Tr
ng THCS H p Minh
www.vnmath.com Năm h c 2011-2012
ườ
ợ
ọ
PH N I: Đ I S
Ạ Ố
Ầ
ạ
Ủ Ề CĂN TH C – BI N Đ I CĂN TH C Ứ . ứ
Ế Ổ ứ
2
+
ứ ề ủ ứ ể
-
CH Đ 1: D ng 1: Tìm đi u ki n đ bi u th c có ch a căn th c có nghĩa. Bài 1: Tìm x đ các bi u th c sau có nghĩa.( Tìm ĐKXĐ c a các bi u th c sau). x 8)
Ứ ệ ể ể ể ứ ể 1
1)
3x
3
2
5 2)
2x
x 9)
2
1
2
+
- -
10)
x
3x
7
3)
7x
14
2
+
- -
4)
2x
1
11)
2x
5x
3
- -
1
12)
5)
2
x3 +
+
-
7x
2
x
5x
6
+
1
3x
+
13)
6)
-
x 7
3x
x5
3 x 1
+
+
- - -
14)
6x
1
x
3
)7
2
-
2x
-
x ế ổ ơ
x
>
ạ ả D ng 2: Bi n đ i đ n gi n căn th c. Bài 1: Đ a m t th a s vào trong d u căn. ừ ố ứ ấ ư ộ
a)
;
x b)
(víi
x
0);
c)
x
;
d)
(x
5)
;
x e)
2
3 5
25
x
7 2 x
2 5
- -
2 x Bài 2: Th c hi n phép tính.
5 3 ự
+
+
+
+
ệ
a)
(
28
2
14
)7
7
;87
d)
526
;526
+
+
- (cid:215) -
b)
238(
)(10
32
0,4)
;
e)
11
26
11
26
3
+
- - - -
c)
(15
50
5
200
3
450
:)
;10
f)
3 25
-+ 7
25
7
3;
3
+
+
+
- -
14
;2
h)
3
26
15
3
26
15
3
g)
2
- - -
20 20 Bài 3: Th c hi n phép tính.
3 ự
14 ệ
+
7
5
1
625
28
15
6
+
b)
:)
c)
a)
(
)
216 3
1 6
14 1
2
15 1
3
7
5
2
+ 27
10
- - - - - (cid:215) - B - - - -
ự
32 8 ài 4: Th c hi n phép tính. ệ +
+
+
+
)
(4
)(15
10
a
6)
4
15
b)
(3
5)
3
5
(3
5)
3
5
+
+
+
- - - -
c)
3
5
5
2
d)
4
7
4
7
7
3
+
+
+
- - - - -
e)
12
62
-
12 Bài 5: Rút g n các bi u th c sau:
6,5 ọ
6,5 ứ
www.vnmath.com
1
ể
Tr
ng THCS H p Minh
www.vnmath.com Năm h c 2011-2012
ườ
ợ
ọ
1
1
3
a)
b)
+
+
+
+
7
24
1
7
24
1
3 -+ 113
113
+
+
- - - -
+
+
c)
d)
+
- -
3 3
5 5
3 3
5 5
- -
625 6 5 Bài 6: Rút g n bi u th c: ể ọ
625 + 6 5 ứ
+
+
+
+
+
a)
526
13
48
b)
4
535
48
10
347
+
+
c)
++ ...
1 +
1 +
1 +
2
3
3
4
99
100
1
2
- -
1 + ứ
1
Bài 7: Rút g n bi u th c sau:
>
, víi
a
> 0b 0,
vµ a
b.
:
a)
a
b
ể ọ + abba „ -
ab +
a
a
a
a
+
, víi
> 0a
vµ a
1.
1
1 b)
+ 1a
1a
+
(cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) - (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) „ - (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) - ł Ł ł Ł
8aa
a4
c)
;
- -
2a 4a
+
-
d)
4 5a
(1
4a
2 )4a
1 2a
1
2
2
+
+
3x
3y
2
- (cid:215) -
e)
2
2
6xy 4
x
y
(cid:215) -
1
1
2
=
+
=
=
Bài 8: Tính giá tr c a bi u th c ứ ị ủ ể
xA a)
3x
y
2y,
khi
x
y;
+
25
549
3
3
3
=
+
=
+
- -
xB b)
12x
8 víi
x
54(
1)
54(
;1)
2
2
- - -
)
+
+
+
+
=
(
)(
+= , yxC c)
biÕt x
x
y3
y
3
3;
2
2
2
2
=
+
+
+
+
+
=
D d)
16
2x
x
9
2x
, x
biÕt
16
2x
x
9
2x
x
1.
2
2
2
=
+
+
+
+
+
=
y1xE e)
+ , x1y
)(1
xy
(1
x
a.
- - - - -
biÕt ứ
ổ ợ ạ ỹ -
2 )y D ng 3: Bài toán t ng h p ki n th c và k năng tính toán. ế 3x
=
P
1x
2
Bài 1: Cho bi u th c ứ ể - -
3 ).
+
2a
a
=
+
ọ
A
1.
a
- Bài 2: Xét bi u th c ứ ể - a) Rút g n P. b) Tính giá tr c a P n u x = 4(2 - ị ủ c) Tính giá tr nh nh t c a P. ị ỏ a + 1a ế ấ ủ + 2 a a
www.vnmath.com
2
a) Rút g n A. ọ
Tr
ng THCS H p Minh
www.vnmath.com Năm h c 2011-2012
ườ
ợ
ọ
b) Bi t a > 1, hãy so sánh A v i ế ớ A .
=
+
ể c) Tìm a đ A = 2. d) Tìm giá tr nh nh t c a A. ị ỏ
C
+
x x1
1 x2
2
2
- Bài 3: Cho bi u th c ứ ể - - ấ ủ 1 x2
x =
a) Rút g n bi u th c C. ứ ể ọ
C =
.
b) Tính giá tr c a C v i . ị ủ ớ
4 9 1 3
c) Tính giá tr c a x đ ể ị ủ
a
a
=
+
M
1
:
2
2
2
2
b 2
2
a
b
a
b
a
a
b
(cid:246) (cid:230) (cid:247) (cid:231) - Bài 4: Cho bi u th c ứ ể (cid:247) (cid:231) - - - - ł Ł
.
a) Rút g n M. ọ
a = b
3 2
b) Tính giá tr M n u ế ị
2
+
(1
=
P
.
+
x) 2
x
ề (cid:246) (cid:230) - - (cid:247) (cid:231) (cid:215) - Bài 5: Xét bi u th c ứ ể (cid:247) (cid:231) - ể x 2 1x c) Tìm đi u ki n c a a, b đ M < 1. ệ ủ x 2 + 1x2 ł Ł
+
+
=
Q
.
9 +
x2 x5x
6
x x
3 2
1x2 x 3
ọ ằ a) Rút g n P. b) Ch ng minh r ng n u 0 < x < 1 thì P > 0. ế ứ c) Tìm giá tr l n nh t c a P. ấ ủ ị ơ - - - Bài 6: Xét bi u th c ứ ể - - -
2
3
3
+
y
x
xy
y
=
H
:
ọ ể ng ng c a Q cũng là s nguyên. a) Rút g n Q. b) Tìm các giá tr c a x đ Q < 1. ị ủ c) Tìm các giá tr nguyên c a x đ giá tr t ể ị ủ ủ ố (cid:246) (cid:230) ị ươ ứ ( - - - (cid:247) (cid:231) - Bài 7: Xét bi u th c ứ ể (cid:247) (cid:231) -
) y +
y
x x
y
x
x x
y
- ł Ł
ọ
=
+
A
1
:
.
a + 1a
1 1a
a2 + a
aa
1a
a) Rút g n H. b) Ch ng minh H ≥ 0. ứ c) So sánh H v i ớ H . (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) - Bài 8: Xét bi u th c ứ ể (cid:247) (cid:231) (cid:247) (cid:231) - - - ł Ł ł Ł
=
ọ
- . a) Rút g n A. b) Tìm các giá tr c a a sao cho A > 1. ị ủ c) Tính các giá tr c a A n u ị ủ
+
=
M
.
a 9x x
2007 3 2
2 + 1x + 2 x
2006 x 2 x
1
3x x
- - - Bài 9: Xét bi u th c ứ ể ế + + - -
www.vnmath.com
3
ọ a) Rút g n M. b) Tìm các giá tr nguyên c a x đ giá tr t ng ng c a M cũng là s nguyên. ủ ể ị ị ươ ứ ủ ố
Tr
ng THCS H p Minh
www.vnmath.com Năm h c 2011-2012
ườ
ợ
ọ
=
+
.
P
+ +
15 + x
x x2
11 3
x3 1
2 x
x2 x
3 3
- - - Bài 10: Xét bi u th c ứ ể - -
P =
.
a) Rút g n P. ọ
1 2
b) Tìm các giá tr c a x sao cho ị ủ
. c) So sánh P v i ớ
.
NG TRÌNH B C HAI – Đ NH LÝ VI-ÉT
2 3 ƯƠ
Ậ
Ị
Ch đ 2: PH ủ ề D ng 1: Gi
i ph ng trình b c hai. ạ ả ươ ậ
Bài 1: Gi ng trình ả ươ
2) 4x2 – 8x + 3 = 0 ; 4) -30x2 + 30x – 7,5 = 0 ; 6) x2 – 2x – 2 = 0 ; 8) 2 3 x2 + x + 1 = 3 (x + 1) ;
i các ph 1) x2 – 6x + 14 = 0 ; 3) 3x2 + 5x + 2 = 0 ; 5) x2 – 4x + 2 = 0 ; 7) x2 + 2 2 x + 4 = 3(x + 2 ) ; 9) x2 – 2( 3 - 1)x - 2 3 = 0.
Bài 2: Gi ng trình sau b ng cách nh m nghi m: ằ ả ẩ ươ ệ
2) 5x2 – 17x + 12 = 0 ; 4) (1 - 2 )x2 – 2(1 + 2 )x + 1 + 3 2 = 0 ;
6) 5x2 + 24x + 19 = 0 ;
i các ph 1) 3x2 – 11x + 8 = 0 ; 3) x2 – (1 + 3 )x + 3 = 0 ; 5) 3x2 – 19x – 22 = 0 ; 7) ( 3 + 1)x2 + 2 3 x + 3 - 1 = 0 ; 8) x2 – 11x + 30 = 0 ; 9) x2 – 12x + 27 = 0 ; 10) x2 – 10x + 21 = 0.
=
+
+
0
(Èn x)
ạ ươ D ng 2: Ch ng minh ph ứ Bài 1: Ch ng minh r ng các ph ng trình có nghi m, vô nghi m. ệ ng trình sau luôn có nghi m. ằ ứ ệ ệ 2) x2 + (m + 1)x + m = 0 ; 4) x2 + 2(m + 2)x – 4m – 12 = 0 ; 6) x2 – 2x – (m – 1)(m – 3) = 0 ; 8) (m + 1)x2 – 2(2m – 1)x – 3 + m = 0 ươ 1) x2 – 2(m - 1)x – 3 – m = 0 ; 3) x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0 ; 5) x2 – (2m + 3)x + m2 + 3m + 2 = 0 ; 7) x2 – 2mx – m2 – 1 = 0 ; 9) ax2 + (ab + 1)x + b = 0. Bài 2: a) Ch ng minh r ng v i a, b , c là các s th c thì ph ng trình sau luôn có nghi m: ố ự ứ ằ ớ ươ ệ (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0 b) Ch ng minh r ng v i ba s th c a, b , c phân bi t thì ph ng trình sau có hai nghi m phân bi ố ứ ứ ằ ớ ệ ươ ệ ế t:
- - -
2x2 + (a2 – b2 – c2)x + b2 = 0 vô nghi m v i a, b, c là đ dài ba
1 cx ằ
1 1 ax bx c) Ch ng minh r ng ph ứ c nh c a m t tam giác. ộ ạ d) Ch ng minh r ng ph
ng trình: c ươ ệ ớ ộ
ng trình b c hai: ủ ứ ằ ươ ậ (a + b)2x2 – (a – b)(a2 – b2)x – 2ab(a2 + b2) = 0 luôn có hai nghi m phân bi t. ệ ệ Bài 3: a) Ch ng minh r ng ít nh t m t trong các ph ng trình b c hai sau đây có nghi m: ứ ằ ấ ộ ệ ươ
www.vnmath.com
4
ậ ax2 + 2bx + c = 0 (1) bx2 + 2cx + a = 0 (2) cx2 + 2ax + b = 0 (3)
Tr
ng THCS H p Minh
www.vnmath.com Năm h c 2011-2012
ườ
ợ
ọ
b) Cho b n ph ố ươ ng trình ( n x) sau: ẩ
2b
2
+
=
ng trình có nghi m. x2 + 2ax + 4b2 = 0 (1) x2 - 2bx + 4a2 = 0 (2) x2 - 4ax + b2 = 0 (3) x2 + 4bx + a2 = 0 (4) ng trình trên có ít nh t 2 ph ứ ươ ệ ấ Ch ng minh r ng trong các ph ươ ằ ng trình ( n x sau): c) Cho 3 ph ẩ ươ
ax
x
0
(1)
1 +
a
c
a
2
+
=
-
bx
x
0
(2)
+ cb + cb + c +
1 +
b
a
a +
b
2
+
=
-
cx
x
0
(3)
a +
2c c 2a a
b
1 + cb
-
2 + bx + c = 0.
c. ố ươ ướ ng trình trên có ít nh t m t ph ng trình có nghi m. v i a, b, c là các s d ớ Ch ng minh r ng trong các ph ằ ng cho tr ươ ứ ấ ộ ươ ệ Bài 4: ng trình ax ươ t a ≠ 0 và 5a + 4b + 6c = 0, ch ng minh r ng ph ứ ằ ươ ệ ế ng trình ax ươ ng trình đã cho có hai nghi m. 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có hai nghi m n u m t trong hai đi u ề ộ ệ ế ằ ệ
2 – 3x – 7 = 0.
