BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC

CH NG 7 : BÀI TOÁN PH NG TRONG T A Đ C C ƯƠ Ọ Ộ Ự Ẳ

ẳ ồ

Khi gi ọ i bài toán ph ng lý thuy t đàn h i, trong m t s tr ế ự ẽ ệ ợ ơ ọ ộ ố ườ ụ ộ

ạ ố

ữ Trong t a đ c c, v trí m t đi m đ ng h p ợ ả ứ dùng t a đ đ c c c s ti n l i h n t a đ Descartes, ví d khi nghiên c u ộ ộ tr ng thái ng su t, bi n d ng trong các ng dày, các đĩa quay, thanh cong, ế ứ ạ tròn c a t m… i nh ng mi n c nh l t ủ ấ ỗ ạ ể ộ ộ ự ự q c xác đ nh góc c c ấ ề ạ ọ và vectơ ượ ị ị

bán kính r.

7.1. CÁC PH NG TRÌNH C B N ƯƠ Ơ Ả

ươ

ằ ể s có v t th ch u l c song song v i m t ph ng. T i đi m ặ ẳ ạ ớ

A(r,q gi ằ

i h n b ng 6 m t. ặ ả q ộ ớ ứ ụ ạ ộ

ng trình vi phân cân b ng : 1. Các ph Gi ể ả ử ự ậ ị ,z), ta c t ra 1 phân t ố ớ ạ ắ - 2 m t tr đ ng tr c cách nhau m t kho ng dr. ặ ụ ồ ụ - 2 m t ph ng ch a tr c z và t o v i nhau m t góc d ặ - 2 m t ph ng song song m ặ ặt ph ng oxy cách nhau 1 đ n v ị ẳ ẳ ẳ . ơ s ¶

y

¶ ¶

q dr

+ t

q q

r dr

¶ ¶ ¶ ¶

q r r

Rqt qs

qd q o

q r

x

o

Hình 7.1

q ng bán kính, + Ký hi u:ệ

ể c ký hi u nh r là tr c theo h ướ ụ ,z) và vuông góc v i r, ng su t trên các m t s đ ứ là tr c đi qua đi m đang ư ụ ặ ẽ ượ ệ ấ ớ

xét A(r,q sau:

r, Trq .

Tr q

ặ q ể ế ấ s ,z) có các thành ph n ng su t: q - Các m t nh n r làm pháp tuy n: ậ + Trên m t đi qua đi m A(r, + Trên m t đi qua đi m A(r, ,z), khai tri n theo Taylor có các ặ ặ ể ầ ứ ể ¶ ¶ + dq q r + , thành ph n ng su : ầ ứ ấ ¶ ¶

q - fr, fq : L c th tích h ự

ng tâm và ti p tuy n tác d ng lên m t đ n v ể ướ ộ ơ ụ ế ế ị

ti p tuy n. ế ế

Xét cân b ng c a phân t ủ ằ ố ị ự ch u l c nh hình 7.1 : ư

(cid:219)= 0

dr ..

s + (1.

)(

d ).

dr .

sin.1.

s (

sin.1.

d 2

r r

¶ ¶ - - - - S ¶ ¶

dr .

.1.

)

t (

.1.

cos

dr .

drf .. r

q q

d 2

sin

d 2

ế Vì bi n d ng bé nên ạ

cos

q ng vô cùng bé và chia cho r.dr.d ta ượ ỏ

d 2 q d » 2 qd 2 Sau khi b qua các nguyên l s

đ c:ượ ¶ ¶ - (7.1) ¶ ¶

q chi u các l c lên ph s q

1 r r r ng t ự ươ q T 1 r r

q T ng ta đ ự ế ươ cượ ¶ ¶ (7.2) ¶ ¶

rq = Tq r

(7.3) ấ ế

ủ ứ ng trình hình h c : q ọ q ) theo ph ươ q q ) theo 2 ph là u,v ng r, là : ể ể ng r, ươ ¶ ¶ và ¶ ¶

q q +dq ) theo 2 ph ng r, là :

r + Đ nh lu t đ i ng c a ng su t ti p : T ậ ố ứ ị 2. Các ph ươ Chuy n v c a đi m A(r, ể ị ủ Chuy n v c a đi m B(r+dr, ị ủ ể v u r r Chuy n v c a đi m C(r, ị ủ

ể ể ươ

v q

¶ ¶ và ¶ ¶

u q Bi n d ng t

r, e

q q ng đ i theo ph ng r, là e ế ạ ươ ố ươ

Hình 7.2

q nguyên góc . ỉ ữ ﬁ A’B’C’D’ : *Tr ế Sau bi n d ng ABCD ạ c tiên ch xét bi n d ng do u gây ra khi gi ạ ướ ế

+ Các bi n d ng dài : ế ạ

(

)

u r dr

u r

¶ - ¶ - ¶ s r = ; ¶

' BA ' AB ng trình hình h c:

