Tham khảo tài liệu 'các bài toán về hệ số trong khai triển nhị thức newton (bài tập và hướng dẫn giải)', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Các bài toán về hệ số trong khai triển nhị thức Newton (Bài tập và hướng dẫn giải)
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 02 tháng 04 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
BTVN NGÀY 02-04
Các bài toán về hệ số trong khai triển nhị thức Newton.
Bài 1: Tìm hệ số của x3 trong khai triển:
n
2 2 . Biết n thõa mãn: C1 + C 3 + ... + C 2 n −1 = 223
x + 2n 2n 2n
x
Bài 2: Cho Cn + 2Cn + 2 Cn ... + 2 Cn = 6561 .
0 1 2 2 n n
Tìm hệ số của số hạng chứa x7 và tổng tất cả các hệ số của các số hạng trong khai
triển:
n
2 3
x −
x
Bài 3: Tìm số hạng có số mũ của x gấp 2 lần số mũ của y trong khai triển:
28
3 y
x −
x
Bài 4: Tìm hệ số của x2008 trong khai triển Newton của đa thức:
f ( x) = ( x 2 − 2 ) ( x + 1)
670 670
Bài 5: Tìm hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển:
f ( x) = ( 1 + 2 x + 3x 2 )
n
Biết rằng n là số tự nhiên thõa mãn đẳng thức:
Cn .Cn − 2 + 2Cn .Cn + Cn .Cn −3 = 100
2 n 2 3 3 n
………………….Hết…………………
BT Viên môn Toán hocmai.vn
Trịnh Hào Quang
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
HDG CÁC BTVN
• BTVN NGÀY 02-04
Bài 1: Tìm hệ số của x3 trong khai triển:
n
2 2 . Biết n thõa mãn: C1 + C 3 + ... + C 2 n −1 = 223
x + 2n 2n 2n
x
Giải:
(1 + x) 2 n = C2 n + C2 n .x + C2 n .x 2 + ... + C2 n −1.x 2 n −1 + C2 n .x 2 n
0 1 2 2n 2n
− 2 n −1 2 n −1
(1 − x) = C2 n − C2 n .x + C2 n .x − ... − C2 n .x + C2 n . x 2 n
2n 0 1 2 2 2n
Ta có :
(1 + x) 2 n − (1 − x) 2 n = 2 ( xC2 n + ... + x 2 n −1C2 n −1 )
1 2n
2 n −1 22 n
Cho x = 1 ⇒ C + ... + C
1
2n 2n = = 22 n −1 = 223 ⇒ 2n − 1 = 23 ⇒ n = 12
2
12 12 − k
2 2 12
2k 2
12
⇒ x + = ∑ C12 .x .
k
=∑ C12 .212− k .x 3k −12
k
x k =0 x k =0
⇒ 3k − 12 = 3 ⇒ k = 5 ⇒ HS x 3 là : C12 .27 = 101376
5
Bài 2: Cho Cn + 2Cn + 2 Cn ... + 2 Cn = 6561 .
0 1 2 2 n n
Tìm hệ số của số hạng chứa x7 và tổng tất cả các hệ số của các số hạng trong khai
triển:
n
2 3
x −
x
Giải:
Page 2 of 7
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Ta có : (1 + x) n = Cn + Cn .x + Cn .x 2 + ... + Cn −1.x n −1 + Cnn .x n
0 1 2 n
khi x = 2 ⇒ 6561 = Cn + 2Cn + 22 Cn ... + 2n Cn = 3n ⇒ n = 8
0 1 2 n
8
2 3 8 8
⇒ x − = ∑ C8 x ( −3) .x = (−1) 3 ∑ C8k x 3k −8
k 2k 8− k k −8 k 8− k
x k =0 k =0
⇒ 3k − 8 = 7 ⇒ k = 5 ⇒ HS x 7 là : − 33 C85 = −1512
8
∑ các HS = ∑ C k =0
k
8 (−3)8− k = ((1 − 3)8 = (−2)8 = 256
Bài 3: Tìm số hạng có số mũ của x gấp 2 lần số mũ của y trong khai triển:
28
3 y
x −
x
Giải:
28− k
y 28 28 k 3k 28− k y
28
Ta có : ( x − ) = ∑ C28 x .(−1) .