+
a) Cho ph Bi b) Ch ng minh r ng ph ứ ki n sau đ c tho mãn: ả ượ a(a + 2b + 4c) < 0 ; 5a + 3b + 2c = 0. ng trình b c hai nh nghi m c a ph ạ ứ ố ứ ể ậ ươ ủ ờ ệ ậ ươ ng ị ủ c. ướ ậ ng trình: x D ng 3: Tính giá tr c a bi u th c đ i x ng, l p ph trình b c hai cho tr Bài 1: G i xọ 1 ; x2 là các nghi m c a ph ươ ủ ệ
= xB
2 ;x 2
1
;x 2
2 1 1
1
=
+
(
=
+
)(
+
C
;
D
3x
x
3x
1
2
2
) ;x 1
- Tính: = xA
x
1
x
1
1
2
4
4
+
+
= xE
= xF
x
3 1
3 ;x 2
1
2
1
1
- -
1
x
2
1
vµ 1 x 2 – 3x – 1 = 0. Không gi ng trình: 5x
L p ph ng trình b c hai có các nghi m là . ậ ươ ệ ậ - -
2
3
=
+
i ph ng trình, tính giá ủ ệ ươ ả ươ Bài 2: G i xọ 1 ; x2 là hai nghi m c a ph tr c a các bi u th c sau: ứ ể ị ủ
A
2x
3x
x
2x
3 1
1
2
2
2 ;x3x 1
2
2
- -
2
1
+
+
+
=
;
B
x 1 +
x 2 +
x
1
x x
x
1
1 x
1 x
x x
2
1
1
1
2
2
2
2
+
+
3x
2
=
C
.
x5x 1 + 2
2 4x
3x 2 x
1 x4x 1
2
2
1
(cid:246) (cid:230) (cid:247) (cid:231) - - (cid:247) (cid:231) ł Ł
www.vnmath.com
5
Bài 3:
Tr
ng THCS H p Minh
www.vnmath.com Năm h c 2011-2012
ườ
ợ
ọ
vµ
i ph a) G i p và q là nghi m c a ph ủ ệ ọ ươ ng trình b c hai: 3x ậ
2 + 7x + 4 = 0. Không gi ả p 1q
1
vµ
. ng trình b c hai v i h s b ng s mà các nghi m c a nó là thành l p ph ậ ươ ớ ệ ố ằ ủ ệ ậ ố - - ng trình hãy ươ q 1p
1 + 26
10
10
72
ng trình b c hai có 2 nghi m là . b) L p ph ậ ươ ệ ậ -
2 – 2(m -1)x – m = 0. ươ
=
+
+
=
y
x
vµ y
x
1
1
2
2
Bài 4: Cho ph ng trình x ươ a) Ch ng minh r ng ph ng trình luôn luôn có hai nghi m x ứ ằ ệ ọ
1 ; x2 v i m i m. ớ 1 x
1 x
1
2
b) V i m ≠ 0, l p ph ng trình n y tho mãn . ậ ớ ươ ả ẩ
2 + 5x – 6 = 0. Hãy tính giá tr các bi u th c sau:
Bài 5: Không gi i ph ả ứ ị
x
1
2
)
=
=
+
2x
3x
A
3x
2x
;
B
;
2
1
2
1
x
1
x
2
+
1 +
x
2
1 x
2
=
+
ể x ươ ( ng trình 3x )( - - - -
= xC
D
1
;x 2
-
1 x 1 1 ; x2. Không gi ả
2 x 2 ng trình hãy thi ươ
1 = 2x1 – x2 ; y2 = 2x2 – x1 1 ; x2. Hãy thi
2 – 4x – 10 = 0 có hai nghi m xệ 1 ; y2 tho mãn: y ả 2 – 3x – 1 = 0 có hai nghi m xệ
1 ; y2 tho mãn:
2
=
y
1
=
+
y
x
x 1 x
1
2
a)
b)
2
=
2 +
y
1 x
2
2
2
=
y
2
x 2 x
ng trình 2x i ph ế ậ t l p ng trình n y có hai nghi m y ươ ệ t l p ph ươ ẩ ươ ế ậ ươ ng trình n y có hai ẩ Bài 6: Cho ph ph Bài 7: Cho ph nghi m yệ ng trình 2x ả (cid:236) (cid:239) (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:237) (cid:238) (cid:239) (cid:239) (cid:238)
1 ; x2. Hãy thi
1 ươ
2 + x – 1 = 0 có hai nghi m xệ
1
2
=
+
+
y
y
2
1
2
2
+
=
+
1 ; y2 tho mãn: x x
x x
y
2
1
1
2
1
2
a)
;
b)
2
2
y +
x +
x +
=
1
2
y
y
5x
5x
0.
1
2
1
2
+
=
+
3x
3x
1
2
y y
1
1 ; x2. Hãy l p ph
t l p ph ươ ế ậ ng trình n y có hai ẩ Bài 8: Cho ph nghi m yệ ng trình x ả (cid:236) (cid:239) (cid:236) (cid:239) (cid:239) (cid:237) (cid:237) (cid:239) (cid:239) (cid:238) (cid:239) (cid:238)
ệ ậ ươ ng
y y 2 ng trình 2x Bài 9: Cho ph ươ trình n y có hai nghi m y ệ ẩ
+
=
+
+
=
+
y
y
x
x
2
1
2
1
2 + 4ax – a = 0 (a tham s , a ≠ 0) có hai nghi m x ố 1 ; y2 tho mãn: 1 x
1 vµ y
1 x
1 y
1
2
1
2
ả
D ng 4: Tìm đi u ki n c a tham s đ ph ng trình có nghi m có nghi m kép,vô nghi m. ố ể ươ ệ ủ ề ạ ệ ệ ệ
Bài 1:
2 + 2(m – 1)x – m = 0 ( n x). ng trình có nghi m kép. Tính nghi m kép này. 2 – 2(m + 4)x + 5m + 2 = 0. ệ
www.vnmath.com
6
ươ ẩ ệ ệ ng trình (m – 1)x ể ươ ng trình (2m – 1)x ng trình có nghi m. a) Cho ph Xác đ nh m đ ph ị b) Cho ph ươ Tìm m đ ph ể ươ
Tr
ng THCS H p Minh
www.vnmath.com Năm h c 2011-2012
ườ
ợ
ọ
2 – 2mx + m – 4 = 0. ệ ệ
2 – 2(a – 1)x + a – 5 = 0.
ng trình có nghi m. ng trình có nghi m kép. Tính nghi m kép đó. ệ ủ ệ ủ ể ươ ể ươ ệ
a) Cho ph ng trình: (m – 1)x ươ - Tìm đi u ki n c a m đ ph ề - Tìm đi u ki n c a m đ ph ề b) Cho ph ng trình: (a – 3)x ươ Tìm a đ ph ể ươ
ng trình có hai nghi m phân bi t. ệ ệ
2
2
+
=
6mm
0
a) Cho ph
4
2
+
4x + 2x
x
1
( 2m2 2 x
) x1 1
+ ộ
Bài 2: - - - - . ng trình: ươ
ng trình có ít nh t m t nghi m. ấ ệ
2 + m – 2)(x2 + 4)2 – 4(2m + 1)x(x2 + 4) + 16x2 = 0. Xác đ nh m đ ph
ể ươ ng trình: (m Xác đ nh m đ ph ị b) Cho ph ươ ể ươ ng ị
trình có ít nh t m t nghi m. ấ ệ ộ
ng trình ax ạ ố ể ệ ị
2 + bx + c = 0 tho mãn đi u ki n ệ ả
2 – 2(m + 1)x + 4m = 0 ng trình: x ng trình có nghi m kép. Tìm nghi m kép đó. ể ươ ng trình có m t nghi m b ng 4. Tính nghi m còn l ệ ằ ể ươ ủ ủ
ề D ng 5: Xác đ nh tham s đ các nghi m c a ph ủ cho tr ươ c.ướ ươ ệ ệ ệ ạ
1 ; x2 tho mãn 2x ả 1 ; x2 sao cho A = 2x1
1 – x2 = - 2. 2 + 2x2
ấ ươ ệ ệ ệ
2 – x1x2 nh n giá tr nh ậ
Bài 1: Cho ph 1) Xác đ nh m đ ph ị 2) Xác đ nh m đ ph ị 3) V i đi u ki n nào c a m thì ph ệ ề 4) V i đi u ki n nào c a m thì ph ệ ề 5) Đ nh m đ ph ể ươ 6) Đ nh m đ ph ể ươ 7) Đ nh m đ ph ể ươ i. ộ ng trình có hai nghi m cùng d u (trái d u) ấ ươ ng (cùng âm). ng trình có hai nghi m cùng d ươ ng trình có hai nghi m sao cho nghi m này g p đôi nghi m kia. ệ ệ ấ ng trình có hai nghi m x ệ ng trình có hai nghi m x ệ ị ỏ
2 + x2
2) = 5x1x2 2 + x2
2 2x2
ớ ớ ị ị ị nh t.ấ Bài 2: Đ nh m đ ph ị ng trình có nghi m tho mãn h th c đã ch ra: ả ể ươ ỉ ệ ứ (4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18 2(x1
2) = 5x1 4(x1 3x1x2 – 5(x1 + x2) + 7 = 0. ệ ứ ỉ 2x1 – 3x2 = 1
Bài 3: Đ nh m đ ph ng trình có nghi m tho mãn h th c đã ch ra: ả ệ ệ a) (m + 1)x2 – 2(m + 1)x + m – 3 = 0 ; b) mx2 – (m – 4)x + 2m = 0 ; c) (m – 1)x2 – 2mx + m + 1 = 0 ; d) x2 – (2m + 1)x + m2 + 2 = 0 ; ể ươ ị
2 x1 = x2 2 x1 = x2
x1 = 3x2 2x1 + x2 + 1 = 0
2 + x2 = 6.
2 – (2m – 1)x – 3 + m = 0. Tìm đi u ki n c a m đ ph
a) x2 + 2mx – 3m – 2 = 0 ; b) x2 – 4mx + 4m2 – m = 0 ; c) mx2 + 2mx + m – 4 = 0 ; d) x2 – (3m – 1)x + 2m2 – m = 0 ; e) x2 + (2m – 8)x + 8m3 = 0 ; f) x2 – 4x + m2 + 3m = 0 ; x1 Bài 4:
a) Cho ph
ng trình ệ ủ ể ươ ươ t x ệ ấ
1 ; x2
b) Ch ph
+
=
R
2
ng trình có hai nghi m x nmg trình: (m + 2)x có hai nghi m phân bi ệ ng trình b c hai: x ậ ươ ư ể ề ệ ươ ệ
+
x
3 2 + 2(1 c) Đ nh m đ hi u hai nghi m c a ph
)xx 1 2 ng trình sau đây b ng 2.
sao cho bi u th c đ t giá tr l n nh t. Tìm giá tr l n nh t đó. ứ ể ị ớ ấ ị ớ ạ ấ ệ 1 ; x2 sao cho nghi m này g p đôi nghi m kia. 2 – mx + m – 1 = 0. Tìm m đ ph x2x 1 + 2 x
2 ủ
1 ệ
2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
www.vnmath.com
7
ể ệ ươ ị ằ mx2 – (m + 3)x + 2m + 1 = 0. Bài 5: Cho ph ng trình: ax ươ
Tr
ng THCS H p Minh
www.vnmath.com Năm h c 2011-2012
ườ
ợ
ọ
2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). Ch ng minh r ng đi u ki n c n và đ đ ệ
ng trình có hai nghi m mà nghi m này g p đôi ằ ứ ủ ể ệ ầ ươ ệ ệ ấ ệ Ch ng minh r ng đi u ki n c n và đ đ ph ề 2. nghi m kia là 9ac = 2b ng trình b c hai: ax ậ ươ ệ ầ ứ ề ằ ủ ể Bài 6: Cho ph ph ng trình có hai nghi m mà nghi m này g p k l n nghi m kia (k > 0) là : ươ ệ ấ ệ
2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0. Xác đ nh m đ ph
ầ kb2 = (k + 1)2.ac ng trình b c hai v i m t s . ớ ộ ố ậ ủ ệ ươ D ng 6: So sánh nghi m c a ph ạ Bài 1:
1 ;
1 < x2 < 6.
2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0. Xác đ nh m đ ph
ng trình có hai nghi m x ng trình x ể ươ ị ệ
a) Cho ph ả b) Cho ph bi
1 < x2 < 1.
ng trình có hai nghi m phân ể ươ ị ệ ươ x2 tho mãn 1 < x ươ
2 + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0.
ươ ọ đó tìm đi u ki n đ i v i m đ ph ng trình f(x) = 0 có hai ứ ặ ng trình f(x) = 0 có nghi m v i m i m. ề ớ ố ớ ệ ệ ừ ể ươ ng trình 2x t xệ 1 ; x2 tho mãn: - 1 < x ả Bài 2: Cho f(x) = x2 – 2(m + 2)x + 6m + 1. a) Ch ng minh r ng ph ằ b) Đ t x = t + 2. Tính f(x) theo t, t ơ ệ Bài 3: Cho ph
1 ≤ - 2 ≤ x2.
nghi m l n h n 2. ớ ng trình b c hai: x ậ ươ ố ị ớ ệ ệ ng trình có nghi m kép. Tính các nghi m kép. ệ t l n h n – 1. ơ ệ ớ ươ ộ ệ ộ ớ ơ a) Tìm giá tr c a m đ ph b) Tìm giá tr c a m đ ph ươ ng trình có hai nghi m phân bi 2 + 2(m – 1)x – (m + 1) = 0. ệ ể ươ ể ươ ệ ng trình: x ng trình có m t nghi m nh h n 1 và m t nghi m l n h n 1. ng trình có hai nghi m nh h n 2. 2 – mx + m = 0 có nghi m tho mãn x a) V i giá tr nào c a tham s a, ph ủ b) Xác đ nh a đ ph ể ươ ị ng trình: x Bài 4: Cho ph ị ủ ị ủ Bài 5: Tìm m đ ph ể ươ ỏ ơ ỏ ơ ả ệ
a) Cho ph
D ng 7: Tìm h th c liên h gi a hai nghi m c a ph ng trình b c hai không ph thu c tham ệ ứ ệ ữ ệ ạ ươ ụ ộ ậ ủ s .ố Bài 1:
b) Cho ph
ươ ệ ứ ươ ng ệ ữ ủ ệ trình không ph thu c vào tham s m.
2 – mx + 2m – 3 = 0. Tìm h th c liên h gi a hai nghi m c a ph ng trình: x ộ ụ ậ
ươ ệ ng trình có nghi m, ươ
c) Cho ph
ụ
ố ể ươ ươ ệ
2 – 4(m – 2)x + m(m – 4) = 0. Đ nh m đ ph ớ
1 ; x2. Tìm h th c gi a hai nghi m đ c l p v i m, suy ra v trí c a các nghi m đ i v i hai s – 1 và 1.
ố 2 – 2(m + 2)x + 2(m – 1) = 0. Khi ph ng trình b c hai: (m – 2)x hãy tìm m t h th c gi a các nghi m không ph thu c vào tham s m. ộ ộ ệ ứ ệ ữ ng trình: 8x ị ệ ứ ng trình có hai nghi m x ố ố ớ ộ ậ ữ ủ ệ ệ ị
2x2 – (m – 1)(m + 2)x + m = 0. Khi ph
ng trình b c hai: (m – 1) ươ ệ ng trình có nghi m, ậ ụ ộ ố ữ Bài 2: Cho ph hãy tìm m t h th c gi a các nghi m không ph thu c vào tham s m. ệ Bài 3: Cho ph
1 , x2 v i m i m. ớ
ứ ọ
1
2
+
-=
ươ ộ ệ ứ ng trình: x ươ a) Ch ng minh r ng ph ằ b) Tìm bi u th c liên h gi a x ứ ể ệ ộ ụ
c) Tìm m đ ph
1 ; x2 tho mãn: ả
2 – 2mx – m2 – 1 = 0. ng trình luôn có hai nghi m x ươ ệ ữ 1 ; x2 không ph thu c vào m. x x
x x
5 2
2
1
2 – 2(m + 1)x + m = 0.
ng trình có hai nghi m x . ệ ể ươ
ươ i và bi n lu n ph ả ươ ậ
ệ
ng trình: (m – 1)x ng trình theo m. ệ ng trình có hai nghi m phân bi ệ 1 ; x2: ớ t x ữ 1 ; x2 đ c l p v i m. ộ ậ
www.vnmath.com
8
Bài 4: Cho ph a) Gi b) Khi ph ươ - Tìm m t h th c gi a x ộ ệ ứ - Tìm m sao cho |x1 – x2| ≥ 2.