ọ θ) theo ph ươ

v r

θ là u, v. ng là: θ) theo 2 ph ng r, ươ ể ể ¶ ¶ và ¶ ¶

θ+dθ) theo 2 ph ng là: ươ ể ể ¶ ¶ và ¶

ng đ i theo ph ng r, θ là: ε ươ

nguyên góc θ. Sau 2. Các ph ươ Chuy n v c a đi m A(r, ị ủ ể Chuy n v c a đi m B(r+dr, ị ủ ể u r Chuy n v c a đi m C(r, ị ủ v u q¶ q ố ế ươ ỉ ữ

bi n d ng ABCD tr thành A’B’C’D’: Bi n d ng dài t r, εθ ạ ế * Tr c tiên ch xét bi n d ng do u gây ra khi gi ạ ướ ạ ế ở

u q

D C'

u r

A' U

Hình 7.3

u)dr

+Các bi n d ng dài t ố ế ạ ươ ¶ - - ¶ - ; ¶ ng đ i: u r

u r

dr rd

+ d)ur( rd

u r

q - q - ; q q

AB'B'A AB AC'C'A AB +Bi n d ng góc: ạ

u)d

EAC

(a) ế ¶ - q ¶ q ¶

1 r

q ¶ q

* Xét bi n d ng do chuy n v v gây ra khi gi ể ạ ị ữ ế nguyên dr. Sau bi n

d ng ABCD tr thành A’’B’’C’’D’’: ạ ế ở

D''

C''

v r

B'' N M

A'' A

(Hình 5.4)

(

)

+ dv

v q

'' CA

e q

u q

1 r

'' AB + Bi n d ng góc: ạ

+ Bi n d ng dài: ạ ế ¶ - - ¶ - ¶ = ¶

ế

(

)

v r

(b) ¶ - ¶ ¶ = - - ¶ γ2 = (B’’A’’M – NA’’M) v r dr

v r

Có s h ng (NA”M) = ố ạ trong γ2 là do s quay toàn phân t ự ố ố ABCD đ i

ượ c các quan h gi a bi n d ng và chuy n v ế ệ ữ ể ạ ị

ộ trong t a đ c c: v i đi m 0. ể ớ C ng (a) và (b) ta có đ ọ ộ ự ¶

u r

¶ e (7.4) q q ¶

g+g

1 r 1 r

v r

¶ ¶ - ¶ q ¶

ậ ươ

c các ph ng trình v t lý: ộ ự ượ ậ ng trình c a đ nh lu t ủ ị

Hooke trong t a đ Descartes b ng cách thay x, y b ng r, θ: ể ằ ươ ằ

a. Bi u th c bi n d ng qua ng xu t: ấ ể ứ ế ạ

(σr – μσθ) εr =

1(2

)

(σθ – μσr) εθ= (7.5a) 3. Các ph Trong t a đ c c, có th có đ ọ ọ ộ ứ 1 E 1 E

1 G

γrθ = Trθ = Trθ

b. Bi u th c ng su t qua bi n d ng: ể ế ấ ạ

σr = (εr – μεθ) -

σθ = (εθ – μεr) (7.5b) - ứ ứ E 1 m E 1 m

Trθ = G.γrθ

1, μ1 theo cách đ t:ặ

E 1

Ở bài toán bi n d ng ph ng thay E, ạ ẳ μ b ng E ằ

; - - ế E 1 m

$7.2. GI I BÀI TOÁN PH NG THEO NG SU T: Ẳ Ứ Ả Ấ

2(σx + σy) = 0 là ph

(cid:209) - Ph ng trình LeVy ng trình gi i bài toán ươ ả

ph ng theo ng su t trong h t a đ Descartes. ấ ằ ươ ứ

ệ ọ ộ ng trình đó trong h t a đ c c: ệ ọ ộ ự ươ (cid:209) Ta hãy bi u di n ph ễ ể 2(σx + σy) = 0

σx + σy = σr + σθ = S (cid:222) (cid:209)

2(σr + σθ) = 0 ệ ữ r2 = x2 + y2

* Liên h gi a các thành ph n t a đ Descartes và t a đ c c: ầ ọ ộ ọ ộ ự

(a)

y x

tgθ = (b)

)

¶ ¶ ¶ (a) (cid:222) = 2r = 2x (cid:222) = = cosθ ¶ ¶ ¶

)

r x r y

x r y r

¶ ¶ ¶ = 2r = 2y (cid:222) = = sinθ ¶ ¶ ¶

)

(

y (

¶ q x¶

1 q2 cos

¶ - (b) (cid:222) . ﬁ = = -

) x 2 r

y 2

( 2 r x ( 2 r y y x x

1 r

y r

sin r

= - = - . (c)

(

)

