Bài thuyết trình Quang lượng tử

Chia sẻ: Phạm Tùng Lâm | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:21

Thêm vào BST

Báo xấu

138
lượt xem 13
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cùng nắm kiến thức trong bài thuyết trình Quang lượng tử thông qua việc tìm hiểu nội dung về Sự tương đương giữa một khí Bose nhiều hạt và một tập những dao động tử điều hòa lượng tử. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm kiến thức cần thiết được trình bày trong bài thuyết trình này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài thuyết trình Quang lượng tử

SEMINAR QUANG LƯỢNG TỬ GVHD: TS. VÕ TÌNH HV : PHẠM TÙNG LÂM Lớp VLLT_VLT K21
CHƯƠNG I LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ TRƯỜNG BỨC XẠ 1.6. Sự tương đương giữa một khí Bose nhiều hạt và một tập những dao động tử điều hòa lượng tử Chúng ta đi chứng minh rằng một tập các dao động tử điều hòa lượng tử là tương đương về mặt động lực học với một khí Bose nhiều hạt. Xét một khí Bose có N hạt chứa trong một thể tích V. 2
Hàm sóng của N hạt có thể được viết bởi tích đối r xứng các hàm sóng của hạt đơn lẻ ψ r ( r ) . s 12 u u r r r �u ! nq !...nk !... � np r ( ) r r ( N) Ψnuur , nuur ,..., nuur ... r1 , r2 ,...r N = � � p q k � N! � ur ur r ( ) ( ) �u r1 ψ ur r2 ...ψ u r nuur � ψp r p ( ) r p p � � r r r ( ) ( � q p q p ) ( � r r nuur +1 ψ r r nuur +2 ...ψ r r nuur +nuur ψ q p q ) � � � u ................................................. � ( 1.157 ) p � � r r r r � ( ψk ) ( k ) � r r σ +1 ψ r r σ +2 ...ψ r r σ +nuur( k )k � � � .................................................. � � � r u r r r ( ) Với nr s = p, q,..., k ,... là s ố h ạt trên m ột tr ạng thái. s r ns = N r ( 1.158 ) s 3
* Hàm sóng của một hạt tự do: r () ψr r = s 1 i rr V e sr ( 1.159 ) * Cho N hạt tương tác lẫn nhau thông qua một điện th ế r ( ) N = ν rj ( 1.160 ) j =1 ur => Một hu t ở trạng thái ψ ur ( ạ r p ) rj có th ể chuyển đ ến tr ạng thái ψk ( rj ) r Sự biến đổi cho quá trình này tỉ lệ với yếu tố ma trậnν k p rur u * u r r ur ur νk p rur r ( ) ( ) ( ) = d rj ψ k rj ν rj ψ u rj r p ( 1.161) 4
Trước khi xem xét cho hệ tổng quát khí Bose gồm N hạt bên trong thể tích V, ta xét trường h ợp đơn giản h ệ có 3 h ạt boson. ( ) Hàm sóng mô tả trạng thái ban đầu nur = 2, nk = 1 c ủa h ệ 3 h ạt: p r u u u r r r u r ur ur ( ) Ψ nupr = 2,nkr =1 r1 , r2 , r3 = 3 1 3 ( ) ( ) ( ) [ψ ur r1 ψ ur r2 ψ k r3 p p r u r u r u r ( ) ( ) ( ) + ψ ur r3 ψ ur r1 ψ k r2 p p r u r u r u r ( ) ( ) ( ) + ψ ur r2 ψ ur r3 ψ k r1 ] p p r ( 1.164 ) 12 1 � !n n u r r !� Ở đây =� p k � v ới nu r p = 2, nk = 1, N = 3 r 3 � N! � 5
