Ph m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)ạ
I- GI I TÍCH T H PẢ Ổ Ợ
1. Giai th a : ừn! = 1.2...n
0! = 1
n! /(n – k)! = (n – k + 1).(n – k + 2) ... n
2. Nguyên t c c ng : ắ ộ Tr ng h p 1 có m cách ch n, tr ng h p 2 có n cáchườ ợ ọ ườ ợ
ch n; m i cách ch n đ u thu c đúng m t tr ng h p. Khi đó, t ng s cáchọ ỗ ọ ề ộ ộ ườ ợ ổ ố
ch n là : m + n.ọ
3. Nguyên t c nhân : ắHi n t ng 1 có m cách ch n, m i cách ch n này l i có nệ ượ ọ ỗ ọ ạ
cách ch n hi n t ng 2. Khi đó, t ng s cách ch n liên ti p hai hi n t ng làọ ệ ượ ổ ố ọ ế ệ ượ
: m x n.
4. Hoán v : ịCó n v t khác nhau, x p vào n ch khác nhau. S cách x p : Pậ ế ỗ ố ế n =
n !.
5. T h p : ổ ợ Có n v t khác nhau, ch n ra k v t. S cách ch n : ậ ọ ậ ố ọ
)!kn(!k
!n
Ck
n−
=
6. Ch nh h p : ỉ ợ Có n v t khác nhau. Ch n ra k v t, x p vào k ch khác nhau sậ ọ ậ ế ỗ ố
cách :
= =
−
k k k
n n n k
n!
A , A C .P
(n k)!
Ch nh h p = ỉ ợ t h pổ ợ r i ồhoán vị
7. Tam giác Pascal :
1
4
4
3
4
2
4
1
4
0
4
3
3
2
3
1
3
0
3
2
2
1
2
0
2
1
1
0
1
0
0
CCCCC
CCCC
CCC
CC
C
1 1
1 2 1
1 3 3 1
14641
Tính ch t :ấ
k1n
k
n
1k
n
kn
n
k
n
n
n
0
n
CCC
CC,1CC
+
−
−
=+
===
8. Nh th c Newton :ị ứ
*
n0n
n
11n1
n
0n0
n
nbaC...baCbaC)ba( +++=+ −
a = b = 1 : ...
0 1 n n
n n n
C C ... C 2+ + + =
V i a, b ớ∈ {±1, ±2, ...}, ta ch ng minh đ c nhi u đ ng th c ch a :ứ ượ ề ẳ ứ ứ
n
n
1
n
0
nC,...,C,C
*
nn
n
1n1
n
n0
n
nxC...xaCaC)xa( +++=+ −
Ta ch ng minh đ c nhi u đ ng th c ch a ứ ượ ề ẳ ứ ứ
n
n
1
n
0
nC,...,C,C
b ng cách :ằ
- Đ o hàm 1 l n, 2 l n, cho x = ạ ầ ầ ±1, ±2, ... a = ±1, ±2, ...
- Nhân v i xớk , đ o hàm 1 l n, 2 l n, cho x = ạ ầ ầ ±1, ±2, ... , a = ±1, ±2, ...