Tr
ng THCS H p Minh
www.vnmath.com Năm h c 2011-2012
ườ
ợ
ọ
2 – 2(m – 2)x + m – 1 = 0. Ch ng minh r ng n u ph
1 ; x2 thì: 4x1x2 – 3(x1 + x2) + 2 = 0.
ng trình (m – 4)x ng trình có hai ươ ứ ế ằ ươ Bài 5: Cho ph nghi m xệ
ng trình b c hai. ệ ữ ủ ệ ươ ậ ạ ế ố ể ươ ủ ng trình này có m t nghi m b ng k (k ≠ 0) l n m t nghi m c a ệ ệ ằ ầ ộ ộ
D ng 8: M i quan h gi a các nghi m c a hai ph ố Ki n th c c n nh : ớ ứ ầ 1/ Đ nh giá tr c a tham s đ ph ị ph ươ Xét hai ph ng trình: ị ủ ng trình kia: ươ
ax2 + bx + c = 0 (1) a’x2 + b’x + c’ = 0 (2)
ụ ệ ố ộ ố ng trình (2) có m t nghi m b ng k (k ≠ 0) l n m t nghi m c a ph ng trình ủ ệ ầ ộ ươ ị ươ ệ ằ ộ
0 là m t nghi m c a ph
ng trình (1) thì kx ng trình (2), suy ra
i)
2
+
ax
bx
=+ c
0
0
0
(*)
2
+
2 xka'
0
0
ươ ủ ệ ủ ệ ộ ươ ng trình: trong đó các h s a, b, c, a’, b’, c’ ph thu c vào tham s m. Đ nh m đ sao cho ph ể (1), ta có th làm nh sau: ể ư Gi ả ử 0 là nghi m c a ph s x h ph ệ ươ (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:238)
=+ c' kxb' 0 ế ặ ộ ươ
Gi ằ ạ ố ể ng trình (1) và (2) đ ki m tra l i. ừ ạ ng đ ể ng pháp th ho c c ng đ i s đ tìm m. ượ ươ c vào hai ph ng trình b c hai t ậ ể ể ng v i nhau. ớ ươ ươ i h ph ng trình trên b ng ph ả ệ ươ ươ ii) Thay các giá tr m v a tìm đ ị 2/ Đ nh giá tr c a tham s m đ hai ph ố ị Xét hai ph ị ủ ng trình: ươ
ng v i nhau khi và ch khi hai ph ươ ươ ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (3) a’x2 + b’x + c’ = 0 (a’ ≠ 0) (4) ươ ớ ỉ ươ ậ ng trình có cùng 1 t p
<
0
)3(
<
0
)4(
ng trình b c hai t ng đ ng v i nhau ta xét ố ể ươ ậ ươ ươ ớ ườ Tr ng trinhg cuùng vô nghi m, t c là: ng đ ng trình (3) và (4) t Hai ph nghi m (k c t p nghi m là r ng). ỗ ệ ể ả ậ ệ Do đó, mu n xác đ nh giá tr c a tham s đ hai ph ị ủ ị ỗ ng h p sau: hai tr ợ i) ườ ng h p c hai ph ợ ả ươ ứ ệ D (cid:236) (cid:239) (cid:237) D (cid:239) (cid:238)
i h trên ta t m đ
(3)
Δ
0
(4)
=
S
S
(4)
=
(3) P (3)
P (4)
2 h ph
Gi ii) ả ệ Tr i h sau: ượ ị ng h p c hai ph ợ ả c giá tr c a tham s . ố ề ị ủ ươ ườ ả ệ ‡ (cid:236) ng trình đ u có nghi m, ta gi Δ ệ 0 (cid:239) ‡ (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:239) (cid:238)
-=
+
bx
c
ay +
-=
xb'
ya'
c'
ng trình (*) có th đ a v h ph ng trình b c nh t 2 n nh ằ ặ ệ ươ ể ư ề ệ ươ ẩ ấ ậ ư Chú ý: B ng cách đ t y = x sau: (cid:236) (cid:237) (cid:238)
Đ gi ể ả ư ế ế ề ệ ệ ồ
www.vnmath.com
9
i quy t ti p bài toán, ta làm nh sau: - Tìm đi u ki n đ h có nghi m r i tính nghi m (x ; y) theo m. ệ ể ệ 2. - Tìm m tho mãn y = x ả
Tr
ng THCS H p Minh
www.vnmath.com Năm h c 2011-2012
ườ
ợ
ọ
ạ ế i k t qu . ả - Ki m tra l ể -
Bài 1: Tìm m đ hai ph ng trình sau có nghi m chung: ể ươ ệ
2x2 – (3m + 2)x + 12 = 0 4x2 – (9m – 2)x + 36 = 0 ng trình sau có nghi m chung. Tìm nghi m chung đó: ệ ệ ươ ị ớ ủ
Bài 2: V i giá tr nào c a m thì hai ph a) 2x2 + (3m + 1)x – 9 = 0; b) 2x2 + mx – 1 = 0; c) x2 – mx + 2m + 1 = 0; 6x2 + (7m – 1)x – 19 = 0. mx2 – x + 2 = 0. mx2 – (2m + 1)x – 1 = 0. Bài 3: Xét các ph ng trình sau: ươ
ệ ầ ệ ứ ữ ươ ng trình trên có m t nghi m chung duy ộ ệ ax2 + bx + c = 0 (1) cx2 + bx + a = 0 (2) Tìm h th c gi a a, b, c là đi u ki n c n và đ đ hai ph ủ ể ề nh t.ấ Bài 4: Cho hai ph ng trình: ươ
x2 – 2mx + 4m = 0 (1) x2 – mx + 10m = 0 (2) ộ ươ ủ ng trình (2) có m t nghi m b ng hai l n m t nghi m c a ằ ệ ệ ầ ộ ể ố Tìm các giá tr c a tham s m đ ph ph ươ Bài 5: Cho hai ph ng trình: ị ủ ng trình (1). ươ
ệ ng trình trên t ng. ể ủ ữ x2 + x + a = 0 x2 + ax + 1 = 0 ng trình trên có ít nh t m t nghi m chung. ấ ng đ ươ ộ ươ ươ a) Tìm các giá tr c a a đ cho hai ph ị ủ ươ b) V i nh ng giá tr nào c a a thì hai ph ị ng trình: ớ Bài 6: Cho hai ph ươ
x2 + mx + 2 = 0 (1) x2 + 2x + m = 0 (2)
ệ ộ ng. ị ị ể ể ươ
2 + mx + 2)(x2 + 2x + m) = 0 có 4 nghi m phân bi
ng trình có ít nh t m t nghi m chung. ấ ng đ ng trình t ươ ng trình (x a) Đ nh m đ hai ph b) Đ nh m đ hai ph c) Xác đ nh m đ ph ị ệ t ệ ươ ươ ể ươ ng trình: Bài 7: Cho các ph ươ
www.vnmath.com www.vnmath.com www.vnmath.com www.vnmath.com www.vnmath.com www.vnmath.com www.vnmath.com www.vnmath.com www.vnmath.com www.vnmath.com www.vnmath.com www.vnmath.com
10
x2 – 5x + k = 0 (1) x2 – 7x + 2k = 0 (2) ươ ủ ệ ệ ng trình (2) l n g p 2 l n m t trong các nghi m ầ ấ ộ ớ ể ộ ng trình (1). Xác đ nh k đ m t trong các nghi m c a ph ị c a ph ủ ươ
Tr
ng THCS H p Minh
www.vnmath.com Năm h c 2011-2012
ườ
ợ
ọ
www.vnmath.com
NG TRÌNH
ậ
c v d ng c b n
ẩ ư ượ ề ạ
ơ ả ạ
ng trình b c nh t hai n: ấ ng trình c b n và đ a đ ơ ả ng trình
=
+
=
=
4x
2y
2x
3y
5
3)
1)
2)
=
+
=
6x
3y
3 ; 5
4x
6y
10
- - (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:237) (cid:237) (cid:237) -
Ch đ 3: H PH ủ ề Ệ ƯƠ A - H hai ph ệ ươ D ng 1: Gi i h ph ả ệ ươ i các h ph Bài 1: Gi ệ ươ ả 3x 2y 4 ; =+ y
2x
+
=
=
(cid:238) (cid:238) (cid:238)
2x
5y
3
4x
6y
5 =+ 2
3x
4y
6)
4)
0 ;
5)
=
9 =
+
=
2y
; 14
10x
15y
18
- - (cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:237) (cid:237) (cid:237) - - (cid:238) (cid:238) (cid:238)
+
+
Bài 2: Gi
1)
54 ;
2)
( (
+ +
) = =
14 5x 2y 3x i các h ph ng trình sau: ả ệ ươ ) )( ( = 3x 2 2y 3 6xy ; ) )( ( = 4x 5y5 4xy
4 ) 3
) ( 3y4x ) ( -+ 1x3y
12
- - (cid:236) (cid:236) (cid:237) (cid:237) - - (cid:238) (cid:238)
+
y
-=
8
2x
=+ 5
;
4)
3)
)( 3-2x 2y )( + 3y1x + 2-5y + 3y +
10
27 4 5x
6y
=
5
=+ y
6y
(cid:236) (cid:236) - (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:237) (cid:237) - (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:238) (cid:238)
ng pháp đ t n ph
7x x 3y-6x + 5x ụ
ặ ẩ ả ệ ằ D ng 2: Gi ạ Gi ả
+
=
=
+
=
3
4
7
y
x
1)
;
2)
3)
=
=
=
1
; 9
; 4
(cid:236) (cid:236) (cid:236) - (cid:239) (cid:239) (cid:239) - (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:239) (cid:239) (cid:239) - - - (cid:239) (cid:239) (cid:239) -
5x-2y 3 + 1x 3 7 i h b ng ph ươ ng trình sau 1 + 2x 3 + 2x
x
3x + 1x 2x + 1x
2 + 4y 5 + 4y
+ 1x 1x 2 1x
3y + 2y 5 + 2y
2
i các h ph ệ ươ 2 + 2y 4 + 2y (cid:238) (cid:238) (cid:238)
+
=
+
=+
2y31x5
7
2x
1y
0
4)
5)
2
2
2
y ) )
=++
+
(cid:236) - - (cid:236) - (cid:239) (cid:239) (cid:237) (cid:237) - - (cid:239) - (cid:239)
( x2 ( x3
2x
71y2
; 0
2
4x
8x
++ 4
y5
4y
=+ 4
13.
(cid:238) (cid:238)
D ng 3: Xác đ nh giá tr c a tham s đ h có nghi m tho mãn đi u ki n cho tr ố ể ệ ị ủ ề ệ ệ ạ ả ị c ướ
)
+
3ny
2m
3 ệ
Bài 1: a) Đ nh m và n đ h ph ể ệ ươ ị - - (cid:236) (cid:237) - ng trình sau có nghi m là (2 ; - 1). ệ ( + = 2mx nmy1n ( ) = + x2m (cid:238)
2 - 2bx + 3 = 0 có hai nghi m là x = 1 và x = -2. ng trình: ax ồ ẳ x = y = 2m ;
www.vnmath.com
11
ươ ng th ng sau đ ng quy: ị ị t ph ườ mx – (m – 1)y = 2m – 1 b) Đ nh a và b bi ế Bài 2: Đ nh m đ 3 đ ể a) 2x – y = m ; b) mx + y = m2 + 1 ; (m + 2)x – (3m + 5)y = m – 5 ; (2 - m)x – 2y = - m2 + 2m – 2. Bài 3: Cho h ph ng trình ệ ươ
Tr
ng THCS H p Minh
www.vnmath.com Năm h c 2011-2012
ườ
ợ
ọ
+
=
m10
(m lµ
tham sè)
mx +
4y = 4my 2 .
- (cid:236) (cid:237) (cid:238)
x i h ph ng trình khi m = ả ệ ươ i và bi n lu n h theo m. ệ ả ủ ị
2 – y2 đ t giá tr nh nh t. (câu h i t
ậ ệ ệ ấ ng. ệ ớ ố a) Gi b) Gi c) Xác đ nh các giá tri nguyên c a m đ h có nghi m duy nh t (x ; y) sao cho x > 0, y > 0. ể ệ d) V i giá tr nguyên nào c a m thì h có nghi m (x ; y) v i x, y là các s nguyên d e) Đ nh m đ h có nghi m duy nh t (x ; y) sao cho S = x ươ ỏ ấ ệ ấ ủ ệ ạ ị ỏ ươ ng ị ể ệ
=
3m
1
5my
2x
f) Ch ng minh r ng khi h có nghi m duy nh t (x ; y) thì đi m M(x ; y) luôn n m trên m t đ ấ ộ ườ ng ể ệ ằ ớ ị t v i S = xy). ự ớ ứ ằ ẳ ố ị - - - (cid:236) (cid:237) ng trình: Bài 4: Cho h ph ệ ươ ệ th ng c đ nh khi m nh n các giá tr khác nhau. ậ ) ( x1m = ị my + - (cid:238)
i và bi n lu n h theo m. ệ ậ ệ ệ ủ ệ ấ
2 + y2 đ t giá tr nh nh t. ỏ ấ ặ
2).
ệ ị ể ệ ấ ị ạ 2 + 2y = 0. (Ho c: sao cho M (x ; y) ể ệ ấ ị
+
x
2 =
2y
ộ e) Ch ng minh r ng khi h có nghi m duy nh t (x ; y) thì đi m D(x ; y) luôn luôn n m trên m t ể ệ ằ đ a) Gi ả b) V i các giá tr nguyên nào c a m thì h có nghi m duy nh t (x ; y) sao cho x > 0, y < 0. ớ c) Đ nh m đ h có nghi m duy nh t (x ; y) mà P = x ị d) Xác đ nh m đ h có nghi m duy nh t (x ; y) tho mãn x ả ệ n m trên parabol y = - 0,5x ằ ằ ứ ườ ố ị ấ ị ẳ ệ ậ = (cid:236) ng th ng c đ nh khi m nh n các giá tr khác nhau. my (cid:237) Bài 5: Cho h ph ng trình: ệ ươ - (cid:238)
mx 1 ng trình trên khi m = 2. a) Gi b) Tìm các s nguyên m đ h có nghi m duy nh t (x ; y) mà x > 0 và y < 0. ể ệ ệ c) Tìm các s nguyên m đ h có nghi m duy nh t (x ; y) mà x, y là các s nguyên. ệ ể ệ d) Tìm m đ h có nghi m duy nh t (x ; y) mà S = x – y đ t giá tr l n nh t.
ấ ấ i h ph ả ệ ươ ố ố ể ệ ố ấ ị ớ ệ ạ ấ
ơ
ả
B - M t s h b c hai đ n gi n: ộ ố ệ ậ D ng 1: H đ i x ng lo i I ệ ố ứ
x
2
2
)
++ y +
xy +
11 +
=
y
x
= ( x3
y
28
ạ ạ (cid:236) (cid:237) ng trình Ví d :ụ Gi i h ph ả ệ ươ (cid:238)
www.vnmath.com
12
Bài t p t Gi ậ ươ i các h ph : ng trình sau: ng t ự ệ ươ ả
Tr
ng THCS H p Minh
www.vnmath.com Năm h c 2011-2012
ườ
ợ
ọ
2
2
2
2
+
=++
=
x
y
x
4
1)
8
2)
2
2
+ +
+
y =
+
xy xy
+ y =+ y
x x
2
x
y
7
xy
2
2
=++
(cid:236) (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:237) (cid:239) (cid:238) (cid:238)
-=
+
y
19
xy
x
3xy
y
1
4)
3)
2
2
2
+
=
84
3x
13
2
2
2 yx (
+
(cid:236) - (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:237) (cid:239) - (cid:238) (cid:238)
5)
6)
=
( (
+ +
x + = xy )( ) =+ 1y1x 8 ) ) ( ( ++ ++ 1xx 1yy
xy
17
xy )( y1 )( y xy
3y ) =+ 1 ) = 1
x x
2
2
2
(cid:236) (cid:236) (cid:237) (cid:237) - (cid:238) (cid:238)
)
+
+
=
+=+
+
x
xy
y
232
x
7)
8)
2
2
2
2
y )
+
=
xy +
y =
x
y
xy
10 3 ( x19 ( x7
y
2
(cid:236) (cid:236) - (cid:239) (cid:239) (cid:237) (cid:237) (cid:239) (cid:239) - - (cid:238) (cid:238)
+
=
)
=
x (
yx
xy
30
y
6
10)
9)
2
2
y ) y +
)
6 ( x =
+
=
5xy
y
x ( x5
xx
yy
35
(cid:236) (cid:236) - - - (cid:239) (cid:239) (cid:237) (cid:237) (cid:239) (cid:239) (cid:238) (cid:238)
3
x
2y
3
y
=+ 1 =+ 1
x2
D ng 2: H đ i x ng lo i II ệ ố ứ ạ ạ (cid:236) (cid:239) (cid:237) ng trình Ví d :ụ Gi i h ph ả ệ ươ (cid:239) (cid:238)
2
2
=+
3y
2yx
y
1)
2)
2
2
2
=+ 1 =+ 1
3x
y
xy
=+ 2
x
3
2
Bài t p t Gi ậ ươ i các h ph ng t ự ệ ươ ả (cid:236) (cid:236) (cid:239) (cid:239) : ng trình sau: 2 x (cid:237) (cid:237) (cid:239) (cid:239) (cid:238) (cid:238)
=
+
+
=+
2x
x
x
y
4)
3)
3
2
=
+
xy +
1y =
+
2y
x
y
1
y
xy
x
(cid:236) (cid:236) (cid:239) (cid:239) (cid:237) (cid:237) (cid:239) (cid:239) (cid:238) (cid:238)
=
3y
4
x
2
2
=
+
2y
2x
x
y
6)
5)
2
2
=
+
2x
2y
x
y
=
3x
4
y
y x x y
(cid:236) - (cid:239) (cid:236) - (cid:239) (cid:239) (cid:237) (cid:237) (cid:239) - (cid:239) (cid:238) - (cid:239) (cid:238)
+
=
2x
3
=
+
x
3x
8y
7)
8)
3
=
+
y
3y
8x
+
=
2y
1 y 1 x
2
3
(cid:236) (cid:239) (cid:236) (cid:239) (cid:239) (cid:237) (cid:237) (cid:239) (cid:239) (cid:238) (cid:239) (cid:238)
3 x 3 y =
=
+
x
3x
x
7x
3y
9)
y
10)
2
3
=
=
+
7y
3x
(cid:236) (cid:236) - (cid:239) (cid:239) (cid:237) (cid:237) (cid:239) (cid:239) - (cid:238) (cid:238)
x ng pháp th ho c c ng đ i s
3y ươ
ế ặ ộ
y ạ ố
i các h ph
y i b ng ph ả ằ ng trình sau:
www.vnmath.com
13
D ng 3: H b c hai gi ạ Gi ả ệ ậ ệ ươ
Tr
ng THCS H p Minh
www.vnmath.com Năm h c 2011-2012
ườ
ợ
ọ
2
2
=
x
x
xy
y
12
2)
1)
2
2
2
-+ y +
= 01 =+
+
=
x
xy
03
xy
x
y
8
2
(cid:236) - - (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:237) (cid:239) - (cid:238) (cid:238)
-=
+
+
+
=
2
xy
x
x
2
11
0
4)
3)
2
xy =
y 2 -+ y
x
4
5
x
4
x
2
2
2
(cid:236) - - (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:237) (cid:239) - (cid:238) (cid:238)
4 = )
xy )
)
)
+
+
+
=
x
y
= 05
y
x
x
y
8
6)
5)
=
( 2 x
y
xy ( 5 2
x + x
y 3 y
( 3 12
2
x 4 -+ y ( 3 = 05 =+
(cid:236) (cid:236) - - - - (cid:237) (cid:237) - - (cid:238) (cid:238)
x
2
y
8)
7)
2
02 =
0
2
y
x
x x
= y 0 =+ 02
y
2
2
=
- (cid:236) (cid:236) - (cid:237) (cid:237) - - (cid:238) (cid:238)
+
=
3y
5
2x
x
2
xy
1
10)
9)
2
2
2
2
=
=
y +
y
40
x
0
y
2
x
2
y
2
xy
+
=
+
=
- (cid:236) - (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:237) - (cid:239) - - (cid:238) (cid:238)
xy
2x
12)
11)
3x (
36 )
=
+
02y =
x
2y )( 3y2
18
xy
3x
2y
0
2
2
- - (cid:236) (cid:236) (cid:237) (cid:237) - - - (cid:238) (cid:238)
+
x
y
4x
4y
13)
14)
2
2
+
+
+
x
y
4x
4y
= 08 = 08
-+ x 3x )
(cid:236) - - - (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:237) - (cid:239) - (cid:238) (cid:238)
15)
xy xy ( 8xx ( 8x2x
= 1y =+ 5y ( ) + -=+ 1y3y ) ) ( + -=+ 1y5y
6 14
- (cid:236) (cid:237) - (cid:238)
Ch đ 4: HÀM S Đ TH . Ố Ồ Ị
ủ ề
ạ D ng 1: V đ th hàm s ẽ ồ ị Bài 1: V đ th các hàm s sau: ẽ ồ ị ố ố b) y = - 0,5x + 3
ẽ ồ ị a) y = 2x – 5 ; 2 khi: Bài 2: V đ th hàm s y = ax ố a) a = 2 ; b) a = - 1.
