Nghiên cứu khoa học: Báo cáo về ss-ảnh 1-phủ dãy của không gian mê

SS-¶nh 1-phñ d·y cña kh«ng gian mªtric kh¶ ly ®Þa ph−¬ng

L−¬ng Quèc TuyÓn (a), NguyÔn Duy Nam(b), NguyÔn ThÞ Toµn(c)

Tãm t¾t. Trong bµi viÕt nµy, chóng t«i nghiªn cøu mét sè tÝnh chÊt cña hä b¶o tån

bao ®ãng di truyÒn, b¶o tån bao ®ãng di truyÒn yÕu, mét sè bÊt biÕn cña kh«ng gian cã

sn-l−íi ®Õm ®−îc ®Þa ph−¬ng qua ¸nh x¹ ®ãng phñ-d·y vµ ®Æc tr−ng cña kh«ng gian cã

sn-l−íi ®Õm ®−îc ®Þa ph−¬ng qua c¸c ¸nh x¹ 1-phñ-d·y.

më ®Çu

C¸c kh¸i niÖm vÒ phñ ®· ®−îc nhiÒu nhµ to¸n häc nh− E. Michael, K. Nagami,

Y. Tanaka, L. Foged, . . . quan t©m tõ nh÷ng n¨m 70 cña thÕ kØ XX. §Æc biÖt, trong

nh÷ng n¨m gÇn ®©y, c¸c vÊn ®Ò vÒ k-l−íi, cs∗-l−íi, cs-l−íi, sn-l−íi, c¬ së yÕu, . . . cã

tÝnh chÊt phñ nµo ®ã ®· ®−îc nhiÒu ng−êi nghiªn cøu vÒ t«p« quan t©m vµ nghiªn

cøu s©u h¬n. Ng−êi ta ®· ®−a ra ®−îc nhiÒu kÕt qu¶ ®Ñp vÒ mèi quan hÖ cña c¸c lo¹i

l−íi trªn kh«ng gian t«p« tæng qu¸t vµ mét sè kh«ng gian ®Æc biÖt. H¬n thÕ n÷a, hä

cßn nghiªn cøu tÝnh bÊt biÕn cña c¸c lo¹i l−íi nµy qua mét sè ¸nh x¹, nghiªn cøu ®Æc

tr−ng cña kh«ng gian víi l−íi cã tÝnh chÊt phñ nµo ®ã bëi ¶nh cña c¸c kh«ng gian

mªtric qua mét sè ¸nh x¹ nh− ¸nh x¹ phñ-d·y, 1-phñ-d·y, më-yÕu, . . . vµ ®Æc tr−ng

¶nh cña kh«ng gian mªtric qua c¸c ¸nh x¹ ®ã.

Trong bµi viÕt nµy, chóng t«i nghiªn cøu mét sè tÝnh chÊt cña hä b¶o tån bao

®ãng di truyÒn, hä b¶o tån bao ®ãng di truyÒn yÕu trªn k′-kh«ng gian, k-kh«ng gian,

nghiªn cøu tÝnh bÊt biÕn cña kh«ng gian cã sn-l−íi (c¬ së yÕu) ®Õm ®−îc ®Þa ph−¬ng

qua c¸c ¸nh x¹ Lindel¨of, ¸nh x¹ ®ãng, ¸nh x¹ phñ-d·y, ¸nh x¹ 1-phñ-d·y, . . . vµ ®Æc

tr−ng c¸c kh«ng gian cã sn-l−íi (c¬ së yÕu) ®Õm ®−îc ®Þa ph−¬ng bëi ss-¶nh 1-phñ-d·y,

phñ-compact (ss-¶nh më-yÕu, phñ-compact) cña kh«ng gian mªtric kh¶ li ®Þa ph−¬ng.

Trong toµn bé bµi viÕt nµy, khi nãi ®Õn c¸c kh«ng gian X,Y, . . . , th× ta hiÓu

r»ng X,Ylµ c¸c kh«ng gian t«p« vµ chóng t«i quy −íc r»ng tÊt c¶ c¸c kh«ng gian lµ

Hausdorff, c¸c ¸nh x¹ ®Òu liªn tôc vµ toµn ¸nh, cßn c¸c kh¸i niÖm, thuËt ng÷ kh¸c,

nÕu kh«ng nãi g× thªm th× ®−îc hiÓu th«ng th−êng. Ngoµi ra cßn dïng thªm c¸c kÝ

hiÖu: f(P) = {f(P) : P∈ P},P={P:P∈ P},SP=S{P:P∈ P},N={1,2,3, . . . }.

