y
x
z
rdr
1
o
θ
θ
d
o
y
x
θ
r
θ
θ
σ
σ
θ
θ
d
∂
∂
+
dr
r
r
r
∂
∂
+
σ
σ
θ
θ
τ
τ
θ
θ
d
r
r
∂
∂
+
r
f
dr
r
r
r
∂
∂
+
θ
θ
τ
τ
θ
σ
θ
τ
r
R
θ
τ
r
σ
θ
f
CH NG 7 : BÀI TOÁN PH NG TRONG T A Đ C CƯƠ Ẳ Ọ Ộ Ự
Khi gi i bài toán ph ng lý thuy t đàn h i, trong m t s tr ng h pả ẳ ế ồ ộ ố ườ ợ
dùng t a đ đ c c c s ti n l i h n t a đ Descartes, ví d khi nghiên c uọ ộ ộ ự ẽ ệ ợ ơ ọ ộ ụ ứ
tr ng thái ng su t, bi n d ng trong các ng dày, các đĩa quay, thanh cong,ạ ứ ấ ế ạ ố
t i nh ng mi n c nh l tròn c a t m…ạ ữ ề ạ ỗ ủ ấ
Trong t a đ c c, v trí m t đi m đ c xác đ nh góc c c ọ ộ ự ị ộ ể ượ ị ự θ và vectơ
bán kính r.
7.1. CÁC PH NG TRÌNH C B NƯƠ Ơ Ả
1. Các ph ng trình vi phân cân b ng :ươ ằ
Gi s có v t th ch u l c song song v i m t ph ng. T i đi mả ử ậ ể ị ự ớ ặ ẳ ạ ể
A(r,θ,z), ta c t ra 1 phân t gi i h n b ng 6 m t.ắ ố ớ ạ ằ ặ
- 2 m t tr đ ng tr c cách nhau m t kho ng dr.ặ ụ ồ ụ ộ ả
- 2 m t ph ng ch a tr c z và t o v i nhau m t góc dặ ẳ ứ ụ ạ ớ ộ θ.
- 2 m t ph ng song song mặ ẳ ặt ph ng oxy cách nhau 1 đ n v ẳ ơ ị
Hình 7.1
+ Ký hi u:ệr là tr c theo h ng bán kính, ụ ướ θ là tr c đi qua đi m đangụ ể
xét A(r,θ,z) và vuông góc v i r, ng su t trên các m t s đ c ký hi u nhớ ứ ấ ặ ẽ ượ ệ ư
sau:
- Các m t nh n r làm pháp tuy n:ặ ậ ế
+ Trên m t đi qua đi m A(r,ặ ể θ,z) có các thành ph n ng su t: ầ ứ ấ σr, Trθ.
+ Trên m t đi qua đi m A(r,ặ ể θ + dθ,z), khai tri n theo Taylor có cácể
thành ph n ng su : ầ ứ ấ
θ
σ
σθ
d
r
r∂
∂
+
,
θ
θ
θ
θ
d
r
Tr∂
∂
+
- fr, fθ : L c th tích h ng tâm và ti p tuy n tác d ng lên m t đ n vự ể ướ ế ế ụ ộ ơ ị
ti p tuy n.ế ế
Xét cân b ng c a phân t ch u l c nh hình 7.1 :ằ ủ ố ị ự ư
53
o x
y
A
B
D
CA1
C1
D1
B1
V
U
0...
2
cos.1.)(
2
cos.1..
