Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng Dụng
.
.
ĐỀ THI CHK181 - Môn: GIẢI TÍCH 1
Ngày thi: 07-01-2018
Thời gian: 90 phút
Ca thi : CA 1
Hình thức thi tự luận: Đề gồm 6 câu.
Sinh viên không được sử dụng tài liệu.
Câu 1 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y=x−arcsin 1−1
x.
Câu 2 : Cho miền phẳng Dgiới hạn bởi : y=√2x−x2, y =√2x, 0≤x≤1.Tính diện
tích bề mặt của vật thể tạo ra khi miền Dquay xung quanh trục Ox (Kể cả đáy).
Câu 3 : Tìm tất cả các số thực αđể tích phân sau hội tụ I=Z1
0
1
(x+ 1)√xarctan xαdx.
Câu 4 : Tính giá trị của tích phân trong câu 3 khi α=1
2.
Câu 5 : Tìm nghiệm phương trình vi phân y00 = 2e−2x−4 sin 2x+ 8 cos 2x−4y
với điều kiện đầu: y(0) = 5
4, y0(0) = 9
2.
Câu 6 : Một bể chứa 2000 lít dung dịch có 50kg muối. Người ta bơm vào bể chứa dung dịch
nước muối nồng độ 0.005kg/lít với tốc độ 10 lít/phút, đồng thời dung dịch được
đưa ra ngoài với tốc độ 12 lít/phút
a/ Hãy xác định thể tích dung dịch trong bể chứa sau tphút.
b/ Gọi y(t)là số kilogram muối còn lại trong thùng sau tphút, hãy xác định nồng
độ muối trong bể sau tphút theo tvà y(t).
c/ Chứng minh lượng muối trong bể sau tphút là nghiệm của phương trình vi
phân: y0= 0.05 −12y
2000 −2tvới điều kiện đầu y(0) = 50.
d/ Tìm y(t),từ đó tính lượng muối còn lại trong thùng sau 10 phút.
Chủ nhiệm bộ môn duyệt
TS. Nguyễn Tiến Dũng
1
ĐÁP ÁN CA 1
Câu 1 MXĐ : −1≤1−1
x≤1⇔x≥1
2
f0(x)=1−1
x√2x−1,f0(x)=0⇔x= 1 (0.25đ)
TCX : y=x−π/2. (0.25đ)
BBT (0.5đ)
x1
21 +∞
y0−0 +
y1
2+π
2&1%+∞
Đồ thị (0.5đ)
Chú ý: Không kết luận cực tiểu nhưng BBT đúng vẫn cho trọn điểm
Kết luận đúng về cực trị và TCX nhưng sai BBT hoặc không có hay sai TCX: cả
bài tối đa 0.75đ
Câu 2S1= 2πZ1
0
√2xr1 + 1
2xdx= 2π√3−1
3= 8.8874(0.25đ+0.25đ)
S2= 2πZ1
0
√2x−x2s1 + (1 −x)2
2x−x2dx= 2π= 6.2832 (0.25đ+0.25đ)(Có thể dùng
công thức hình học để tính)
S3= 2π−π=π(diện tích hình vành khăn, R1= 1, R2=√2)(0.5đ)
S= 2π√3 + 7
6= 18.2132(0.5đ)
Câu 3 TH1 : α≤0,0≤f(x)∼a
√x, x →0+: Hội tụ (0.5đ)
TH2 : α > 0,0≤f(x)∼1
x1+α
2
,Ihội tụ ⇔1 + α
2<1, α > 0⇔0≤α≤1(0.5đ)
Câu 4I=I=Z1
0
1
(x+ 1)pxarctan √xdx.
Đặt t= arctan √x⇒dx=dt
2√x(1 + x)(0.5đ)
I= 2 Zπ
4
0
dt
√t(0.5đ)= 4√t|π/4
0= 2√π(0.5đ)Chú ý: Có thể đổi biến khác nhau,
nhưng ra đến tpxđ cuối cùng ĐÚNG:(tối đa 1đ)
Câu 5 ptđt k2+ 4 = 0 ⇔k=±2i;y0=C1cos 2x+C2sin 2x(0.5đ)
yr=Ae−2x+x(Bcos 2x+Csin 2x)(0.5đ)A=1
4, B = 1, C = 2
→yT Q =C1cos 2x+C2sin 2x+1
4e−2x+xcos 2x+ 2xsin 2x(0.5đ)
Thay điều kiện đầu: C1= 1, C2= 2 (0.5đ)
Câu 6 a/ V(t) = 2000 + 10t−12t= 2000 −2t(0.25đ)
b/ Nồng độ muối sau tphút là : y(t)
V(t)(kg/lít) (0.25đ)
c/ Tốc độ thay đổi của lượng muối trong bể là y0(t)= Tốc độ muối vào - tốc độ muối
ra (0.25đ)
d/ y(t) = 10−2(1000 −t) + C∗(1000 −t)6(0.5đ)
C= 4 ∗10−17 (0.25đ)
y(10) = 47,56kg (0.5đ)
2
Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng Dụng
.
.