3
= ∑ C28 .( −1) 28− k .x 4 k − 28 . y 28− k
k
x k =0 x k =0
Do SM ( x) = 2 SM ( y ) ⇒ 4k − 28 = 2(28 − k ) ⇔ k = 14
=> Số hạn cần tìm là:
14
C28
Bài 4: Tìm hệ số của x2008 trong khai triển Newton của đa thức:
f ( x) = ( x 2 − 2 ) ( x + 1)
670 670
Giải:
Coi n = 670 ⇒ 2008 = 3n − 3 ta có bài toán :
Tìm hệ số a3n-3 của x3n-3 trong khai triển đa thức: f ( x) = ( x 2 − 2 ) ( x + 1)
n n
Page 3 of 7
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Ta có:
f ( x) = ( x 2 − 2 ) ( x + 1)
n n
( x 2 − 2 ) = ( −2 + x 2 ) = Cn0 (−2)n + Cn1 (−2)n−1 x 2 + Cn3 (−2)n−2 .x 4 + ... + Cnn x 2n
n n
( 1+ x)
n
= Cn + Cn x + Cn x 2 + ... + Cn x n
0 1 2 n
⇒ a3n −3 = Cn ( Cnn −3 ) + (−2)Cn −1.Cn −1 = Cn −3 − 2n 2 = C670 − 2.6702 = 49005140
n n n n 667
Bài 5: Tìm hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển:
f ( x) = ( 1 + 2 x + 3x 2 )
n
Biết rằng n là số tự nhiên thõa mãn đẳng thức:
Cn2 .Cnn − 2 + 2Cn2 .Cn + Cn .Cn −3 = 100(*)
3 3 n
Giải:
(*) ⇔ ( Cn ) + 2Cn .Cn + ( Cn ) = 100 ⇔ ( Cn + Cn ) = 100
2 2 2
3 3 2 3 2 2
n(n − 1) n(n − 1)(n − 2)
⇒ Cn2 + Cn = 10 ⇔
3
+ = 10 ⇔ n3 − n − 60 = 0 ⇒ n = 4
2 6
4
⇒ f ( x) = ( 1 + 2 x + 3 x ) = ∑ C ( 3x ) . ( 1 + 2 x )
2 4 2 2
k k
4
k =0
4 k
= ∑ C .3 .xk
4
4−k 8− 2 k
.∑ (2 x) m .Ckm
k =0 m=0
Page 4 of 7
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
m − 2k + 8 = 4 2k − m = 4
4 k
= ∑∑ ( C4 .Ckm .34− k .2m ) .x m − 2 k +8 ⇒ 0 ≤ k ≤ 4
k
⇒ 0 ≤ k ≤ 4
k =0 m =0 0 ≤ m ≤ k 0 ≤ m ≤ k
m = 2k − 4 k = 2; m = 0
m = 2k − 4
⇒ 0 ≤ k ≤ 4 ⇔ ⇒ k = 3; m = 2
0 ≤ m ≤ k 2 ≤ k ≤ 4
k = 4; m = 4
⇒ HS = C4 .C2 .32 + 3C4 .C32 .4 + C4 .C4 .30.24 = 54 + 144 + 16 = 214
2 0 3 4 4
• BTVN NGÀY 05-04
Bài 1: Tìm n nguyên dương thõa mãn:
C2 n +1 22 n − 2C2 n +1.3.22 n −1 + 3C2 n +1.32.22 n − 2 − .... − 2nC2 n +1 32 n −1.2
1 2 3 2n
2 n +1
+ (2n + 1)C2 n +1 32 n = 2011
Giải:
Xét khai triển:
( 2 − x)
2 n +1
= C2 n +1.22 n +1 − C2 n +1.22 n.x 2 + ... + C2 n +1.2.x 2 n − C2 n +1 .x 2 n +1
0 1 2n 2 n +1
Đạo hàm 2 vế:
( 2 − x)
2 n +1
= C20n +1.22 n +1 − C2 n +1.22 n.x + ... + C22nn+1.2.x 2 n − C22nn++11.x 2 n +1
1
⇒ − (2n + 1) ( 2 − x )
2n
= − C2 n +1.22 n + 2C22n +1.22 n −1.x + ... + 2nC22nn+1.2.x 2 n −1 − (2n + 1)C22nn++11.x 2 n
1
Cho x = 3 ⇒ 2n + 1 = C2 n +1.22 n − 2C22n +1.22 n −1.3 − ... − 2nC22nn+1.2.32 n −1 + (2n + 1)C22nn++11.32 n = 2011
1
⇒ n = 1005
Page 5 of 7
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Bài 2: Tính tổng:
0 1
1.Cn 2.Cn 3.Cn2
(n + 1).Cn
n
S = 1 + 1 + 1 + ... + 1
A1 A2 A3 An +1
Với: Cn
0
+ Cn + Cn2 = 211
1
Giải:
n
(k + 1)Cnk
(k + 1)Cn (k + 1)Cn
k k
S =∑ vì : = = Cn
k
k =0
1
Ak +1 1
Ak +1 (k + 1)!
