BỘ ĐỀ MEGABOOK SỐ 23 Môn: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số (C).

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi .

b) Tìm để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị của hàm số đã cho vuông góc với đường

thẳng .

Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình .

Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân .

Câu 4 (1,0 điểm). a) Tìm số phức

thỏa mãn phương trình

.

b) Cho tập hợp tất cả các số tự nhiên có năm chữ số mà các chữ số đều khác 0. Hỏi có thể lấy được

bao số tự nhiên từ tập mà số đó chỉ có mặt ba chữ số khác nhau.

Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai đường thẳng ;

là giao tuyến của hai mặt phẳng và . Mặt phẳng cắt hai

đường thẳng , lần lượt tại các điểm . Tính diện tích tam giác , biết .

Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp có đáy là hình thoi tâm , cạnh , . Trên cạnh

lấy điểm sao cho . Biết rằng hai mặt phẳng và cùng vuông góc với

mặt phẳng và mặt bên tạo với mặt đáy một góc . Tính thể tích của khối chóp

theo và cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng và

Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ . , cho đường tròn ngoại

tiếp tam giác có . Tìm tọa độ các đỉnh và biết là trực tâm của tam giác.

Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình

.

Câu 9 (1,0 điểm). Cho các số thực dương bất kỳ. Chứng minh rằng

.

..................HẾT..................

1

http://megabook.vn/

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1.a. Với , hàm số trở thành .

.

- Tập xác định: - Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: ; .

, suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng và .

, suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng .

+ Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại . Hàm số đạt cực tiểu tại .

+ Giới hạn: .

+ Bảng biến thiên

0 0

- Đồ thị: + Đồ thị hàm số cắt trục tại điểm .

+ Đồ thị hàm số nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.

+ Đồ thị hàm số đi qua các điểm .

- Vẽ đồ thị:

Câu 1.b. Ta có .

Tiếp tuyến tại điểm thuộc có hệ số góc

.

Dấu đẳng thức xảy ra khi Suy ra tại điểm

Tiếp tuyến .

.

Kết luận: Nhận xét: Dạng bài toán đường thẳng tiếp tuyến vuông góc với một đường thẳng cho trước. Ta tìm hệ sô góc của tiếp tuyến và hệ số góc của đường thẳng còn lại cho thỏa mãn tính chất vuông góc. Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

2

http://megabook.vn/

- Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm thuộc đồ thị hàm số . Hai đường là

thẳng có hệ số góc lần lượt là vuông góc với nhau khi và chỉ khi .

. Dấu bằng xảy ra . -Biểu thức Áp dụng cho bài toán :

- Tiếp tuyến tại có hệ số góc là . Suy ra hệ số góc tiếp

.

tiếp nhỏ nhất là - Tiếp tuyến vuông góc đường thẳng có hệ số góc nên theo tính chất hai đường

thẳng vuông góc ta có phương trình .

Bài toán kết thúc. Bài tập tương tự:

a. Cho hàm số . Tìm để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất vuông góc

với đường thẳng . Đáp số: .

b. Cho hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số biết tiếp tuyến vuông góc

đường thẳng . Đáp số: .

Câu 2. Điều kiện

.

Phương trình tương đương với

(do

).

.

Phương trình có nghiệm:

.

Nhận xét: Để giải phương trình lượng giác ta sử dụng công thức hạ bậc , mối quan hệ

với

,

với

thu được phương trình:

, phân tích nhân tử. Nhắc lại kiến thức và phương pháp: -Sử dụng các công thức biến đổi

.

-Do không là nghiệm của phương trình , chia 2 vế cho ta có .

-Thay có phương trình theo ẩn .

thu được , kiểm tra điều kiện ta có đáp án.

- Giải phương trình theo Bài toán kết thúc. Bài tập tương tự:

a. Giải phương trình:

.

Đáp số:

.

3

http://megabook.vn/

.(Thi thử THPT Phan Đăng b. Giải phương trình:

. Lưu). Đáp số:

Câu 3. Ta có

.

. Tính

Đặt . Khi .

Suy ra

.

Vậy .

, tuy nhiên đổi Nhận xét: Từ biểu thức dưới dấu tích phân ta có thể sử dụng ngay đổi biến số biến số ngay từ đầu sẽ dẫn tới một tích phân mới sử dụng phép chia đa thức. Để đơn giản ta sử dụng kĩ thuật phân tích đa thức cơ sở. Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

chuyển tích

- Sử dụng phân tích tử biểu thức dưới dấu tích phân ta có: phân thành 3 tích phân nhỏ.

. - Tính sử dụng công thức

. - Tính bằng sử dụng công thức

- Tính bằng phương pháp đổi biến số .

Tách thành hai tích phân . Sử dụng khai triển dạng ln tính được

.