- Cho a = ±1, ±2, ...,
∫∫ ±± 2
0
1
0
...hay
hay
β
α
∫
Chú ý :
* (a + b)n : a, b ch a x. Tìm s h ng đ c l p v i x : ứ ố ạ ộ ậ ớ
k n k k m
n
C a b Kx
−
=
1 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
Ph m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)ạ
Gi i pt : m = 0, ta đ c k.ả ượ
* (a + b)n : a, b ch a căn . Tìm s h ng h u t .ứ ố ạ ữ ỷ
m r
k n k k p q
n
C a b Kc d
−
=
Gi i h pt : ả ệ
∈
∈
Zq/r
Zp/m
, tìm đ c kượ
* Gi i pt , bpt ch a ả ứ
...C,A
k
n
k
n
: đ t đi u ki n k, n ặ ề ệ ∈ N* ..., k ≤ n. C n bi t đ nầ ế ơ
gi n các giai th a, qui đ ng m u s , đ t th a s chung.ả ừ ồ ẫ ố ặ ừ ố
* C n phân bi t : qui t c c ng và qui t c nhân; hoán v (x p, không b c), tầ ệ ắ ộ ắ ị ế ố ổ
h p (b c, không x p), ch nh h p (b c r i x p).ợ ố ế ỉ ợ ố ồ ế
* Áp d ng s đ nhánh đ chia tr ng h p , tránh trùng l p ho c thi uụ ơ ồ ể ườ ợ ắ ặ ế
tr ng h p.ườ ợ
* V i bài toán tìm s cách ch n th a tính ch t p mà khi chia tr ng h p, taớ ố ọ ỏ ấ ườ ợ
th y s cách ch n không th a tính ch t p ít tr ng h p h n, ta làm nh sauấ ố ọ ỏ ấ ườ ợ ơ ư
:
s cách ch n th a p.ố ọ ỏ
= s cách ch n tùy ý - s cách ch n không th a p.ố ọ ố ọ ỏ
C n vi t m nh đ ph đ nh p th t chính xác.ầ ế ệ ề ủ ị ậ
* Vé s , s biên lai, b ng s xe ... : ch s 0 có th đ ng đ u (tính t tráiố ố ả ố ữ ố ể ứ ầ ừ
sang ph i).ả
* D u hi u chia h t :ấ ệ ế
- Cho 2 : t n cùng là 0, 2, 4, 6, 8.ậ
- Cho 4 : t n cùng là 00 hay 2 ch s cu i h p thành s chia h t cho 4.ậ ữ ố ố ợ ố ế
- Cho 8 : t n cùng là 000 hay 3 ch s cu i h p thành s chia h t cho 8.ậ ữ ố ố ợ ố ế
- Cho 3 : t ng các ch s chia h t cho 3.ổ ữ ố ế
- Cho 9 : t ng các ch s chia h t cho 9.ổ ữ ố ế
- Cho 5 : t n cùng là 0 hay 5.ậ
- Cho 6 : chia h t cho 2 và 3.ế
- Cho 25 : t n cùng là 00, 25, 50, 75.ậ
II- Đ I SẠ Ố
1. Chuy n v :ể ế a + b = c ⇔ a = c – b; ab = c ⇔
=
≠==
b/ca
0b 0cb
a/b = c ⇔
≠
=
0b
bca
;
1n2
1n2 baba +
+=⇔=
2n
2n 2n 2n
b a
a b a b, a b a 0
=
= ⇔ = ± = ⇔ ≥
α=⇔=
≥
±=
⇔= αa
bbloga,
0a
ab
ba
2 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
Ph m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)ạ
>
<
<
>>=
⇔<−<⇔<+
b/ca
0b
b/ca
0b 0c,0b
cab;bcacba
2. Giao nghi m :ệ
<⇔
<
<
>⇔
>
>}b,amin{x
bx
ax
;}b,amax{x
bx
ax
Γ
> ∨
< < <
⇔ ⇔
< Γ
≥
Γ
p
x a p q
a x b(neáua b);
x b VN(neáua b) q
Nhi u d u v : v tr c đ giao nghi m.ề ấ ẽ ụ ể ệ
3. Công th c c n nh :ứ ầ ớ
a. : ch đ c bình ph ng n u 2 v không âm. Làm m t ỉ ượ ươ ế ế ấ ph i đ t đi uả ặ ề
ki n.ệ
≤≤
≥
⇔≤
=
≥
⇔= 22 ba0
0b
ba,
ba
0b
ba
≥
≥
∨
≥
<
⇔≥ 2
ba
0b
0a
0b
ba
)0b,aneáu(b.a
)0b,aneáu(b.a
ab <−−
≥
=
b.
.
: phá
.
b ng cách bình ph ng : ằ ươ
2
2aa =
hay b ng đ nh nghĩa :ằ ị
)0aneáu(a
)0aneáu(a
a<−
≥
=
baba;
ba
0b
ba ±=⇔=
±=
≥
⇔=
a b b a b≤ ⇔ − ≤ ≤
b 0
a b b 0hay a b a b
≥
≥ ⇔ < ≤ − ∨ ≥
0baba 22 ≤−⇔≤
c. Mũ :
.1a0neáuy,1aneáuy,0y,Rx,ay x<<↓>↑>∈=
0 m/n m m n m nn
m n m n m n m.n n n n
n n n m n
a 1; a 1/ a ; a .a a
a /a a ; (a ) a ; a /b (a/b)
a .b (ab) ; a a (m n,0 a 1) a = 1
− +
−
= = =
= = =
= = ⇔ = < ≠ ∨
α
=α
<<>
><
⇔< a
log
nm a,
)1a0neáu(nm
)1aneáu(nm
aa
3 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