ạ ẳ ế t ph ươ ng trình đ ườ ng th ng (d) bi t: D ng 2: Vi Bìa 1: Vi ế t ph ươ ng trình đ ườ ng th ng ẳ ế
0.
D ) : y = 2x – 1/5. ng th ng ( ẳ ớ ườ ng th ng (d’): y = -1/2x + 3. ớ ườ ẳ ụ ớ ộ ng th ng ẳ ạ ồ
): y = 2x – 3; (D ’): y = 7 – 3x t ng tr c Ox m t góc 30 ườ ể a) (d) đi qua A(1 ; 2) và B(- 2 ; - 5) b) (d) đi qua M(3 ; 2) và song song v i đ c) (d) đi qua N(1 ; - 5) và vuông góc v i đ d) (d) đi qua D(1 ; 3) và t o v i chi u d ề ươ e) (d) đi qua E(0 ; 4) và đ ng quy v i hai đ ớ f) (D ạ g) (d) đi qua K(6 ; - 4) và cách g c O m t kho ng b ng 12/5 (đ n v dài). i m t đi m. ả ộ ộ ằ ố ơ ị
ng th ng y = (2k – 1)x + k – 2 v i k là tham s . ố ẳ ớ ườ ể
www.vnmath.com
14
ng th ng 2x + 3y – 5 = 0. ng th ng x + 2y = 0. Bài 2: G i (d) là đ ọ ị ị ị a) Đ nh k đ (d) đi qua đi m (1 ; 6). b) Đ nh k đ (d) song song v i đ ớ ườ c) Đ nh k đ (d) vuông góc v i đ ớ ườ ể ể ể ẳ ẳ
Tr
ng THCS H p Minh
www.vnmath.com Năm h c 2011-2012
ườ
ợ
ọ
ng th ng (d) nào đi qua đi m A(-1/2 ; 1).
d) Ch ng minh r ng không có đ ằ e) Ch ng minh r ng khi k thay đ i, đ ằ ườ ẳ ể ng th ng (d) luôn đi qua m t đi m c đ nh. ổ ườ ố ị ứ ứ ể ẳ ộ
ng đ i gi a đ ng th ng và parabol ị ươ ố ữ ườ ẳ D ng 3: V trí t ạ Bài 1:
2 đi qua đi m (- 2 ; -1). Hãy tìm a và v đ th (P) đó. ầ ượ ườ
-=
2x
y
t đ th hàm s y = ax ẽ ồ ị ố ể t là 2 và - 4. Tìm to đ A và B ộ ầ ượ ạ ộ ể t trên (P) có hoành đ l n l ng th ng AB. ẳ ươ
Bài 2: Cho hàm s ố
a) Bi ế ồ ị b) G i A và B là hai đi m l n l ọ ng trình đ đó suy ra ph t ừ 1 2 a) Kh o sát và v đ th (P) c a hàm s trên. b) L p ph ậ
-=
y
2x
ả ố ng trình đ ng th ng (d) qua A(- 2; - 2) và ti p xúc v i (P). ẽ ồ ị ườ ủ ẳ ươ ế ớ Bài 3:
1 4
Trong cùng h tr c vuông góc, cho parabol (P): và đ ng th ng (D): y = mx - 2m - 1. ệ ụ ườ ẳ
-=
y
2x
ế ớ r ng (D) luôn đi qua m t đi m c đ nh A thu c (P). a) V đ th (P). ẽ ộ ị b) Tìm m sao cho (D) ti p xúc v i (P). c) Ch ng t ộ ứ ỏ ằ ố ị ể ộ
1 2
Bài 4: Cho hàm s ố
ố ẽ ồ ị t ph ng trình đ ấ ể ầ ượ t có hoành đ là - 2; 1. Vi ộ ế ươ ườ ẳ ng th ng
ng th ng MN và ch ế ằ t r ng đ th (D) c a nó song song v i đ ủ ồ ị ớ ườ ẳ ỉ ố ể ị ạ ộ
2 (a „
C
- 1;
3 2
0) và đ ng th ng (D): y = kx + b. ệ ụ ẳ a) V đ th (P) c a hàm s trên. ủ b) Trên (P) l y hai đi m M và N l n l MN. c) Xác đ nh hàm s y = ax + b bi i m t đi m. c t (P) t ắ Bài 5: Trong cùng h tr c to đ , cho Parabol (P): y = ax ạ ộ ế ể c ượ ở 1) Tìm k và b cho bi 2) Tìm a bi ế ế ằ 3)V (D) và (P) v a tìm đ ẽ ườ t (D) đi qua hai đi m A(1; 0) và B(0; - 1). t r ng (P) ti p xúc v i (D) v a tìm đ câu 1). ừ ớ c câu 1) và câu 2). ượ ở ừ (cid:246) (cid:230) (cid:247) (cid:231) 4) G i (d) là đ ng th ng đi qua đi m ọ ườ ể ẳ và có h s góc m ệ ố ł Ł
ủ ng th ng (d) ti p xúc v i (P) ( câu 2) và vuông góc ườ ế ẳ ớ ở ươ ỏ ằ ng trình c a (d). r ng qua đi m C có hai đ ể t ph a) Vi ế b) Ch ng t ứ v i nhau. ớ
NG TRÌNH
Ệ ƯƠ
NG TRÌNH –H PH ng trình:
ằ
ệ
ướ
ƯƠ ươ
c gi ả : L p h ph ậ ệ ươ
ươ ng mà bài toán yêu c u tìm). ườ ầ t theo n và các đ i l t. ng trình(ph ệ ủ ẩ ế ng n là đ i l ẩ ạ ượ ế ề ạ ượ ng trình, (ph ng trình)bi u th m i quan h gi a các l ng. ạ ượ ng đã bi ệ ữ ị ố ượ ng ch a bi ư ươ ng trình, (ph ẩ ể ng trình) ươ
ạ
ủ ề : Ch đ 5 GI I BÀI TOÁN B NG CÁCH L P PH Ậ Ằ Ả A. Các b i bài toán b ng cách l p h ph ậ B ng trình) c 1ướ 1) Ch n n và tìm đi u ki n c a n (thông th ọ ẩ 2) Bi u th các đ i l ị ể 3) L p h ph ậ ệ ươ : Gi B i h ph c 2ướ ả ệ ươ : K t lu n bài toán. c 3ướ B ậ ế D ng 1: Chuy n đ ng ể ộ www.vnmath.com
15
Tr
ng THCS H p Minh
www.vnmath.com Năm h c 2011-2012
ườ
ợ
ọ
ng b , trên đ ng sông có tính đ n dòng n ườ ộ ườ ế ướ c ch y) ả
ớ ậ ố ấ ị . N u xe ch y v i v n t c 50 km/h thì đ n s m h n 1 gi . Tính quãng đ (trên đ Bài 1: ộ ậ ộ ờ ớ ậ ố ế ế ớ ế ế ạ ơ ườ ấ ờ ế A đ n B trong m t th i gian nh t đ nh. N u xe ch y v i v n t c 35 km/h thì đ n M t ôtô đi t ừ ch m m t 2 gi ng AB ờ và th i gian d đ nh đi lúc đ u. ự ị ạ ầ ờ Bài 2:
c. Sau khi đ c i đi xe máy t A đ n B cách nhau 120 km v i v n t c d đ nh tr ượ M t ng ộ ườ ừ ớ ậ ố ự ị ế ướ
1 3 ậ ố ự i. Tìm v n t c d
ng AB ng ườ ng còn l i đó đ n B s m h n d đ nh 24 phút. t r ng ng ng, bi i đó tăng v n t c thêm 10 km/h trên quãng đ ế ằ ạ ơ ự ị ậ ố ườ ườ ớ ườ ế ườ ờ
b n sông A đ n b n sông B v i v n t c 30 km/h, sau đó l B tr v ạ quãng đ đ nh và th i gian xe lăn bánh trên đ ị Bài 3: ộ ế ế ừ ế i ng ữ ả ơ ượ c là 5 km/h và v n t c riêng c a canô lúc xuôi và lúc ng ở ề ớ ậ ố c 1 gi 20 phút. Tính kho ng cách gi a hai b n A và B. ờ c b ng nhau. ậ ố c t ượ ừ ế ượ ằ ủ ờ ế ằ t r ng v n t c dòng n ậ ố ờ ướ
ượ ề c dòng là 2 gi ề t th i gian xuôi dòng sông nhi u ờ ế c dòng là 6 km/h. ậ ố ượ ơ ồ ậ ố c dòng. M t canô xuôi t A. Th i gian xuôi ít h n th i gian đi ng Bi Bài 4: M t canô xuôi m t khúc sông dài 90 km r i ng ộ ộ h n th i gian ng ơ ờ ượ ờ H i v n t c canô lúc xuôi và lúc ng ỏ ậ ố c v 36 km. Bi và v n t c khi xuôi dòng h n v n t c khi ng ượ
c) ướ
c trong 3h 45ph . N u ch y riêng r , m i vòi ướ ướ ế ả ẽ ỗ t r ng vòi ch y sau lâu h n vòi tr c 4 h . c cùng ch y đ y m t b không có n ộ ẻ ầ ớ ầ ể ế ằ ả ơ ả ướ
ầ ) ) D ng 2: Toán làm chung – làm riêng (toán vòi n ạ Bài t p 1:ậ Hai vòi n ph i ch y trong bao lâu m i đ y b ? bi ả ả Gi i ả G i th i gian vòi đ u ch y ch y m t mình đ y b là x ( x > 0 , x tính b ng gi ọ G i th i gian vòi au ch y ch y m t mình đ y b là y ( y > 4 , y tính b ng gi ọ ầ ể ể ầ ả ả ả ả ộ ộ ằ ằ ờ ờ ớ ờ ờ
1 gi vòi đ u ch y đ c ờ ả ượ ầ ( b ) ể
1 x 1 y
1 gi vòi sau ch y đ c ờ ả ượ ( b ) ể
1 y
1 x
1 gi hai vòi ch y đ c + ( b ) (1) ờ ả ượ ể
15 4
h Hai vòi cùng ch y thì đ y b trong 3h 45ph = ầ ể ả
V y 1 gi c hai vòi ch y đ = c 1: ( b ) ( 2) ậ ờ ả ả ượ ể
15 4 1 x
4 15
4 15 1 y t n u ch y m t mình thì vòi sau ch y lâu h n vòi tr
T (1) và (2) ta có h ph ng trình + = ừ ệ ươ
c 4 gi t c là y – x = 4 ả ả ộ ơ ướ ờ ứ M t khác ta bi V y ta có h ph ng trình ế ế ệ ươ ấ ậ
1 y
1 x
4 15
+ =
www.vnmath.com
16
y – x = 4
Tr
ng THCS H p Minh
www.vnmath.com Năm h c 2011-2012
ườ
ợ
ọ
=
a )(
x
2
2
= =
=
+
=
=
x y
6 10
60
0
30
0
6 -=
5,2
4 5
4 y
x x 14 += 4 x
2 y
x 7 += x
x 4
5,2
1 x y
1 + x += x
4 4
b )(
x += x
y
4
-= =
x y
5,1
Ø (cid:236) (cid:236) (cid:237) Ø Œ (cid:236) (cid:236) (cid:236) - - - - (cid:238) (cid:239) (cid:239) Œ Œ (cid:219) (cid:219) (cid:219) (cid:219) (cid:219) (cid:237) (cid:237) (cid:237) (cid:237) º Œ (cid:236) (cid:238) (cid:238) (cid:239) (cid:239) Œ (cid:238) (cid:237) (cid:238) Œ (cid:238) º
ủ ẩ
ệ ệ ậ ả ả ầ ể ầ ể
ộ ố ờ ệ ỗ làm ổ . Nh v y , làm i th cùng làm m t công vi c . N u làm riêng r , m i ng ườ ử ệ ệ i n a vi c thì t ng s gi ờ ư ậ ườ ế ỉ i m t bao nhiêu th i gian ? ệ ế i cùng làm thì hai ng ấ ườ ẽ i ch làm vi c đó trong 6 gi ờ
ẽ ể ử ệ
H (a) tho mãn đk c a n ả H (b) b lo i vì x < 0 ị ạ V y Vòi đ u ch y m t mình đ y b trong 6 h ộ ầ Vòi sau ch y m t mình đ y b trong 10 h ộ Bài t p 2:ậ Hai ng ợ ườ vi c là 12h 30ph . N u hai ng ườ ệ vi c riêng r c công vi c m i ng ệ ỗ ẽ ả Gi i ả G i th i gian ng ọ ờ G i th i gian ng ờ ọ ườ ườ ứ ấ ứ ẽ ể ử ệ
( 1 ) Ta có pt : x + y = 12
i th nh t làm riêng r đ xong công vi c là 2x => 1 gi i th nh t làm đ i th nh t làm riêng r đ xong n a công vi c là x ( x > 0 ) i th hai làm riêng r đ xong n a công vi c là y ( y > 0 ) 1 2 ứ ấ ng ờ ườ ẽ ể ệ ứ ấ ượ c ờ ườ
công vi c ệ
i th hai làm riêng r đ xong công vi c là 2y => 1 gi i th hai làm đ ườ ẽ ể ứ ệ ng ờ ườ ứ ượ c
công vi c ệ th i gian ng 1 x2 G i th i gian ng ờ ọ 1 y2
1 y2
1 6
1 6
1 x2
1 gi c hai ng i làm đ c công vi c nên ta có pt : + = (2) ờ ả ườ ượ ệ
=
x
=+ y
12
x
5
=
x
=
y
=
+
=
y
15 2 5
15 2
1 y 2
(cid:236) (cid:236) (cid:236) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:218) (cid:219) (cid:237) (cid:237) (cid:237) T (1) và (2) ta có h pt : ừ ệ (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:238) (cid:238) (cid:239) (cid:238)
1 2 x ẽ ả
1 2 1 6 ệ
i làm trong 10 gi còn ng i kia làm trong 5 gi ộ ệ ườ ờ ườ ờ
