GV: Nguy n Th Di u ễ ị ệ Tr ng THPT Tr n Phúườ ầ
CHUYÊN :ĐỀ BI N LU N S NGH M C A PH NGỆ Ậ Ố Ệ Ủ ƯƠ
TRÌNH D A TRÊN Đ TH C A HÀM SỰ Ồ Ị Ủ Ố
Bi n lu n s nghi m c a pt theo tham s m là bài toán th ng g p trongệ ậ ố ệ ủ ố ườ ặ
ch ng trình ph thông, đ c bi t là ch ng trình toán 12. Vi c bi n lu n s tr nênươ ổ ặ ệ ươ ệ ệ ậ ẽ ở
d dàng và tr c quan h n n u chúng ta d a vào đ th , đây cũng là ng d ng quanễ ự ơ ế ự ồ ị ứ ụ
tr ng c a hàm s . chuyên đ bi n lu n s nghi m c a pt d a vào đ th c a hàm sọ ủ ố ề ệ ậ ố ệ ủ ự ồ ị ủ ố
nh m m c đích cung c p m t s ki n th c cho các em h c sinh d dàng làm vi c v iằ ụ ấ ộ ố ế ứ ọ ễ ệ ớ
d ng toán này h n. Chuyên đ g m ph ng pháp gi i toán, bài t p ví d và bài t p tạ ơ ề ồ ươ ả ậ ụ ậ ự
luy n.ệ
Bài toán : cho hàm s y= f(x) có đ th (C). D a vào đ th ( C) bi n lu n s nghi mố ồ ị ự ồ ị ệ ậ ố ệ
c a pt g(x;m) = 0 v i m là tham s .ủ ớ ố
Ph ng pháp ươ : Đ a pt g(x;m) = 0 v d ng sau:ư ề ạ
D ng 1:ạ f(x) = h (m), trong đó h(m) là m t hàm ph thu c vào tham s m.ộ ụ ộ ố
- V đ th hàm s y = f(x), tìm các giá tr c c đ i, c c ti u, giá tr c a hàmẽ ồ ị ố ị ự ạ ự ể ị ủ
s t i các đi m đ u mút c a mein62 xác đ nh c a hàm s y = f(x).ố ạ ể ầ ủ ị ủ ố
- Đ ng th ng y = h(m) di đ ng song song v i tr c hoành, d a vào s giaoườ ẳ ộ ớ ụ ự ố
di m c a đ ng th ng y = h(m) v i đ th hàm s y = f(x) đ suy ra sể ủ ườ ẳ ớ ồ ị ố ể ố
nghi m c a ph ng trình g(x;m) = 0.ệ ủ ươ
D ng 2:ạ f(x) = ax +b, trong đó a c đ nh, b thay đ i.ố ị ổ
- V đ th hàm s y = f(x).ẽ ồ ị ố
- Tìm các ti p tuy n v i đ th hàm s y = f(x) có h s góc cho tr c là a.ế ế ớ ồ ị ố ệ ố ướ
- Tìm giao đi m c a ti p tuy n v i tr c tung ( ho c tr c hoành) và giao đi mể ủ ế ế ớ ụ ặ ụ ể
c a đ ng th ng y = ax +b v i tr c tung ( ho c tr c hoành). Cho b di đ ngủ ườ ẳ ớ ụ ặ ụ ộ
trên tr c tung đ suy ra s nghi m c a pt g(x;m).ụ ể ố ệ ủ
D ng 3 :ạ f(x) = ax +b, trong đó a thay đ i, b tùy ý.ổ
- V đ th hàm s y = f(x).ẽ ồ ị ố
- Tìm đi m A(xể0,y0) là đi m c đ nh c a đ ng th ng y =ax+b.ể ố ị ủ ườ ẳ
- Vi t các pt ti p tuy n v i đ th hàm s y =f(x) đi qua A.ế ế ế ớ ồ ị ố
- Cho đ ng th ng y =ax+b xoay quanh đi m c đ nh A. T đó suy raườ ẳ ể ố ị ừ
nghi m c a pt g(x;m)=0.ệ ủ
Chú ý:
1. N u hàm s y = f(x) có mi n xác đ nh là đo n th ng [a,b] thì đ th hàm s yế ố ề ị ạ ẳ ồ ị ố
=f(x) ta ch xét ph n x ỉ ầ
[a,b].
