x
Hình 01
O
K
H
M
E
D
C
B
A
CÁC BÀI TOÁN HÌNH ÔN THI VÀO L P 10 Ớ
(Dành t ng cho các em h c sinh l p 9 đang chu n b ôn thi vào l p 10 không chuyênặ ọ ớ ẩ ị ớ )
Bài 1 Cho hình thang cân ABCD (AB > CD, AB // CD) n i ti p trong đ ngộ ế ườ
tròn (O). K các ti p tuy n v i đ ng tròn (O) t i A và D chúng c t nhau E.ẻ ế ế ớ ườ ạ ắ ở
G i M làọ giao đi m c a hai đ ng chéo AC và BD.ể ủ ườ
1. Ch ng minh t giác AEDM n i ti p đ c trong m t đ ng tròn.ứ ứ ộ ế ượ ộ ườ
2. Ch ng minh AB // EM.ứ
3. Đ ng th ng EM c t c nh bên AD và BC c a hình thang l n l t H vàườ ẳ ắ ạ ủ ầ ượ ở
K.
Ch ng minh M là trung đi m HK.ứ ể
4. Ch ng minh ứ
BÀI GI I CHI TI TẢ Ế (hình 01)
1. Ch ng minh t giác AEDM n i ti p.ứ ứ ộ ế
Ta có : sđ (góc t o b i tia ti p tuy n AEạ ở ế ế
và dây AC c a đ ng tròn (O))ủ ườ
T ng t : sđ (Dx là tia đ i c a tia ti p tuy n DE)ươ ự ố ủ ế ế
Mà AC = BD (do ABCD là hình thang cân) nên . Do đó .
V y t giác AEDM n i ti p đ c trong m t đ ng tròn.ậ ứ ộ ế ượ ộ ườ
2. Ch ng minh AB // EM.ứ
T giác AEDM n i ti p nên (cùng ch n cung ED)ứ ộ ế ắ . Mà (góc t o b i tia ti pạ ở ế
tuy n và dây cung v i góc n i ti p cùng ch n cung AD)ế ớ ộ ế ắ .
Suy ra: . Do đó EM // AB.
3. Ch ng minh M là trung đi m HK.ứ ể
có HM // AB . có MK // AB . Mà (đ nh lí Ta let cho hình thang ABCD)ị. Nên
. Do đó MH = MK. V y M là trung đi m HK.ậ ể
4. Ch ng minh .ứ
Áp d ng h qu đ nh lí Ta let cho tam giác ADB có HM // AB ta đ c: ụ ệ ả ị ượ
2 1 1
HK AB CD
= +
ﾷ
1
2
EAC =
ﾷ
AC
ﾷ
DB
ﾷ
ﾷ
AC BD=
ﾷ
ﾷ
EAC xDB=
ﾷ
ﾷ
EAD EMD=
ﾷ
ﾷ
EAD ABD=
ﾷ
ﾷ
EMD ABD=
DAB∆
HM DH
AB DA
=�
CAB∆
MK CK
AB CB
=�
DH CK
DA CB
=
HM MK
AB AB
=
2 1 1
HK AB CD
= +
//
=
O
M
H
K
D
C
B
A
(1). Áp d ng h qu đ nh lí Ta let cho tam giác BCD có KM // CD taụ ệ ả ị
đ c: (2)ượ . C ng (1) và (2) v theo v ta đ c: ộ ế ế ượ . Suy ra: , mà MH = MK nên 2HM
= 2KM = HK. Do đó: . Suy ra: (đpcm).
L i bànờ:
1. Do AC = BD nên đ ch ng minh t giác AEDM n i ti p ta ể ứ ứ ộ ế sử d ngụ
ph ng pháp: N u t giác có góc ngoài t i m t đ nh b ng góc đ i c a đ nhươ ế ứ ạ ộ ỉ ằ ố ủ ỉ c aủ
đ nh đó thì t giác đó n i ti p. V i cách suy nghĩ trên ch c n v tia Dx là tiaỉ ứ ộ ế ớ ỉ ầ ẽ đ iố
c a tia ti p tuy n DE thì bài toán gi i quy t đ c d dàng. Có th ch ng minhủ ế ế ả ế ượ ễ ể ứ
t giác AEDM n i ti p b ng cách ch ng minh khác đ c không? (ph n nàyứ ộ ế ằ ứ ượ ầ
dành cho các em suy nghĩ nhé)
2. Câu 3 có còn cách ch ng minh nào khác không? Có đ y. Th ch ng minhứ ấ ử ứ
tam giác AHM và tam giác BKM b ng nhau t đó suy ra đpcmằ ừ .