ng vào b n trong 4 gi ườ ả ộ ỗ ộ ơ ổ ờ thì xong . N u làm riêng ờ ế . H i m i đ i làm m t mình thì bao lâu s xong vi c ? ẽ ử ỏ ệ ộ
ộ ờ 2 s a xong con đ ng là x( gi ườ ng là x + 6 ( gi ) ( x ≥ 4 ) ) V y n u làm vi c riêng r c công vi c m t ng ế ậ Bài t p 3:ậ Hai t thanh niên tình nguy n cùng s a m t con đ ệ ổ 2 6 gi 1 làm nhanh h n t thì t ổ Gi i ả G i th i gian m t mình t ọ Th i gian m t mình t ộ ờ 1s a xong con đ ổ ử ườ ử ổ ờ ờ
1 x
Trong 1 gi 1 s a đ c ( con đ ng ) t ờ ổ ử ượ ườ
1 +x
Trong 1 gi 2 s a đ c (con đ ng ) t ờ ổ ử ượ ườ
6 1 4
2
+
=
+
Trong 1 gi c hai t c (con đ ng ) ờ ả s a đ ổ ử ượ ườ
(4
x
+ 4)6
x
xx (
)6
x
2
x
24
(cid:219)= 0
1 +x
6
1 4
1 x
www.vnmath.com
17
- - (cid:219) (cid:219) V y ta có pt: + = x1= 6; x2 = -4 ậ
Tr
ng THCS H p Minh
www.vnmath.com Năm h c 2011-2012
ườ
ợ
ọ
ề ậ X2 = - 4 < 4 , không tho mãn đi u ki n c a n ệ ủ ẩ ả 1 s a xong con đ V y m t mình t ng h t 6 ngày ế ổ ộ m t mình t ng h t 12 ngày 2 s a xong con đ ế ổ ộ ườ ườ ử ử
ng . Đ i 1 làm xong m t n a đo n đ ộ ạ ườ ạ ườ ộ ử ế ộ ờ ơ ộ ờ i v i th i gian dài h n th i gian đ i 1 đã đã làm là 30 ngày . N u hai đ i cùng làm thì ng .H i m i đ i đã làm bao nhiêu ngày trên đo n đ ng này ? ng thì đ i 2 đ n làm ộ ộ ế ạ ườ ạ ườ ỗ ộ ả ỏ
Bài t p 4:ậ Hai đ i công nhân làm m t đo n đ ộ ti p n a còn l ạ ớ ế ử trong 72 ngày xong c đo n đ Gi i ả G i th i gian đ i 1 làm là x ngày ( x > 0 ) thì th i gian đ i 2 làm vi c là x + 30 ( ngày ) ọ ệ ộ ờ ờ ộ
1 x2
M i ngày đ i 1 làm đ c ( đo n đ ng ) ỗ ộ ượ ạ ườ
1 +x
(2
M i ngày đ i 2 làm đ c ( đo n đ ng ) ộ ỗ ượ ạ ườ
M i ngày c hai đ i làm đ c ( đo n đ ng ) ả ộ ỗ ượ ạ ườ
1 +x
(2
)30
)30 1 72 1 72
/ = 39
+ = V y ta có pt : ậ
ủ ẩ ả ộ ộ
ừ ạ ộ ộ ờ ệ ớ ạ ộ ơ ồ ả ồ ơ ộ ộ ớ ế ộ ả ộ ớ ế ệ ờ ộ ệ ằ ộ ờ ồ ỗ ộ ộ ằ ộ ế ộ ờ ạ ả
ế ạ ả ờ
1 x2 Hay x2 -42x – 1080 = 0 / = 212 + 1080 = 1521 => x1 = 21 + 39 = 60 ; x2 = 21- 39 = - 18 < 0 không tho mãn đk c a n V y đ i 1 làm trong 60 ngày , đ i 2 làm trong 90 ngày . ậ Bài 5: ả ồ Hai đ i công nhân tr ng r ng ph i hoàn thành k ho ch trong cùng m t th i gian . Đ i 1 ph i tr ng ế 40 ha , đ i 2 ph i tr ng 90 ha . Đ i 1 hoàn thành công vi c s m h n 2 ngày so v i k ho ch .Đ i 2 ộ hoàn thành mu n h n 2 ngày so v i k ho ch . N u đ i 1 làm công vi c trong m t th i gian b ng ằ ạ ế ượ ủ c c a th i gian đ i 2 đã làm và đ i 2 làm trông th i gian b ng đ i 1 đã làm thì di n tích tr ng đ ờ hai đ i b ng nhau . Tính th i gian m i đ i ph i làm theo k ho ch ? Gi i ả G i th i gian m i đ i ph i làm theo k ho ch là x ( ngày ) , x > 0 ỗ ộ ọ Th i gian đ i 1 đã làm là x – 2 ( ngày ) ờ Th i gian đ i 2 đã làm là x + 2 ( ngày ) ờ
ộ ộ
c (ha) M i ngày đ i 1 tr ng đ ộ ồ ỗ ượ
40 -x 2 90 +x
2
c (ha) M i ngày đ i 2 tr ng đ ộ ồ ỗ ượ
N u đ i 1 làm trong x + 2 ngày thì tr ng đ (x + 2) (ha) c ế ộ ồ ượ
N u đ i 2 làm trong x - 2 ngày thì tr ng đ c (x - 2) (ha) ế ộ ồ ượ
40 -x 2 90 +x 2 c c a hai đ i trong tr ộ
ng này là b ng nhau nên ta có pt: ầ ệ ừ ồ ượ ủ ườ ằ
2
40 -x 2
(x + 2) = (x - 2) Theo đ u bài di n tích r ng tr ng d 90 +x
www.vnmath.com
18
Hay 5x2 – 52x + 20 = 0
Tr
ng THCS H p Minh
www.vnmath.com Năm h c 2011-2012
ườ
ợ
ọ
/ = 24
24
/ = 262 – 5.20 = 576 , 24
26
=
2 5
- x1 = = 10 ; x2 = 26 + 5
ậ ạ ế ỗ ộ ệ ả
ườ ế ờ ờ i làm công vi c đó thì xong . N u ng ỏ c 25% công vi c . H i m i ng ệ ệ thì h làm đ ọ ượ ờ i th nh t làm trong 3 gi ỗ ứ ấ ườ ệ
t là s gi i th hai m t mình làm xong công vi c đó ( x > 0 , y i th nh t ng ứ ấ ng ố ờ ườ ầ ượ ườ ứ ệ ộ
5 x2 < 2 , không tho mãn đk c a n V y theo k ho ch m i đ i ph i làm vi c 10 ngày . ả ủ ẩ Bài 6:(197/24 – 500 BT ch n l c ) ọ ọ Hai ng i th cùng làm m t công vi c trong 16 gi ợ ườ ộ i th hai làm trong 6 gi và ng ứ ườ trong m y gi thì xong . ờ ấ i:ả Gi G i x , y l n l ọ > 0 )
+
=
=
=
24 28
x y
=
+
1 x 3 x
1 16 1 4
(cid:236) (cid:239) (cid:236) (cid:239) (cid:219) (cid:237) (cid:237) Ta có h pt ệ (cid:238) (cid:239) (cid:239) (cid:238)
c thì sau 6 gi
1 y 6 y Bài 7 : ( 198/24 – 500 BT ch n l c ) Hai vòi n ộ ể
ướ ả ờ ầ ể ả đ y b . N u vòi th nh t ch y ứ ấ ế
thì đ c trong 2 gi , vòi th 2 ch y trong 3 gi ả ượ ứ ờ b . H i m i vòi ch y m t mình trong bao lâu thì ộ ể ả ỏ ỗ ờ ọ ọ c cùng ch y vào m t b không ch a n ứ ướ 2 5
+
=
=
+
=
x
10
=
y
15
+
=
+
=
3 y 3 y ủ ẩ
ả ứ ể ộ (cid:236) (cid:236) (cid:239) (cid:239) (cid:236) (cid:239) (cid:239) (cid:219) (cid:219) (cid:237) (cid:237) (cid:237) Ta có h pt ệ (cid:238) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) đ y b ? ầ ể i :ả Gi G i x , y l n l ầ ượ ọ 1 x 2 x ứ ấ 1 2 2 5 vòi th nh t , vòi th hai ch y đày b m t mình ( x > 0 , y > 0 ) 3 x 2 x (cid:238) (cid:238)
ứ ấ ả ấ ờ ộ ả , vòi th hai ch y ứ . ộ ấ
thì xong . H làm v i nhau đ c 8 gi ờ ờ ọ ớ ườ ỉ i d đ nh làm m t công vi c trong 12 gi ứ ệ ứ ấ ứ ườ ỗ ờ ườ i ượ i ườ ấ ấ ớ i th làm m t mình v i ộ ợ thì ng ộ i th hai v n ti p t c làm . Do c g ng tăng năng su t g p đôi , nên ng ố ắ 20phút . H i n u m i ng ỏ ế ệ ế ụ i trong 3gi ớ ấ ự ị ấ ầ ề ỉ
i th th nh t và ng t là th i gian ng i th th hai làm xong công vi c v i năng ợ ứ ấ ầ ượ ệ ớ ợ ứ ườ ườ ờ t là s gi ố ờ 1 1 y 6 3 2 y 5 x = 10 , y = 15 tho mãn đk c a n . V y vòi th nh t ch y m t mình m t 10 gi ậ ả m t mình m t 15 gi ờ Bài t p 8ậ ( 199/24 - 500 BT ch n l c ) ọ ọ Hai ng ệ ườ ự ị th nh t ngh , còn ng ẫ th hai đã làm xong công vi c còn l ạ năng su t d đ nh ban đ u thì m t bao lâu m i xong công vi c nói trên ? ( Đ thi chuyên toán vòng 1 t nh Khánh hoà năm 2000 – 2001 ) Gi i:ả G i x , y l n l ọ su t d đ nh ban đ u . ấ ự ị ầ
1 x
i th nh t làm đ c M t gi ộ ng ờ ườ ứ ấ ượ (công vi c )ệ
i th hai làm đ c M t gi ộ ng ờ ườ ứ ượ (công vi c )ệ
1 y 1 12
www.vnmath.com
19
c hai ng i làm đ c M t gi ộ ờ ả ườ ượ (công vi c )ệ
Tr
ng THCS H p Minh
www.vnmath.com Năm h c 2011-2012
ườ
ợ
ọ
1 y
1 12
1 x
Nên ta có pt : + = (1)
1 12
2 3
trong 8 gi hai ng i làm đ c 8. = ờ ườ ượ (công vi c )ệ
2 3
1 3
i là 1 - = Công vi c còn l ệ ạ ( công vi c )ệ
1 y
2 y
Năng su t c a ng i th hai khi làm m t mình là 2. = ấ ủ ườ ứ ộ (Công vi c )ệ
10 3
Mà th i gian ng i th hai hoàn thành công vi c còn l i là (gi ) nên ta có pt ờ ườ ứ ệ ạ ờ
2 y
1 3
10 3
y 6
10 3
: = hay = (2)
ệ
i th nh t làm xong công vi c h t 30gi và ng i th hai h t 20 gi ậ ứ ấ ệ ế ườ ờ ứ ế . ờ
, còn ng ườ ệ oì B và C làm xong công vi c y trong 56 gi và ng ờ ệ ấ ươ i A và C làm xong công vi c trong đó ỗ ườ i cùng làm s hoàn ẽ ệ . H i n u m i ng ỏ ế ườ ệ ộ i làm m t ẽ ờ ế ? ấ ờ
T (1) và (2) ta có h pt : ừ (cid:222) V y theo d đ nh ng ự ị ườ Bài t p 9: ( 400 bai t p toán 9 ) ậ ậ i A và B làm xong công vi c trông 72 gi Hai ng ườ trong 63 gi ờ mình thì trong bao lâu thì trong bao lâu s làm xong công vi c >N u ba ng thành công vi c trong m y gi ệ Gi i :ả
1 x
i A m t mình làm xong công vi c trong x (gi ), x > 0 thì m i gi làm đ c ( công G i ng ọ ườ ệ ộ ờ ỗ ờ ượ
vi c).Ng i B m t mình làm xong công vi c trong y (gi ), y > 0 thì m i gi làm đ c ( công ệ ườ ệ ộ ờ ỗ ờ ượ
1 y 1 z
vi c)Ng i C m t mình làm xong công vi c trong z (gi ), z > 0 thì m i gi làm đ c ệ ườ ệ ộ ờ ỗ ờ ượ ( công vi c)ệ
=
+
=
=
x
168
=
=
y
126
=
=
z
100
504 3 504 4 504 5
5 4
1 x 1 x 1 y
1 y 1 =+ z 1 =+ z
1 72 1 63 1 56
(cid:236) (cid:236) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:219) (cid:237) (cid:237) Ta có hpt : (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:238) (cid:238)
1 y
1 x
12 504
42
= N u c ba ng i cùng làm yhì m i gi làm đ c + + ế ả ườ ỗ ờ ượ ( công vi c )ệ
1 z 504 = 12
(gi V y c ba ng òi cùng làm s hoàn thành cong vi c trong ẽ ậ ả ư ệ )ờ
: ( 258 /96 – nâng cao và chuyên đ )ề
ộ ộ ệ ơ ờ ể ộ ờ ệ ổ ể ộ ờ ỗ ộ ộ ờ ộ ấ ả ể ộ ỏ
( x > 0 ) ệ ộ ộ ờ ờ
20
Bài t p 10ậ Hai đ i công nhân cùng làm chung m t công vi c . Th i gian đ đ i I làm m t mình xong công vi c ệ ầ ít h n th i gian đ đ i II làm m t mình xong công vi c đó là 4 gi . T ng th i gian này g p 4,5 l n ộ th i gian hai đ i cùng làm chung đ xong công vi c đó . H i m i đ i làm m t mình thì ph i bao lâu ệ ờ m i xong . ớ i :ả Gi G i th i gian đ i I làm m t mình xong công vi c là x gi ọ www.vnmath.com