2. M t s bài toán đ t n ph t =ộ ố ặ ẩ ụ
( )x
, v i ớ
( )x
là m t bi u th c trong pt banộ ể ứ
đ u thì:ầ
- D a vào mi n xác đ nh c a x đ tìm mi n xác đ nh c a t.ự ề ị ủ ể ề ị ủ
- V đ th hàm s y = f(t) r i làm gi ng nh trên.ẽ ồ ị ố ồ ố ư
3. Đ th hàm s ch a giá tr tuy t đ i.ồ ị ố ứ ị ệ ố
a) D ng y = |f(x)|.ạ
- V đ th ( C) c a hàm s y = f(x).ẽ ồ ị ủ ố
- L y các ph n c a ( C) phía trên tr c hoành.ấ ầ ủ ở ụ
- L y thêm ph n đ i x ng qua tr c hoành c a các ph n c a ( C) phía d iấ ầ ố ứ ụ ủ ầ ủ ướ
tr c hoành.ụ
b) D ng ạ
( )
( )
f x
yg x
=
- V đ th ( C) c a hàm s y =f(x).ẽ ồ ị ủ ố
- L y các ph n c a ( C) t ng ng v i x sao cho g(x) >0.ấ ầ ủ ươ ứ ớ
+
=
4x3
CT
CĐ
GV: Nguy n Th Di u ễ ị ệ Tr ng THPT Tr n Phúườ ầ
- L y thêm ph n đ i x ng qua tr c hoành c a các ph n c a ( C) t ng ngấ ầ ố ứ ụ ủ ầ ủ ươ ứ
v i x sao cho g(x) <0.ớ
c) D ng ạ
( )
( )
f x
yg x
=
làm t ng t nh m c b).ươ ự ư ụ
d) D ng y = f(x) + |g(x)|.ạ
Đ th g m 2 ph n:ồ ị ồ ầ
- Đ th ( C) y= f(x) + g(x) t ng ng v i x sao cho g(x) >0.ồ ị ươ ứ ớ
- Đ th ( C’) y = f(x) – g(x) t ng ng v i x sao cho g(x) <0.ồ ị ươ ứ ớ
e) D ng y = f(|x|).ạ
- V đ th ( C) c a hàm s y= f(x).ẽ ồ ị ủ ố
- L y ph n c a ( C) bên ph i tr c oy t ng ng v i x>0.ấ ầ ủ ả ụ ươ ứ ớ
- L y thêm ph n đ i x ng qua tr c oy c a ph n c a ( C) bên ph i tr c oy.ấ ầ ố ứ ụ ủ ầ ủ ả ụ
Bài t p áp d ng:ậ ụ
Bài 1: a) kh o sát và v đ th ( C) c a hàm sả ẽ ồ ị ủ ố y = 4x3 -3x.
b) Bi n lu n theo m s nghi m c a pt 4xệ ậ ố ệ ủ 3 -3x +m =0.
Gi i:ả
a) ( c) y = 4x3 -3x
•D =
ﾡ
•y’ = 12x2 -3 = 0
1
1
2
1 1
2
xy
y
x
=
= −
� �
=
= −
•y’’ = 24x = 0
x = 0
y = 0.
đi m u n O(0,0).ể ố
•
lim ;lim
x x
y y
− +
= − = +
•B ng bi n thiên:ả ế
x
−
1
2
−
1
2
+
y’ + 0 - 0 +
y
1
−
-1
Đ th :.ồ ị
+
=
4x3
CT
CĐ
GV: Nguy n Th Di u ễ ị ệ Tr ng THPT Tr n Phúườ ầ
b) 4x3 -3x +m =0. (1)
4x3 -3x = -m .