1. Kh«ng gian víi k-l−íi σ-b¶o tån bao ®ãng di truyÒn yÕu

1.1. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö P={Pα:α∈Λ}lµ hä gåm c¸c tËp con cña X.

(1) Ta nãi Plµ hä b¶o tån bao ®ãng di truyÒn hay ®¬n gi¶n HCP , nÕu

S{Aα:α∈J}=S{Aα:α∈J},

víi mäi J⊂Λvµ Aα⊂Pα, víi mäi α∈J.

(2) P®−îc gäi lµ hä b¶o tån bao ®ãng di truyÒn yÕu hay ®¬n gi¶n W HCP , nÕu

{x(P)∈P:P∈ P} lµ hä HCP .

1NhËn bµi ngµy 03/11/2008. Söa ch÷a xong 16/04/2009.

(3) P®−îc gäi lµ hä σ-b¶o tån bao ®ãng di truyÒn (σ-b¶o tån bao ®ãng di truyÒn

yÕu) hay ®¬n gi¶n lµ σ-HCP (t−¬ng øng, σ-W HCP ), nÕu P=S{Pn:n∈N}

víi mçi Pnlµ hä HCP (t−¬ng øng, W HCP ).

(4) Plµ hä ®Õm ®−îc ®Þa ph−¬ng, nÕu víi mçi x∈X, tån t¹i l©n cËn Vcña xsao

cho Vgiao víi kh«ng qu¸ ®Õm ®−îc phÇn tö cña P.

1.2. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö Plµ hä gåm c¸c tËp con cña X.

(1) Plµ l−íi, nÕu víi mäi x∈Xvµ Ulµ l©n cËn bÊt k× cña x, tån t¹i P∈ P sao

cho x∈P⊂U.

(2) Plµ k-l−íi, nÕu víi mäi tËp con Kcompact vµ víi mäi Ulµ l©n cËn cña K

trong X, tån t¹i hä con h÷u h¹n F ⊂ P sao cho K⊂SF ⊂ U.

(3) Plµ cfp-phñ cña K, nÕu Plµ phñ cña Ktrong Xvµ Pcã c¸i mÞn h÷u h¹n

gåm c¸c tËp con ®ãng cña Kphñ K.

(4) Plµ cfp-l−íi, nÕu víi mäi tËp con compact K⊂Xvµ K⊂Uvíi Umë trong

X, tån t¹i hä con h÷u h¹n F ⊂ P sao cho Flµ cfp-phñ cña Kvµ SF ⊂ U.

(5) Plµ k-l−íi ®ãng, nÕu Plµ k-l−íi vµ mçi phÇn tö cña Plµ ®ãng trong X.

(6) Plµ cs-l−íi, nÕu víi mäi d·y {xn}héi tô ®Õn x∈Xvµ Ulµ l©n cËn bÊt k× cña

x, tån t¹i m∈Nvµ P∈ P sao cho {x}S{xn:n≥m} ⊂ P⊂U.

(7) Plµ cs∗-l−íi, nÕu víi mäi d·y {xn}héi tô ®Õn x∈Xvµ Ulµ l©n cËn bÊt k×

cña x, tån t¹i d·y con {xni:i∈N}cña {xn}vµ P∈ P sao cho {x}S{xni:i∈

N} ⊂ P⊂U.

(8) Plµ wcs∗-l−íi, nÕu víi mäi d·y {xn}héi tô ®Õn x∈Xvµ Ulµ l©n cËn bÊt k× cña

x, tån t¹i d·y con {xni:i∈N}cña {xn}vµ P∈ P sao cho {xni:i∈N} ⊂ P⊂U.

1.3. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö Xlµ kh«ng gian t«p«.

(1) X®−îc gäi lµ k-kh«ng gian, nÕu U⊂Xlµ më (®ãng) trong Xkhi vµ chØ khi

víi mäi tËp compact K⊂Xta ®Òu cã U∩Klµ më (t−¬ng øng, ®ãng) trong

kh«ng gian con K.

(2) X®−îc gäi lµ k′-kh«ng gian, nÕu víi mäi tËp con kh«ng ®ãng H⊂Xvµ víi

mäi ®iÓm x∈H\H, tån t¹i tËp compact K⊂Xsao cho x∈H∩K.