Tr
ng THCS H p Minh
www.vnmath.com Năm h c 2011-2012
ườ
ợ
ọ
+
=
Suy ra th i gian đ i II làm m t mình xong công vi c là x + 4 gi ộ ộ ờ ờ
1 +
+ +
1 x
x
4
Trong 1 gi hai đ i làm chung đ c : ờ ộ ượ ( công vi c )ệ
4 )4 + +
)4 4
Th i gian đ hai đ i làm chung xong công vi c là ệ ể ộ ờ (gi )ờ ệ x 2 ( xx xx ( x 2
+ +
xx ( 2 x
)4 4
V y ta có pt : 2x + 4 = 4,5 . ậ hay x2 + 4x – 32 = 0 ó x1 = - 8 ( lo i ) xạ ề 2 = 4 ( tho mãn đi u ả
, đ i hai h t 8 gi . ệ ế ộ ờ ế ộ ờ ki n c a n ). ệ ủ ẩ V y Đ i I làm m t mình xong công vi c h t 4 gi ộ ậ Bài 1: Hai ng 12 phút thì xong. N u ng ườ i th cùng làm chung m t công vi c trong 7 gi ộ ệ ợ ờ ườ i th nh t làm ứ ấ
trong 5 gi và ng i th hai làm trong 6 gi i ch làm đ c ờ ườ ứ ờ thì c hai ng ả ườ ỉ ượ ộ công vi c. H i m t ệ ỏ ế 3 4 i làm công vi c đó trong m y gi thì xong? ườ ệ ấ ờ ng Bài 2:
4 5
N u vòi A ch y 2 gi thì đ c h . N u vòi A ch y trong 3 gi và vòi ế ả ờ và vòi B ch y trong 3 gi ả ờ ượ ồ ế ả ờ
1 2
B ch y trong 1 gi 30 phút thì đ c ả ờ ượ ớ h . H i n u ch y m t mình m I vòi ch y trong bao lâu m i ồ ỏ ế ả ả ộ ỗ
đ y h . ồ ầ Bài 3: c cùng ch y vào m t b thì sau 6 gi ờ ầ ả ộ ỗ ể Hai vòi n ả thì vòi II c n nhi u th i gian h n vòi I là 5 gi ờ ộ ể ơ ướ ầ ầ . Tính th i gian m i vòi ch y m t mình đ y b ? ầ ể đ y b . N u m i vòi ch y m t mình cho đ y b ả ể ế ờ ề ỗ ộ ờ
ph n trăm. ế ỉ ệ ầ D ng 3: Toán liên quan đ n t l ạ Bài 1: c 720 chi ti t máy. Trong tháng hai, t I v ổ ả ấ ượ ế ượ ổ c 819 chi ti ứ t máy. Tính xem trong tháng giêng m i t s n xu t đ ấ ượ ứ ế t m c 15%, t ỗ ổ ả II ổ ấ s n xu t t m c 12% nên s n xu t đ c bao nhiêu chi ti Trong tháng giêng hai t v ả ượ t máy?. đ ế ượ Bài 2:
ổ ố ệ ườ ố ỉ ổ ỉ i. Dân s t nh A năm nay tăng 1,2%, còn ỗ i. Tính s dân c a m i ườ ủ ố
ọ
ữ ậ ố ườ ườ n) r ng 2 m. Tính kích th i đi xung quanh v i trong v ấ n (thu c đ t ộ n đ tr ng tr t là n hình ch nh t có chu vi là 280 m. Ng n, bi ộ i ta làm l ườ t r ng đ t còn l ấ ế ằ c c a v ướ ủ ườ ể ồ ườ ạ ọ Năm ngoái t ng s dân c a hai t nh A và B là 4 tri u ng ỉ ủ t nh B tăng 1,1%. T ng s dân c a c hai t nh năm nay là 4 045 000 ng ủ ả ố ỉ t nh năm ngoái và năm nay? ỉ D ng 4: Toán có n i dung hình h c. ộ ạ Bài 1: M t khu v ộ trong v ườ 4256 m2. Bài 2:
ế ề ề ộ ệ ề ộ ề ả ả ả Cho m t hình ch nh t. N u tăng chi u dài lên 10 m, tăng chi u r ng lên 5 m thì di n tích tăng 500 ữ ậ ệ m2. N u gi m chi u dài 15 m và gi m chi u r ng 9 m thì di n tích gi m 600 m 2. Tính chi u dài, ề chi u r ng ban đ u. ộ ế ề ộ ầ Bài 3:
2. Tính hai c nh góc vuông. ạ
ộ ệ ạ ả ẽ ả ế ạ ệ ề
21
Cho m t tam giác vuông. N u tăng các c nh góc vuông lên 2 cm và 3 cm thì di n tích tam giác tăng 50 cm2. N u gi m c hai c nh đi 2 cm thì di n tích s gi m đi 32 cm ả ế D ng 5: Toán v tìm s . ố ạ Bài 1: www.vnmath.com
Tr
ng THCS H p Minh
www.vnmath.com Năm h c 2011-2012
ườ
ợ
ọ
nhiên có hai ch s , t ng các ch s b ng 11, n u đ i ch hai ch s hàng ch c và ữ ố ổ ữ ố ằ ữ ố ụ ế ổ ỗ Tìm m t s t ộ ố ự hàng đ n v cho nhau thì s đó tăng thêm 27 đ n v . ị ố ị ơ ơ Bài 2: t r ng s đó g p 7 l n ch s hàng đ n v c a nó và n u s c n tìm ế ằ ế ố ầ ữ ố ị ủ ầ ơ c th ng là 4 và s d là 3. Tìm m t s có hai ch s , bi ữ ố chia cho t ng các ch s c a nó thì đ ữ ố ủ ộ ố ổ ố ượ ấ ươ ố ư Bài 3:
1 4
N u t c tăng g p đôi và m u s thêm 8 thì giá tr c a phân s b ng ế ử ố ủ s c a m t phân s đ ộ ố ượ ẫ ố ố ằ ị ủ ấ . N uế
5 24
t ử ố s thêm 7 và m u s tăng g p 3 thì giá tr phân s b ng ấ ẫ ố ố ằ ị . Tìm phân s đó.ố
N u thêm 4 vào t ố ộ ử ẫ ủ ố ả ị ủ ế ớ ả ử và Bài 4: ế
. Tìm phân s đó. m u, phân s tăng ố ẫ ố
NG TRÌNH QUY V PH
NG TRÌNH B C HAI.
và m u c a m t phân s thì giá tr c a phân s gi m 1. N u b t 1 vào c t 3 2 ƯƠ
Ề ƯƠ
Ậ
m u. ẩ ố ở ẫ
Ch đ 6: PH ủ ề D ng 1: Ph ạ i các ph Gi ả
=
+
6
a)
b)
=+ 3
- - ng trình có n s ng trình sau: + 3x 1x -
-
2t
c)
=+ t
ươ ươ x 2x 1 2x x 2
t 1t
+ 3x 2x 1 + 2 5t + 1t
-
D ng 2: Ph ạ ươ ng trình ch a căn th c. ứ ứ ‡ ‡ (cid:236)
(hayB
0)
=
(cid:219) (cid:237)
Lo¹i
A
B
0A = BA
(cid:238)
‡ (cid:236) (cid:219) (cid:237)
Lo¹i
= BA
0B = 2BA
(cid:238)
2
2
2
)
(
Gi i các ph ả
=
+
a)
2x
11
3x
x
1
b)
5x
14
2
(
3x )
+
+=
-=
ng trình sau: ươ = 2 - - - -
2x
3x
5
1x
d)
+ 2x )( 1x
2x
3
9x
2
c) (
- - - -
3x
- -
2
2
+=
+
+
ứ ấ ệ ố ị D ng 3: Ph ạ i các ph Gi ả -
) x1x e) ng trình ch a d u giá tr tuy t đ i. ươ ng trình sau: ươ + 1x a) 3x
x
x b)
-+ 2
2x
=+ 1
x
2x
3
4
2
2
4
2
2
+
x c)
2x
++ 2
x
=+ x
x
4x
x d)
-+ 1
x
4x
=+ 4
3x
- -
www.vnmath.com
22
ng. ươ ng trình trùng ph ng trình sau: D ng 4: Ph ạ i các ph Gi ả ươ ươ
Tr
ng THCS H p Minh
www.vnmath.com Năm h c 2011-2012
ườ
ợ
ọ
b) x4 – 13x2 + 36 = 0; d) (2x + 1)4 – 8(2x + 1)2 – 9 = 0.
2
2
2
+
=+
+
=
+
+(cid:247)
xc)
x2x
3x
0
x4 d)
16
x
23
0
1 x
1 2 x
2
-+
x
2
+
=
+
a) 4x4 + 7x2 – 2 = 0 ; c) 2x4 + 5x2 + 2 = 0 ; ậ ng trình b c cao. ng trình sau b ng cách đ a v d ng tích ho c đ t n ph đ a v ph ng trình b c hai: ươ ươ ư ề ạ ụ ư ề ươ ặ ặ ẩ ằ ậ D ng 5: Ph ạ Gi i các ph ả Bài 1: b) 2x3 – x2 – 6x + 3 = 0 ; a) 2x3 – 7x2 + 5x = 0 ; c) x4 + x3 – 2x2 – x + 1 = 0 ; d) x4 = (2x2 – 4x + 1)2. Bài 2: a) (x2 – 2x)2 – 2(x2 – 2x) – 3 = 0 c) (x2 + 4x + 2)2 +4x2 + 16x + 11 = 0 (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) - - - (cid:231) (cid:247) (cid:231) ł Ł ł Ł
=+ 4
0
f)
x
4x
6
0
e)
2
2
+
5x x
10
2
- - -
2
2
2
+
=
+
=(cid:247)
3x
) ++ 3
24
0
h)
10
0
( 2x3 g)
3x
3x -+ 5x ( 2x5
x ) 1
x x 3
x 3
4 x
21 4x 48 2 x
2x
2
2
++
=
+
+
=
(cid:246) (cid:230) - - - - - (cid:231) ł Ł
6
k)
x
3x
x5
3x
7.
i)
2
+
13x ++ 2
2x
5x
3
2x
3x
- -
a) 6x5 – 29x4 + 27x3 + 27x2 – 29x +6 = 0 b) 10x4 – 77x3 + 105x2 – 77x + 10 = 0 c) (x – 4,5)4 + (x – 5,5)4 = 1 d) (x2 – x +1)4 – 10x2(x2 – x + 1)2 + 9x4 = 0
Bài 3:
+
=
+
=
b)
6
1.
a)
Bài t p v nhà: ậ ề i các ph Gi ả
1 4
+ 3x x
x
1
2
ng trình sau: 3 2 - -
4x + 1x + 2
2
x
3
=
+
=
x
d)
8
c)
2
2x 2
2 +
2x 4
2x 4x
2x 9
x
x
3x
2
ươ 1 ) ( 1x2 + - - - - - - -
2.
b) x4 – 7x2 – 144 = 0 d) 9x4 – 4(9m2 + 4)x2 + 64m2 = 0 a) x4 – 34x2 + 225 = 0 c) 9x4 + 8x2 – 1 = 0 e) a2x4 – (m2a2 + b2)x2 + m2b2 = 0 (a ≠ 0) 3.
a) (2x2 – 5x + 1)2 – (x2 – 5x + 6)2 = 0 b) (4x – 7)(x2 – 5x + 4)(2x2 – 7x + 3) = 0 c) (x3 – 4x2 + 5)2 = (x3 – 6x2 + 12x – 5)2 d) (x2 + x – 2)2 + (x – 1)4 = 0 e) (2x2 – x – 1)2 + (x2 – 3x + 2)2 = 0 4.
a) x4 – 4x3 – 9(x2 – 4x) = 0 c) x4 – 10x3 + 25x2 – 36 = 0 b) x4 – 6x3 + 9x2 – 100 = 0 d) x4 – 25x2 + 60x – 36 = 0
www.vnmath.com
23
5. a) x3 – x2 – 4x + 4 = 0 b) 2x3 – 5x2 + 5x – 2 = 0
Tr
ng THCS H p Minh
www.vnmath.com Năm h c 2011-2012
ườ
ợ
ọ
d) x3 + 2x2 + 3x – 6 = 0 c) x3 – x2 + 2x – 8 = 0 e) x3 – 2x2 – 4x – 3 = 0 6.
=+(cid:247)
4
03
2x 1 + 2x
2x 1 + 2x
)
+
+
=
b) (x4 + 4x2 + 4) – 4(x2 + 2) – 77 = 0 2 - - (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) - - (cid:231) (cid:247) (cid:231) = 0 d) ł Ł ł Ł
x5
x
5
- - a) (x2 – x)2 – 8(x2 – x) + 12 = 0 )6x2x )( c) x2 – 4x – 10 - 3 ( + ( x5x e)
2
2
+
+
=
+
+(cid:247)
x3
x16
26
0
x7
x2
=+(cid:247) 2
0
1 x
1 2 x
7. a) (x + 1)(x + 4)(x2 + 5x + 6) = 24 (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) (cid:246) (cid:230) - - - (cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:231) (cid:247) (cid:231) c) d) ł Ł ł Ł ł Ł ł Ł b) (x + 2)2(x2 + 4x) = 5 1 1 2 x x
2
2
=
+
-+
=
8.
x a)
4x
x
14
b)
2x
9x
1x
3
2
+
+=+
+
c)
2x
6x
1
x
2
x d)
3x
-=+ x
4
2
2
3
2
3
2
+
=
++
- -
e)
4x
4x
-++ x
1
= x2
3
x f)
x
1
x
1x
- - -
www.vnmath.com www.vnmath.com www.vnmath.com www.vnmath.com www.vnmath.com www.vnmath.com www.vnmath.com www.vnmath.com www.vnmath.com www.vnmath.com www.vnmath.com www.vnmath.com www.vnmath.com www.vnmath.com www.vnmath.com www.vnmath.com www.vnmath.com www.vnmath.com www.vnmath.com
9. Đ nh a đ các ph ng trình sau có 4 nghi m ệ b) 4y4 – 2y2 + 1 – 2a = 0 ươ ể ị a) x4 – 4x2 + a = 0 c) 2t4 – 2at2 + a2 – 4 = 0.