( Hàm sóng mô tả trạng thái sau nur = 1, nk = 2 c ủa h ệ 3 p r ) hạt: u u u r r r u r u r ur ( ) Ψ nupr =1,nkr = 2 r1 , r2 , r3 = 3 1 3 ( ) ( ) ( ) [ψ ur r1 ψ k r2 ψ k r3 p r r u r ur ur p( ) ( ) ( ) + ψ ur r3 ψ k r1 ψ k r2 r r u r u r ur p( ) ( ) ( ) + ψ ur r2 ψ k r3 ψ k r1 ] r r ( 1.165) Yếu tố ma trận cho hệ 3 hạt: u u u 3* r r r u u u r r r M 3 = � r1d r2 d r3 .Ψ nupr =1,nkr = 2 r1 , r2 , r3 � �d ( ) u r 3 u u u r r r ( ) ( r ,r ,r ) 3 ν ri .Ψ nupr = 2,nkr =1 1 2 3 ( 1.166 ) i =1 6
Vì đây là hệ hạt đồng nhất, do đó đóng góp của các hạt là như nhau, nên ta có: u r ur ( ) ( ) 3 ν ri = 3ν r1 i =1 u u u r r r u u u r r r ( ) ( ) Ta thay 2 hàm sóng Ψnup =1, nkr =2 r1 , r2 , r3 và Ψ nupr = 2,nkr =1 r1 , r2 , r3 3* r 3 vào biểu thức yếu tố ma trận M3 đồng thời khai triển ra ta có tổng cộng 9 tích phân. Ta tính tích phân thứ nhất: u u u * u * u * u r r r r r r u r ur ur ur �� p ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) I1 = �d r1d r2 d r3 ψ ur r1 ψ k r2 ψ k r3 ν r1 ψ ur r1 ψ ur r2 ψ k r3 r r p p r u * r ur ur Ta có: d r3 ψ k r ( ) ( ) r3 ψ k r r3 = 1 u * r ur ur r u r r u � I1 = 0 r � d r2ψ k r ( ) ( ) r2 ψ ur p ( ) r2 = δ k − p = 0 do k p ( ) 7
Tiếp tục tính cho 8 tích phân còn lại, ta có: u u u * u * u * u r r r r r r u r ur ur ur ( ) ( ) ( ) ( ) I 2 = � r1d r2 d r3 ψ ur r1 ψ k r2 ψ k r3 ν r1 ψ ur r3 ψ k ��d p r r p ( r ) ( ) r1 ψ k r ( r2) =0 u u u * u * u * u r r r r r r u r ur ur ur ( ) ( ) ( ) ( ) ( I 3 = � r1d r2 d r3 ψ ur r1 ψ k r2 ψ k r3 ν r1 ψ ur r2 ψ ur � � d p r r p p ) ( ) r3 ψ kr ( r1) =0 u u u * u * u * u r r r r r r u r ur ur u r ( ) ( ) ( ) ( ) ( I 4 = � r1d r2 d r3 ψ ur r3 ψ k r1 ψ k r2 ν r1 ψ ur r1 ψ ur ��d p r r p p ) ( ) r2 ψ kr ( r3) =0 u u u * u * u * u r r r r r r u r ur ur u r ( ) ( ) ( ) ( ) ( I 5 = � r1d r2 d r3 ψ ur r3 ψ k r1 ψ k r2 ν r1 ψ ur r3 ψ ur � � d p r r p p ) ( ) r1 ψ k r ( r2) 0 u u u * u * u * u r r r r r r u r ur ur ur ( ) ( ) ( ) ( ) ( I 6 = � r1d r2 d r3 ψ ur r3 ψ k r1 ψ k r2 ν r1 ψ ur r2 ψ ur ��d p r r p p ) ( ) r3 ψ kr ( ) =0 r1 u u u * u * u * u r r r r r r u r ur ur u r ( ) ( ) ( ) ( ) ( I 7 = � r1d r2 d r3 ψ ur r2 ψ k r3 ψ k r1 ν r1 ψ ur r1 ψ ur ��d p r r p p ) ( ) r2 ψ kr ( r3) 0 u u u * u * u * u r r r r r r u r ur ur u r ( ) ( ) ( ) ( ) I8 = � r1d r2 d r3 ψ ur r2 ψ k r3 ψ k r1 ν r1 ψ ur r3 ψ ur � � d p r r p ( p ) ( ) r1 ψ k r ( r2) =0 u u u * u * u * u r r r r r r u r ur ur ur ( ) ( ) ( ) ( ) ( I 9 = � r1d r2 d r3 ψ ur r2 ψ k r3 ψ k r1 ν r1 ψ ur r2 ψ ur � � d p r r p p ) ( ) r3 ψ kr ( ) =0 r1 8
Để thuận lợi cho việc tính toán ta giữ lại hai số h ạng I 4 và I8 đều bằng 0, ta có biểu thức 1 M 3 = 3. ( I 4 + I 5 + I 7 + I 8 ) u * u3 u r r r u r ( ) ( ) ( ) Đặt thừa số d r1 ψ k r1 ν r1 ψ ur r1 làm th ừa s ố chung, ta đ ược r p u u u * u r r r r u r ur � d ( ) (r ) ( ) M 3 = � r1d r2 d r3 .