ĐỀ THI CHK181 - Môn: GIẢI TÍCH 1
Ngày thi: 07-01-2018
Thời gian: 90 phút
Ca thi : CA 2
Hình thức thi tự luận: Đề gồm 6 câu.
Sinh viên không được sử dụng tài liệu.
Câu 1 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y=
xe1
x, x > 0
x2
x3−1, x ≤0.
.
Câu 2 : Cho miền Dgiới hạn bởi y≥0, x2+y2≤2, x2+y2≥2y. Tính thể tích vật thể
tạo tròn xoay tạo ra khi quay miền Dquanh trục Oy
Câu 3 : Tính tích phân I=Z+∞
1
1
xq4−x2
dx.
Câu 4 : Tìm tất cả số thực α > 0để tích phân I=Z+∞
0
xα−lnα(1 + x)
(x3+ arctan x2)αdxHỘI TỤ.
Câu 5 : Giải hệ phương trình (x0(t) = −2x+ 5y+e3t
y0(t) = 2x+y+ 8e3t.
Câu 6 : Khi pha 300 lít dung dịch trong thùng để sản xuất, 1 người đã cho nhầm cả bao
10kg hóa chất. Do đó, người ta phải pha loãng dung dịch bằng cách cho nước tinh
khiết chảy vào thùng, đồng thời cho dung dịch chảy ra với cùng tốc độ 5lít /phút
liên tục đến khi lượng hóa chất trong thùng chỉ còn 5kg.
1/ Nếu gọi y(t)là số kilogram hóa chất có trong thùng sau tphút thì tỉ lệ hóa chất
trong thùng sau tphút là bao nhiêu? y(0) bằng bao nhiêu?
2/ Tốc độ thay đổi của tỉ lệ hóa chất trong thùng tại thời điểm t0là y0(t0)được
tính bằng công thức nào?
3/ Chứng minh hàm y(t)là nghiệm của phương trình vi phân y0(t) = −y
60 với điều
kiện đầu y(0) = 10. Tìm y(t)?
4/ Sau bao nhiêu phút thì lượng hóa chất trong thùng đạt yêu cầu là 5kg?
Chủ nhiệm bộ môn duyệt
TS. Nguyễn Tiến Dũng
3
ĐÁP ÁN CA 2
Câu 1: MXĐ : (−∞,+∞),gpt y0= 0 : x=−√2, x = 1(0.25đ).
TC: x= 0, y = 0, y =x+ 1(0.25d)
BBT (0.5đ)
x−∞ − 3
√2 0 1 +∞
y0−0 + k − 0 +
y0& − 3
√4
3%0|+∞ & e%+∞
Đồ thị (0.5đ)
Chú ý: Không kết luận cực tiểu nhưng BBT đúng vẫn cho trọn điểm
Kết luận đúng về cực trị và TC nhưng sai BBT: cả bài tối đa 0.75đ
Câu 2: Miền D đối xứng qua trục quay Oy do các pt chẵn với x nên chỉ cần tính nửa bên
phải, giao điểm:(0,0),(1,1),(√2,0) hoặc vẽ hình đúng (0.5d)
Vy= 2πZ1
0
x1−√1−x2dx+ 2πZ√2
1
x√2−x2dx(0.5d)=π(0.5d)
Câu 3: I=Z2
1
1
x√4−x2dx+Z+∞
2
1
x√x2−4dx(0.5d)=Z1
2
1
−dt
√4t2−1+Z0
1
2
−dt
√1−4t2(0.5đ)
I=1
2ln 2t+√4t2−1|1
1
2
+1
2arcsin 2t|
1
2
0(0.5d)=1
2ln 2 + √3+π
4≈1,444 (0.5d)
Câu 4: I=Z1
0
f(x)dx+Z+∞
1
f(x)dx=I1+I2
Khi x→0+:f∼
α
2xα+1
x2α=2
α.1
xα−1>0nên tp I1HT ↔α < 2(0.5d)
Khi x→+∞:f∼xα
x3α=1
x2α>0nên tp I2HT ↔>1
2
Vậy tp đã HT ↔1
2< α < 2(0.5d)
Câu 5: Khử 1 hàm: x00 +x0−12x= 42e3t
y00 +y0−12y= 42e3t(0.5d) →x=C1e3t+C2e−4t+ate3t
y=C1e3t+C2e−4t+ate3t
(0.5d) →x=C1e3t+C2e−4t+ 6te3t
y=C1e3t+C2e−4t+ 6te3t(0.5d)
Nghiệm pt
x=C1e3t+C2e−4t+ 6te3t
y=C1e3t−2
5C2e−4t+ 6te3t+e3thoặc
x=C1e3t−5
2C2e−4t+ 6te3t−e3t
y=C1e3t+C2e−4t+ 6te3t(0.5d)
Câu 6: 1/Tỉ lệ: y(t)
300 , y(0) = 10 (0.5d)
2/y0(t) = 0 −y
300.5(0.5d)
3/y= 10e
−t
60 (0.5d)
4/y= 5 ↔t= 60 ln 2 ≈42 (phút) (0.5d)
4