Ầ
Ph n II: HÌNH H C Ọ ầ PH N HÌNH H C H TH NG LÝ THUY T – H TH NG BÀI T P Ế
Ọ Ệ
Ố
Ậ
Ệ
Ệ
Ố 1.H TH C L T S L
NG TRONG TAM GIÁC VUÔNG NG GIÁC C A GÓC NH N
Ứ ƯỢ Ỉ Ố ƯỢ
Ọ
Ủ
www.vnmath.com
24
Tr
ng THCS H p Minh
www.vnmath.com Năm h c 2011-2012
ườ
ợ
ọ
Ế
Ứ Ơ Ả
A.KI N TH C C B N 1.Đ nh lý Pitago
ị
2
2
2
=
ạ
BC
�
D
2.H th c l
+ vuông t i A AB AC ng trong tam giác vuông
ABC ệ ứ ượ
A
B
C
H
1) AB2 = BH.BC; AC2 = CH.BC 2) AB.AC = AH.BC 3) AH2 = BH.HC
=
+
4)
2
2
2
1 AB
1 AC
1 AH K t qu : ả ế
2
a
3
=
=
-V i tam giác đ u c nh là a, ta c:
ề ạ
ớ
h
;
S
a 3 2
4
3.T s l
ỉ ố ượ
ủ = a
khi đó:
=
a =
=
sin
a = cos
;
;
a = tg
;
a = cot g
AC HC = BC AC
AB AH = AC HC
AC HC AB AH
= =
= =
= =
a = b
b b b
ng giác c a góc nh n ọ = b ; ABC Đ t ặ ACB � � AB AH BC AC = b a sin B acosC ctgB ccot gC = c acosB asinC bctgB btgC K t qu suy ra: ả ế a = 1) sin
a = sin ;
cos ;
a = cos
tg
cot g
a <
< 2) 0 sin
1;
< 0 cos <1;
a = tg
a = cot g
;
cotg ; sin cos
tg cos sin
2
a +
a = 2
a a a a a
3) sin
cos
1;
a = tg .cot g
1;
1 cot g ;
1 tg
1 = + 2 sin
1 = + a 2 cos
nh n, BC = a; AC = b; AB = c khi đó:
ọ
4) Cho ABC
2
2
2
=
+
a a a a D
a
b
c
2bc.cosA;
S
bcsin A
= ABC
1 2
- D
Ứ
2.CH NG MINH B NG NHAU – SONG SONG, VUÔNG GÓC - Đ NG QUY, TH NG HÀNG
Ồ Ằ Ẳ
=
=
Ế A.KI N TH C C B N Ứ Ơ Ả 1.Tam giác b ng nhau ằ
A
A '; B
B'; C
C'
= D ABC
A 'B'C' khi
=
=
= � � � � � � = AB A 'B'; BC B'C'; AC A 'C'
(cid:0) D (cid:0) a) Khái ni m: ệ (cid:0)
www.vnmath.com
25
b) Các tr ng h p b ng nhau c a hai tam gi c: c.c.c; c.g.c; g.c.g. ườ ợ ằ ủ ỏ
Tr
ng THCS H p Minh
www.vnmath.com Năm h c 2011-2012
ườ
ợ
ọ
c) Các tr ườ ủ ụ ụ ề ạ ạ ỏ ợ c nh gúc vu ng; c nh huy n và m t gúc nh n. ạ ng h p b ng nhau c a hai tam gi c vu ng: hai c nh gúc vu ng; c nh huy n và m t ộ ạ ằ ề ộ d) H qu : Hai tam gi c b ng nhau th c c đ ng cao; các đ ng phân giác; các đ ng trung ỏ ằ ườ ườ ọ ỡ ỏ ườ ụ ệ ả ng ng b ng nhau. ằ ế ươ ứ tuy n t 2.Ch ng minh hai gúc b ng nhau ứ -D ng hai tam gi c b ng nhau ho c hai tam giác đ ng d ng, hai gúc c a tam gi c cân, đ u; hai ủ ề ặ ạ ỏ ồ gúc c a h nh thang cõn, h nh b nh hành, … ằ ỏ ằ ỡ ỡ ứ ở ố ỉ ự ủ ỡ ự ự ự ố ứ ườ ớ ườ ộ ế ự ắ ng trũn, …) ạ ệ ủ ỏ ủ ẳ ứ ạ ỏ ằ ự ề t c a tam giác cân, tam giác đ u, trung tuy n ng v i c nh huy n ớ ạ ế ứ ề ệ ủ ỡ ữ ậ ỡ ng trũn: hai dõy cung c a hai cung b ng nhau, hai đ c a đ ấ ặ c a tam gi c vu ng, h nh thang cõn, h nh ch nh t, … ủ ỏ ế ố ủ ườ ớ ng k nh ườ ủ ằ ng trũn, …
ủ ỡ ỡ ỏ ấ ườ ườ ứ ẳ -D ng m i quan h gi a c c gúc: So le b ng nhau, đ ng v b ng nhau, trong c ng ph a b -D ng quan h gi a c c gúc trung gian v i c c gúc c n ch ng minh. ớ ỏ ệ ữ ỏ ầ ng th ng song song, đ i đ nh. -D ng quan h c c gúc t o b i các đ ẳ ệ ỏ -D ng m i quan h c a c c gúc v i đ ộ ng trũn.(Ch ng minh 2 gúc n i ti p c ng ch n m t cung ho c hai cung b ng nhau c a m t đ ằ ộ ườ ặ 3.Ch ng minh hai đo n th ng b ng nhau ằ ạ -Dùng đo n th ng trung gian. ẳ -D ng hai tam gi c b ng nhau. - ng d ng t nh ch t đ c bi Ứ ụ ớ ỏ ụ -S d ng c c y u t ử ụ c a m t đ ộ ườ ủ -D ng t nh ch t đ ớ ự 4.Ch ng minh hai đ ự ng trung b nh c a tam gi c, h nh thang, … ng th ng, hai đo n th ng song song ạ ẳ ồ ệ ữ ỏ ớ ự ị ằ ự ằ ố nhau, … ng th ng th ba. ố ự ớ ườ ụ ẳ ứ
giác đ c bi ụ ụ ị ớ ỡ ủ ỏ ng trũn. t, đ ệ ườ ằ ng trung b nh c a tam gi c. ộ ườ ủ ớ -D ng m i quan h c ng song song, vu ng gúc v i đ ệ ự -Áp d ng đ nh lý đ o c a đ nh lý Talet. ả ủ ị -Áp d ng t nh ch t c a c c t ặ ấ ủ ỏ ứ -D ng t nh ch t hai dõy ch n gi a hai cung b ng nhau c a m t đ ữ ắ ấ ng th ng vu ng gúc ườ ụ ẳ ứ ỏ ớ ườ ự 5.Ch ng minh hai đ ứ ự ớ ẳ ấ ụ ụ ộ ườ ỡ ụ ng th ng song song th vu ng ẳ gúc v i đ ớ ườ ớ ố ộ ng cao và c nh đ i di n trong m t tam gi c. ệ ạ ỏ ự ườ -Ch ng minh chỳng song song v i hai đ ng vu ng gúc kh c. -D ng t nh ch t: đ ng th ng vu ng gúc v i m t trong hai đ ườ ớ i. ng th ng cũn l ạ ẳ -D ng t nh ch t c a đ ấ ủ ườ -Đ ng kính đi qua trung đi m c a dõy. ủ -Phõn gi c c a hai gúc k b nhau.
0 th A, B, C
www.vnmath.com
26
ứ ẳ ế ẳ ỡ t trong tam gi c: tr ng tõm, tr c tâm, tâm đ ng trũn ể ệ ặ ớ ỏ ọ ự ườ ể ỏ ủ ề ự 6.Ch ng minh ba đi m th ng hàng ể clit: N u AB//d; BC//d th A, B, C th ng hàng. -Dùng tiên đ ề Ơ -Áp d ng t nh ch t các đi m đ c bi ấ ụ ngo i ti p, … ạ ế -Ch ng minh 2 tia t o b i ba đi m t o thành gúc b t: N u gúc ABC b ng 180 ể ẹ ế ạ ằ ạ ở ỡ ứ th ng hàng. ẳ -Áp d ng t nh ch t: Hai gúc b ng nhau cú hai c nh n m tr n m t đ ộ ườ ụ ờ ạ ng th ng và hai c nh ẳ kia n m tr n hai n a m t ph ng v i b là đ ạ ằ ng th ng tr n. ớ ử ấ ặ ằ ẳ ờ -Ch ng minh AC là đ ng k nh c a đ ng trũn tõm B. ườ ủ ườ ờ ứ 7.Ch ng minh các đ ẳ ườ ẳ ứ ườ ằ ớ ờ ớ ồ ng đ ng quy trong tam gi c. ụ ồ ỏ ng th ng c t nhau t ứ ng th ng cùng đi qua m t đi m: Ta ch ra hai đ ộ ỉ ườ ẳ ắ ạ i ng th ng cũn l m t đi m và ch ng minh đ i đi qua đi m đó. ườ ẳ ộ ạ ể ể ng th ng đ ng quy -Áp d ng t nh ch t các đ ườ ấ ớ -Ch ng minh các đ ẳ ườ ứ ể -Dùng đ nh lý đ o c a đ nh lý Talet. ả ủ ị ị
Tr
ng THCS H p Minh
www.vnmath.com Năm h c 2011-2012
ườ
ợ
ọ
=
Ứ Ồ Ạ 3.CH NG MINH HAI TAM GIÁC Đ NG D NG H TH C HÌNH H C Ệ Ứ Ọ Ế A.KI N TH C C B N Ứ Ơ Ả 1.Tam giác đ ng d ng ạ ồ
A '; B
B'; C
C'
= � � � � � �
:
ABC
= A A 'B'C' khi AB
=
=
BC AC A 'B' A 'C' B'C'
(cid:0) (cid:0) D D (cid:0) -Khái ni m: ệ (cid:0) (cid:0)
ồ ồ ợ ợ ng h p đ ng d ng c a hai tam gi c: c – c – c; c – g – c; g – g. ề ng h p đ ng d ng c a hai tam gi c vuông: góc nh n; hai c nh góc vuông; c nh huy n - ạ ủ ủ ạ ạ ỏ ỏ ạ ọ
*Tính ch t: Hai tam giác đ ng d ng thì t s hai đ ng phân giác, hai đ ng cao, hai đ ỉ ố ườ ườ ạ ồ ng t s -Các tr ườ -Các tr ườ c nh góc vuông… ạ ấ ng ng, hai chu vi b ng t s đ ng d ng; t s hai di n tich b ng bình ph ạ ườ ng ỉ ố ế ươ ứ ỉ ố ồ ỉ ố ươ ệ ằ ằ
ệ ứ ng trong trung tuy n t đ ng d ng. ạ ồ ng pháp ch ng minh h th c hình h c 2.Ph ọ ươ Talet, t nh ch t đ ớ ứ ớ ị ấ ườ ng phân giác, tam giác đ ng d ng, c c h th c l ồ ỏ ệ ứ ượ ạ
ứ
2 = MA.MB th ch ng minh hai tam giác MTA và MBT đ ng d ng ạ
ng h p 5 đi m đó cùng n m tr n m t đ ặ ỏ ớ ng th ng th c n ch ng minh c c t ch ạ ộ ườ ỏ ỡ ầ ứ ể ằ ẳ tr n c ng b ng t ch th ba. ườ ớ ờ ự ợ ứ ỡ ứ ồ -Dùng đ nh l tam gi c vu ng, … ụ ỏ s c n ch ng minh MA.MB = MC.MD Gi ả ử ầ -Ch ng minh hai tam giác MAC và MDB đ ng d ng ho c hai tam gi c MAD và MCB. ồ ứ -Trong tr ờ ằ ế ầ ỏ ặ ứ ỏ ệ ứ ệ ử ụ ươ ộ ng tích c a m t ủ ho c so s nh v i t ch th ba. ế N u c n ch ng minh MT ứ ớ ớ ầ ng trũn. Ngoài ra c n chú ý đ n vi c s d ng c c h th c trong tam giác vuông; ph ớ ườ ể đi m v i đ
4.CH NG MINH T GIÁC N I TI P Ứ Ộ Ế Ứ
Ứ Ơ Ả ứ giác cùng cách đ u m t đi m. ủ ứ ề ể ộ
=
=
=
ự ể ỡ ở i hai gúc b ng nhau. ằ ạ i m t đ nh v i góc trong đ i di n b nhau. ệ ự ẳ ộ ỉ ạ ệ ự ạ ớ ủ ổ ố A.KI N TH C C B N Ế ng pháp ch ng minh Ph ươ -Ch ng minh b n đ nh c a t ố ỉ -Ch ng minh t gi c cú hai góc đ i di n b nhau. ứ ỏ ố -Ch ng minh hai đ nh c ng nh n đo n th ng t o b i hai đi m cũn l ỉ -Ch ng minh t ng c a gúc ngoài t ạ -N u MA.MB = MC.MD ho c NA.ND = NC.NB th t ỡ ứ ỏ ặ gi c ABCD n t ti p. (Trong đó ộ ế
(cid:0) )
ứ ữ ậ ứ ứ ứ ứ ế � ế ứ
M AB CD; N AD BC � ) -N u PA.PC = PB.PD th t -Ch ng minh t ứ
P AC BD gi c ABCD n i ti p. (Trong đó ộ ế ỡ ứ ỏ giác đó là h nh thang cõn; h nh ch nh t; h nh vu ng; … ỡ ụ ỡ ỡ ộ
ề ầ ng tròn ta có th ch ng minh l n ể ứ ể ự ấ t 4 đi m m t lúc. Song c n chú ý tính ch t “Qua 3 đi m không th ng hàng xác đ nh duy nh t ẳ ị ộ ấ
www.vnmath.com
27
Ợ ng tròn (O). Các đ ộ ế ườ ọ ườ ắ ng cao AD, BE, CF c t N u c n ch ng minh cho nhi u đi m c ng thu c m t đ ộ ườ ế ầ l ể ầ ể ượ ng tròn” m t đ ộ ườ B. BÀI T P T NG H P: Ậ Ổ Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nh n n i ti p đ nhau t i ạ t t i M,N,P. ầ ượ ạ ằ 2. B n đi m B,C,E,F cùng n m ố trên m t đ ng tròn. ng tròn (O) l n l ằ ể ộ ườ ứ 1. T giác CEHD, n i ti p . H và c t đ ắ ườ Ch ng minh r ng: ứ ộ ế
Tr
ng THCS H p Minh
www.vnmath.com Năm h c 2011-2012
ườ
ợ
ọ
A
N
1
ng tròn n i ti p tam giác DEF. 3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC. 4. H và M đ i x ng nhau qua BC. ố ứ 5. Xác đ nh tâm đ ị ộ ế ườ
E
P
F
1 2
L i gi 1. Xét t giác CEHD ta có: i: ờ ả ứ
O
—
H -
— CEH = 900 ( Vì BE là đ CDH = 900 ( Vì AD là đ ng cao) ng cao)
B
C
( (
1 2
D -
ườ ườ CDH = 1800 CEH + — => —
M
0 => E và F cùng n m trên đ
CDH là hai góc đ i c a t giác CEHD , Do đó CEHD là t giác n i ti p ố ủ ứ ứ ộ ế ^ t: BE là đ ng cao => BE Mà — 2. Theo gi CEH và — thi ả ế ườ ^ CF là đ AC => — BEC = 900. AB => — BFC = 900. ườ Nh v y E và F cùng nhìn BC d i m t góc 90 ng tròn đ ư ậ ng cao => CF ướ ộ ằ ườ ườ ng kính BC. V y b n đi m B,C,E,F cùng n m trên m t đ ng tròn. ể ằ ậ ố
ADC = 900 ; Â là góc chung ộ ườ AEH = —
3. Xét hai tam giác AEH và ADC ta có: —
AE = AD
AH AC
AEH ~
ADC = 900 ; — C là góc chung => AE.AC = AH.AD. BEC = —
BC AC
BE = AD
BEC ~ => AD.BC = BE.AC.
ụ ớ
ộ ế ắ ^ HM => D CHM cân t ủ i C ạ ng trung tr c c a HM v y H và M đ i x ng nhau qua BC. i có CB ố ứ ươ ậ ng tròn ứ ằ ố ộ ườ
ứ ứ
ắ giác n i ti p ộ ế ắ ộ ế
ủ ta cũng có FC là tia phân giác c a góc DFE mà BE và CF c t nhau t i H do D ADC => => D * Xét hai tam giác BEC và ADC ta có: — D ADC => => D 4. Ta có — C1 = — A1 ( vì cùng ph v i góc ABC) — C2 = — A1 ( vì là hai góc n i ti p cùng ch n cung BM) => — C1 = — C2 => CB là tia phân giác c a góc HCM; l ạ => CB cũng là đ ự ủ 5. Theo ch ng minh trên b n đi m B,C,E,F cùng n m trên m t đ ể => — C1 = — E1 ( vì là hai góc n i ti p cùng ch n cung BF) ộ ế Cũng theo ch ng minh trên CEHD là t — C1 = — E2 ( vì là hai góc n i ti p cùng ch n cung HD) — E1 = — E2 => EB là tia phân giác c a góc FED. ủ ứ ự ắ ạ ộ ế ươ ườ ng cao AD, BE, c t nhau t i H. G i O là tâm ườ ắ ạ ọ
3. Ch ng minh ED =
1 2
www.vnmath.com
28
giác CEHD n i ti p . ứ ng t Ch ng minh t đó H là tâm đ ng tròn n i ti p tam giác DEF. Bài 2. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đ ng tròn đ ườ ngo i ti p tam giác AHE. ạ ế 1. Ch ng minh t 2. B n đi m A, E, D, B cùng n m trên m t đ ộ ế ằ ể ộ ườ ng ứ ố tròn. L i gi ờ ả i: giác CEHD ta có: ứ BC. ứ — 1. Xét t CEH = 900 ( Vì BE là đ ng cao) ườ 4. Ch ng minh DE là ti p tuy n c a đ ng tròn ế ủ ườ ế ứ (O). t DH = 2 Cm, AH = 6 Cm. 5. Tính đ dài DE bi ộ ế
Tr
ng THCS H p Minh
www.vnmath.com Năm h c 2011-2012
ườ
ợ
ọ
A 1
O
E
1 2 3
H
D
1
B
C
— ng cao) ườ
0 => E và D cùng n m trên đ
giác CEHD , Do đó CEHD là t giác n i ti p ố ủ ứ ứ ộ ế ^ => — Mà — 2. Theo gi CDH = 900 ( Vì AD là đ CEH + — CDH = 1800 CEH và — t: thi ả ế ^ CDH là hai góc đ i c a t BE là đ AD là đ ng cao => BE ng cao => AD AC => — BEA = 900. BC => — BDA = 900. ườ ườ i m t góc 90 ng tròn đ ướ ộ ằ ườ ườ ng Nh v y E và D cùng nhìn AB d ư ậ kính AB. ng tròn. ể ằ 3. Theo gi i A có AD là đ ng cao nên cũng là đ ng trung tuy n ố t tam giác ABC cân t ế ạ ườ ế
V y b n đi m A, E, D, B cùng n m trên m t đ ộ ườ ậ thi ườ ả — BEC = 900 . => D là trung đi m c a BC. Theo trên ta có ủ ể
1 2
V y tam giác BEC vuông t i E có ED là trung tuy n => DE = BC. ậ ạ ế
ng tròn ngo i ti p tam giác AHE nên O là trung đi m c a AH => OA =
4.