1 (

¶ q y¶

1 x

1 r

x r

cos r

1 q2 cos

¶ = = . (cid:222) = = . =

) x 2 r

y x y

¶ f q¶ ¶ f q¶

f r f r

sin r cos r

cos

f 2

¶ f + q¶ ¶ f + q¶ f q

f q

q¶

f r

¶ q r¶ ¶ q y¶ sin r

f r

sin r

r¶

sin r

* Nh v y, đ i v i hàm f(x,y) b t kỳ, trong t a đ c c: ấ ọ ộ ự q ¶ ¶ ¶ ¶ = . = . .cosθ - . ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ = . = . .sinθ - . ¶ ¶ ¶ ¶ ư ậ f x f y ố ớ r f x r r f y r ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ø Ø ø Ø ¶ (cid:222) - - œ Œ œ Œ = cosθ - . ¶ ¶ ¶ ¶ ß º ß º ¶

sin.

f 2

f q

q¶

f r

cos r

f r

cos r

r¶

cos r

¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ø Ø ø Ø - - œ Œ œ Œ = sinθ - . ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ß º ß º

f 2

f + 2 q¶

x 2

r 2

ế ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ + . = cos2θ - ¶ ¶ ¶ ¶

f 2

f + 2 q¶

f r f r

q 2sin 2 r q 2sin 2 r

sin r q2 cos r

sin r cos 2 r

y ấ ổ

¶ ¶ ¶ ¶ ¶ + sin2θ - = . ¶ ¶ ¶ ¶

2f =

f 2

q¶

1 r

f r

1 + 2 r

¶ ¶ ¶ ¶ ¶ (cid:209) = + + Sau bi n đ i ta nh n đ ậ ượ ổ f2 q¶ r f2 q¶ r r th c ta đ L y t ng hai bi ể ứ f f 2 2 c: q2sin ¶ f + q¶ r q2sin ¶ f + q¶ r c: ượ f 2 ¶ ¶ ¶ ¶

2 =

q¶

1 r

r¶

¶ ¶ ¶ (cid:222) (cid:209) + + (7.7)

s (

)

r¶ Thay (7.7) vào (7.6) 2 1 r

1 r

(cid:246) (cid:230) ¶ ¶ ¶ (cid:247) (cid:231) (7.8) (cid:247) (cid:231) ¶ ¶ ¶ ł Ł

ng t ng h p l c th ợ ự ườ ể

r ươ ấ j

1 2

Cũng t ằ ươ ấ ỏ nh trong h t a đ Descartes trong tr ệ ọ ộ ự ư ng trình cân b ng (7.1), (7.2): tích b ng 0, l y các ng su t th a mãn ph ằ ứ 2 ¶ ¶

1= r

¶ ¶

s q

¶ (7.9) ¶

j 2 q

1 2 r

1 r

¶ ¶ - ¶ ¶ ¶

ấ

1 r

1 2 r

q 2( (cid:209)

2φ) = 0

(cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) = 0 ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ Trong đó: φ(r, θ): Là hàm ng su t trong t a đ c c ọ ộ ự ứ Thay (7.9) vào (7.8) ta có: 1 2 r ł Ł ł Ł (cid:219) (cid:209) (7.10)

(7.10): Ph ng trình trùng đi u hòa c a bài toán ph ng trong t a đ ươ ủ ề ẳ ọ ộ

c c.ự

Ộ Ự Ậ Ủ Ụ

$7.3. TÍNH TÁC D NG C A M T L C T P TRUNG VÀO BIÊN C A Ủ M T T M BÁN VÔ H N ĐÀN H I (Bài toán Ph Lamăng) Ồ Ộ Ấ Ạ ơ

c gi ườ s có m t môi tr ộ ằ ộ

ồ ượ ồ

ng th ng. Đ gi ớ ặ ể ả ẳ

i h n b i hai m t ph ng song song và vuông góc v i đ gi ố ớ ạ

i h n b ng m t m t ặ ng đàn h i đ Gi ả ử ạ ụ ph ng g i là không gian bán vô h n đàn h i. Trên m t ph ng ch u tác d ng ị ẳ ạ ọ ẳ i bài toán ta c t ra i tr ng phân b đ u theo m t đ c a t ố ề ắ ộ ườ ủ ả ọ m t phân t ớ ườ ng ở ộ ẳ i tr ng và cách nhau m t đ n v . (H7.4) t ộ ơ ả ọ ặ ị