ψ k r1 ν r1 ψ ur r1 � p u * u r r ur ur u * u r r ur ur * p( ) ( ) ( ) r p ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ψ ur r3 ψ k r2 ψ ur r2 ψ k r3 +ψ ur r3 ψ k r2 ψ ur r3 ψ k r2 + r * p r p r u * u r r u r u r u * u r r u r ur * p ( ) ( ) ( ) r p ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +ψ ur r2 ψ k r3 ψ ur r2 ψ k r3 +ψ ur r2 ψ k r3 ψ ur r3 ψ k r2 ] r * p r p r u u u r r r 1 � u r ur ur ur = 2. 2. � r1d r2 d r3 . � �d . ψ ( r ) ψ ( r ) +ψ ( r ) ψ ( r ) � * u r * r * u r * r 2 � � p 3 k 2 p 2 k 3 ur ur u 1 r ur ur ur ur ψ * r k ( ) ( ) ( ) r1 ν r1 ψ ur r1 . p 2 � ψp ( ) ( ) r p ( ) ( ) . � ur r3 ψ k r2 +ψ ur r2 ψ k r3 � r � 9
Dùng phương trình hàm sóng của hệ 2 hạt boson có (nu r p = 1, nk = 1, N = 2 r ) Ta có: u u r r 1 �r u r ur ur ur Ψ 2 nu = nk = r 1, r 1 p ( ) r2 , r3 = 2 ( ) ( ) �p ( ) ( ) . ψu r2 ψk r3 +ψu r3 ψk r2 � r r p r � Khi đó ta có: u * u r r ur ur u u 2 r r u u r r ( ) ( ) ( ) ( ) 2 M 3 = 2. 2.� .ψ k r1 ν r1 ψ ur r1 .�r2 d r3 Ψnupr =1, nkr =1 r2 , r3 d r1 r p �d Vì hàm sóng cho hai hạt đã được chuẩn hóa nên u * u r r ur ur ( ) ( ) ( ) M 3 = 2. 2. d r1.ψ k r1 ν r1 ψ u r1 = 2. 2.ν k p r r p rur 10
Bây giờ ta xét hệ khí Bose gồm N hạt chứa trong th ể tích V. Xét quá trình tán xạ của một hạt đơnulẻrtrong hệ N hạt t ừ ru r ( N) trạng thái đầu có hàm sóng Ψ n p ,nq ,...,nk ... r1 , r2 ,...r N thông qua ur u u u r u u r ( ) thế tương tác cho hàm sóng ở trạng thái cu ối nh ư sau: ( ) � u − 1 !nr !... ( nr + 1 ) !... � 12 u u r r r np ( ) r ( N) Ψnuur −1,nuur ,...,nuur +1... r1 , r2 ,...r N = � � q k p q k � N! � � � u r ur r � ( ) ( ) �u r1 ψ u r2 ...ψ u r nuur −1 ψp r r p ( r p p ) � � r r r ( ) ( � q p q p ) � r r nuur +1 ψ r r nuur +2 ...ψ r r nuur +nuur −1 � ψ q p q ( � ) � ................................................. � p � � ur r r r � ( ψk ) ( k ) � r r σ +1 ψ r r σ +2 ...ψ r r σ +nuur k k ( � � ) � .................................................. � � � 11
Yếu tố ma trận cho hệ N hạt: u uu N * r r u uu r r ( M N = ��1...d rN .Ψ nupr −1,nqr ,...,nkr +1,... r1 ,..., rN ... d r ) u r N u uu r r ( ) ( ) ν ri . Ψ nupr ,nqr ,...,nkr ,... r1 ,..., rN i Vì đây là hệ hạt đồng nhất, do đó đóng góp của các hạt là như nhau, nên ta có: u r ur ( ) ( ) N ν ri = N .ν r1 i =1 12
Ta sử dụng biểu thức hàm sóng của hệ (N-1) hạt nh ư sau: ( ) 12 u r uu r � u −1 !nq !...nk !... � np ( ) r r r ( N −1) Ψnupr −1,nq ,...,nkr ,... r2 ,..., rN = � � � ( N −1) ! � r � � ur ur r � ( ) ( ) �u r2 ψ u r3 ...ψ u r nuur −1 ψp r r p r p ( p ) � � r r r � q( ) ( p q p ) ( � r r nuur ψ r r nuur +1 ...ψ r r nuur +nuur −1 ψ q p q ) � � � � u ................................................. p � � r r r r � ( ψk ) ( k ) ( � r r σ +1 ψ r r σ +2 ...ψ r r σ +nuur k )k � � �.................................................. � � � 13
