CHUYÊN ĐỀ.THỰC HIỆN DÃY TÍNH – TÍNH NHANH
A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Với bài toán thực hiện phép tính trong các kì thi học sinh giỏi, đòi hỏi học sinh phải nhanh nhạy trong
việc phối hợp nhiều phép tinh như: phép tính lũy thừa, phép tính cộng trừ các phân số, tối giản phân số,
rồi tính tổng theo quy luật…thứ tự thực hiện phép tính
KIẾN THỨC BỔ TRỢ:
1/ Công thức tính lũy thừa của số tự nhiên:
am.an=am+n (a.b)m=am.bm (am)n=am.n
mm
n
a a
b 0
b b
hay(a:b)m=am:bm
2/ Một số công thức đặt thừa số chung
a.b+a.c+a.d+…..+a.k=a.(b+c+d+…+k)
1 2 n 1 2 n
a a a 1 1 1
... a. ...
x x x x x x
4/ Một số công thức tính tổng.
a) Tổng các số hạng cách đều: S = a1 + a2 + a3 + …. + an (1)
Với a2 – a1 = a3 – a2 = … = an – an-1=d (cácsốhạngcáchđều)
Sốsốhạngtrongtổnglà n =
n 1
a a : d 1
a1làsốhạngthứnhất
anlàsốhạngthứn
Tổng S = n.(a1 + an) : 2
Sốhạngthứncủadãylàan = a1 + (n – 1).d
b) Tổng có dạng: S = 1 + a + a2 + a3 + ….+ an (2)
B1:Nhânvàohaivếcủađẳngthứcvớisốatađược.
a.S=a+a2+a3+a4+….+an+1 (3)
B2:Lấy(3)trừ(2)vếtheovếđược:
a.S–S=an+1–1=>
n 1
a 1
S
a 1
c) Tổng có dạng: S = 1 + a2 + a4 + a6 + ….+ a2n (4)
B1:Nhânvàohaivếcủađẳngthứcvớisốa2tađược.
a2.S=a2+a4+a6+a8+….+a2n+2 (5)
B2:Lấy(5)trừ(4)vếtheovếđược:
a2.S–S=a2n+2–1=>
2n 2
2
a 1
S
a 1
d) Tổng có dạng: S = a + a3 + a5 + a7 + ….+ a2n + 1 (6)
B1:Nhânvàohaivếcủađẳngthứcvớisốa2tađược.
a2.S=a3+a5+a7+a9+….+a2n+3 (7)
B2:Lấy(7)trừ(6)vếtheovếđược:
a2.S–S=a2n+3–a=>
2n 2
2
a a
S
a 1
d) Tổng có dạng: S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ….+ (n – 1). n (8)
Vìkhoảngcáchgiữa2thừasốtrongmỗisốhạngbằng1
=>Nhânvàohaivếcủađẳngthức(8)với3lầnkhoảngcách(nhânvới3)tađược.
3.S=1.2.3+2.3.3+3.4.3+4.5.3+….+(n–2).(n–1).3+(n-1).n.3
=1.2.3+2.3.(4–1)+3.4.(5–2)+….+(n–2).(n–1).[n–(n–3)]
+(n-1).n.[(n+1)–(n–2)]
=(n–1).n.(n+1)
n – 1 .n. n 1
S
3
e) Tổng có dạng: P = 12 + 22 + 32 + 42 + … + n2 (9)
Ápdụngcôngthứctổng(8)là:S=1.2+2.3+3.4+4.5+….+n(n+1)
S=1.(1+1)+2(2+1)+3(3+1)+4(4+1)+…+n(n+1)
=(12+22+32+42+…+n2)+(1+2+3+….+n)
=P+(1+2+3+….+n)
P=S-(1+2+3+….+n)
Trongđótheo(8)thìS=
n. n+1 n 2
3
Theo(1)thì(1+2+3+….+n)=
n(n 1)
2
P=
n(n 1) 2n 1
6
f) Tổng có dạng: S = 12 + 32 + 52 + …+ (k - 1)2 (10) với k chẵn và k ∈ N
ÁpdụngtổngA=1.2+2.3+3.4+4.5+….+(k-2)(k-1)+(k–1).k
=0.1+1.2+2.3+3.4+4.5+….+(k-2)(k-1)+(k–1).k
=1(0+2)+3(2+4)+5(4+6)+…+(k–1).[(k–2)+k]
=1.2+3.6+5.10+…+(k-1).(2k–2)
=1.1.2+3.3.2+5.5.2+…+(k–1).(k–1).2
=2.[12+32+52+….+(k–1)2]
=2.S
S=
A
2
màtheo(8)thìtổng
k – 1 .k. k 1
A
3
=>S=
k – 1 .k. k 1
6
g) Tổng có dạng: S = a1.a2 + a2.a3 + a3.a4 + a4.a5 + ….+ an-1. an (11)
* Với a2 – a1 = a3 – a2 = ….= an - an-1 = 2
S = a1.(a1 + 2) + a2. (a2 + 2) + a3. (a3 + 2) + a4. (a4 + 2) + ….+ an-1. (an - 1 + 2)
=
2 2 2 2
1 2 3 n 1 1 2 3 n 1
a a a ... a 2 a a a ... a
= S1 + k. S2
TrongđótổngS1=
2 2 2 2
1 2 3 n 1
a a a ... a
S2=
1 2 3 n 1
a a a ... a
*Với a2 – a1 = a3 – a2 = ….= an - an-1 = k > 2
Nhâncảhaivếvới3k,rồitách3kởmỗisốhạngđểtạothànhcácsốhạngmớitựtriệttiêu.
h) Tổng có dạng: S =
1 2 2 3 3 4 n 1 n
1 1 1 1
...
a a a a a a a a
(12)
* Với a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = … = an – an-1 = 1thì:
S =
1 2 2 3 3 4 n 1 n 1 n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
...
a a a a a a a a a a
* Với a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = … = an – an-1 = k > 1 thì:
S=
1 2 2 3 3 4 n 1 n 1 n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
...
k a a a a a a a a k a a
B.BÀI TOÁN TỰ LUYỆN
Bài 1.
Tínhtổng:
27.4500 135.550.2
S
2 4 6 ... 18
Bài 2.
Tính:
101 100 99 98 .... 3 2 1
a)A
101 100 99 98 .... 3 2 1
423134.846267 423133
b)B
423133.846267 423134
Bài 3.
Kếtquảcủaphéptính
1 2 3 4 5 6 ..... 99 100
bằng:
A. 50 B.
50
C.
100
D.0
Bài 4.
Tínhtỉsố
A
,
B
biết:
1 1 1 1 1 1 1 1 1
A ;B
3.8 8.13 13.18 18.21 3.7 7.11 11.15 15.19 19.23
A.
A 5
B 4
B. A
1
B
C.
A 4
B 5
D. A
20.
B
Bài 5.
Tínhhợplý
100 50 100 50
a)53.81 47.14 81.47 14.53 b) 1 2 5 2 11 5
36 40 34
2016 2017 2016
2017 2017 2016
30 4 5 5
6 . 50.5 10.5
20162016 2017 2016 2016 .2017
c) d)
20172017 2017 2017 2017 .2016
30 .10 . 100.15 4.3
Bài 6.
Chobiểuthức
2017 2018
2 2016
5.4 4 1
A
1 4 4 ..... 4
.ChứngtỏrằngbiểuthứcAcógiátrịlàmộtsốnguyên.
Bài 7.
Khôngquyđồnghãytínhtổngsau:
111111
A
20 30 42 56 72 90

Bài 8.
Tínhgiátrịcácbiểuthứcsau:
a)A 68.74 27.68 68
3 3 8 6 0
b)B 2 .5 3 539 639 8. 7 : 7 2017
9
10
151515 17 1500 1616
c)C
161616 17 1600 1717
2 2 2 2
1 1 1 1
d)D 1 1 1 ....... 1
2 3 4 100
Bài 9.
Tính:
1 2 3 92 1 1 1 1
92 .... : .....
9 10 11 100 45 50 55 500
Bài 10.
Thựchiệnphéptính
a)
9 6 14
2 2 2 2 4
28 18 29 18
5. 2 .3 . 2 2. 2 .3 .3
A
5.2 .3 7.2 .3

b)
12 12 12 5 5 5
12 5
158158158
7 289 85 13 169 91
B 81. : .
4 4 4 6 6 6
711711711
4 6
7 289 85 13 169 91
Bài 11.
Cho
2 3 4 2012
1 3 3 3 3 3
A .....
2 2 2 2 2 2
và
2013
3
B : 2
2
TínhB - A
Bài 12.
Tínhgiátrịcácbiểuthứcsau:
2 3 4 2010 2011
a)A 1 . 1 . 1 . 1 ...... 1 . 1
131313 131313 131313
b)B 70.
565656 727272 909090
2a 3b 4c 5d
c)C
3b 4c 5d 2a
biết
2a 3b 4c 5d
3b 4c 5d 2a
Bài 13.
1.ThựchiệntínhAbằngcáchhợplýnhất:
2010.2011 1005
A
2010.2010 1005
2.Thựchiệnphéptính:
2 2 2
B 33 1 1 ...... 1
3 5 99
Bài 14.
Tínhgiátrịbiểuthứcsau:
1 1 1
a)4 . 12 5
7 6 7
b) 2 4 6 8 .... 2014 3 5 7 9 ..... 2011
1 1 1 1 1
c) 1 1 1 1 ....... 1
3 6 10 15 780
Bài 15.
Thựchiệncácphéptínhsaumộtcáchhợplý:
2 2 2 2 2
a) 10 11 12 : 13 14
2
b)1.2.3...9 1.2.3....8 1.2.3....7.8
2
16
13 11 9
3.4.2
c)
11.2 .4 16