Trn Vũ Trung
KTSN ðKTð – K55
1
Dãy s
Các khái nim cơ bn
Dãy vô hn
{
}
0
n
n
u
∞
=
1
là mt dãy các s
0 1 2
, , ,
u u u
…
tuân theo quy lut nào ñó.
Cùng mt dãy s có th ñưc xác ñnh bi nhiu cách, trong bài toán v dãy s, nhiu khi
ph i ñưa ñưc dãy v dng mà ta mong mun ñ gi i quy$t yêu cu ñ%t ra.
& ñây ta xét các cách xác ñnh ph( bi$n là:
- Xác ñnh b+ng công th,c s hng t(ng quát
n
c/a dãy
Thí d2: Dãy
{
}
n
u
ñưc xác ñnh bi
2 1
n
u n
= +
là dãy s t3 nhiên l4.
- Xác ñnh b+ng tính quy np (ch/ y$u là b+ng công th,c truy h5i)
Thí d2:
+ Dãy
{
}
n
u
ñưc xác ñnh bi
0
30
u=,
1
30
n n
u u
+
= +
.
+ Dãy
{
}
n
u
ñưc xác ñnh bi
0 1
1
u u
= =
,
2
2 1
n n n
u u u
+ +
=.
- Xác ñnh thông qua các phép toán c/a các dãy khác
Thí d2: Cho 2 dãy
{
}
n
u
:
1
1
u
=
,
2
1
2011
n n n
u u u
+
= +
. Dãy
{
}
v
ñưc xác ñnh bi:
01 2
1 2 3 1
n
n
n
u u
u u
v
u u u u
+
= + + + +….
Cp scng
Dãy s
{
}
n
u
ñưc g7i là c8p scng v9i công sai
0
d
≠
, n$u
1n n
u u d
+
= +
.
Tính ch8t:
0n
u u nd
= + ,
1 1
2
n n n
u u u
+ −
+ = .
Cp snhân
Dãy s
{
}
n
u
ñưc g7i là c8p snhân v9i công sai
{
}
0;1
q∉, n$u
1
n n
u u q
+
=.
Tính ch8t:
0
n
n
u u q
=,
2
1 1
n n n
u u u
+ −
=
,
1
0
1
1
n
n
k
k
q
u
q
+
=
−
=−
∑
.
Dãy ñơn ñiu
-
Dã
y
ñơ
n
ñ
i
;
u t
ă
ng (t
ă
ng ng
%
t) n
$
u
1
n n
u u
+
>
,
n
∀ ∈
ℕ
.
2
1
Trong tài li;u này, n$u nh=c ñ$n dãy s
{
}
n
u
mà không chú thích gì thêm, ta hiu ñó là dãy vô hn.
2
N$u
1
n n
u u
+
>
,
0
n n
∀ ≥
, thì ta v@n có th nói dãy
{
}
n
u
ñơn ñi;u tăng, nhưng nên nói dãy
{ }
0
n
n n
u
∞
=
ñơn ñi;u tăng, ho%c dãy ñơn ñi;u
{
}
n
u
tăng v9i
0
n n
≥
.
Trn Vũ Trung
KTSN ðKTð – K55
2
- Dãy ñơn ñi;u không gi m n$u
1
n n
u u
+
≥
,
n
∀ ∈
ℕ
.
- Dãy ñơn ñi;u gi m (gi m ng%t) n$u
1
n n
u u
+
<
,
n
∀ ∈
ℕ
.
- Dãy ñơn ñi;u không tăng n$u
1
n n
u u
+
≤
,
n
∀ ∈
ℕ
.
Gii hn ca dãy s
1. ðnh nghĩa
Dãy
{
}
n
u
g7i là có gi9i hn b+ng
L
(hi t2 v
L
) khi
n
→ ∞
, n$u
0
ε
∀ >
,
0
n
∃ ∈
ℕ
:
0n
n n u L
ε
>⇒− <
2. Phép cng tr, nhân, chia gii hn
Gi sB t5n ti lim
n
n
u a
→∞
=
; lim
n
n
v b
→∞
=
thì:
(
)
lim
n n
n
u v a b
→∞
+ = +
(
)
lim
n n
n
u v ab
→∞
=
lim
n
nn
u
a
v b
→∞
=
(
0
b
≠
)
3. So sánh hai gii hn
n n
u v
≤
,
n
∀
v
à
t
5
n
t
i lim
n
n
u a
→∞
=
; lim
n
n
v b
→∞
=
a b
⇒≤
4. Dãy ñơn ñiu, b chn thì hi t!
a)
{
}
n
u
là dã
y
ñơ
n
ñ
i
;
u t
ă
ng (không
gi
m)
và b
ch
%
n trên b
i
M
,
thì
h
i
t2
.
lim
n
n
u L M
→∞
= ≤
.
b)
{
}
n
u
là dã
y
ñơ
n
ñ
i
;
u
gi
m (không t
ă
ng)
và b
ch
%
n d
ư9
i b
i
m
,
thì
h
i
t2
.
lim
n
n
u L M
→∞
= ≥
.
