CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6
1 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN
CHUYÊN ĐỀ.BỘI CHUNG-ƯỚC CHUNG
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I. Ước và bội
1) Định nghĩa về ước và bội
Ước: Sốtựnhiên
0
d
đượcgọilàướccủasốtựnhiênakhivàchỉkhiachiahếtchod . Tanóid
làướccủaa.
Nhận xét: TậphợpcácướccủaalàƯ
: |
a d N d a
Bội: Sốtựnhiênm đượcgọilàbộicủa
0
a
khivàchỉkhimchiahếtcho ahayalàmộtướcsố
m.
Nhận xét: Tậphợpcácbộicủaa
0
a
là
0; ; 2 ;...; ,
B a a a ka k Z
2) Tính chất:
- Số0làbộicủamọisốnguyênkhác0.Số0khôngphảilàướccủabấtkìsốnguyênnào.
-Cácsố1và-1làướccủamọisốnguyên.
- NếuƯ
1;
a a
thìalàsốnguyêntố.
-Sốlượngcácướccủamộtsố:Nếudạngphântíchrathừasốnguyêntốcủamộtsốtựnhiên
A
là
. .
x y z
a b c
…thìsốlượngcácướccủa
A
bằng
1 1 1
x y z
…
Thậtvậyướccủa
A
làsốcódạng
mnp
…trongđó:
m
có
1
x
cáchchọn(là 2
1, , , ,
x
a a a
)
n
có
1
y
cáchchọn(là 2
1, , , ,
y
b b b
)
p
có
1
z
cáchchọn(là 2
1, , , ,
z
c c c
),…
Dođó,sốlượngcácướccủa
A
bằng
1 1 1
x y z
II. Ước chung và bội chung
1) Định nghĩa
Ước chung (ƯC): NếuhaitậphợpƯ(a)vàƯ(b)cónhữngphầntửchungthìnhữngphầntửđógọi
làướcsốchungcủaa vàb.KíhiệuƯC(a;b)
CHUYÊN ĐỀ :BỘI CHUNG –ƯỚC CHUNG
2
Nhận xét: NếuƯC
; 1
a b
thìa và b nguyêntốcùngnhau.
Ước chung lớn nhất (ƯCLN): Số
d N
đượcgọilàướcsốchunglớnnhấtcủa a vàb
;
a b Z
khi d là phần tử lớn nhất trongtậphợp ƯC(a; b). Kí hiệu ước chung lớn nhất của avàb là
ƯCLN(a; b)hoặc(a;b)hoặcgcd(a;b).
Bội chung (BC): NếuhaitậphợpB(a)vàB(b)cónhữngphầntửchungthìnhữngphầntửđógọi
làbộisốchungcủaa vàb.KíhiệuBC(a;b)
Bội chung nhỏ nhất (BCNN): Số
0
m
đượcgọilàbộichungnhỏnhấtcủa a vàb khi m làsố
nhỏnhấtkhác0trongtậphợpBC(a;b).Kíhiệubộichungnhỏnhấtcủa avàb làBCNN(a; b)
hoặc
;
a b
hoặclcm(a;b).
2) Cách tìm ƯCLN và BCNN
a)MuốntìnƯCLNcủahaihaynhiềusốlớnhơn1,tathựchiệncácbướcsau:
1.Phântíchmỗisốrathừasốnguyêntố
2.-Chọnracácthừasốnguyêntốchung
3.-Lậptíchcácthừasốđãchọn,mỗithừasốlấyvớisốmũnhỏnhấtcủanó
TíchđólàƯCLNphảitìm.
Ví dụ: 2
30 2.3.5, 20 2 .5
ƯCLN(30;20)
2.5 10.
Chú ý :
-NếucácsốđãchokhôngcóthừasốnguyêntốchungthìƯCLNcủachúnglà1.
-HaihaynhiềusốcóƯCLNlà1gọilàcácsốnguyêntốcùngnhau.
-Trongcácsốđãcho,nếusốnhỏnhấtlàướccácsốcònlạithìƯCLNcủacácsốđãchochínhlàsố
nhỏnhấtấy.
b)MuốntìmBCNNcủahaihaynhiềusốlớnhơn1,tathựchiệnbabướcsau:
1-Phântíchmỗisốrathừasốnguyêntố.
2-Chọnracácthừasốnguyêntốchungvàriêng.
3-Lậptíchcácthừasốđãchọn,mỗithừasốlấyvớisốmũlớnnhấtcủachúng
TíchđólàBCNNphảitìm.
Ví dụ: 2
30 2.3.5, 20 2 .5
BCNN(30;20) 2
2 .3.5 60
Chú ý:
-NếucácsốđãchotừngđôimộtnguyêntốcùngnhauthìBCNNcủachúnglàtíchcácsốđó.Vídụ
:BCNN(5;7;8)=5.7.8=280
-Trongcácsốđãcho,nếusốlớnnhấtlàbộicủacácsốcònlạithìBCNNcủacácsốđãchochínhlà
sốlớnnhấtđó.Vídụ:BCNN(12;16;48)=48
CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6
3 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN
3) Tính chất
Một số tính chất của ước chung lớn nhất:
●Nếu
1 2
; ;...; 1
n
a a a
thìtanóicácsố 1 2
; ;...;
n
a a a
nguyêntốcùngnhau.
●Nếu
; 1, , , 1;2;....;
m k
a a m k m k n
thìtanóicácsố 1 2
; ;...;
n
a a a
đôimộtnguyêntố
cùngnhau.
●
c
ƯC(a; b) thì
;
; .
a b
a b
c c c
●
; ; 1.
a b
d a b d d
●
; ; .
ca cb c a b
●
; 1
a b
và
; 1
a c
thì
; 1
a bc
●
; ; ; ;
a b c a b c
●Cho
0
a b
-Nếu
.
a b q
thì
; .
a b b
-Nếu
0
a bq r r
thì
; ; .
a b b r
Một số tính chất của bội chung nhỏ nhất:
●Nếu
;
a b M
thì
; 1.