(3) X®−îc gäi lµ kh«ng gian d·y, nÕu víi tËp hîp A⊂X,Alµ ®ãng trong Xkhi

vµ chØ khi kh«ng cã d·y nµo trong Ahéi tô ®Õn ®iÓm n»m ngoµi A.

(4) X®−îc gäi lµ kh«ng gian Fr

echet, nÕu víi mäi H⊂Xvµ víi mäi x∈H, tån

t¹i d·y trong Hhéi tô ®Õn x.

(5) X®−îc gäi lµ ℵ0-kh«ng gian, nÕu nã cã cs-l−íi ®Õm ®−îc.

(6) X®−îc gäi lµ kh«ng gian Lasnev nÕu Xlµ ¶nh ®ãng cña mét kh«ng gian

mªtric.

1.4. NhËn xÐt. (1) Fr

echet ⇒k′-kh«ng gian ⇒k-kh«ng gian.

(2) Fr

echet ⇒d·y ⇒k-kh«ng gian.

1.5. §Þnh lÝ. Gi¶ sö Xlµ k-kh«ng gian vµ Plµ hä gåm c¸c tËp con ®ãng cña X. Khi

®ã, c¸c kh¼ng ®Þnh sau lµ t−¬ng ®−¬ng

(1) Plµ hä W HCP ;

(2) Plµ hä HCP .

Chøng minh. (1) ⇒(2). Gi¶ sö P={Pα:α∈Λ}lµ hä W HCP cña X. Ta cÇn chøng

minh r»ng Plµ hä HCP . ThËt vËy, gi¶ sö ng−îc l¹i r»ng Pkh«ng lµ hä HCP . Khi

®ã, tån t¹i Γ⊂Λvµ mçi α∈Γtån t¹i Fα⊂Pαtho¶ m·n S

α∈Γ

Fα6=S

α∈Γ

Fα. Do ®ã,

α∈Γ

Fαkh«ng ®ãng trong X. MÆt kh¸c, v× Xlµ k-kh«ng gian nªn tån t¹i tËp compact

K⊂Xsao cho K∩S

α∈Γ

Fαkh«ng ®ãng trong K. B©y giê, ta sÏ chøng tá r»ng

F(K) = {F∩K:F∈ F} h÷u h¹n, trong ®ã F={Fα:α∈Γ}. ThËt vËy, gi¶ sö

ng−îc l¹i r»ng F(K) = {Rβ:β∈∆}h÷u h¹n, trong ®ã ∆lµ tËp v« h¹n. Ta chän d·y

{xn} ⊂ Knh− sau: LÊy β1∈∆vµ x1∈Rβ1. Khi ®ã, ¾t tån t¹i β2∈∆\ {β1}sao cho

tån t¹i x2∈Rβ2\ {x1}, v× nÕu ng−îc l¹i ta suy ra r»ng Rβ={x1}víi mäi β∈∆\ {β1}.

§iÒu nµy m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt ph¶n chøng r»ng ∆v« h¹n. TiÕp tôc qu¸ tr×nh

trªn ta sÏ x©y dùng ®−îc c¸c d·y ph©n biÖt {xn:n∈N} ⊂ Kvµ {βn:n∈N} ⊂ ∆

tho¶ m·n mçi xn∈Rβn. B©y giê, víi mçi n∈Nta lÊy Fβn∈ F sao cho Rβn=Fαn∩K.

Khi ®ã, xn∈Fβnvµ {Fβn:n∈N}lµ d·y ph©n biÖt trong F. Tõ tÝnh chÊt W HCP cña

Fta suy ra {xn:n∈N}lµ tËp ®ãng vµ rêi r¹c trong tËp compact K. §iÒu nµy m©u

thuÉn. V× thÕ, F(K)h÷u h¹n vµ ta cã thÓ ®Æt F(K) = {A1, . . . , Am}.

Cuèi cïng, v× K∩S

α∈Γ

Fα=S

α∈Γ

(K∩Fα) =

i=1

Aivµ c¸c Ai®ãng trong Xnªn

i=1

Ailµ tËp con ®ãng trong X. Do ®ã, K∩S

α∈Γ

Fαlµ tËp con ®ãng cña K. §iÒu nµy

m©u thuÈn víi K∩S

α∈Γ

Fαkh«ng lµ tËp con ®ãng trong K. VËy Flµ hä HCP cña

(2) ⇒(1). HiÓn nhiªn. 

