Möc löc
Möc löc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Ch÷ìng 1. NH X-HM SÈ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1. nh x¤. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1. Mët sè ành ngh¾a..................................................................... 2
1.1.2. C¡c lo¤i ¡nh x¤....................................................................... 3
1.1.3. V½ dö................................................................................. 3
1.2. Hm sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1. Mët sè ành ngh¾a..................................................................... 6
1.2.2. Nhúng c¡ch cho hm sè............................................................... 7
1.3. Hm sè sì c§p cì b£n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1. Hm lôy thøa
y=xα
................................................................. 9
1.3.2. Hm mô
y=ax
....................................................................... 9
1.3.3. Hm logarit
y= logax
................................................................ 9
1.3.4. Hm l÷ñng gi¡c...................................................................... 10
1.3.5. Hm l÷ñng gi¡c ng÷ñc................................................................ 11
1.3.6. Hm tuy¸n t½nh...................................................................... 13
1.3.7. Hm hyperbolic...................................................................... 15
1.4. C¡c d¤ng bi tªp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.1. Thnh lªp hm sè.................................................................... 16
1.4.2. Þ ngh¾a hm sè...................................................................... 18
1.4.3. åc ç thà........................................................................... 18
1.4.4. Tªp x¡c ành, tªp gi¡ trà cõa hm sè. ... . .. . .. . ... . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . .. . . . . . . .. . 20
1.4.5. Hm sè hñp.......................................................................... 21
1.4.6. Hm ng֖c.......................................................................... 22
1.5. Mët sè d¤ng to¡n ùng döng thüc t¸ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5.1. Kÿ thuªt............................................................................. 23
1.5.2. Ùng döng trong kinh doanh-kinh t¸ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5.3. Khoa håc íi sèng................................................................... 25
1.5.4. Y t¸................................................................................. 26
1.5.5. D¥n sè............................................................................... 27
Ch֓ng1
NH X-HM SÈ
1.1. nh x¤. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2. Hm sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3. Hm sè sì c§p cì b£n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4. C¡c d¤ng bi tªp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5. Mët sè d¤ng to¡n ùng döng thüc t¸ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.1 nh x¤
1.1.1 Mët sè ành ngh¾a
ành ngh¾a 1.1 (nh x¤)
Cho hai tªp hñp kh¡c réng
X
v
Y
. nh x¤
f
tø
X
vo
Y
l mët quy tc cho t÷ìng ùng mët
ph¦n tû
x∈X
vîi duy nh§t mët ph¦n tû
y∈Y
.
Kþ hi»u
f:X−→ Y
x7→ y=f(x)
ành ngh¾a 1.2
Cho ¡nh x¤
f:X−→ Y
x7→ y=f(x)
a.
X
:
tªp x¡c ành cõa
f
.
b.
y=f(x)
: £nh cõa
x
qua
f
.
c.
x
: t¤o £nh cõa
y
qua
f
.
d.
A⊂X, f(A) = {f(x) : x∈A}
:
tªp £nh cõa
A
qua
f
.
e.
f−1(y) = {x∈X:y=f(x)}
: tªp hñp c¡c t¤o £nh cõa
y
.
1.1 nh x¤
3
f.
B⊂Y, f−1(B) = {x∈X:f(x)∈B}
: nghàch £nh cõa
B
qua
f
.
1.1.2 C¡c lo¤i ¡nh x¤
ành ngh¾a 1.3
Cho ¡nh x¤
f:X−→ Y
x7→ y=f(x)
a.
f
ìn ¡nh n¸u
x6=x0⇒f(x)6=f(x0)
.
ìn ¡nh cán gåi l ¡nh x¤ 1-1.
b.
f
ton ¡nh n¸u
∀y∈Y, ∃x∈X:y=f(x)
.
c.
f
song ¡nh n¸u
f
vøa ìn ¡nh, vøa ton ¡nh.
ành lþ 1.1
Cho ¡nh x¤
f:X−→ Y
x7→ y=f(x)
a.
f
ìn ¡nh khi v ch¿ khi
f(x) = f(x0)⇒x=x0.
b.
f
ton ¡nh khi v ch¿ khi
f(X) = Y
(måi
y∈Y
·u câ
x∈X
t÷ìng ùng).
c.
f
song ¡nh khi v ch¿ khi
vîi måi
y∈Y,
tçn t¤i duy nh§t
x∈X
sao cho
f(x) = y
.
ành ngh¾a 1.4
Cho hai ¡nh x¤
f:X−→ Y
x7→ y=f(x)
g:Y−→ Z
y7→ z=g(y)
g◦f:X−→ Z
x7→ z=g(f(x))
gåi l ¡nh x¤ hñp cõa
f
v
g
.
ành ngh¾a 1.5 (nh x¤ ng÷ñc)
Cho
song ¡nh
f:X−→ Y
.
f−1:Y−→ X
y7→ x
vîi
f(x) = y
gåi l ¡nh x¤ ng÷ñc cõa
f
.
1.1.3 V½ dö
V½ dö
1.1.1.
Cho ¡nh x¤
f:N−→ R
n7→ y=f(n) = 1
n+ 2
.