2
sin.1.).(
2
sin.1..).)((1...0
=+
∂
∂
++
−
∂
∂
+−−+
∂
∂
++−⇔=Σ
drdrf
d
drd
d
dr
d
drd
d
drddrrdr
r
drr
r
r
rr
r
rr
θ
θ
θ
θ
τ
τ
θ
τ
θ
θ
θ
σ
σ
θ
σθ
σ
σθσ
θ
θθ
θ
θθ
Vì bi n d ng bé nênế ạ
22
sin
θθ
dd ≈
1
2
cos ≈
θ
d
Sau khi b qua các nguyên l ng vô cùng bé và chia cho r.dr.dỏ ượ θ ta
đ c:ượ
0
1=+
−
+
∂
∂
+
∂
∂
x
rf
r
r
T
rr
r
θ
θ
θσσ
σ
(7.1)
T ng t chi u các l c lên ph ng ươ ự ế ự ươ θ ta đ cượ
02
1=++
∂
∂
+
∂
∂
θ
θθ
θ
θσ
f
T
r
T
r
r
r
r
(7.2)
+ Đ nh lu t đ i ng c a ng su t ti p : Tị ậ ố ứ ủ ứ ấ ế rθ = Tθr(7.3)
2. Các ph ng trình hình h c :ươ ọ
Chuy n v c a đi m A(r,ể ị ủ ể θ) theo ph ng r, ươ θ là u,v
Chuy n v c a đi m B(r+dr, ể ị ủ ể θ) theo 2 ph ng r, ươ θ là :
và
dr
r
v
v∂
∂
+
Chuy n v c a đi m C(r,ể ị ủ ể θ+dθ) theo 2 ph ng r, ươ θ là :
θ
θ
d
u
u∂
∂
+
và
θ
θ
d
v
v∂
∂
+
Bi n d ng t ng đ i theo ph ng r, ế ạ ươ ố ươ θ là εr, εθ
Hình 7.2
*Tr c tiên ch xét bi n d ng do u gây ra khi gi nguyên góc ướ ỉ ế ạ ữ θ.
Sau bi n d ng ABCD ế ạ → A’B’C’D’ :
+ Các bi n d ng dài :ế ạ
54
o
C
AB
D
x
y
A'B'
D'
C'
E'
U
dr
r
u
u
∂
∂
+
θ
θ
d
u
u
∂
∂
+
1
γ
σr =
r
u
dr
udr
r
u
u
AB
ABBA
∂
∂
=
−
∂
∂
+
=
−)(
''
;
2. Các ph ng trình hình h c:ươ ọ
Chuy n v c a đi m A(r, ể ị ủ ể θ) theo ph ng r, ươ θ là u, v.
Chuy n v c a đi m B(r+dr, ể ị ủ ể θ) theo 2 ph ng là:ươ
dr
r
u
u∂
∂
+
và
dr
r
v
u∂
∂
+
Chuy n v c a đi m C(r, ể ị ủ ể θ+dθ) theo 2 ph ng là:ươ
θ
θ
d
u
u∂
∂
+
và
dv
v
v
θ
∂
∂
+
Bi n d ng dài t ng đ i theo ph ng r, θ là: εế ạ ươ ố ươ r, εθ
* Tr c tiên ch xét bi n d ng do u gây ra khi gi nguyên góc θ. Sauướ ỉ ế ạ ữ
bi n d ng ABCD tr thành A’B’C’D’:ế ạ ở
Hình 7.3
+Các bi n d ng dài t ng đ i:ế ạ ươ ố
r
u
dr
drdru)dr
r
u
u(
AB
AB'B'A
r∂
∂
=
−+−
∂
∂
+
=
−
=ε
;
r
u
rd
rdd)ur(
AB
AC'C'A =
θ
θ−θ+
=
−
=εθ
;
+Bi n d ng góc:ế ạ (a)
θ∂
∂
=
θ
−θ
θ∂
∂
+
==γ u
r
1
rd
u)d
u
u(
EAC '''
1
* Xét bi n d ng do chuy n v v gây ra khi gi nguyên dr. Sau bi nế ạ ể ị ữ ế
d ng ABCD tr thành A’’B’’C’’D’’:ạ ở
55
D
C''
A
C
o
D''
B''
B
A''
x
y
M
N
v
dr
r
v
v∂
∂
+
2
γ
(Hình 5.4)
+ Bi n d ng dài:ế ạ
θθ
θθθ
θ
εθ
∂
∂
=
−+−
∂
∂
+
=
−
=u
rrd
ddvd
v
v
AB