Bài toán kết thúc. Bài tập tương tự:

a. Tính tích phân . Đáp số: .

b. Tính tích phân . Đáp số: .

Câu 4.a. Phương trình tương đương với

4

http://megabook.vn/

.

Vậy phương trình có nghiệm: Nhận xét: Bài toán giải số phức cơ bản với các phép biến đổi tương đương. Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

-Số phức .

-Khai triển biểu thức được .

thay vào biểu thức để tìm .

Lưu ý: Ta có thể đặt Bài toán kết thúc. Bài tập tương tự:

a. Tìm số phức thỏa mãn . Đáp số: .

b. Tìm số phức thỏa mãn điều kiện . Đáp số: .

Câu 4.b. Số cách chọn 3 chữ số phân biệt a, b, c từ 9 chữ số thập phân khác 0 là . Chọn 2 chữ số còn lại

từ 3 chữ số đó, có 2 trường hợp sau đây: Trường hợp 1. Cả 2 chữ số còn lại cùng bằng 1 trong 3 chữ số a, b, c: có 3 cách; mỗi hoán vị từ 5! hoán vị của 5 chữ số (chẳng hạn) a, a, a, b, c tạo ra một số tự nhiên n; nhưng cứ 3! hoán vị của các vị trí mà a, a, a

chiếm chỗ thì chỉ tạo ra cùng một số n, nên trong trường hợp này có tất cả số tự nhiên.

Trường hợp 2. Một trong 2 chữ số còn lại bằng 1 trong 3 chữ số a, b, c và chữ số kia bằng 1 chữ số khác trong 3 chữ số đó: có 3 cách; mỗi hoán vị từ 5! hoán vị của 5 chữ số (chẳng hạn) a, a, b, b, c tạo ra một số tự nhiên n; nhưng cứ 2! hoán vị của các vị trí mà a, a chiếm chỗ và 2! hoán vị của các vị trí mà b, b chiếm

chỗ thì chỉ tạo ra cùng một số n, nên trong trường hợp này có tất cả số tự nhiên.

từ 9 chữ số khác 0. Chọn 2 chữ số còn lại từ 3 chữ số đó.

có 3 cách , mỗi hoán vị của 5 chữ số

và số còn lại bằng 1 chữ số

Vậy có 150 số. Nhận xét: Bài toán tìm số các số có 5 chữ số thỏa mãn điều kiện chỉ có mặt 3 chữ số khác nhau. Để giải dạng toán này ta chia các trường hợp cụ thể, sau đó lấy tổng các trường hợp để được đáp án. Nhắc lại kiến thức và phương pháp: -Tìm số cách chọn 3 chữ số phân biệt - Trường hợp 1: Cả 2 chữ số còn lại cùng bằng 1 trong 3 chữ số tạo ra số tụ nhiên n. - Trường hợp 2 : Một trong 2 chữ số còn lại bằng một trong các chữ số khác trong 3 số đó. Bài toán kết thúc. Bài tập tương tự: a. Một tổ gồm 8 nam và 6 nữ. Cần lấy một nhóm 5 người trong đó có 2 nữ, hỏi có bao nhiêu cách chọn. Đáp số: 840. b. Với 6 chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số có các chữ số phân biệt trong đó mỗi số đều

phải có mặt số 6. Đáp số: 1630. . nên Câu 5. Vì

Do nên .

5

http://megabook.vn/

nên .

.

(đvdt).

Nhận xét: Để tính diện tích một tam giác trong không gian 3 chiều ta lập tọa độ 2 vector hai cạnh

với giải phương trình

kề nhau rồi sử dụng công thức tính diện tích. Với bài toán ta tìm các đỉnh cơ bản. Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

- Diện tích tam giác trong hệ trục tọa độ cho bởi công thức : .

- Mặt phẳng có phương trình . Thay hoành độ các điểm vào phương trình

tính được .

- Tính vector .

- Sử dụng công thức tính diện tích tam giác .

Bài toán kết thúc. Bài tập tương tự:

a. Trong hệ trục tọa độ , cho hai điểm và đường thẳng .

thuộc sao cho diện tích tam giác nhỏ nhất.

Tìm tọa độ điểm Đáp số: .

b. Trong hệ trục tọa độ , cho điểm và đường thẳng . Hãy tìm các điểm

thuộc đường thẳng sao cho tam giác đều.

Đáp số: .

Câu 6. Gọi vì , , suy ra .

Từ kẻ HK ⊥ AB , suy ra là góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai mặt phẳng

và .

. Do

đều, là đường cao. Mà

Suy ra .

6

http://megabook.vn/

Vậy

Ta có .

Mà

.

Vậy .