4
NH X-HM SÈ
a. T¼m
f(3)
.
b. T¼m
f−1(1/9)
.
c. T¼m
f(A)
vîi
A={2,17}
.
d. T¼m
f−1(B)
vîi
B={1/3,1/11}
.
Gi£i:
1.
f(3) = 1
3+2 =1
5
.
2.
f−1(1/9) = n∈N:f(n) = 1
9
.
1
n+ 2 =1
9⇔n+ 2 = 9
⇔n= 7
.
Vªy
f−1(1/9) = {7}
.
3.
f(A) = 1
4,1
19
.
4.
f−1(B) = {n∈N:f(n)∈B}
.
f−1(B) = {1,9}
.
V½ dö
1.1.2.
Cho
X=
T¶n sinh vi¶n K20 cõa tr÷íng HBK
(
X
ch¿ chùa c¡c t¶n kh¡c nhau),
Y=
M¢ sè sinh vi¶n K20 cõa tr÷íng HBK
f:X−→ Y
x7→ y=f(x) =
M¢ sè sinh vi¶n cõa
x
.
Kiºm tra
f
câ l ¡nh x¤ hay khæng. N¸u
f
l ¡nh x¤ th¼
f
câ l ìn ¡nh, ton ¡nh, song ¡nh khæng?
Gi£i:
f
l mët ¡nh x¤ v¼ méi T¶n sinh vi¶n luæn luæn câ 1 M¢ sè sinh vi¶n duy nh§t.
f
khæng l ìn ¡nh v¼ câ tr÷íng hñp câ nhi·u M¢ sè sinh vi¶n kh¡c nhau nh÷ng câ còng T¶n sinh
vi¶n.
f
l 1 ton ¡nh v¼ t§t c£ c¡c M¢ sè sinh vi¶n trong
Y
·u câ T¶n sinh vi¶n t÷ìng ùng trong
X
.
f
khæng l song ¡nh v¼
f
khæng l ìn ¡nh.
V½ dö
1.1.3.
Cho ¡nh x¤
f: [0,+∞)−→ R
x7→ y=f(x) = x2
Chùng minh
f
l ìn ¡nh nh÷ng khæng l ton ¡nh.
Gi£i:
f
l ìn ¡nh v¼
N¸u
f(x) = f(x0)
v
x, x0≥0
.
⇔x2=x02
v
x, x0≥0
.
⇔x=x0
.
f
khæng l ton ¡nh v¼ câ nhúng gi¡ trà
y∈R
khæng câ t¤o £nh
x
. Ch¯ng h¤n
y=−1
khæng câ
x∈[0,+∞)
º
x2=−1
hay khæng câ
x∈[0,+∞)
º
f(x) = y
.
V½ dö
1.1.4.
Cho ¡nh x¤
1.1 nh x¤
5
f:R−→ [0,+∞)
x7→ y=f(x) = x2
Chùng minh
f
l ton ¡nh nh÷ng khæng l ìn ¡nh.
Gi£i:
f
khæng l ìn ¡nh v¼ câ 2 gi¡ trà
x
v
x0
kh¡c nhau nh÷ng câ còng £nh
y
. Cö thº
26=−2
nh÷ng
f(2) = f(−2) = 4
.
f
l ton ¡nh v¼ måi gi¡ trà
y∈[0,+∞)
luæn luæn câ t¤o £nh
x∈R
. Cö thº
y=f(x) = x2⇔x=√y
hay
x=−√y
.
V½ dö
1.1.5.
Cho ¡nh x¤
f: [0,+∞)−→ [0,+∞)
x7→ y=f(x) = x2
Chùng minh
f
l mët song ¡nh.
Gi£i:
f
l song ¡nh v¼ måi gi¡ trà
y∈[0,+∞)
(tªp ¸n
Y
) ·u câ
duy nh§t
t¤o £nh
x∈[0,+∞)
(tªp i
X
). Cö thº
Vîi måi
y∈[0,+∞)
:
y=f(x) = x2⇔x=√y∈[0,+∞)
.
V½ dö
1.1.6.
Cho 2 ¡nh x¤
f: [0,+∞)−→ R
x7→ y=f(x) = x2
v
g:R−→ R
x7→ y=g(x)=2x+ 3
T¼m cæng thùc cõa
g◦f(x)
.
Gi£i:
g◦f(x) = g(f(x))
= 2 (f(x)) + 3
= 2x2+ 3
.
V½ dö
1.1.7.
Cho song ¡nh
f: [0,+∞)−→ [0,∞)
x7→ y=f(x) = x2
T¼m ¡nh x¤ ng÷ñc
f−1
cõa
f
.
Gi£i:
y=f(x)⇔y=x2, x ∈[0,+∞)
⇔x=√y
Vªy ta t¼m ÷ñc ¡nh x¤ ng÷ñc
f−1: [0,+∞)−→ [0,∞)
y7→ f−1(y) = √y
V½ dö
1.1.8.
Cho ¡nh x¤
f: [1,∞)−→ (0,1]
x7→ y=f(x) = 1
x3
.
Chùng minh
f
l mët song ¡nh v t¼m
f−1
.
Gi£i:
Vîi méi
y∈(0,1]
,