ACCA 1
)(
''''
=
+ Bi n d ng góc:ế ạ
γ2 = (B’’A’’M – NA’’M) (b)
=
r
v
r
v
r
v
dr
vdr
r
v
v−
∂
∂
=−
−
∂
∂
+)(
Có s h ng (NA”M) = ố ạ
r
v
trong γ2 là do s quay toàn phân t ABCD đ iự ố ố
v i đi m 0.ớ ể
C ng (a) và (b) ta có đ c các quan h gi a bi n d ng và chuy n vộ ượ ệ ữ ế ạ ể ị
trong t a đ c c:ọ ộ ự
r
v
r
vu
r
1
v
r
1
r
u
r
u
21
r
−
∂
∂
+
θ∂
∂
=γ+γ
θ∂
∂
+=ε
∂
∂
=ε
θ
(7.4)
3. Các ph ng trình v t lý:ươ ậ
Trong t a đ c c, có th có đ c các ph ng trình c a đ nh lu tọ ộ ự ể ượ ươ ủ ị ậ
Hooke trong t a đ Descartes b ng cách thay x, y b ng r, θ:ọ ộ ằ ằ
a. Bi u th c bi n d ng qua ng xu t:ể ứ ế ạ ứ ấ
εr =
E
1
(σr – μσθ)
εθ=
E
1
(σθ – μσr) (7.5a)
γrθ =
G
1
Trθ =
E
)1(2
µ
+
Trθ
56
b. Bi u th c ng su t qua bi n d ng:ể ứ ứ ấ ế ạ
σr =
2
1
µ
−
E
(εr – μεθ)
σθ =
2
1
µ
−
E
(εθ – μεr) (7.5b)
Trθ = G.γrθ
bài toán bi n d ng ph ng thay E, Ở ế ạ ẳ μ b ng Eằ1, μ1 theo cách đ t:ặ
2
11
µ
−
=E
E
;
µ
µ
µ
−
=1
1
$7.2. GI I BÀI TOÁN PH NG THEO NG SU T:Ả Ẳ Ứ Ấ
- Ph ng trình LeVy ươ
∇
2(σx + σy) = 0 là ph ng trình gi i bài toánươ ả
ph ng theo ng su t trong h t a đ Descartes.ằ ứ ấ ệ ọ ộ
Ta hãy bi u di n ph ng trình đó trong h t a đ c c:ể ễ ươ ệ ọ ộ ự
∇
2(σx + σy) = 0
σx + σy = σr + σθ = S
⇒
∇
2(σr + σθ) = 0
* Liên h gi a các thành ph n t a đ Descartes và t a đ c c:ệ ữ ầ ọ ộ ọ ộ ự
r2 = x2 + y2(a)
tgθ =
x
y
(b)
(a)
⇒
x
r
∂
∂
)(
2
= 2r
x
r
∂
∂
= 2x
⇒
x
r
∂
∂
=
r
x
= cosθ
y
r
∂
∂)(
2
= 2r
y
r
∂
∂
= 2y
⇒
y
r
∂
∂
=
r
y
= sinθ
(b)
⇒
2
)(
x
y
x
x
y
−
=
∂
∂
=
θ
2
cos
1
.
x∂
∂
θ
→
x∂
∂
θ
= -
2
x
y
( )
r
x
2
= -
r
1
.
r
y
= -
r
θ
sin
(c)
y
x
y
∂
∂)(
=
x
1
=
θ
2
cos
1
.
y∂
∂
θ
⇒
y∂
∂
θ
=
x
1
( )
r
x
2
=
r
1
.
r
x
=
r
θ
cos
* Nh v y, đ i v i hàm f(x,y) b t kỳ, trong t a đ c c:ư ậ ố ớ ấ ọ ộ ự
x
f
∂
∂
=
r
f
∂
∂
.
x
r
∂
∂
+
θ
∂
∂f
.
r∂
∂
θ
=
r
f
∂
∂
.cosθ -
θ
∂
∂f
.
r
θ
sin
y
f
∂
∂
=
r
f
∂
∂
.
y
r
∂
∂
+
θ
∂
∂f
.
y∂
∂
θ
=
r
f
∂
∂
.sinθ -
θ
∂
∂f
.
r
θ
cos
⇒
2
2
x
f
∂
∂
=
r∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
r
f
r
f
θ
θ
θ
sin
.cos.
cosθ -
θ
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
r
f
r
f
θ
θ
θ
sin
.cos.
.
r
θ
sin
57