Hình 7.4

Nh v y ta đã đ a bài toán không gian thành bài toán ph ng. ư ậ

ng h p không gian bán vô h n gi Trong tr ạ ư ườ ặ ở

ợ song song g n nhau thì đ ầ ẳ i h n b i 2 m t ph ng ẳ ớ ạ ồ ượ ả

c xem là b n vô h n đàn h i. ấ N u b n m ng ta coi bài toán này nh bài toán tr ng thái ng su t ạ ư ứ ế ả ạ ỏ

ph ng.ẳ

ả ạ ỏ

Xét b n m ng vô h n đàn h i ch u l c t p trung tác d ng ồ ố ứ ị ự ậ ấ ở ố ớ ụ ẵ ứ

biên. Do tính đ i x ng qua tr c x nên hàm ng su t φ(r, θ) là 1 hàm ch n đ i v i θ nên σr, σθ là hàm ch n đ i v i θ. ụ ố ớ ẵ

Ch n φ(r, θ) = C.r.θsinθ ọ

C là h ng s ph i xác đ nh sao cho hàm φ(r, θ) th a mãn ả ố ị (7.11) ỏ

ph ươ ệ ề

cos

1 2

ằ ng trình trùng đi u hòa và đi u ki n biên: ề Theo (7.9) ta có: ¶ ¶

1= r

C r

¶ ¶

s q

r Trθ = 0

¶ (7.12) ¶

ứ ặ ấ ẳ ớ ỉ

Qua (7.12) cho th y trên m t ph ng vuông góc v i bán kính r ch có ng su t ấ pháp σr.

ặ ấ

σθ = Trθ = 0. M t vuông góc v i này cũng không có ng su t. ớ ự Xác đ nh h ng s C b ng cách tính t ng hình chi u lên tr c các l c ụ ứ ế ằ ố ổ ị

pháp tuy n tác d ng lên n a vòng tròn tâm 0. ử ế ằ ụ

s rdF (

cos

(cid:219) (cid:242) Σx = 0 v i dF = r.dθ.1 ớ (1 là bề -

dày c a t m) ủ ấ

rdr .

cos

r ..

cos

d .

(cid:219) (cid:242) -

C 2 r

q 2

C 2

cos

C 2

(cid:242) -

cos 2

(cid:242) (cid:242) - -

q 2sin

C-=

2C-= 2

1 2

ø Ø œ Œ ß º -

C -=

P p Thay (7.13) vào (7.12) ta có: s

cos

2 p

P r

(cid:222) (7.13)

(7.14)

σθ = 0 Trθ = 0

T (7.14) cho th y: ừ ấ

σr = ∞. Th c t ể ự ế

T i đi m đ t l c P: r = 0 thì ạ ặ ự ộ ấ ớ ấ ụ ể khi ch u l c t p trung ị ự ậ ữ ở ể i nh ng đi m ự ạ

ặ ự đi m đ t l c có ng su t c c b r t l n làm cho khu v c t ứ xung quanh đi m đ t l c b ch y d o. ặ ự ị ả ẻ ể

đây ta không xét khu v c đó mà ch áp d ng nghi m đã rút ra Ở ụ ự ệ ỉ ở

ngoài khu v c nói trên. ự

+ Tính ch t nghi m c a ệ ấ

cos

(cid:219) (a) ủ σr: d.cosθ = r 1 = cos d r

2 p

P d

T (7.14) (cid:222) ừ

(cid:222) (7.15)

2 P p r 2-= P p d ấ ứ

Công th c (7.15) cho th y ng su t ứ ủ ấ ả

vòng tròn đ u nh nhau. Vòng tròn đó g i là đ ng đ ng su t. ư ề ấ σr c a t ọ ộ t c các đi m cùng m t ể ẳ ườ ấ

Hình 7.15 Ví d : c u ki n ch u nén đúng tâm ụ ấ ệ ị

= σr.cos(n, x) = σr.l

Tính b n trong h t a đ Descartes: ệ ọ ộ

= σr.m

= Tyx.l + σy.m = σr.m Nhân 2 v c a ph

ả Ta có: f x f y Mà: = σx.l + Tyx.m = σx.l Nhân 2 v c a ph ng trình cho l ế ủ ươ

ng trình cho m ế ủ ươ

f x f y

(cid:222)

σx.l2 – σy.m2 = σr.l2 – σr.m2 σx + σy = σr + σθ

Ta có:

f*y

yx s

f*x

l2 + m2 = 1

(cid:222)

(cid:219)

(cid:222)

x +

l = cosθ = = Mà σθ = 0 (cid:222) σy = σr - σx. σx.l2 – (σr - σx)m2 = σr.l2 – σr.m2 σx.l2 – σr.m2 – σx.m2= σr.l2 – σr.m2 σx(l2 + m2) = σr.l2 σx = σr.l2 σy = σr.(1 - l2) = σrm2 Txy = σr.l.m. x r

y +

m = cosβ = sinθ =

x +

(cid:222) σx = σrcos2θ = σr.

y +

σy = σrsin2θ = σr. (7.16)

xy +

Txy = σrsinθcosθ = σr.

2 p

P r

Thay σr = - cosθ t (7.14) vào (7.16) ta có: ừ

2 p