5. Nguyên lí k$p
N
$
u
n n n
w u v
≤ ≤
,
n
∀
,
và
{
}
{
}
,
n n
v w
cù
ng h
i
t2
v
m
t gi
9
i
h
n lim lim
n n
n n
u v a
→∞ →∞
= =
;
thì
lim
n
n
u a
→∞
=
.
Trn Vũ Trung
KTSN ðKTð – K55
3
Bài toán (c(n) tìm công th)c s hng t*ng quát
Trong bài toán xác ñnh công th,c s hng t(ng quát c/a dãy stD công th,c truy h5i cn
ñ%c bi;t chú ý 2 phương pháp sau:
- Phương pháp sai phân
- Phương pháp lưng giác hóa
1) Phương pháp sai phân
Xét dãy
{
}
n
u
ñưc xác ñnh tD công th,c truy h5i:
1 1 2 2 0
0
n n i n n i n n i i
a u a u a u a u
+ − − + − − +
+ + + + =
…
ð tìm công th,c s hng t(ng quát, ta làm theo các bư9c:
- Gi i phương trình ñ%c trưng:
1
1 1 0
0
n n
n n
a a a a
λ λ λ
−
−
+ + + + =
…
(*).
- N$u (*) có
n
nghi;m phân bi;t
1 2
, , ,
n
λ λ λ
…
thì s hng t(ng quát c/a dãy là:
1 1 2 2
n n n
n n n
u c c c
λ λ λ
= + + +
…
trong ñó
1 2
, , ,
n
c c c
…
là các h+ng s
(có th ñưc xác ñnh n$u bi$t các s hng ñu
0 1 1
, , ,
i
u u u
−
…
)
- N$u (*) có nghi;m bi, chGng hn
1
λ
có bi
k
thì s hng t(ng quát c/a dãy là:
2 1
1 1 2 1 3 1 1 1 1
n n n k n n n
n k k k n n
u c c n c n c n c c
λ λ λ λ λ λ
−+ +
= + + + + + + +
… …
i n 1:
Dãy Fibonacci
{
}
1
n
n
F
∞
=
ñưc xác ñnh như sau:
1 2
1
u u
= =
,
2 1
n n n
u u u
+ +
= +
.
Tìm công th,c s hng t(ng quát c/a dãy.
Li gii.
Phương trình ñ%c trưng:
2
1 0
λ λ
− − =
, có 2 nghi;m
1
1 5
2
λ
+
=
và
2
1 5
2
λ
−
=.
Công th
,
c s
 h
ng t
(
ng
quá
t
c/
a
dã
y:
1 2
1 5 1 5
2 2
n n
n
F c c
+ −
= +
,
trong ñó các h+ng s
1 2
,
c c
thHa mãn:
1 1 2
2 2
2 1 2
1 5 1 5
12 2
1 5 1 5
12 2
u c c
u c c
+ −
= = +
+ −
= = +
( ) ( )
( ) ( )
1
1 2
2 2
1 2 2
1
1 5 1 5 2
5
1
1 5 1 5 2
5
c
c c
c c c
=
+ + − =
⇒ ⇒
+ + − = = −
V
y
1 1 5 1 1 5
2 2
5 5
n n
n
F
+ −
= −
.
Trn Vũ Trung
KTSN ðKTð – K55
4
i n 2:
Dãy
{
}
n
u
ñưc xác ñnh bi
0
0
u
=
,
1
1
u
=
,
2
3
u
=
và công th,c truy h5i:
1 2 3
7 11 5
n n n n
u u u u
− − −
= − + , v9i
4
n
≥
.
Tìm công th,c s hng t(ng quát c/a dãy.
Li gii.
Phương trình ñ%c trưng:
3 2
7 11 5 0
x x x
− + − =
(*)
(*) có nghi;m
1
1
x
=
bi 2, và nghi;m ñơn
2
5
x
=
. Khi ñó,
1 2 3
5
n
n
u c c n c
= + + .
Các h+ng s
1 2 3
, ,
c c c
thHa mãn:
0 1 3
1 1 2 3
2 1 2 3
0
1 5
3 2 25
u c c
u c c c
u c c c
= = +
= = + +
= = + +
Gi
i h
; ñư
c
1
1
16
c
= −
,
2
3
4
c
=
,
3
1
16
c=.
Vy
( )
1 3 1 1 3
5 5 1
16 4 16 16 4
n n
n
u n n
= − + + = − + .
Bài toán 3:
Cho dãy s
{
}
n
x
xác ñnh như sau:
0
x a
=
,
1
1
n n
x bx
+
= + ,
n
∀ ∈
ℕ
.
V9i ñiu ki;n nào c/a
,
a b
thì dãy
{
}
n
x
hi t2?
L
i gi
i.
1
1 2 1 2 1
2 1
1
( 1) 0
1
n n
n n n n n n n
n n
x bx x x bx bx x b x bx
x bx
+
+ + + + +
+ +
= +
⇒− = − ⇒− + + =
= +
.