3. Câu 4 là bài toán quen thu c l p 8 ph i không các em? Do đó khi h cộ ở ớ ả ọ
toán các em c n chú ý các bài t p quen thu c nhé.ầ ậ ộ Tuy v y câu này v n còn m tậ ẫ ộ
cách gi i n a đó. Em th nghĩ xem?ả ữ ử
Bài 2 Cho n a đ ng tròn (O) đ ng kính AB= 2R, dây cung AC. G i M làử ườ ườ ọ
đi m chính gi a cung AC. Đ ng th ng k t C song song v i BM c t tia AMể ữ ườ ẳ ẻ ừ ớ ắ
K và c t tia OM D. OD c t AC t i H.ở ắ ở ắ ạ
1. Ch ng minh t giác CKMH n i ti p.ứ ứ ộ ế
2. Ch ng minh CD = MB và DM = CB.ứ
3. Xác đ nh v trí đi m C trên n a đ ng tròn (O) đ AD là ti p tuy n c aị ị ể ử ườ ể ế ế ủ
n a đ ng tròn.ử ườ
4. Trong tr ng h p AD là ti p tuy n c a n a đ ng tròn (O), tính di nườ ợ ế ế ử ử ườ ệ
tích ph n tam giác ADC ngoài đ ng tròn (O) theo R.ầ ở ườ
BÀI GI I CHI TI TẢ Ế
1. Ch ng minh t giác CKMH n i ti p.ứ ứ ộ ế
(góc n i ti p ch n n a đ ng tròn đ ng kính AB) ộ ế ắ ử ườ ườ . Mà CD // BM (gt) nên
AM CD . V y .ậ
(gt) .
T giác CKMH có nên n i ti p đ c ứ ộ ế ượ
trong m t đ ng tròn.ộ ườ
2. Ch ng minh CD = MB và DM = CB.ứ
Ta có: (góc n i ti p ch n n a đ ng tròn)ộ ế ắ ử ườ Hình 2
Do đó: DM // CB, mà CD // MB(gt) nên t giác CDMB là hình bình hành.ứ
Suy ra: CD = MB và DM = CB.
HM DM
AB DB
=
KM BM
CD BD
=
1
HM KM DM BM DM BM BD
AB CD DB BD BD BD
+
+ = + = = =
2 2 2
HM KM
AB CD
+ =
2
HK HK
AB CD
+ =
2 1 1
HK AB CD
= +
ﾷ
ﾷ
ADC BCD=�
ﾷ
0
90AMB =
AM MB⊥�
⊥
ﾷ
0
90MKC =
ﾷ
ﾷ
AM CM=
OM AC⊥�
ﾷ
0
90MHC =�
ﾷ
ﾷ
0
180MKC MHC+ =
ﾷ
0
90ACB =
//
=
O
M
H
K
D
C
B
A
3. Xác đ nh v trí đi m C trên n a đ ng tròn (O) đ AD là ti p tuy n c aị ị ể ử ườ ể ế ế ủ
n a đ ng tròn.ử ườ
AD là ti p tuy n c a đ ng tròn (O) .ế ế ủ ườ có AK CD và DH AC nên M là tr cự
tâm tam giác . Suy ra: CM AD.
V y CM // AB .ậ
Mà nên = 600.
4. Tính di n tích ph n tam giác ADC ngoài (O) theo R:ệ ầ ở
G i S là di n tích ph n tam giác ADC ngoài ọ ệ ầ ở
đ ng tròn (O).ườ S1 là di n tích t giác AOCD.ệ ứ
S2 là di n tích hình qu t góc tâm AOC.ệ ạ ở
Ta có: S = S1 – S2 hình 3
Tính S1:
AD là ti p tuy n c a đ ng tròn (O) .ế ế ủ ườ
Do đó: AD = AO. tg 600 = SADO = .
(c.g.c) SAOD = SCOD SAOCD = 2 SADO = 2. = .
Tính S2: S qu t AOCạ = = .
Tính S: S = S1 – S2 = – = = (đvdt) .
