Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh
Khoa Khoa Học Ứng Dụng
.
.
ĐỀ THI GIẢI TÍCH 1 HK171
Ngày thi: 09-01-2018
Thời gian: 90 phút
Giờ thi : CA 1
Hình thức thi tự luận: Đề gồm 6 câu.
Sinh viên không được sử dụng tài liệu.
Câu 1 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y=rx3−2
x.
Câu 2 : Cho miền phẳng Dgiới hạn bởi : y≤ −x2+ 2x+ 3, y ≤x2+ 2x+ 1, y ≥1.Tính
diện tích miền D.
Câu 3 : Tìm tất cả các số thực mđể tích phân sau hội tụ : I=Z+∞
0
x+e−x−1
xm√x3+xdx.
Câu 4 : Tính tích phân sau đây:
I=Z1
0
ln(1 −x)
√1−xdx
Câu 5 : Tìm nghiệm phương trình vi phân y00 −6y0−16y= (12 −20x)e−2x, thỏa điều kiện
y(0) = −3, y0(0) = −5.
Câu 6 : Trong mạch điện có điện trở R, tụ điện với điện dung Cvà điện áp E(t), điện lượng
Qđi qua trong thời gian tthỏa mãn phương trình vi phân RdQ
dt +1
CQ=E. Tìm
điện lượng Q, đơn vị C, theo thời gian t, đơn vị s(giây), nếu biết R= 2Ω, C =
0.01F, E = 10 sin 60t(V)và Q(0) = 0. Tìm giá trị của Qsau 0.1s.
Phó chủ nhiệm bộ môn duyệt
TS. Nguyễn Bá Thi
1
ĐÁP ÁN CA 1
Câu 1: 1.5đ
y=qx3−2
x
D= (−∞,0) ∪2
√2,+∞
y0=px
x3−2(x3+ 1)
y0= 0 ⇔x=−1
x−∞ −1 0 3
√2 +∞
y0−0 + || || +
y+∞ & √3%+∞|| 0%+∞
Cực tiểu (−1,√3) :0.5đ (Không trình bày nhưng BBT đúng vẫn cho điểm).
TCĐ : x= 0, TCX trái/phải : y=±x:0.5đ,
đồ thị : 0.5đ.
Sai BBT không chấm đồ thị.
Câu 2: 2đ
S=
1
R
0
(x2+ 2x)dx +
1+√3
R
1
(−x2+ 2x+ 2)dx = 2√3 + 4
3. Mỗi tp, cận + giá trị :
0.5đ+0.5đ.
Nếu viết tp không đúng, nhưng xác định đúng miền bằng hình vẽ, cả bài 0.5đ.
Câu 3: 1đ
1
2<m<5
2. Mỗi tp đúng : 0.5đ
Câu 4: 1.5đ
I=−4, Tp từng phần + nguyên hàm + kết quả
Câu 5: 2đ
y0=C1e−2x+C2e8x0.5đ,
yr=x(Ax +B)e−2x0.5đ,
yT Q =C1e−2x+C2e8x+ (x2−x)e−2x,0.5đ
y= (x2−x−2)e−2x−e8x0.5đ
Câu 6: 2đ
eRp(t)dt =e50t0.5
QT Q(t)=5sin 60t
122 −3cos 60t
61 +Ce−50t0.5đ.
Nghiệm riêng C=3
61 0.5đ
Q(0.1) 0.5đ
2
Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh
Khoa Khoa Học Ứng Dụng
.
.
ĐỀ THI GIẢI TÍCH 1 HK171
Ngày thi: 09-01-2018
Thời gian: 90 phút
Giờ thi : CA 2
Hình thức thi tự luận: Đề gồm 6 câu.
Sinh viên không được sử dụng tài liệu.
Câu 1 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y=(3
√x3+ 3x2, x ≤0
arctan x
x+ 1 >0.
Câu 2 : Cho đường cong (C) : x=y2−4. Viết phương trình tiếp tuyến (d)của đường cong
này tại (0,2). Gọi Dlà miền phẳng giới hạn bởi đường cong (C), tiếp tuyến (d)và
trục Ox. Tính thể tích vật thể tạo ra khi (D)quay xung quanh Ox.
Câu 3 : Tìm tất cả các số thực αđể tích phân sau hội tụ : I=Z+∞
0
(x−sin x)α
x3+√xdx.
Câu 4 : Tính tích phân sau đây: I=Z+∞
0
x3+x
(x2+ 1)(x4+ 6x2+ 10)dx
Câu 5 : Tìm nghiệm x(t), y(t)của hệ phương trình vi phân (x0(t)=2x+y−5t2+ 1
y0(t) = 4y−2x+t−1
Câu 6 : Theo định luật của Newton, vận tốc nguội lạnh của một vật tỷ lệ thuận với hiệu
của nhiệt độ vật và nhiệt độ môi trường xung quanh. Hãy tìm nhiệt độ Tcủa vật
theo thời gian t, nếu biết nhiệt độ ban đầu của vật là 100oC, đặt vào phòng có
nhiệt độ 25oCvà sau 10 phút nhiệt độ của vật là 50OC. Đến khi nào nhiệt độ của
vật còn 40oC? (Lấy đơn vị thời gian là phút.)
Phó chủ nhiệm bộ môn duyệt
TS. Nguyễn Bá Thi
3
ĐÁP ÁN CA 2
Câu 1: 1.5đ
y=3
√x3+ 3x2, x ≤0
arctan x
x+1 , x > 0
y0=(x2+2x
3
√(x3+3x2)2, x < 0, x 6=−3
1
x2+(x+1)2, x > 0
x−∞ −3−2 0 +∞
y0+|| + 0 − || +
y−∞ % 0%3
√4&0%π
4
Cực đại (−2,3
√4), cưc tiểu (0,0),0.5đ (không trình bày cực đại cưc tiểu nhưng
bảng biến thiên đúng vẫn cho điểm),
TCX : y=x+ 1, TCN : y=π
40.5đ ,
đồ thị : 0.5đ.Không có BBT hoặc BBT sai, không chấm đồ thị.
Câu 2: 2đ
Pt tiếp tuyến : y=x+ 8
40.5đ
Vx=π−4
R
−8
(x+ 8)2
16 dx +π
0
R
−4(x+ 8
4)
2
−√x+ 42dx
hay Vx= 2π
2
R
0
y[(y2−4) −(4y−8)] dy,1đ
Vx=8π
30.5đ. (Nếu tính theo xvà chỉ đúng 1 tp 1đ)
Câu 3: 1đ
−1
6< α < 2. Mỗi tp đúng : 0.5đ
Câu 4: 1.5đ
I=1
2π
2−arctan 3: Đổi biến và + nguyên hàm + kết quả
Câu 5: (a) 2đ
Khử x : y00 −6y0+ 10y= 10t2−2t+ 1 0.5đ
y00.5đ,yT Q 0.5đ , công thức tính xT Q 0.5đ
Nghiệm
x=1
2(−y0+ 4y+t−1)
y=e3t(C1cos t+C2sin t)t2+t+1
2
(b) Khử y :x00 −6x0+ 10x= 20t2−9t−5
Nghiệm :
x=e3t(C1cos t+C2sin t)+2t2+3t
2
y=x0−2x+ 5t2−1
Câu 6: 2đ
Phương trình dT
dt=k(T−25) 0.5
TT Q(t) = 25 + Cekt 0.5đ,
C= 75, k =1
10 ln 1
3,0.5đ
t= 14.65 phút : 0.5đ
4