1.6. HÖ qu¶. Gi¶ sö Plµ hä gåm c¸c tËp con ®ãng cña k-kh«ng gian X. Khi ®ã, c¸c

kh¼ng ®Þnh sau lµ t−¬ng ®−¬ng

(1) Plµ hä σ-W HCP ;

(2) Plµ hä σ-HCP .

1.7. HÖ qu¶ ([1]).Gi¶ sö Plµ hä gåm c¸c tËp con ®ãng cña kh«ng gian d·y X. Khi

®ã, c¸c kh¼ng ®Þnh sau lµ t−¬ng ®−¬ng

(1) Plµ hä σ-W HCP ;

(2) Plµ hä σ-HCP .

1.8. §Þnh lÝ. Gi¶ sö Plµ hä gåm c¸c tËp con cña k′-kh«ng gian X. Khi ®ã, c¸c kh¼ng

®Þnh sau lµ t−¬ng ®−¬ng

(1) Plµ hä W HCP ;

(2) Plµ hä HCP ;

(3) Plµ hä HCP ;

(4) Plµ hä W HCP .

Chøng minh. (1) ⇒(2). Gi¶ sö P={Pα:α∈Λ}lµ hä W HCP cña Xta cÇn chøng

minh r»ng Plµ hä HCP cña X. ThËt vËy, gi¶ sö ng−îc l¹i r»ng Pkh«ng lµ hä

HCP cña X. Khi ®ã, tån t¹i hä con Γ⊂Λvµ víi mçi α∈Γtån t¹i Fα⊂Pαsao cho

α∈Γ

Fα6=S

α∈Γ

Fα. Do ®ã, ¾t tån t¹i x∈S

α∈Γ

Fα\S

α∈Γ

Fα⊂S

α∈Γ

Fα\S

α∈Γ

Fα. Suy ra S

α∈Γ

Fα

kh«ng ®ãng trong X. MÆt kh¸c, v× Xlµ k′-kh«ng gian nªn tån t¹i tËp con compact

K⊂Xsao cho

x∈K∩[

α∈Γ

Fα.

B©y giê, ta ®Æt F(K) = {F∩K:F∈ F}, trong ®ã F={Fα:α∈Γ}. T−¬ng tù

nh− chøng minh trong phÇn (1) ⇒(2) cña §Þnh lÝ 1.5 ta suy ra r»ng F(K)lµ tËp h÷u

h¹n. V× thÕ, ta cã thÓ ®Æt F(K) = {A1, . . . , Am}. Khi ®ã, v× x∈K∩S

α∈Γ

Fαta cã

x∈K∩[

α∈Γ

Fα=[

α∈Γ

(K∩Fα) =

[

i=1

Ai=

[

i=1

Ai⊂[

α∈Γ

Fα.

α∈Γ

Fα. VËy Plµ hä HCP .

(2) ⇒(3). Nhê Bæ ®Ò 2 trong [9].

(3) ⇒(4) ⇒(1). HiÓn nhiªn. 

1.9. HÖ qu¶. Gi¶ sö Plµ hä gåm c¸c tËp con cña k′-kh«ng gian X. Khi ®ã, c¸c kh¼ng

®Þnh sau lµ t−¬ng ®−¬ng

(1) Plµ hä σ-W HCP ;

(2) Plµ hä σ-HCP ;

(3) Plµ hä σ-HCP ;

(4) Plµ hä σ-W HCP .

1.10. HÖ qu¶ ([9]).Gi¶ sö Plµ hä gåm c¸c tËp con cña kh«ng gian Fr

echet X. Khi

®ã, c¸c kh¼ng ®Þnh sau lµ t−¬ng ®−¬ng

(1) Plµ hä σ-W HCP ;

(2) Plµ hä σ-HCP ;

(3) Plµ hä σ-HCP ;

(4) Plµ hä σ-W HCP .

1.11. §Þnh lÝ. C¸c kh¼ng ®Þnh sau lµ t−¬ng ®−¬ng ®èi víi kh«ng gian chÝnh quy X

(1) Xlµ kh«ng gian Lasnev;

(2) Xlµ k′-kh«ng gian víi k-l−íi σ-HCP ;

(3) Xlµ k′-kh«ng gian víi k-l−íi ®ãng σ-HCP ;

(4) Xlµ k′-kh«ng gian víi k-l−íi σ-W HCP ;

(5) Xlµ k′-kh«ng gian víi k-l−íi ®ãng σ-W HCP .

