2
ln 1 xtanx ~ xtanx ~ x
33
sin x ~ x
Dưới mẫu được
23
xx
, lượt bỏ VCB có bậc cao hơn, như vậy dưới mẫu ta được x2
Như vậy:
2
2
x0
x
I lim 1
x

Bài 10: Tính giới hạn sau đây:
2
x0
ln cosx
I limln(1 x )
Giải bài 10:
Vì
2
x 0 x 0
limln cosx 0 limln(1 x ) 0

nên thay VCB tương đương được.
Khi x 0, ta được:
2
x
ln(cosx) ln(1 cosx 1) ~ cosx 1~ 2
22
ln(1 x ) ~ x
Như vậy:
2
2
x0
x1
2
I lim x2
Bài 11: Tính giới hạn sau đây:
x1
x1
sin e 1
I lim lnx
Giải bài 11:
Vì
x1
x 1 x 1
limsin e 1 0 limlnx 0

nên thay VCB tương đương được.
x 1 x 1
x 1 x 1
sin e 1 sin e 1
I lim lim
lnx ln(1 x 1)





Khi x 1, ta có:
x 1 x 1
sin e 1 ~ e 1~ x 1

5 | B À I T ẬP G I ỚI H ẠN H À M S Ố
ln(1 x 1) ~ x 1
Vậy,
x1
x1
I lim 1
x1

Bài 12: Tính giới hạn sau đây:
x
34
x0
e 1 cosx 1
I lim sin x 2x

Giải bài 12:
Vì
x 3 4
x 0 x 0
lim e 1 cosx 1 0 lim sin x 2x 0



nên ta thay VCB tương đương được.
Khi x0, ta có:
x
e 1~ x
và
2
x
cosx 1~ 2

và
33
sin x ~ x
Như vậy,
3
3
x0
x1
2
I lim x2
Bài 13: Tính giới hạn sau:
2
2x
x0
sin2x 2arctan3x 3x
I lim ln 1 3x sin x xe

Giải bài 13:
Vì
2 2 x
x 0 x 0
lim sin2x 2arctan3x 3x 0 lim ln 1 3x sin x xe 0



nên thay VCB
tương đương được.
Khi x0, ta có:
sin2x ~ 2x
;
2arctan3x ~ 6x
;
2 2 2
ln 1 3x sin x ~ 3x sin x ~ 3x x
x
xe ~ x.1 x
Như vậy, ta được:
x0
8x
I lim 2
4x

Bài 14: Tính giới hạn sau đây:
2
2
x
x 4 2x 3 x
I lim x 4 x


Giải bài 14:
Vì
22
xx
lim x 4 2x 3 x lim x 4 x
 
 
nên thay VCL tương đương
được.
Khi
x
, ta có:
2
x 4 ~ x
;
2
x 4 ~ x