N$u
1
b
=
thì
n
x n a
= +
,
n
∀ ∈
ℕ
, dãy không hi t2.
N$u
1
b
≠
thì
1 1
1 1
n
n
x b a
b b
= + −
− −
,
n
∀ ∈
ℕ
.
Khi ñó, dãy
{
}
n
x
hi t2 khi và chI khi ho%c 1
0
1
a
b
− =
−
ho%c
1
b
<
.
V
y,
ñ
i
u ki
;
n c
n và
ñ/
ñ
dãy
{
}
n
x
h
i t
2
là ho
%
c
1
b
<
, ho
%
c
1
1
1
b
a
b
≠
=
−
.
Bài toán 4:
Tìm t
8
t c
các hàm :f
+ +
→
ℝ ℝ
th
H
a mãn
(
)
(
)
( ) ( )
f f x af x b a b x
+ = + , x
+
∀ ∈
ℝ
. (*)
(
,
a b
là các h
+
ng s
d
ươ
ng)
L
i gi
i.
Xét dãy
{ }
0
n
n
x
∞
=
:
(
)
1
n n
x f x
+
=, v
9
i
0
x
là m
t s
th
3
c c
ñ
nh.
Trn Vũ Trung
KTSN ðKTð – K55
5
TD (*) ta có công th,c truy h5i c/a dãy:
(
)
2 1
n n n
x ax b a b x
+ +
= − + +
.
Phương trình ñ%c trưng:
(
)
2
0
x ax b a b
+ − + =
, có 2 nghi
;
m
1
x b
=
,
2
x a b
= − −
.
Công th
,
c t
(
ng quát c
/
a dãy
( )
1 2
n
n
n
x c b c a b
= + − −
,
v
9
i
1 2
,
c c
∈
ℝ
th
H
a mãn
0 1 2
x c c
= +
và
(
)
1 1 2
x c b c a b
= − +
.
Do
0
n
x
>
n
∀ ∈
ℕ
, nên
2
0
c
=
. Suy ra
0 1
x c
=
và
(
)
0 1 1 0
f x x c b bx
= = =
.
V
y
( )
f x bx
=
,
x
+
∀ ∈
ℝ
.
Bài toán 5:
Cho
cá
c s
th
3
c d
ươ
ng
,
p q
th
H
a mãn
1
p q
+ <
và dã
y s
{
}
nn
u
∈
ℕ
không âm th
H
a mãn
ñ
i
u ki
;
n
2 1
n n n
u pu qu
+ +
≤ + , v
9
i
m7
i
n
∈
ℕ
. Ch
,
ng minh r
+
ng
dã
y
{
}
nn
u
∈
ℕ
h
i
t2 và tì
m
gi
9
i
h
n
c/
a
dã
y
ñó
.
L
i gi
i.
Xé
t
dã
y
{
}
nn
v
∈
ℕ
:
0 0
v u
=
,
1 1
v u
=
,
2 1
n n n
v pv qv
+ +
= + , v
9
i
m7
i
n
∈
ℕ
.
B
+
ng quy
n
p, ta ch
,
ng minh
ñư
c
n n
u v
≤
, v
9
i
m7
i
n
∈
ℕ
.
Ta
tì
m công th
,
c s
 h
ng t
(
ng
quá
t
c/
a
dã
y
{
}
nn
v
∈
ℕ
.
Ph
ươ
ng trình
ñ%
c tr
ư
ng:
2
0
x px q
− − =
(*),
có
2 nghi
;
m:
2 2
1
4 4(1 )
(2 )
0 1
2 2 2
p p q p p q p p
x+ + + + − + −
< = < = =
,
2 1
0 1
x p x
> = − > −
.
Khi
ñó
,
1 1 2 2
n n
n
v c x c x
= +
,
mà
1 2
lim lim 0
n n
n n
x x
→∞ →∞
= =
do
2 1
1 0 1
x x
− < < < <
lim 0
n
n
v
→∞
⇒=
, mà 0
n n
u v
≤ ≤
v9i m7i
n
∈
ℕ
. Theo nguyên lí kJp,
lim 0
n
n
u
→∞
=
.
Bài toán 6:
Cho dãy s
{
}
n
x
xác ñnh như sau:
0
0
u
=
,
1
( 1)
2011
n
n
n
u
u
−
= + −
,
1
n
∀ ≥
.
Tính
2
lim
n
n
u
→∞
.
Li gii.
1
1
1
1
1
( 1)
2011
2011 2011
( 1)
2011
n
n
n
n n
n n
n
n
n
u
u
u u
u u
u
u
−
−
+
+
+
= + −
⇒+ = +
= + −
(vì
1
( 1) ( 1) 0
n n+
− + − =
).
TD ñó suy ra:
1 1
2010 1
0
2011 2011
n n n
u u u
+ −
+ − =
.
Phương trình ñ%c trưng:
2
2010 1
0
2011 2011
x x
+ − =
, có 2 nghi;m
1
1
x
= −
và
2
1
2011
x=.