S nghi m c a pt (1) là s giao đi m c a đ th ( c) và đ ng th ng (d) y =ố ệ ủ ố ể ủ ồ ị ườ ẳ
-m, d a vào đ th ta đ c.ự ồ ị ượ
- -m>1
m<-1 => (1) có m t nghi m đ nộ ệ ơ
- -m = 1
m =-1 => (1) có nghi m kép xệ1=x2 =
1
2
. Và m t nghi m đ n xộ ệ ơ 3=
1.
- -1< - m < 1
-1< m < 1 => (1) có 3 nghi m đ n.ệ ơ
- -m < -1
m >1 => (1) có m t nghi m đ n.ộ ệ ơ
Bài 2: Cho hàm s y = f(x) = xố3 -3x+1.
a) Kh o sát và v đ th ( c) c a hàm s .ả ẽ ồ ị ủ ố
b) Bi n lu n theo k s nghi m c a pt |xệ ậ ố ệ ủ 3| -3|x| +k = 0.
Gi i:ả
•D =
ﾡ
•Y’ = 3x2-3 = 0
1 1
1 3
x y
x y
= = −
� �
� �
= − =
� �
•
lim ;lim
x x
y y
− +
= − = +
•B ng bi n thiên:ả ế
x
−
-1 1
+
y’ + 0 - 0 +
y
3
−
-1
Đ th :ồ ị
GV: Nguy n Th Di u ễ ị ệ Tr ng THPT Tr n Phúườ ầ
a) |x3| -3|x| +k = 0. (2)
|x3| -3|x| = -k
| x3| -3|x| +1 = -k +1.
S nghi m c a pt (2) là s giao đi m c a đ ng cong ( c’) y:= | xố ệ ủ ố ể ủ ườ 3| -3|x| +1
và đ ng th ng (d) y = -k +1.ườ ẳ
V đ th (c’) y:= | xẽ ồ ị 3| -3|x| +1 d a vào đ th (c) . Đ th (c’) g m 2 ph n:ự ồ ị ồ ị ồ ầ
ph n bên ph i tr c oy và ph n đ i x ng qua tr c oy c a ph n bên ph iầ ả ụ ầ ố ứ ụ ủ ầ ả
tr c oy c a ( c).ụ ủ
(d) y = -k +1. song song v i tr c hoành.ớ ụ
D a vào đ th ta đ c:ự ồ ị ượ
•1-k >1
k <0 => (2) có 2 nghi m phân bi tệ ệ
•1-k =0
k =2 => (2) có 3 nghi m.ệ
•-1< 1-k<1
0<k<2 => (2) có 4 nghi m ệ
•1-k = -1
k = 2 => (2) có 2 nghi mệ
•1-k <-1
k>2 => (2) vô nghi m.ệ
Bài 3: Cho hàm s ố
24 5
2
x x
yx
− +
=−
a) Kh o sát và v đ th ( c) c a hàm s .ả ẽ ồ ị ủ ố
b) Tìm k sao cho pt: k|x-2| = x2 – 4x +5 vô nghi m.ệ
Gi i:ả
a)
•D =
ﾡ
•
( )
2
2
4 3
'
2
x x
y
x
− +
=−
•Y’ = 0
x2 – 4x +3 = 0
1 2
3 2
x y
x y
= = −
� �
� �
= =
� �
•TC Đ : x=2
•TCX y= x-2
y= -k+1
+
+
-
C Đ CT
GV: Nguy n Th Di u ễ ị ệ Tr ng THPT Tr n Phúườ ầ
•B ng bi n thiên:ả ế
x -
1 2 3 +
y’ 0 0
y
-2
-
2
Đ th :ồ ị
b) -2| = x2 – 4x +5
24 5
2
x x k
x
− + =
−
( x= 2 không là nghi m c a pt).’ệ ủ
Đ th (c’) c a hàm s ồ ị ủ ố
24 5
2
x x
yx
− +
=−
d a vào đ th ( c), đ th (c’) g m 2 ph n,ự ồ ị ồ ị ồ ầ
ph n đ th c a ( c) v i x>2 và ph n đ i x ng c a ( c) v i x<2 qua tr c hoành.ầ ồ ị ủ ớ ầ ố ứ ủ ớ ụ
Đ ng th ng (d) : y = k song song v i tr c hoành.ườ ẳ ớ ụ
y= k