L i bànờ:
1. Rõ ràng câu 1, hình v g i ý cho ta cách ch ng minh các góc H và K làẽ ợ ứ
nh ng góc vuông, và đ có đ c góc K vuông ta ch c n ch ra MB AM và CD//ữ ể ượ ỉ ầ ỉ
MB. Đi u đó suy ra t h qu c a góc n i ti p và gi thi t CD // MB. Góc Hề ừ ệ ả ủ ộ ế ả ế
vuông
đ c suy t k t qu c a bài s 14 trang 72 SGK toán 9 t p 2. Các em l u ýượ ừ ế ả ủ ố ậ ư
các bài t p này đ c v n d ng vào vi c gi i các bài t p khác nhé.ậ ượ ậ ụ ệ ả ậ
2. Không c n ph i bàn, k t lu n g i li n cách ch ng minh ph i không cácầ ả ế ậ ợ ề ứ ả
em?
3. Rõ ràng đây là câu h i khó đ i v i m t s em, k c khi hi u r i v nỏ ố ớ ộ ố ể ả ể ồ ẫ
không bi t gi i nh th nào , có nhi u em may m n h n v ng u nhiên l i r iế ả ư ế ề ắ ơ ẽ ẫ ạ ơ
đúng vào hình 3 trên t đó nghĩ ngay đ c v trí đi m C trên n a đ ng tròn.ở ừ ượ ị ể ử ườ
AD AB⊥�
ADC∆
⊥⊥⊥
AD AB⊥
ﾷ
ﾷ
AM BC=�
ﾷ
ﾷ
AM MC=
ﾷ
ﾷ
ﾷ
ﾷ
ﾷ
AM BC AM MC BC= = =�
∗
ﾷ
ﾷ
ﾷ
0
60AM MC BC= = =
ﾷ
0
60AOD =�
3R
2
1 1 3
. . 3.
2 2 2
R
AD AO R R= =
AOD COD
∆ = ∆
2
3
2
R
2
3R
∗
ﾷ
0
120AC =
2 0
0
.120
360
R
π
2
3
R
π
∗
2
3R
2
3
R
π
2 2
3 3
3
R R
π
−
( )
2
3 3
3
R
π
−
⊥
N
y
x
O
K
F
E
M
B
A
Khi g p lo i toán này đòi h i ph i t duy cao h n. Thông th ng nghĩ n u cóặ ạ ỏ ả ư ơ ườ ế
k t qu c a bài toán thì s x y ra đi u gì ? K t h p v i các gi thi t và các k tế ả ủ ẽ ả ề ế ợ ớ ả ế ế
qu t các câu trên ta tìm đ c l i gi i c a bài toán . V i bài t p trên phát hi nả ừ ượ ờ ả ủ ớ ậ ệ
M là tr c tâm c a tam giác không ph i là khó, tuy nhiên c n k t h p v i bài t pự ủ ả ầ ế ợ ớ ậ
13 trang 72 sách Toán 9T2 và gi thi t M là đi m chính gi a cung AC ta tìmả ế ể ữ
đ c v trí c a C ngay.ượ ị ủ
V i cách trình bày d i m nh đ “khi và ch khi” k t h p v i suy lu n choớ ướ ệ ề ỉ ế ợ ớ ậ
ta l i gi i ch t ch h n. Em v n có th vi t l i gi i cách khác b ng cách đ a raờ ả ặ ẽ ơ ẫ ể ế ờ ả ằ ư
nh n đ nh tr c r i ch ng minh v i nh n đ nh đó thì có k t qu , tuy nhiên ph iậ ị ướ ồ ứ ớ ậ ị ế ả ả
trình bày ph n đ o: Đi m C n m trên n a đ ng tròn mà thì AD là ti p tuy n.ầ ả ể ằ ử ườ ế ế
Ch ng minh nh n đ nh đó xong ta l i trình bày ph n đ o: AD là ti p tuy n thì .ứ ậ ị ạ ầ ả ế ế
T đó k t lu nừ ế ậ .
4. Phát hi n di n tích ph n tam giác ADC ngoài đ ng tròn (O) chính làệ ệ ầ ở ườ
hi u c a di n tích t giác AOCD và di n tích hình qu t AOC thì bài toán d tínhệ ủ ệ ứ ệ ạ ễ
h n so v i cách tính tam giác ADC tr cho di n tích viên phân cung AC.ơ ớ ừ ệ
Bài 3 Cho n a đ ng tròn (O) đ ng kính AB = a. G i Ax, By là các tiaử ườ ườ ọ
vuông góc v i AB ( Ax, By thu c cùng m t n a m t ph ng b AB). Qua đi mớ ộ ộ ử ặ ẳ ờ ể
M thu c n a đ ng tròn (O) (M khác A và B) k ti p tuy n v i n a đ ng trònộ ử ườ ẻ ế ế ớ ử ườ