Nhận xét: Yếu tố hình học lớp 11 về góc giữa hai mặt phẳng , tính chất hai mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng khác được khai thác triệt để trong bài toán. Nhắc lại kiến thức và phương pháp: -Hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng .

- Gọi .

-Dựng góc tạo bởi :Kẻ .

- Tính thể tích khối chóp:Tính ,áp dụng công thức tính thể tích khối chóp .

- Tính giữa hai đường thẳng :Sử dụng phương pháp vector .

. Mặt khác

Bài toán kết thúc. Bài tập tương tự:

a. Cho hình chóp có . Tính thể tích khối chóp

và góc giữa hai măt phẳng . Đáp số: (đvtt) và

.

b. Cho hình chóp có đáy và

phẳng . Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng là tam giác vuông cân đỉnh và vuông góc với mặt trong trường hợp thể

tích khối chóp . Đáp số: .

Câu 7. Gọi là điểm đối xứng với qua tâm của .

Khi đó là hình bình hành.

Gọi là giao điểm của với .

Suy ra đường thẳng qua vuông góc với là đường thẳng có

phương trình .

7

http://megabook.vn/

Giao điểm của đường thẳng với đường tròn là hai điểm có tọa độ là nghiệm của hệ

phương trình .

Vậy và .

Nhận xét: Để giải bài toán ta cần chú ý tới tính chất đường tròn ngoại tiếp tam giác, trực tâm của tam

giác.

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

-Đường tròn ngoại tiếp tam giác có tâm là giao của 3 đường trung trực nên .

-Phương trình tổng quát đường thẳng qua nhận làm một vector pháp

tuyến: .

-Tính chất song song với các trục .

Áp dụng cho bài toán:

- Gọi là điểm đối xứng của qua tâm . Ta có là hình bình

hành. --Gọi . Vector vuông góc với vector chỉ phương của hay nhận

làm một vector pháp tuyến, suy ra phương trình .

-Tọa độ các điểm là nghiệm của hệ phương trình .

Lưu ý: Từ vector ta dẫn tới phương trình .

Bài toán kết thúc.

Bài tập tương tự:

a. Trong hệ trục tọa độ , cho hình bình hành có diện tích bằng 4. Biết và

giao điểm của hai đường chéo là thuộc đường thẳng . Tìm tọa độ đỉnh .

Đáp số: hoặc .

b. Trong hệ trục tọa độ , cho tam giác có đường phân giác từ , trung tuyến từ ,

đường cao kẻ từ phương trình lần lượt là . Tìm tọa độ các

đỉnh tam giác. Đáp số: .

Câu 8. Phương trình thứ nhất tương đương với .

8

http://megabook.vn/

Xét hàm số trên .

Ta có , suy ra là đồng biến trên ℝ.

Nhận thấy là nghiệm duy nhất của phương trình.

Thế vào phương trình thứ hai, ta được

.

Xét hàm số trên .

Ta có , suy ra là đồng biến trên ℝ.

Nhận thấy là nghiệm duy nhất của phương trình.

.

Hệ phương trình có nghiệm: .

Nhận xét: Phương pháp dùng hàm đặc trưng tìm ra mối quan hệ giữa giải hệ phương trình.

Nhắc lại kiến thức và phương pháp: -Hàm số đồng biến(nghịch biến ) trên .

- Sử dụng nhân liên hợp phương trình thứ nhất của hệ. Nhận thấy cùng dạng . Xét hàm số

. Ta có hàm đồng biến trên nên .

- Thay vào phương trình thứ hai suy ra phương trình . Tới đây thêm bớt ra hàm

đặc trưng với hàm đồng biến trên .

Giải phương trình vô tỉ cơ bản ta được nghiệm của hệ. Bài tập tương tự:

a. Giải phương trình . Đáp số: .

b. Giải hệ phương trình . Đáp số: .

c. Giải hệ phương trình . Đáp số: .

Câu 9. Bất đẳng thức tương đương

Giả sử .

 Nếu thì và .

Suy ra (điều phải chứng minh).

 Nếu thì và .

9

http://megabook.vn/

(điều phải chứng minh). Suy ra

. Nhận xét: Bài toán chứng minh bất đẳng thức sử dụng các phép so sánh của tập số thực Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

- Biến đổi bất đẳng thức đã cho, phân tích ta được .

Giả sử .

+ Nếu (Sử dụng phép so sánh cơ bản).

+ Nếu ta có . Chuyển vế ta có

.

Bài toán kết thúc. Bài tập tương tự:

a. Cho các số không âm. Chứng minh rằng

(England-1999).

b. Cho . Chứng minh rằng .

..................HẾT..................

Megabook chúc các em học tốt

Các em có thể xem thêm rất nhiều bộ đề thi hay tại Megabook.vn

http://megabook.vn/

10