Lúc này ta được: u uu nr + 1 * u r r r ( N −1) * ur uu r M N = ��1...d rN ... d r k N r ( ) ( ψ k r1 .Ψ nupr −1,nqr ,...,nkr ,... r2 ,..., rN ) u nur r ur ( N −1) ur uu r ( ) Nν r1 . p N p ( ) ( ) .ψ ur r1 .Ψ nupr −1,nqr ,...,nkr ,... r2 ,..., rN u nr + 1 * u r r u r u nur r = d r1 k N .ψ k 1 ( ) r r . Nν r . u r . 1 ψp 1 r N ( ) ( ) p = nur . nk + 1.ν k p p r rur ψp Nhận xét: Khi hủy một hạt ở trạng tháiur thì sinh m ột ψk hạt ở trạng thái r tức là tổng số hạt được bảo toàn. 14
Vậy: * Véc tơ trạng thái cho hệ nhiều hạt nur , nq ,..., nk ,... p r r * Các toán tử sinh - hủy cho hạt boson $p r r a u nu , nq ,..., nk ,... r r = nu nu −1, nq ,..., nk ,... r r r r p p p $ + nu , nr ,..., nr ,... au p q r p r = nu +1 nu +1, nq ,..., nk ,... r r r r k p p $ + a u nu , nr ,..., nr ,... = nu nu , nr ,..., nr ,... au $ p p q r r p r r r k p p q k Các toán tử này thỏa mãn hệ thức giao hoán: �ur , a + ' � δ urur a p $ ur = p p ' $ � p� $ ur , a ur' � �+ , a + ' � 0 �p $ p = a ur $ ur = a $p p � � � � 15
Bằng cách sử dụng các toán tử sinh hủy ta cũng có thể tìm được kết quả của yếu tố ma trận MN cho hệ N hạt boson nếu ta có thế tương tác được biểu diễn nh ư sau: $ ++k a u . r = r u a u r $ p νk r p r r k,p u r Toán tử Hamiltonian của phân tử tự do có xung p ng l ượ theo các toán tử sinh hủy như sau: r2 r2 p + p $ ur H � apap = � n p ﾵ = ˆr ˆr p 2m p 2m r r 16
* Một số tính chất của hệ dao động tử điều hòa lượng t ử Các toán tử sinh hủy của dao động tử: $ a s Ψ n = n Ψ n −1 $ + Ψ = n +1 Ψ as n n +1 $ + as Ψ = n Ψ as $ $ n n 17
Khi đó toán tử Hamiltonian có dạng: ﾵ = hω �+ a s + 1 � H � s �s $ a$ h � 1� = � ωs �s + � n$ � s � 2� s � 2� $ + , a s thỏa mãn hệ thức giao hoán sau: Các toán tử a s $ �s , a +' � δ a $ s = ss ' $ � � $ s , a s ' � �+ , a +' � 0 � $ a = as $ s = $ � �� 18
=> Sự tương đương giữa một khí Bose nhiều h ạt và m ột tập những dao động tử điều hòa lượng tử về mặt động lực Hệ khí Bose Dao động tử điều hòa lượng tử + + $ u r $ u r $ $ + a và a s làm tăng, giảm + a và a làm tăng,rgiảm p p s u số hạt ở trạng thái p một số lượng tử kích thích đi đơn vị một đơn vị + Hamiltonian của hạt tự do + Hamiltonian của hạt tự do r2 r2 p + p $u ﾵ �+$ 1� $ s a s + = hω � s + 1 � H � a p a p = � n p H = �hω s � ﾵ = ˆr ˆr r a � � s� $ n � r 2m r 2m � 2� s � 2� p p s $p $ n uru toán tử số hạt ở trạng + n s là toán tử số lượng tử + là r thái p và là toán tử ecmite kích thích và là toán tử ecmite + $p $ $ n ur = a upr a upr $ s = a+ as n $s$ 19
KẾT LUẬN * Mỗi hạt boson tương ứng về mặt động lực học với một dao động tử điều hòa lượng tử. * Dirac viết: “Hệ động lực học gồm có tập hợp của những hạt boson tương tự tương đương với hệ động lực học gồm có một tập của các dao động tử - Hai hệ thống đó chỉ là các hệ thống tương tự đứng trên hai quan điểm khác nhau. Có một dao động tử liên kết với mỗi trạng thái boson độc lập. Ở đây ta có một trong những kết quả cơ bản của cơ học lượng tử, cho phép thống nhất giữa lý thuyết sóng và các hạt của ánh sáng. 20