Chøng minh. (1) ⇒(2). Nhê Bæ ®Ò 3 trong [9] vµ NhËn xÐt 1.4(1).

(2) ⇔(3) ⇔(4) ⇔(5). Nhê HÖ qu¶ 1.9 víi chó ý r»ng, trong kh«ng gian chÝnh

quy, nÕu Plµ k-l−íi cña X, th× Pcòng lµ k-l−íi cña X.

(5) ⇒(1). Gi¶ sö Xlµ k′-kh«ng gian vµ Plµ k-l−íi σ-W HCP cña X. Tr−íc hÕt

ta chøng tá r»ng Xlµ kh«ng gian Fr

echet. ThËt vËy, gi¶ sö A⊂Xvµ x∈A.

(1) Gi¶ sö x∈A. Khi ®ã, ta lÊy S={xn=x:n∈N}. HiÓn nhiªn r»ng Slµ d·y

héi tô ®Õn x.

(2) Gi¶ sö x∈A\A. Khi ®ã, v× Xlµ k′-kh«ng gian nªn tån t¹i tËp compact Ksao

cho x∈K∩A⊂K. V× Xlµ kh«ng gian cã k-l−íi σ-W HCP nªn nhê MÖnh ®Ò 3 vµ Bæ

®Ò 7 trong [9] ta suy ra Klµ kh«ng gian con kh¶ mªtric, kÐo theo Klµ kh«ng gian

{xn:n∈N} ⊂ K∩A, héi tô ®Õn x. ThËt vËy, v× Klµ kh«ng gian con tho¶ m·n tiªn

kh«ng gian con Ktho¶ m·n Vn+1 ⊂Vn, víi mäi n∈N. MÆt kh¸c, v× x∈K∩Anªn

víi mçi n∈N, tån t¹i xn∈Vn∩(K∩A). Do ®ã, ta ®−îc d·y {xn:n∈N} ⊂ K∩A.

HiÓn nhiªn r»ng {xn}lµ d·y héi tô ®Õn xtrong kh«ng gian con K, kÐo theo {xn}héi

tô ®Õn xtrong X. VËy Xlµ kh«ng gian Fr

echet.

Cuèi cïng, nhê HÖ qu¶ 2 trong [9] ta suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh. 

1.12. MÖnh ®Ò. C¸c kh¼ng ®Þnh sau lµ t−¬ng ®−¬ng ®èi víi kh«ng gian X

(1) Xcã l−íi W HCP ;

(2) Xcã k-l−íi W HCP ;

(3) Xcã wcs∗-l−íi W HCP .

Chøng minh. (1) ⇒(2). Gi¶ sö Plµ l−íi W HCP ,Klµ tËp con compact vµ Ulµ

tån t¹i Px∈ P sao cho x∈Px⊂U. Suy ra hä {Px:x∈X}lµ mét phñ cña Kvµ

{Px∩K:x∈X} ⊂ P(K). V× thÕ ta cã thÓ ®Æt {Px∩K:x∈X}={A1, . . . , An}

vµ K⊂

i=1

Pxi∩K=Ai. HiÓn nhiªn lóc ®ã K⊂

i=1

Pxi⊂U, kÐo theo Plµ k-l−íi cña X. VËy P

lµ k-l−íi W HCP cña X.

(2) ⇒(3) ⇒(1). HiÓn nhiªn. 

1.13. HÖ qu¶. §èi víi k-kh«ng gian X, c¸c kh¼ng ®Þnh sau lµ t−¬ng ®−¬ng

(1) Xcã l−íi ®ãng HCP ;

(2) Xcã l−íi ®ãng W HCP ;

(3) Xcã k-l−íi ®ãng HCP ;

(4) Xcã k-l−íi ®ãng W HCP ;

(5) Xcã wcs∗-l−íi ®ãng HCP ;

(6) Xcã wcs∗-l−íi ®ãng W HCP .

Báo cáo nghiên cứu khoa học: "ss-ảnh 1-phủ dãy của không gian mê"

Chủ đề:

Tài liệu liên quan

Tài liêu mới

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Hỗ trợ

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi