TRƯƠNG THPT LÊ XOAY – VĨNH PHÚC
CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Tác giả: Hoàng Đức Trường TPCM tổ Toán – Tin Giáo viên trường THPT Lê Xoay Đối tượng học sinh: Lớp 12, Ôn thi ĐH – CĐ Số tiết dự kiến:10T trên lớp + 10T tự học
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Bài toán tính thể tích khối đa diện là một bài toán cơ bản trong chương trình hình học lớp 12 và xuất hiện thường xuyên trong các đề thi tốt nghiệp THPT và thi Đại học. Tuy nhiên để giải bài toán này thường dùng các kiến thức về hình học không gian nên các em học sinh thường ngại và lúng túng khi bắt đầu giải quyết. Chuyên đề này nhằm ôn tập cho các em học sinh các kiến thức cơ bản của hình học không gian và các dạng toán cơ bản về bài toán tính thể tích khối đa diện. B. NỘI DUNG ÔN TẬP CƠ BẢN
Các hệ thức trong tam giác 1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông : cho vuông ở A ta có :
a. Định lý Pitago :
b. c. AB. AC = BC. AH
d.
e. BC = 2AM
f.
g. b = a. sinB = a.cosC, c = a. sinC = a.cosB, a = ,
b = c. tanB = c.cot C .2. Hệ thức lượng trong tam giác thường: * Định lý hàm số Côsin: a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA
* Định lý hàm số Sin:
3. Các công thức tính diện tích. a. Công thức tính diện tích tam giác:
a.ha
với
b. Công thức về đường trung tuyến
Các tính chất hình học không gian quan trọng.
Hoàng Đức Trường truongmath@thptlexoay.edu.vn
1
TRƯƠNG THPT LÊ XOAY – VĨNH PHÚC
1. Nếu A, B, C là ba điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt thì A, B, C thẳng
hàng. 2. Ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó song song hoặc đồng quy. 3. Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) thì mọi mặt phẳng (Q) qua d nếu cắt mp(P) thì sẽ cắt theo giao tuyến song song với d. 4. Hai đường thẳng chéo nhau có duy nhất cặp mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó và song song với nhau. 5. Nếu đường thẳng d vuông góc với mp(P) thì d vuông góc với mọi đường thẳng trên mp(P). 6. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mp(P) thì d vuông góc với mp(P). Hệ quả : Một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của tam giác thì
vuông góc với cạnh còn lại. .
7. Định lý ba đường vuông góc : Cho mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a. Khi dó đường thằng d vuông góc với a khi và chỉ khi d vuông góc với hình chiếu của a trên (P). 8. Nếu đường thẳng d vuông góc với mp(P) thì mọi mặt phẳng chứa d đều vuông góc với mp(P). 9. Nếu mp(P) vuông góc với (Q) và A nằm trên (P). Khi đó đường thẳng qua A vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) sẽ vuông góc với mp(Q). 10. Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của
chúng (nếu có) cũng vuông góc với mặt phẳng đó.
Hoàng Đức Trường truongmath@thptlexoay.edu.vn
2
TRƯƠNG THPT LÊ XOAY – VĨNH PHÚC
C. PHƯƠNG PHÁP
I. Phương pháp tính trực tiếp Ở phương pháp này ta thường áp dụng các công thức trực tiếp tính thể tích các khối đa diện cơ bản. Cụ thể ta có :
V= B.h
1. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: với B là diện tích đáy và h là độ dài đường cao lăng trụ.
a) Thể tích khối hộp chữ nhật:
V = a.b.c với a,b,c là ba kích thước b) Thể tích khối lập phương:
V = a3 với a là độ dài cạnh
2. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP:
V= Bh
với
Việc áp dụng phương pháp này thường dẫn đến bài toán tính khoảng cách hoặc góc.
1. Bài toán tính khoảng cách
Một số khoảng cách từ một số đối tượng trong không gian.
1. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng , đến 1 mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng a ( hoặc trên mp(P))
d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH 2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(P) song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mp(P). d(a;(P)) = OH
Hoàng Đức Trường truongmath@thptlexoay.edu.vn
3
TRƯƠNG THPT LÊ XOAY – VĨNH PHÚC
3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. d((P);(Q)) = OH
4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
d(a;b) = AB Ngoài ra a, b chéo nhau nên có mp(P) chứa a, mp(Q) chứa b và (P)//(Q). Do đó d(a;b)=d(a,(Q))=d(b,(P))=d((P);(Q))
Khi tính khoảng cách giữa các dối tượng ta thường quy về khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng hay đường thẳng. Do đó để thuận tiện ta sẽ sử dụng kết quả của hai bài toán sau: Bài toán 1: Cho mặt phẳng (P) và ba điểm A,B, C thẳng hàng, trong đó .
Chứng minh rằng .
Chứng minh. Gọi A’, B’ là hình chiếu vuông góc của A và B lên (P). Khi đó
. Từ đó suy ra . Suy ra đpcm.
Bài toán 2: Cho hình chóp OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng: 1. AH mp(ABC)
2.
Chứng minh: Đây là bài toán cơ bản nên học sinh có thể tự chứng minh được.
Nhận xét: Với Bài toán 1, ta có thể thay thế việc tính khoảng cách từ một điểm nào đó đến một đường thẳng hay mặt phẳng bằng một điểm khác dễ tính hơn.
Với Bài toán 2 ta có thể tính nhanh khoảng cách từ một điểm nào đó tới một mặt phẳng thông qua ba tia vuông góc với nhau đôi một có gốc từ điểm đó. Chẳng hạn ta xét các ví dụ:
Ví dụ 1. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với đáy và SA= . Gọi M là trung điểm BC và G là trọng tâm tam giác SCD. Tính khoảng cách từ M tới mp(SBD); từ G tới mp(ABCD) và mp(SAC). Giải:
Hoàng Đức Trường truongmath@thptlexoay.edu.vn
4
TRƯƠNG THPT LÊ XOAY – VĨNH PHÚC
Ta có
. Mà dễ thấy .
Do đó = .
Gọi N là trung điểm CD suy ra .
Tương tự .
Ví dụ 2. Cho hình chóp tứ giác đều cạnh đáy bằng a và chiều cao . Gọi E là điểm
đối xứng với D qua trung điểm SA. M, N lần lượt là trung điểm AE và BC. Tính khoảng cách từ M tới mp(SAD) và khoảng cáchd giữa MN và AC. Giải.
Dễ thấy d(M,(SAD))=2d(O,(SAD)), với O là tâm của ABCD. Đặt
Do đó d(O,(SAD))=h thì
d(M,(SAD))= .
Gọi P là trung điểm AB và H là giao của MP với BD. Suy ra (MNP)//(SAC) nên
.
Ví dụ 3. Cho hình hộp chữ nhật có Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm BC, CC’ và A’D’. Tính khoảng cách từ M tới mp(A’BD) và khoảng cách từ A tới mp(MNP). Giải:
Gọi E là trung điểm CD và I là giao điểm của ME với AC. O là tâm của ABCD. Ta có (do ME//BD). Mà AO = 2OI suy ra
Theo bài toán 2 thì
Do đó
Gọi K là tâm của hình hộp thì MP đi qua K. Do đó gọi Q, R, S lần lượt là trung điểm AA’, AB, C’D’ thì MNSPQR chính là thiết diện của hình hộp cắt bởi (MNP). Do đó
CF = a/2, CM=b/2, Gọi F là giao của MR và CD thì ta có ra CN=c/2 suy
2. Bài toán tính góc. Hoàng Đức Trường truongmath@thptlexoay.edu.vn
5
TRƯƠNG THPT LÊ XOAY – VĨNH PHÚC
Các khái niệm về góc giữa các đối tượng trong không gian i. Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt cùng phương với a và b.
ii. Góc giữa đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) là góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên mp(P). Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mp(P) là 900.
iii. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng nằm trong 2 mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến tại 1 điểm
Chú ý: Khi xác định góc giữa các đối tượng thì học sinh thường lúng túng trong việc xác định góc giữa hai mặt phẳng. Để xác định góc gữa hai mặt phẳng ta có thể làm theo hai cách:
Hoàng Đức Trường truongmath@thptlexoay.edu.vn
6
TRƯƠNG THPT LÊ XOAY – VĨNH PHÚC
Cách 1: Trên (P) hoặc (Q) có sẵn (hoặc dễ dàng tìm được) một điểm mà có thể xác định được hình chiếu trên mặt phẳng còn lại.
B1: Xác định giao tuyến d của (P) và (Q) (thông thường là đã có sẵn) B2: Chọn một điểm A trên (Q) và xác định hình chiếu H của A lên (P). B3:Từ H kẻ HB vuông góc với d ( ) thì góc giữa hai mặt phẳng là .
Cách 2: Từ một điểm nào đó trên giao tuyến của hai mặt phẳng ta kẻ hai đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến và nằm trên hai mặt phẳng. Góc giữa hai đường thẳng đó là góc giữa hai mặt phẳng. 3. Thể tích khối lăng trụ
a. Thể tích khối lăng trụ đứng
Lăng trụ này có đường cao chính là cạnh bên của nó. Do vậy việc tính thể tích của lăng trụ đứng ta cần phải tính được cạnh bên và diện tích đáy.
và biết A'B = 3a. Tính thể tích khối lăng trụ.
Ví dụ 1: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh BC = a Lời giải: Ta có ABC A'B'C' là lăng trụ đứng vuông cân tại A nên AB = AC = a
Vậy V = B.h = SABC .AA' = Ví dụ 2:(ĐHD08) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân tại B và AB = a. Biết AA’ = , M là trung điểm BC. Tính thể tích khối lăng trụ và khoảng cách giữa AM và B’C. Lời giải:
- VABC.A’B’C’ = BB’.SABC =
- Gọi K là trung điểm BB’ thì B’C//MK nên d(AM,B’C) = d(C,mp(AMK))=d(B,(AMK))=h.
. Mà VB.AMK =
Lại có nên
Suy ra .
Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a = 4 và biết diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ. Lời giải: Gọi I là trung điểm BC .Ta có Hoàng Đức Trường truongmath@thptlexoay.edu.vn
7
TRƯƠNG THPT LÊ XOAY – VĨNH PHÚC
ABC đều nên
.
Vậy : VABC.A’B’C’ = SABC .AA'= Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng 600 . Đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ. Tính thể tích hình hộp . Lời giải: Ta có tam giác ABD đều nên : BD = a
và SABCD = 2SABD =
Theo đề bài BD' = AC =
Vậy V = SABCD.DD' =
Ví dụ 5:(ĐHB10). Cho lăng trụ tam giác đều ABC A'B'C' có AB = a, biết góc gữa hai mp(A’BC) và (ABC) là 600. Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính thể tích lăng trụ và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC. Lời giải: - Gọi M là trung điểm BC thì , suy ra Do đó
- Gọi G’ là trọng tâm ABC thì GG’//AA’. Trong mp(AMA’) gọi O là giao của đường trung trực AG với GG’.
Ta có bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện G.ABC là R = OA và .
Ví dụ 6: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A = 60 o biết BC' hợp với (AA'C'C) một góc 300. Tính AC' và thể tích với AC = a , lăng trụ. Lời giải:
.
Ta có: nên AC' là hình chiếu của BC' trên (AA'C'C). Hoàng Đức Trường truongmath@thptlexoay.edu.vn
8
TRƯƠNG THPT LÊ XOAY – VĨNH PHÚC
Vậy góc[BC';(AA"C"C)] =
= 30o
V =B.h = SABC.AA'
là nửa tam giác đều nên
Vậy V =
Bài tập luyện tập Bài 1: Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều biết rằng tất cả các cạnh của lăng trụ bằng a. Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của lăng trụ.
ĐS: ; S = 3a2
Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là tứ giác đều cạnh a biết rằng
. Tính thể tích của lăng trụ. Đs: V = 2a3
Bài 3: Cho lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thoi mà các đường chéo là 6cm và 8cm biết rằng chu vi đáy bằng 2 lần chiều cao lăng trụ.Tính thể tích và tổng diện tích các mặt của lăng trụ. Đs: V = 240cm3 và S = 248cm2 Bài 4: Cho lăng trụ đứng tam giác có độ dài các cạnh đáy là 37cm ; 13cm ;30cm và biết tổng diện tích các mặt bên là 480 cm2 . Tính thể tích lăng trụ . Đs: V = 1080 cm3 Bài 5: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A ,biết rằng chiều cao lăng trụ là 3a và mặt bên AA'B'B có đường chéo là 5a . Tính thể tích lăng trụ. Đs: V = 24a3
b. Thể tích khối lăng trụ xiên
Đây là lăng trụ chưa biết đường cao. Đối với lăng trụ này thông thường chúng ta phải xác định được hình chiếu của một đỉnh nào đón lên mặt đáy còn lại hoặc tính được khoảng cách giữa hai mặt đáy của lăng trụ. Ví dụ 1(ĐHB11): Cho lăng trụ tứ giác ABCD. A'B'C'D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = . Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Góc gữa (ADD’A’) và (ABCD) bằng 600. Tính thể tích lăng trụ và khoảng cách từ B’ đến mp(A’BD).
Hoàng Đức Trường truongmath@thptlexoay.edu.vn
9
TRƯƠNG THPT LÊ XOAY – VĨNH PHÚC
Lời giải Gọi H là trung điểm AD và O là giao điểm của AC và BD thì A’O (ABCD) và
. Suy ra .
Vậy .
Dễ thấy khoảng cách từ B’ tới mp(A’BD) bằng khoảng cách từ A đến mp(A’BD). Gọi I là hình chiếu của A lên BD. Ta có
.
Lại có .
Vậy .
và hợp với đáy ABC một góc 60o . Tính thể tích lăng trụ.
Ví dụ 3: Cho lăng trụ tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Biết cạnh bên là Lời giải:
Gọi H là hình chiếu của A lên (A’B’C’) thì
SABC = .Vậy V = SABC.AH =
Ví dụ 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với AB = , AD
. Hai mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy những góc 450 và 600.
= Tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh bên bằng 1. Lời giải: Gọi H là hình chiếu của A’ lên (ABCD) ; M, N lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AD.
(đl 3 )
Hoàng Đức Trường truongmath@thptlexoay.edu.vn
10
TRƯƠNG THPT LÊ XOAY – VĨNH PHÚC
Đặt A’H = x . Khi đó
A’N = x : sin 600 = , AN =
Mà HM = x.cot 450 = x suy ra x = .
Vậy VABCD.A’B’C’D’ = AB.AD.x =
Bài tập tự giải.
Bài 1: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả cách cạnh đều bằng a và hình chiếu của A’ lên (ABC) trùng với trung điểm của BC. Tính thể tích khối lăng trụ.
Đs:
Bài 2: Cho lăng trụ ABCD A'B'C'D'có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và biết cạnh bên bằng 8 hợp với đáy ABC một góc 30o.Tính thể tích lăng trụ. Đs: V =336 Bài 4 : Cho lăng trụ tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và
điểm A' cách đều A,B,C biết AA' = .Tính thể tích lăng trụ.
Đs:
Bài 5: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , đỉnh A' có hình chiếu trên (ABC) nằm trên đường cao AH của tam giác ABC biết mặt bên BB'C'C hợp vớio đáy ABC một góc 60o . 1) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật.
2) Tính thể tích lăng trụ ABC A'B'C'. Đs:
4. Thể tích khối chóp a. Khối chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy.
Đây là khối chóp cơ bản và thường dễ dàng nhất khi tính thể tích. Ở khối chóp này cạnh bên chính là đường cao. Các giả thiết của bài toán sẽ đủ để chúng ta có thể tính được độ dài đường cao. Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a; SA vuông góc với mp(ABCD); (P) là mặt phẳng đi qua A, vuông góc với AC cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và SA’B’C’D’, biết SC hợp với mặt phẳng ABCD một góc 450. Lời giải
- SC hợp với (ABCD) một góc 450 nên SA=AC= .
Hoàng Đức Trường truongmath@thptlexoay.edu.vn
11
TRƯƠNG THPT LÊ XOAY – VĨNH PHÚC
- Do SC (AB’C’D’) nên
Do tính đối xứng nên
Mà
Ta có
;
.
Nên .
Vậy .
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; AB = BC = a, AD = 2a; góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 600. Tính thể tích hình chóp. Lời giải: Ta có AC CD nên CD (SAC) suy ra .
Vậy .
Ví dụ 3. Cho hình chóp SABC có ABC là tam giác vuông cân đỉnh B ; hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên SB và SC. Tính thể tích khối chóp S.AHK, biết AB=a, SA=h. Lời giải
. Ta có
. Do đó ta có
Tương tự tính tiếp như ví dụ 2.
Bài tập tự giải
Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA=BC=a biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với (SAB) một góc 30o.
Tính thể tích hình chóp . Đs: V =
Hoàng Đức Trường truongmath@thptlexoay.edu.vn
12
TRƯƠNG THPT LÊ XOAY – VĨNH PHÚC
Bài 2: Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với đáy (ABC) và SA = h ,biết rằng tam giác ABC đều và mặt (SBC) hợp với đáy ABC một góc 30o .Tính thể tích khối
chóp SABC . Đs:
Bài 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vuông tại A và SB vuông góc với đáy ABC biết SB = a,SC hợp với (SAB) một góc 30o và (SAC) hợp với (ABC) một góc 60o .Chứng minh rằng SC2 = SB2 + AB2 + AC2 Tính thể tích hình chóp.
Đs:
Bài 4: Cho tứ diện ABCD có AD (ABC) biết AC = AD = 4 cm,AB = 3 cm, BC = 5 cm. 1) Tính thể tích ABCD. Đs: V = 8 cm3
2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD). Đs: d =
Bài 5: Cho khối chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân tại A với BC = 2a , góc và mặt (SBC) hợp với đáy một góc 45o . Tính thể tích , biết
khối chóp SABC. Đs:
b. Khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy.
Khối chóp loại này có đường cao chính là đường cao của mặt bên vuông góc với đáy. Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáyABCD, Tính thể tích khối chóp SABCD. Lời giải: Gọi H là trung điểm của AB.
đều
mà Vậy H là chân đường cao của khối chóp.
Ta có tam giác SAB đều nên SA =
suy ra
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều , BCD là tam giác vuông cân tại D , (ABC) (BCD) và AD hợp với (BCD) một góc 60o . Tính thể tích tứ diện ABCD.
Lời giải: Gọi H là trung điểm của BC. Ta có tam giác ABC đều nên AH (BCD) , mà (ABC) (BCD) AH .
Ta có AH HD AH = AD.tan60o =
Hoàng Đức Trường truongmath@thptlexoay.edu.vn
13
TRƯƠNG THPT LÊ XOAY – VĨNH PHÚC
& HD = AD.cot60o =
BC = 2HD = suy ra
V =
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, có BC = a. Mặt bên SAC vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 450. Tính thể tích khối chóp SABC. Lời giải: + Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC), vì mp(SAC) mp(ABC) nên SH mp(ABC). Gọi I, J là hình chiếu của H trên AB và BC SI AB, SJ BC, theo giả thiết
nên BH là đường phân giác của ừ đó Ta có: suy ra H là trung điểm của AC.
+ HI = HJ = SH = VSABC=
Bài tập tự giải.
Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC đều cạnh a, tam giác SBC cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC).
1) Chứng minh chân đường cao của chóp là trung điểm của BC.
2) Tính thể tích khối chóp SABC. Đs:
Bài 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vuông cân tại A với AB = AC = a biết tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC) ,mặt phẳng (SAC) hợp với (ABC) một góc 45o. Tính thể tích của SABC.
Đs:
Bài 3: Cho hình chóp SABC có ; SBC là tam giác đều cạnh
a và (SAB) (ABC). Tính thể tích khối chóp SABC. Đs:
Bài 4: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều;tam giác SBC có đường cao (ABC). Cho biết SB hợp với mặt (ABC) một góc 30o .Tính thể tích SH = h và (SBC)
hình chóp SABC. Đs:
Bài 5: Tứ diện ABCD có ABC và BCD là hai tam giác đều lần lượt nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau biết AD = a.Tính thể tích tứ diện.
Đs:
c. Thể tích khối chóp đều.
Hoàng Đức Trường truongmath@thptlexoay.edu.vn
14
TRƯƠNG THPT LÊ XOAY – VĨNH PHÚC
Khối chóp đều là khối chóp có các cạnh bên bằng nhau và đáy là đa giác đều; đường cao của khối chóp chính là đường nối đỉnh với tâm của đáy.
Ví dụ 1: Cho chóp tam giác đều SABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Chứng minh rằng chân đường cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác đều ABC.Tính thể tích chóp đều SABC . Lời giải: Dựng SO (ABC) Ta có SA = SB = SC suy ra OA = OB = OC Vậy O là tâm của tam giác đều ABC. Ta có tam giác ABC đều nên
AO =
.Vậy
Ví dụ 2:Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cả các cạnh có độ dài bằng a.
1) Chứng minh rằng SABCD là chóp tứ giác đều. 2) Tính thể tích khối chóp SABCD.
(ABCD)
Lời giải: Dựng SO Ta có SA = SB = SC = SD nên OA = OB = OC = OD ABCD là hình thoi có đường tròn gnoại tiếp nên ABCD là hình vuông .
Ta có SA2 + SB2 = AB2 +BC2 = AC2 nên vuông tại S
Vậy
Ví dụ 3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Tính thể tích của khối chóp nếu a. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng . b. Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng c. Góc giữa hai mặt bên kề nhau bằng . Lời giải :
Gọi O là tâm ABCD thì SO là đường cao của hình chóp. Do đó .
a. Giả sử SB hợp với mp(ABCD) một góc . Khi đó
suy ra
Hoàng Đức Trường truongmath@thptlexoay.edu.vn
15
TRƯƠNG THPT LÊ XOAY – VĨNH PHÚC
b. Giả sử góc giữa (SBC) và (ABCD) là . Gọi M là trung điểm BC, Khi đó
suy ra
c. Giả sử góc giữa (SBC) và (SDC) là . Gọi N là hình chiếu của B lên SC. Ta có
. Mà . Suy ra
.
Vậy
Nhận xét : Ta thấy rằng khối chóp đều phải có hai tính chất là đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau. Tuy nhiên nếu khối chóp chỉ có cạnh bên bằng nhau thì hình chiếu của đỉnh cũng trùng với tâm đáy nên cũng có thể tính theo cách tính của khối chóp đều. Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang với đáy lớn CD = 2a, AB = BC = a. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD biết hình chóp có các cạnh bên bằng nhau và SA hợp với (ABCD) một góc 600. Lời giải Do SA=SB=SC=SD nên ABCD là một đa giác nội tiếp đường tròn. Suy ra ABCD là hình thang cân. Gọi O là trung điểm CD, ta có các tam giác OAB, OBC, OAD là những tam giác đều cạnh a. Do đó O là tâm của hình thang ABCD và .
. Suy ra
Theo giả thiết suy ra
. Vậy
Bài tập tự giải Bài 1: Cho hình chóp đều SABC có cạnh bên bằng a hợp với đáy ABC một góc 60o
. Tính thể tích hình chóp. Đs:
Bài 2: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh bên a, góc ở đáy của mặt bên là 45o.
1) Tính độ dài chiều cao SH của chóp SABC . Đs: SH =
2) Tính thể tích hình chóp SABC. Đs:
Hoàng Đức Trường truongmath@thptlexoay.edu.vn
16
TRƯƠNG THPT LÊ XOAY – VĨNH PHÚC
Bài 3: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy a và mặt bên hợp với đáy một
góc 60o. Tính thể tích hình chóp SABC. Đs:
Bài 4 : Cho chóp tam giác đều có đường cao h hợp với một mặt bên một góc 30o .
Tính thể tích hình chóp. Đs:
Bài 5 : Cho hình chóp tam giác đều có đường cao h và mặt bên có góc ở đỉnh
bằng 60o. Tính thể tích hình chóp. Đs:
II. Phương pháp gián tiếp tính thể tích khối đa diện. Phương pháp gián tiếp nghĩa là chúng ta tính thể tích khối đa diện thông qua
Phép phân chia khối đa diện thành những khối cơ bản Bổ sung khối đa diện thành khối đa diện cơ bản So sánh về thể tích khối đa diện với khối đa diện đã biết. Các kết quả sau đây được sử dụng nhiều: 1. Cho lăng trụ tam giác. Mọi tứ diện có bốn đỉnh lấy ra từ các đỉnh của lăng
trụ đều có thể tích bằng thể tích lăng trụ.
2. Mọi tứ diện đều có thể bổ sung thành một lăng trụ tam giác và thể tích của lăng trụ đó bằng 3 lần thể tích của tứ diện
3. Mọi tứ diện đều có thể bổ sung thành một hình hộp và thể tích của hình hộp đó bằng 3 lần thể tích lăng trụ.
4. Nếu hai hình chóp (lăng trụ) có chung đáy thì tỉ số thể tích của chúng bằng tỉ số đường cao. Nếu hai hình chóp (lăng trụ) có cùng độ dài đường cao thì tỉ số thể tích của chúng bằng tỉ số diện tích hai đáy. 5. Cho hình chóp tam giác SABC. A’, B’, C’ lần lượt nằm trên SA, SB, SC. Thế
thì ta có .
Hoàng Đức Trường truongmath@thptlexoay.edu.vn
17
TRƯƠNG THPT LÊ XOAY – VĨNH PHÚC
Các tính chất trên có thể dễ dàng chứng minh được. Điều quan trọng là cần nắm được để đưa ra định hướng giải quyết cho mỗi bài toán.
, SA , Gọi G là trọng tâm tam giác SBC, mặt phẳng ) qua AG và song song với BC cắt SC, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích của Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B, vuông góc với đáy ABC , ( khối chóp S.AMN Lời giải:
Ta có: và
+
Vậy:
Gọi I là trung điểm BC, do G là trọng tâm, ta có :
( )// BC MN// BC
. Vậy:
Ví dụ 2. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy AB = a và cạnh bên SA = . Gọi E là trung điểm SC, (P) là mặt phẳng qua AE song song với BD cắt SB, SD
lần lượt tại I, K. Tính thể tích khối chóp S.AIMK. Lời giải: Gọi O là tâm của ABCD, G là giao điểm của AE với SO, suy ra G là trọng tâm tam
giác SAC và SBD. Do (P) song song với BD nên .
Ta có
Mặt khác .
Tương tự
Mà dễ thấy
Ví dụ 3. Cho tứ diện gần đều ABCD có AB=CD=a; AC=BD=b; AD=BC=c. Tính thể tích tứ diện. Lời giải:
Hoàng Đức Trường truongmath@thptlexoay.edu.vn
18
TRƯƠNG THPT LÊ XOAY – VĨNH PHÚC
Gọi M, N lầ lượt là trung điểm AB và CD. Do tứ diện ABCD có các cạnh đối diện bằng nhau nên bốn mặt của tứ diện là những tam giác bằng nhau. Suy ra Vậy MN là đoạn vuông góc
Tương tự ta cũng có
chung của AB và CD. Bổ sung tứ diện thành hình hộp AC’BD’.A’CB’D (hình vẽ). Ta có AC’BD’.A’CB’D là hình hộp chữ nhật. Đặt D’A = x, D’B = y, D’D = z ta có
Vậy suy ra .
Ví dụ 4.(ĐHA11)
Hoàng Đức Trường truongmath@thptlexoay.edu.vn
19
TRƯƠNG THPT LÊ XOAY – VĨNH PHÚC
Lời giải:
do đó góc giữa (ABC) và (SBC) là Có
. Suy ra
Vậy .
Ví dụ 5.(ĐHD10) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA =a. HÌnh chiếu vuông góc của S lên mp(ABCD) là điểm H thuộc AC và
AH= . Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. CMR M là trung điểm SA và
tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a. Lời giải:
Ta có .
Suy ra
Vậy tam giác SAC cân tại C nên M là trung điểm SA. Ta có
.
Ví dụ 6.(ĐHA10) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB và AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH . Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính vuông góc với (ABCD) và SH= khoảng cách giữa DM và SC theo a. Lời giải: Ta có
Vậy
.
Gọi K là hình chiếu của H lên SC. Ta có (Do ) nên hay HK là
đoạn vuông góc chung của DM và SC.
Gọi I là trung điển CD thì và ta có
.
Hoàng Đức Trường truongmath@thptlexoay.edu.vn
20
TRƯƠNG THPT LÊ XOAY – VĨNH PHÚC
Ví dụ 7.(ĐHB09) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có BB’=a, góc giữa BB’ và (ABC) bằng 600; tam giác ABC vuông tại C và Hình chiếu vuông góc của B’ lên (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a. Lời giải: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có
và .
Ta cũng có . Gọi M là trung điểm AC thì .
nên
Mặt khác do Theo định lý pitago trong tam giác BCM thì
.
.
Suy ra thể tích của
Ví dụ 8: Cho khối chóp tứ giác đều SABCD. Một mặt phẳng qua A, B và trung điểm M của SC . Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó.
thì hình thang ABMN là thiết diện của khối chóp khi cắt bởi
Lời giải: Kẻ MN // CD (N mặt phẳng (ABM).
+
Mà VSABMN = VSANB + VSBMN =
.
Suy ra VABMN.ABCD =
Do đó :
Bài tập tự luyện. Bài 1: Cho tứ diên ABCD. Gọi B' và C' lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tính tỉ
số thể tích của khối tứ diện AB'C'D và khối tứ diên ABCD. Đs:
Bài 2: Cho tứ diên ABCD có thể tích 9m3 ,trên AB,AC,AD lần lượt lấy các điểm B',C',D' sao cho AB = 2AB' ;2AC = 3AD' ;AD = 3AD'. Tính tể tích tứ diện AB'C'D'. Đs: V = 2 m3
Hoàng Đức Trường truongmath@thptlexoay.edu.vn
21
TRƯƠNG THPT LÊ XOAY – VĨNH PHÚC
Bài 3: Cho tứ diên đều ABCD có cạnh a. Lấy các điểm B';C' trên AB và AC sao cho
. Tính thể tích tứ diên AB'C'D . Đs:
Bài 4: Cho tứ diênABCD có thể tích 12 m3 .Gọi M,P là trung điểm của AB và CD và lấy N trên AD sao cho DA = 3NA. Tính thể tích tứ diên BMNP. Đs: V = 1 m3 Bài 5: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh ,đường cao SA = a.Mặt phẳng qua A và vuông góc với SB tại H và cắt SC tại K. Tính thể tích hình chóp
SAHK. Đs:
Bài 6: Cho hình chóp SABCD có thể tích bằng 27m3 .Lấy A'trên SA sao cho SA = 3SA'. Mặt phẳng qua A' và song song với đáy hình chóp cắt SB,SC,SD lần lượt tại B',C',D' .Tính thể tích hình chóp SA'B'C'D'. Đs: V = 1 m3 Bài 7: Cho hình chóp SABCD có thể tích bằng 9m3, ABCD là hình bình hành , lấy M trên SA sao cho 2SA = 3SM. Mặt phẳng (MBC) cắt SD tại N.Tính thể tích khối đa diên ABCDMN . Đs: V = 4m3 Bài 8: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, chiều cao SA = h. Gọi N là trung điểm SC. Mặt phẳng chứa AN và song song với BD lần lượt cắt SB,SDF tại M
và P. Tính thể tích khối chóp SAMNP. Đs:
Bài 9 : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành và I là trung điểm của SC.Mặt phẳng qua AI và song song với BD chia hình chóp thành 2 phần.Tính tỉ số thể
tích 2 phần này. Đs:
Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành và lấy M trên SA
sao cho Tìm x để mặt phẳng (MBC) chia hình chóp thành 2 phần có thể tích
bằng nhau. Đs:
C. KẾT LUẬN
Trên đây là nội dung chuyên đề “Phương pháp tính thể tích đa diện”. Chuyên đề dùng cho học sinh lớp 12 (Sau khi đã học xong kiến thức cơ bản chương 1) hoặc học sinh ôn thi đại học. Chuyên đề chủ yếu tập chung vào giải quyết bài toán tính thể tích khối đa diện. Chuyên đề ngoài mục đích rèn luyện cho học sinh kỹ năng tính thể tích khối đa diện mà còn có thể củng cố, rèn luyện thêm các kỹ năng xác định góc và khoảng cách của các đối tượng trong không gian. Từ đó phát triển khả năng quan sát và tư duy trừu tượng giúp học sinh tự tin hơn khi giải các bài toán hình không gian. Khi nắm được các kỹ năng này học sinh sẽ tự mình tìm tòi và giải quyết được các bài toán hay và khó hơn trong hình học không gian. Thời gian dự kiến của chuyên đề là 10 tiết trên lớp và 20 tiết tự học ở nhà. Cụ thể phân phối trên lớp như sau:
Tiết 1+2
Tiết 3+4 Tiết 5+6 Ôn tập các kiến thức, công thức cơ bản Rèn kỹ năng tình khoảng cách, và góc. Tính thể tích khối lăng trụ Rèn phương pháp tính thể tích hình chóp
Hoàng Đức Trường truongmath@thptlexoay.edu.vn
22
TRƯƠNG THPT LÊ XOAY – VĨNH PHÚC
Tiết 7-10
Rèn kỹ năng tính thể tích bằng phương pháp gián tiếp
Chuyên đề đã được tác giả áp dụng cho học sinh các lớp 12A3+12A4. Trong đó lớp 12A3 gồm Khá (60%) + Trung bình (40%); 12A4 Khá (49%) + Trung bình (51%).
Kết quả: Nhìn chung các em học sinh đã không còn cảm giác “sợ hãi” khi gặp bài toán hình không gian. Đối với những em học sinh trung bình thì đã tự tin hơn. Các em có thể giải quyết được 80% bài tập về hình học không gian thuần túy trong các đề thi thử ĐH- CĐ. D. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Văn Như Cương, Hình học 12 nâng cao, NXB Giáo dục [2] Văn Như Cương, Bài tập Hình học 12 nâng cao, NXB Giáo dục [3] Lê Bích Ngọc(CB), Học và ôn tập toán Hình học 11, NXB ĐHQG Hà Nội [4] Đậu Thế Cấp(CB), Tuyển chọn 400 bài tập toán 12, NXB ĐHQG TP HCM [5] Bộ đề thi ĐH-CĐ từ 2002-2011, BGD&ĐT [6] Tạp chí TH&TT [7] http://math.vn/ [8] http://www.vnmath.com/
Hoàng Đức Trường truongmath@thptlexoay.edu.vn
23
TRƯƠNG THPT LÊ XOAY – VĨNH PHÚC
PHỤ LỤC: BÀI TẬP LÀM THÊM Ở NHÀ
I. Thể tích khối lăng trụ
Bài 1: Cho lăng trụ đứng tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau và biết tổng diện tích các mặt của lăng trụ bằng 96 cm2 .Tính thể tích lăng trụ. Đs: V = 64 cm3 Bài 2: Cho khối lập phương có tổng diện tích các mặt bằng 24 m2 . Tính thể tích khối lập phương Đs: V = 8 m3 Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật có 3 kích thước tỉ lệ thuận với 3,4,5 biết rằng độ dài một đường chéo của hình hộp là 1 m.Tính thể tích khối hộp chữ nhật. Đs: V = 0,4 m3 Bài 4: Cho hình hộp chữ nhật biết rằng các đường chéo của các mặt lần lượt là
. Tính thể tích khối hộp này . Đs: V = 6
Bài 5: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông cân tại B biết A'C = a và A'C hợp với mặt bên (AA'B'B) một góc 30o . Tính thể tích lăng trụ
ĐS:
Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông tại B biết BB' = AB = a và B'C hợp với đáy (ABC) một góc 30o . Tính thể tích lăng trụ.
ĐS:
Bài 7: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết AB' hợp với mặt bên (BCC'B') một góc 30o .
Tính độ dài AB' và thể tích lăng trụ . ĐS: ;
Bài 8: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông tại A biết AC = a và biết BC' hợp với mặt bên (AA'C'C) một góc 30o . Tính thể tích lăng trụ và
diện tích tam giác ABC'. ĐS: , S =
Bài 9: Cho lăng trụ tam giác đều ABC A'B'C' có khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC) bằng a và AA' hợp với mặt phẳng (A'BC) một góc 300 .
Tính thể tích lăng trụ ĐS:
Bài 10: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có đường chéo A'C = a và biết rằng A'C hợp với (ABCD) một góc 30o và hợp với (ABB'A') một góc 45o .
Tính thể tích của khối hộp chữ nhật. Đs:
Bài 11: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông . Gọi O là tâm của ABCD và OA' = a .Tính thể tích của khối hộp khi: 1) ABCD A'B'C'D' là khối lập phương . OA' hợp với đáy ABCD một góc 60o . 2) A'B hợp với (AA'CC') một góc 30o. 3)
Đs:1) ;2) ;3)
Bài 12: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông và Hoàng Đức Trường truongmath@thptlexoay.edu.vn
24
TRƯƠNG THPT LÊ XOAY – VĨNH PHÚC
BD' = a . Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây: 1) BD' hợp với đáy ABCD một góc 60o . 2) BD' hợp với mặt bên (AA'D'D) một góc 30o .
Đs: 1)V = 2)V =
Bài 13: Chiều cao của lăng trụ tứ giác đều bằng a và góc của 2 đường chéo phát xuất từ một đỉnh của 2 mặt bên kề nhau là 60o.Tính thể tích lăng trụ và tổng diện tích các mặt của lăng trụ . Đs: V = a3 và S = 6a2 Bài 14: Cho hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = a biết đường chéo A'C hợp với đáy ABCD một góc 30o và mặt (A'BC) hợp với đáy ABCD một góc 600 . Tính thể tích
hộp chữ nhật. Đs:
Bài 15: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông và cạnh bên bằng a biết rằng mặt (ABC'D') hợp với đáy một góc 30o.Tính thể tích khối lăng trụ. Đs: V = 3a3 Bài 16: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = 2a biết rằng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 45o. Tính thể tích lăng trụ. Đs: Bài 17: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác cân tại A với AB = biết rằng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 45o. Tính thể tích AC = a và
lăng trụ. Đs:
Bài 18: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BB' = AB = h biết rằng (B'AC) hợp với đáy ABC một góc 60o. Tính thể tích lăng trụ.
Đs:
Bài 19: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC đều biết cạnh bên AA' = a Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây: 1) 2) 3) Mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 60o . A'B hợp với đáy ABC một góc 45o. Chiều cao kẻ từ A' của tam giác A'BC bằng độ dài cạnh đáy của lăng trụ.
Đs: 1) ; 2) V = ; V =
Bài 20: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' có cạnh bên AA' = 2a .Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây: 1) 2) 3) Mặt (ACD') hợp với đáy ABCD một góc 45o . BD' hợp với đáy ABCD một góc 600 . Khoảng cách từ D đến mặt (ACD') bằng a .
Đs: 1) V = 16a3 . 2) V = 12a3 .3) V =
Bài 21: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây: 1) Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD một góc 60o . 2) Tam giác BDC' là tam giác đều. 3) AC' hợp với đáy ABCD một góc 450
Hoàng Đức Trường truongmath@thptlexoay.edu.vn
25
TRƯƠNG THPT LÊ XOAY – VĨNH PHÚC
Đs: 1) ; 2) V = ; V =
Bài 22: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn A = 60o .Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây: 1) Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD một góc 60o .
2) Khoảng cách từ C đến (BDC') bằng
3) AC' hợp với đáy ABCD một góc 450
Đs: 1) ; 2) V = ; V =
; 2) V = ; V =
Bài 23: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có BD' = 5a ,BD = 3a Tính thể tích khối hộp trong các trường hợp sau đây: 1) AB = a 2) BD' hợp với AA'D'D một góc 30o 3) (ABD') hợp với đáy ABCD một góc 300 Đs: 1) Bài 24: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Cạnh bên CC' = a hợp với đáy ABC một góc 60o và C' có hình chiếu trên ABC trùng với O . 1) Chứng minh rằng AA'B'B là hình chữ nhật. Tính diện tích AA'B'B.
2) Tính thể tích lăng trụ ABCA'B'C'. Đs: 1) 2)
Bài 25: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết chân đường vuông góc hạ từ A' trên ABC trùng với trung điểm của BC và AA' = a. 1) Tìm góc hợp bởi cạnh bên với đáy lăng trụ.
2) Tính thể tích lăng trụ. Đs: 1) 30o 2)
Bài 26: Cho lăng trụ xiên ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Hình chiếu của C' trên (ABC) là O.Tính thể tích của lăng trụ biết rằng khoảng cách từ O đến CC' là a và 2 mặt bên (AA'C'C) và (BB'C'C) hợp với nhau một góc 90o
Đs:
Bài 27: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có 6 mặt là hình thoi cạnh a, hình chiếu vuông góc của A' trên(ABCD) nằm trong hình thoi, các cạnh xuất phát từ A của hộp đôi một tạo với nhau một góc 60o . 1) 2) Tính diện tích các mặt chéo ACC'A' và BDD'B'. Tính thể tích của hộp.
Đs: 1) . 2)
Bài 28: Cho hình hộp ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc A = 60o chân đường vuông góc hạ từ B' xuông ABCD trùng với giao điểm 2 đường chéo đáy biết BB' = a. 1)Tìm góc hợp bởi cạnh bên và đáy. 2)Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của hình hộp.
Hoàng Đức Trường truongmath@thptlexoay.edu.vn
26
TRƯƠNG THPT LÊ XOAY – VĨNH PHÚC
Đs: 1) 60o 2)
II. Thể tích khối chóp
Bài 29: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông biết SA (ABCD),SC = a và SC hợp với đáy một góc 60o Tính thể tích khối chóp.
Đs:
Bài 30: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật biết rằng (ABCD) , SC hợp với đáy một góc 45o và AB = 3a , BC = 4a SA ính thể tích khối chóp. Đs: V = 20a3 Bài 31: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn A bằng 60o và SA (ABCD) ,biết rằng khoảng cách từ A đến cạnh SC = a.
Tính thể tích khối chóp SABCD. Đs:
Bài 32: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B biết AB = BC = a , AD = 2a , SA (ABCD) và (SCD) hợp với đáy một góc 60o.
Tính thể thích khối chóp SABCD. Đs:
Bài 33 : Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong nửa đường tròn đường kính AB = 2R biết mặt (SBC) hợp với đáy ABCD
một góc 4o.Tính thể tích khối chóp SABCD. Đs:
Bài 34 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông . Mặt bên SAB là tam giác đều có đường cao SH = h ,nằm trong mặt phẳng vuông góc với ABCD, 1) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB.
2) Tính thể tích khối chóp SABCD . Đs:
Bài 35: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật , tam giác SAB đều cạnh a nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD) biết (SAC) hợp với (ABCD) một góc
30o .Tính thể tích hình chóp SABCD. Đs:
Bài 36: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật có AB = 2a , BC = 4a, (ABCD) , hai mặt bên (SBC) và (SAD) cùng hợp với đáy ABCD một góc 30o SAB
.Tính thể tích hình chóp SABCD. Đs:
Bài 37: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi với AC = 2BD = 2a và tam giác SAD vuông cân tại S , nằm trong mặt phẳng vuông góc với ABCD. Tính thể tích
hình chóp SABCD. Đs:
Bài 38: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AD = CD = a ; AB = 2a biết tam giác SAB đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với
(ABCD). Tính thể tích khối chóp SABCD . Đs:
Hoàng Đức Trường truongmath@thptlexoay.edu.vn
27
TRƯƠNG THPT LÊ XOAY – VĨNH PHÚC
Bài 39 : Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy a và
.
1) Tính tổng diện tích các mặt bên của hình chóp đều. Đs:
2) Tính thể tích hình chóp. Đs:
Bài 40 : Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao h ,góc ở đỉnh của mặt bên
bằng 60o. Tính thể tích hình chóp. Đs:
Bài 42: Cho hình chóp tứ giác đều có mặt bên hợp với đáy một góc 45o và khoảng cách từ chân đường cao của chóp đến mặt bên bằng a. Tính thể tích hình chóp .
Đs:
Bài 42: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng a hợp với đáy một góc 60o.
Tính thề tích hình chóp. Đs:
Bài 43: Cho hình chóp SABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng SABCD là chóp tứ giác đều.Tính cạnh của hình chóp này khi thể tích của nó bằng
. Đs: AB = 3a
III. Bài tập tổng hợp
Bài 44: Cho hình chóp đều S.ABCD cạnh đáy bằng a,góc cạnh bên và mặt đáy bằng .Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy theo và tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
.
và Bài 45: Cho hình choùp S ABCD, SA (ABCD), SA = a, SC BD; ñaùy ABCD laø
hình thang vuoâng coù BC = 2a, vaø ñöôøng cao AB = a. M laø ñieåm treân caïnh
. Tính ñoä daøi ñöôøng cao DE cuûa tam giaùc BMD. Ñònh x
SA, ñaët AM = x ( ñeå DE ñaït giaù trò nhoû nhaát. Bài 46: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình bình hành, ,
. Lấy M, N lần lượt là trung điểm các cạnh A’D’, A’B’. Biết
, tính thể tích khối đa diện A’NM.ABD.
, ,
Bài 47 : Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có mặt đáy là tam giác ABC vuông tại B và . Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với CA’ lần lượt cắt các cạnh CC’ và BB’ tại M và N. Gọi H, K lần lượt là giao điểm của AM cắt A’C và AN cắt A’B. Chứng minh rằng A’B vuông góc với AN. Tính thể tích khối đa diện ABCHK. Bài 48: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi SH là đường cao hình chóp. Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt bên (SBC) bằng b. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Hoàng Đức Trường truongmath@thptlexoay.edu.vn
28
TRƯƠNG THPT LÊ XOAY – VĨNH PHÚC
Bài 49: Cho hình chóp S.ABC có
và tam giác ABC vuông tại B,
; . Đường thẳng SC tạo với mặt phẳng (ABC) góc 60o. Tính thể tích khối chóp
S.ABC và khối cầu ngoại tiếp hình chop S.ABC. Bài 50: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình bình hành, ,
. Lấy M, N lần lượt là trung điểm các cạnh A’D’, A’B’. Biết
, tính thể tích khối đa diện A’NM.ABD.
theo . Biết rằng là khối
.
, Bài 51: Tính thể tích của khối hộp tứ diện đều cạnh Bài 52: Trong không gian cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có
và , . Gọi M là trung điểm của cạnh CC1. Hãy chứng minh
và tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (A1BM).
và SA vuông góc mặt phẳng (ABC). Tam , góc ABC bằng 120o. Tính khoảng cách từ điểm A đến
Bài 53: Cho hình chóp S.ABC có giác ABC có mặt phẳng (SBC). Bài 54: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có chiều cao bằng h. Góc giữa hai đường chéo của hai mặt bên kề nhau kẻ từ một đỉnh bằng . Tính thể tích của khối lăng trụ đó. Bài 55: Cho hình chop S.ABC,SA=x,BC=y,Các cạnh còn lại đều bằng 1.Với giá trị nào của x,y thì thể tích khối chóp là lớn nhất.