k!
⇒ S = Cn + Cn + Cn + ... + Cn = (1 + 1) n = 2n
0 1 2 n
n(n − 1)
Mà : 211 = Cn + Cn + Cn ⇔ 1 + n +
0 1 2
= 211 ⇔ n 2 + n − 420 = 0
2
⇔ n = 20 ⇒ S = 220
Bài 3: Chứng minh hệ thức:
2.1Cn2 + 3.2Cn + 4.3Cn + ... + n(n − 1)Cnn = n(n − 1)2n − 2
3 4
Giải:
Ta có : (1 + x) n = Cn + Cn .x + Cn2 .x 2 + ... + Cnn −1.x n −1 + Cnn .x n
0 1
Đạo hàm 2 vế ta có:
n(1 + x ) n −1 = Cn + 2Cn2 .x + ... + (n − 1)Cnn −1.x n − 2 + nCnn .x n −1
1
Đạo hàm lần nữa ta có:
n(n − 1)(1 + x)n− 2 = 2.1Cn2 + 3.2Cn3 x + ... + (n − 1)(n − 2)Cnn−1 x n− 3 + n(n − 1)Cnn .x n− 2
Cho x=1 ta có:
VT = n(n − 1)2n − 2 = VP ⇒ dpcm
Page 6 of 7
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Bài 4: Tính tổng:
S = ( Cn ) + 2 ( Cn ) + 3 ( Cn ) + ... + n ( Cnn )
1 2 2 23 2 2
Giải:
Ta có :(1 + x) n .(1 + x) n = (1 + x) 2 n
Đạo hàm 2 vế ta có:
2 (1 + x) n '.(1 + x) n = (1 + x) 2 n '
(1 + x ) n ' = Cn + 2Cn .x + ... + (n − 1)Cn −1.x n −2 + nCn .x n −1 (1)
1 2 n n
Mà : (1 + x) n = Cn + Cn .x + Cn .x 2 + ... + Cn −1.x n −1 + Cn .x n (2)
0 1 2 n n
(1 + x ) ' = C2 n + 2C2 n .x + ... + (2n − 1)C2 n .x
2 n −1 2 n − 2
2n
1 2
+ 2nC2 n .x 2 n −1
2n
⇒ Qua (1) và (2) ⇒ HS x n −1 là: ( Cn ) + 2 ( Cn2 ) + 3 ( Cn ) + ... + n ( Cn )
1 2 3 2 n 2 2
Mà qua (3) : HS x n −1 là:nC2 n
n
⇒ S = ( Cn ) + 2 ( Cn ) + 3 ( Cn ) + ... + n ( Cn ) = nC2 n
1 2 2 32 n2 n 2
Bài 5: Tính tổng:
2 2 2 2
C C C
1 2
C 3 n
S = + n
+ + ... +
n
n n
2 3 4 n +1
Cách làm bài này tương tự bài trên nhưng các bạn dung phương pháp đạo hàm 2 vế.
………………….Hết…………………
BT Viên môn Toán hocmai.vn
Trịnh Hào Quang
Page 7 of 7
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