M M
a b
●
; ; ; ;
a b c a b c
●
, , ;
ka kb k a b
●
; . ; .
a b a b a b
4) Thuật toán Euclid trong việc tính nhanh ƯCLN và BCNN
“Thuật toán Euclid”làmộttrongnhữngthuậttoáncổnhấtđượcbiếtđến,
từthờiHyLạpcổđại,sauđóđượcEuclid(ơ–clit)hệthốngvàpháttriển
nênthuậttoánmangtênông.Vềsốhọc,“ThuậttoánEuclid”làmộtthuật
toánđểxácđịnhướcsốchunglớnnhất(GCD–GreatestCommonDivisor)
của2phầntửthuộcvùngEuclid(vídụ:cácsốnguyên).KhicóƯCLNta
cũngtínhnhanhđượcBCNN.Thuậttoánnàykhôngyêucầuviệcphântích
thànhthừasố2sốnguyên.
Thuật toán Oclit–dùng để tìm ƯCLN của 2 số nguyên bất kỳ.
CHUYÊN ĐỀ :BỘI CHUNG –ƯỚC CHUNG
4
ĐểtìmƯCLNcủahaisốnguyênavàbbấtkỳtadùngcáchchialiêntiếphaycòngọilà“vònglặp”
nhưsau:
Bước 1:Lấyachiachob:
NếuachiahếtchobthìƯCLN(a,b)=b.
Nếuakhôngchiahếtchob(dưr)thìlàmtiếpbước2.
Bước 2:Lấybchiachosốdưr:
NếubchiahếtchorthìƯCLN(a,b)=r
Nếubchiardư
1
r
( 1
0
r
)thìlàmtiếpbước3.
Bước 3:Lấyrchiachosốdư
1
r
:
Nếurchiacho
1
r
dư0thìƯCLN(a,b)=
1
r
Nếurchia
1
r
dư
2
r
( 1
0
r
)thìlàmtiếpbước4.
Bước 4:Lấy
1
r
chiachosốdư
2
r
:
Nếu
1
r
chiahếtcho
2
r
thìƯCLN(a,b)=
2
r
.
Nếu
1
r
chocho
2
r
dư
3
r
( 3
0
r
)thìlàmtiếpnhư
trênđếnkhisốdưbằng0.
Số dư cuối cùng khác 0 trong dãy chia liên tiếp
như trên là ƯCLN (a,b).
Ví dụ: Tínhướcsốchunglớnnhấtcủa91và287.
Trướchếtlấy287(sốlớnhơntrong2số)chiacho91:
287=91.3+14(91và14sẽđượcdùngchovònglặpkế)
TheothuậttoánEuclid,tacóƯCLN(91,287)=ƯCLN(91,14).
SuyrabàitoántrởthànhtìmƯCLN(91,14).Lặplạiquytrìnhtrênchođếnkhiphépchiakhôngcòn
sốdưnhưsau:
91=14.6+7(14và7sẽđượcdùngchovònglặpkế)
14=7.2(khôngcònsốdưsuyrakết thúc,nhận7làmkếtquả)
Thậtvậy:7=ƯCLN(14,7)=ƯCLN(91,14)=ƯCLN(287,91)
CuốicùngƯCLN(287,91)=7
Tính BCNN nhanh nhất
ĐểviệcgiảitoánvềBCNNvàƯCLNđượcnhanh,Nếubiếtápdụng“Thuật toán Euclid”:
a
b
b
1
r
q
1
r
2
r
1
q
3
r
2
q
……..

1
n
r
(a,b)
0
n
q
n
r
CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6
5 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN
Biếtrằng:haisốnguyêna,bcóBCNNlà[a,b]vàƯCLNlà(a,b)thì
. .
. , . , , , ,
, ,
a b a b
a b a b a b a b a b
a b a b
Nghĩalà:Tích2sốnguyên
.
a b
ƯCLN(a,b)xBCNN(a,b)
Ví dụ: cóa=12;b=18suyraƯCLN(12,18)=6thì:
BCNN(12,18)=(12x18):6=36
Nếulàmtheocáchphântichthừasốnguyêntốthìphảitính:
12=22x3;18=2x32suyraBCNN(12,18)=22x32=36
Nhận xét: Vớicặpsốnguyêncónhiềuchữsốthìviệcphântíchrathừasốnguyêntốmấtnhiều
thờigian;trongkhilấytíchsốcóthểbấmmáytínhcầmtaykhánhanhvàdễhơn.
5) Phân số tối giản
a
b
làphânsốtốigiảikhivàchỉkhi
, 1.
a b
Tính chất:
i) Mọiphânsốkhác0đềucóthểđưavềphânsốtốigiản.
ii) Dạngtốigiảncủamộtphânsốlàduynhất.
iii) Tổng(hiệu)củamộtsốnguyênvàmộtphânsốtốigiảnlàmộtphânsốtốigiản.
B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Các bài toán liên quan tới số ước của một số
* Cơ sở phương pháp: Nếudạngphântíchrathừasốnguyêntốcủamộtsốtựnhiên
A
là
. .
x y z
a b c
…thìsốlượngcácướccủa
A
bằng
1 1 1
x y z
…
Thậtvậyướccủa
A
làsốcódạng
mnp
…trongđó:
m
có
1
x
cáchchọn(là 2
1, , , ,
x
a a a
)
n
có
1
y
cáchchọn(là 2
1, , , ,
y
b b b
)
p
có
1
z
cáchchọn(là 2
1, , , ,
z
c c c
),…