(O); nó c t Ax,ắ By l n l t E và F.ầ ượ ở
1. Ch ng minh: ứ
2. Ch ng minhứ t giác AEMO n i ti p; hai tam giác MAB và OEF đ ngứ ộ ế ồ
d ng.ạ
3. G i K là giao đi m c a AF và BE, ch ng minh ọ ể ủ ứ .
4. Khi MB = .MA, tính di n tích tam giác KAB theo a. ệ
BÀI GI I CHI TI T Ả Ế
1. Ch ng minh: ứ.
EA, EM là hai ti p tuy n c a đ ng tròn (O)ế ế ủ ườ
c t nhau Eắ ở nên OE là phân giác c a .ủ
T ng t : OF là phân giác c a ươ ự ủ .
Mà và k bù nên: (đpcm) ềhình 4
2. Ch ng minh: T giác AEMO n i ti p; hai tam giác MAB và OEF đ ngứ ứ ộ ế ồ
d ng.ạ
Ta có: (tính ch t ti p tuy n)ấ ế ế
ﾷ
0
60BC =
ﾷ
0
60BC =
ﾷ
0
EOF 90=
MK AB⊥
3
ﾷ
0
EOF 90=
ﾷ
AOM
ﾷ
BOM
ﾷ
AOM
ﾷ
BOM
ﾷ
0
90EOF =
ﾷ
ﾷ
0
90EAO EMO= =
T giác AEMO có nên n i ti p đ c trong m t đ ng tròn.ứ ộ ế ượ ộ ườ
Tam giác AMB và tam giác EOF có:, (cùng ch n cung MO c a đ ng trònắ ủ ườ
ngo i ti p t giácạ ế ứ AEMO. V y Tam giác AMB và tam giác EOF đ ng d ngậ ồ ạ
(g.g).
3. G i K là giao đi m c a AF và BE, ch ng minh .ọ ể ủ ứ
Tam giác AEK có AE // FB nên: . Mà : AE = ME và BF = MF (t/ch t hai ti pấ ế
tuy n c t nhau)ế ắ . Nên . Do đó MK // AE (đ nh lí đ o c a đ nh lí Ta- let)ị ả ủ ị . L i có:ạ
AE AB (gt) nên MK AB.
4. Khi MB = .MA, tính di n tích tam giác KAB theo aệ.
G i N là giao đi m c a MK và AB, suy ra MN AB. ọ ể ủ
FEA có MK//AE nên (1). BEA có NK//AE nên (2).
Mà (do BF // AE) nên hay (3).
T (1), (2)ừ và (3) suy ra . V y MK = NK.ậ
Tam giác AKB và tam giác AMB có chung đáy AB nên: .
Do đó.
Tam giác AMB vuông M nên tg A = . ở
V y AM = và MB = = (đvdt)ậ.
L i bànờ:
(Đây là đ thi tuy n sinh vào l p 10 năm h c 2009-2010 c a t nh Hà Namề ể ớ ọ ủ ỉ ) .
T câu 1 đ n câu 3 trong quá trình ôn thi vào l p 10 ch c ch n th y cô nàoừ ế ớ ắ ắ ầ
cũng ôn t p, do đó nh ng em nào ôn thi nghiêm túc ch c ch n gi i đ c ngay,ậ ữ ắ ắ ả ượ
kh i ph i bàn, nh ng em thi năm qua t nh Hà Nam xem nh trúng tỏ ả ữ ở ỉ ư ủ. Bài toán
ﾷ
ﾷ
0
180EAO EMO+ =
ﾷ
ﾷ
0
EOF 90AMB = =
ﾷ
ﾷ
MAB MEO=
MK AB⊥
AK AE
KF BF
=
AK ME
KF MF
=
⊥⊥
3
⊥
∆
MK FK
AE FA
=
∆
NK BK
AE BE
=
FK BK
KA KE
=
FK BK
KA FK BK KE
=
+ +
FK BK
FA BE
=
MK KN
AE AE
=
1
2
AKB
AMB
S KN
S MN
= =
1
2
AKB AMB
S S=
3
MB
MA =
ﾷ
0
60MAB =�
2
a
3
2
a
1 1 3
. . .
2 2 2 2
AKB
a a
S=�
2
13
16 a