ườ ủ ể
Vì O là tâm đ OE => tam giác AOE cân t i O => ạ ế — E1 = — A1 (1). ạ
1 2
Theo trên DE = BC => tam giác DBE cân t i D => — E3 = — B1 (2) ạ
— E1 = — E3 => — E1 + — E2 = — E2 + — E3 ụ ớ
2 = OD2 – OE2 ó ED2 = 52 – 32 ó ED = 4cm
OE t Mà — B1 = — A1 ( vì cùng ph v i góc ACB) => Mà — E1 + — E2 = — BEA = 900 => — E2 + — E3 = 900 = — OED => DE ^ i E.ạ i E. ng tròn (O) t ạ ế ủ ườ V y DE là ti p tuy n c a đ ế thi t AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. Áp d ng đ nh lí ả ế ụ ị
ng tròn đ ẻ ế t ể ừ ng tròn k ti p tuy n th ba c t các ti p tuy n Ax , By l n l ắ ế ầ ượ ở ứ ế ế ế i N. ạ
ị ứ ạ ể ủ giác ACDB đ t giá ấ Ch ng minh ậ 5. Theo gi i E ta có ED Pitago cho tam giác OED vuông t ạ ng kính AB = 2R. T A và B k hai ti p tuy n Ax, By. Qua Bài 3 Cho n a đ ử ườ ườ đi m M thu c n a đ C và ẻ ế ộ ử ườ ng th ng AD và BC c t nhau t D. Các đ ắ ẳ ườ 1.Ch ng minh AC + BD = CD. ứ 2. ứ ị L i gi 6.Xác đ nh v trí c a M đ ị chu vi t tr nh nh t. ỏ ờ ả i: 3.Ch ng minh AC. BD = . ứ — COD = 900. 2AB 4
ng tròn đ ủ ế ườ ườ ng
www.vnmath.com
29
^ AB. 4.Ch ng minh OC // BM ứ 5.Ch ng minh AB là ti p tuy n c a đ ế ứ kính CD. 5.Ch ng minh MN ứ
Tr
ng THCS H p Minh
www.vnmath.com Năm h c 2011-2012
ườ
ợ
ọ
y
D
x
/
I
M
/
C
N
A
B
O ấ
ế ắ ế
Theo tính ch t hai ti p tuy n c t nhau ta có: OC là tia phân giác c a góc AOM; OD là 1.Theo tính ch t hai ti p tuy n c t nhau ta có: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM. Mà CM + DM = CD => AC + BD = CD 2. ấ ế ắ
ế — AOM và — BOM là hai góc k bù => tia phân giác c a góc BOM, mà ủ ^ ề i O có OM
3.
ạ ủ — COD = 900. ế ế CD ( OM là ti p tuy n
2 = CM. DM,
Áp d ng h th c gi a c nh và đ ng cao trong tam giác vuông ta có OM Theo trên — COD = 900 nên tam giác COD vuông t ). ụ ữ ạ ệ ứ ườ
2AB 4
Mà OM = R; CA = CM; DB = DM => AC. BD =R2 => AC. BD = .
OD .(1)
i có OM = OB =R => OD là trung ạ ^ OD .(2). T (1) Và (2) => OC // BM ( Vì cùng vuông góc v i OD). ừ 5.G i I là trung đi m c a CD ta có I là tâm đ ng kính
4. Theo trên — COD = 900 nên OC ^ Theo tính ch t hai ti p tuy n c t nhau ta có: DB = DM; l ế ắ ế ấ tr c c a BM => BM ự ủ ủ ọ
ườ ể ớ ng tròn ngo i ti p tam giác COD đ ườ ạ ế CD có IO là bán kính. ^ AB => AC // BD => t AB; BD ^ ế ấ ế ứ giác ACDB là hình ng trung bình ạ ủ ủ ể ể ườ
(cid:0) i O => AB là ti p tuy n t AB => IO ^ AB t i O c a đ ng tròn ế ạ ế ạ ủ ườ Theo tính ch t ti p tuy n ta có AC thang. L i có I là trung đi m c a CD; O là trung đi m c a AB => IO là đ c a hình thang ACDB ủ IO // AC , mà AC ^ ng kính CD đ ườ
CN = BN
CN = BN
CM DM
6. Theo trên AC // BD => , mà CA = CM; DB = DM nên suy ra
AB.
AC BD AB => MN ^ giác ACDB = AB + AC + CD + BD mà AC + BD = CD nên suy ra ứ giác ACDB nh nh t khi CD ỏ ứ Ax và By t c là CD vuông góc v i Ax và ứ
giác ACDB = AB + 2CD mà AB không đ i nên chu vi t ấ ổ ớ ữ ỏ ả ể ủ ng tròn n i ti p, K là tâm đ ng tròn bàng ườ ộ ế ườ ế => MN // BD mà BD ^ 7. ( HD): Ta có chu vi t chu vi t ứ nh nh t , mà CD nh nh t khi CD là kho ng cách gi ấ ấ ỏ By. Khi đó CD // AB => M ph i là trung đi m c a cung AB. ả Bài 4 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đ ti p góc A , O là trung đi m c a IK. T ng t ủ ể ươ ng tròn. ằ ự ICK = 900 nh v y B ộ ườ ng tròn (O). ứ ứ ng tròn (O) Bi t AB = AC = 20 Cm, BC = 1. Ch ng minh B, C, I, K cùng n m trên m t đ 2. Ch ng minh AC là ti p tuy n c a đ ế 3. Tính bán kính đ ườ ế ủ ườ ế ườ 24 Cm. L i gi ờ ả (HD) i: ng tròn. ta cũng có — ư ậ và C cùng n m trên ằ đ ng kính ng tròn đ ườ IK do đó B, C, I, K cùng n m trên m t đ ằ 1. Vì I là tâm đ ng tròn n i ti p, K là tâm đ ộ ế ườ ườ ộ ườ 2. Ta có — C1 = ủ ề ỉ
ng tròn bàng ti p góc A nên BI và BK là hai tia phân giác c a hai góc k bù đ nh B ế Do đó BI ^ IBK = 900 . BK hay—
www.vnmath.com
30
— C2 (1) ( vì CI là phân giác c aủ góc ACH.
Tr
ng THCS H p Minh
www.vnmath.com Năm h c 2011-2012
ườ
ợ
ọ
IHC = 900 ). — C2 + — I1 = 900 (2) ( vì —
A
1 2
B
C
I 1 H
o
K
— I1 = — ạ
2
T (1), (2) , (3) => ICO (3) ( vì tam giác OIC cân t ICO = 900 hay AC ^ i O) OC. V y AC là ti p tuy n c a đ ng tròn (O). ừ ế ủ ườ ế ậ t AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm. thi ừ ả
2
=
= 16 ( cm)
2
2
2
2
CH2 = AH.OH => OH = = 9 (cm)
=
20 - 2 12 12 2 16 =
225
12 ừ ộ
— C1 + — 3. T gi ế AH2 = AC2 – HC2 => AH = CH AH + = 15 (cm)
+ HC OH 9 ng tròn (O; R), t ườ ấ ể ế
ế ớ m t đi m A trên (O) k ti p tuy n d v i (O). Trên đ ẻ ế ủ ẻ ể ọ ^ MA, g i H là giao đi m c a AC và BD, I ấ ế ẳ ế ủ ẻ ể ọ OC = Bài 5 Cho đ ườ ng ể th ng d l y đi m M b t kì ( M khác A) k cát tuy n MNP và g i K là trung đi m c a NP, k ế ẻ MB, BD ^ ti p tuy n MB (B là ti p đi m). K AC ể là giao đi m c a OM và AB. ủ ứ ộ ế
2. Vì K là trung đi m NP nên
2; OI. IM = IA2.
ể ể ằ NP ( quan hệ đ ng tròn . OK ^ ng kính đ ườ d
A
P
K
D
ể 1. Ch ng minh t giác AMBO n i ti p. ứ ộ 2. Ch ng minh năm đi m O, K, A, M, B cùng n m trên m t ứ ườ ứ ứ ứ ẳ
N
3. Ch ng minh OI.OM = R 4. Ch ng minh OAHB là hình thoi. 5. Ch ng minh ba đi m O, H, M th ng hàng. ể 6. Tìm qu tích c a đi m H khi M di chuy n trên đ ể ể
ườ ng ủ
H
M
O
I
C
làm). ỹ th ng d ẳ i: L i gi ờ ả 1. (HS t ự
B
ng kính OM. ng tròn đ — OAM = 900; — OBM = 900. như ườ ộ ướ Và dây cung) => — OKM = 900. Theo tính ch t ti p tuy n ta có v y K, A, B cùng nhìn OM d ậ ườ ng tròn. ậ ể ế ấ ế 0 nên cùng n m trên đ i m t góc 90 ằ ế ế ắ ^ AB t i I .ạ
2 hay OI.OM = R2; và OI. IM =
— OAM = 900 nên tam giác OAM vuông t i A có AI là ự ủ ế ấ ế ạ ườ ng cao => OI.OM = OA ng cao. ụ ữ ạ ệ ứ ườ
^ MB (gt) => OB // AC hay OB // AH. ^ MA (gt) => OA // BD hay OA // BH. ế MA (tính ch t ti p tuy n) ; BD ấ ế MB (tính ch t ti p tuy n) ; AC ấ ế ế i có OA = OB (=R) => OAHB là hình thoi. ằ V y năm đi m O, K, A, M, B cùng n m trên m t đ ộ ườ 3. Ta có MA = MB ( t/c hai ti p tuy n c t nhau); OA = OB = R => OM là trung tr c c a AB => OM Theo tính ch t ti p tuy n ta có đ Áp d ng h th c gi a c nh và đ IA2. 4. Ta có OB ^ OA ^ ứ ạ
31
=> T giác OAHB là hình bình hành; l www.vnmath.com
Tr
ng THCS H p Minh
www.vnmath.com Năm h c 2011-2012
ườ
ợ
ọ
D
A
AB; cũng theo trên OM ^ AB => O, H, M th ngẳ hàng( Vì qua O ch có m t đ 5. Theo trên OAHB là hình thoi. => OH ^ ỉ ộ ườ ẳ ớ ậ ộ ố ị ư ủ ể ả ằ ỹ ng th ng vuông góc v i AB). 6. (HD) Theo trên OAHB là hình thoi. => AH = AO = R. V y khi M di đ ng trên d thì H cũng di đ ng nh ng luôn cách A c đ nh m t kho ng b ng R. Do đó qu tích c a đi m H khi M di ộ chuy n trên đ ườ ể ẳ ọ ng tròn tâm A bán kính AH. G i HD ng tròn t E. Bài 6 Cho tam giác ABC vuông là đ ộ ng tròn tâm A bán kính AH = R ng th ng d là n a đ ử ườ ng cao AH. V đ A, đ ườ ở ng tròn (A; AH). Ti p tuy n c a đ ế ẽ ườ ế ủ ườ ạ ở ườ i D c t CA ắ E ng kính c a đ ứ G i I là hình chi u c a A trên BE, Ch ng minh r ng AI = ủ ườ 1.Ch ng minh tam giác BEC cân. 2. ế ủ ọ ứ ằ
I
ng tròn (A; AH). ế ằ ủ ườ
2 1
B
H
AH. 3.Ch ng minh r ng BE là ti p tuy n c a đ ứ ế 4.Ch ng minh BE = BH + DE. ứ ờ ả (HD) i:
C
L i gi 1. D
AHC = D ADE (g.c.g) => ED = HC (1) và AE = AC (2). ườ ừ ườ ừ ế ng trung tuy n
Vì AB ^ CE (gt), do đó AB v a là đ ng cao v a là đ c a ủ D BEC => BEC là tam giác cân. => — B1 = — B2
2. Hai tam giác vuông ABI và ABH có c nh huy n AB chung, AHB = D AIB => — B1 = — B2 => D ề ạ AI = AH.
AI t i I => BE là ti p tuy n c a (A; AH) t i I. ế ủ ế ạ
ộ ng kính AB. K ti p tuy n Ax và l y trên ti p tuy n đó m t ẻ ế ế ế ế ấ ườ ườ 3. AI = AH và BE ^ ạ 4. DE = IE và BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED Bài 7 Cho đ ng tròn (O; R) đ đi m P sao — ế ạ T (1) và (2) => ABM = — ẻ ế ế Ch ng minh r ng t ể cho AP > R, t 1. P k ti p tuy n ti p xúc v i (O) t ừ ứ ứ i M. ớ giác APMO n i ti p đ ộ ế ượ ằ ộ c m t đ
J
ừ AOP (3) X P O c t tia BM t i N. ớ ở ắ ạ
N 1 I
M
giác OBNP là hình bình hành. i K, PM c t ON t i I; PN và OM kéo dài ạ ạ ắ
K
i J. Ch ng minh I, J, K th ng hàng. ứ ạ ẳ
1
1 (
A
làm). (HS t
B
2 ( O
AOM 2
— ng tròn. ườ 2. Ch ng minh BM // OP. ứ 3. Đ ng th ng vuông góc v i AB ẳ ườ Ch ng minh t ứ ứ t AN c t OP t 4. Bi ắ ế c t nhau t ắ L i gi ờ ả i: 1. 2.Ta có — ABM n i ti p ch n cung AM; ự ộ ế ắ (cid:0) — ch n cung AM => ABM = AOM là góc tâmở (1) OP là tia phân giác — ắ
AOM 2
(cid:0) — AOP = (2) ế ắ
AOM ( t/c hai ti p tuy n c t nhau ) => Mà — ế ABM và — ồ
3.Xét hai tam giác AOP và OBN ta có : — PAO=900 (vì PA là ti p tuy n ); AOP là hai góc đ ng v nên suy ra BM // OP. (4) ị ế ế
ạ ằ ố ^ — NOB = 900 (gt NO^ AB). => — PAO = — NOB = 900; OA = OB = R; — AOP = — OBN (theo (3)) => D AOP = D OBN => OP = BN (5) T (4) và (5) => OBNP là hình bình hành ( vì có hai c nh đ i song song và b ng nhau). ừ PJ ứ
www.vnmath.com
32
ế ế ắ AB => ON ^ i I nên I là tr c tâm tam giác ự 4. T giác OBNP là hình bình hành => PN // OB hay PJ // AB, mà ON Ta cũng có PM ^ OJ ( PM là ti p tuy n ), mà ON và PM c t nhau t ạ POJ. (6)
Tr
ng THCS H p Minh
www.vnmath.com Năm h c 2011-2012
ườ
ợ
ọ
— PAO = — AON = — ONP = 900 => K là trung giác AONP là hình ch nh t vì có
D th y t đi m c a PO ( t/c đ ủ ễ ấ ứ ể ườ
ữ ậ — APO = — NOP ( so le) (7) ữ ậ ng chéo hình ch nh t). (6) ữ ậ
D ^ i I có IK là trung tuy n đông th i là đ ế — APM => — APO = — MPO (8). PO. (9) ng cao => IK ờ ườ ừ ừ ế ắ IPO cân t ẳ ng kính AB và đi m M b t kì trên n a đ ườ ử ườ ể ử ặ ấ ẻ ế ủ ng tròn ( M ng tròn k ti p tuy n Ax. Tia BM c t Ax ắ ế ứ ử ườ i H, i F tia BE c t Ax t i E; c t tia BM t ng tròn t ạ ạ ắ ạ ắ i K. AONP là hình ch nh t => Theo t/c hai ti p tuy n c t nhau Ta có PO là tia phân giác ế T (7) và (8) => ạ T (6) và (9) => I, J, K th ng hàng. ng tròn tâm O đ Bài 8 Cho n a đ ử ườ khác A,B). Trên n a m t ph ng b AB ch a n a đ ờ ẳ t i I; tia phân giác c a góc IAM c t n a đ ắ ử ườ ạ c t AM t ắ giác n i ti p. ứ ộ ế
X I
2 = IM . IB.
F
ạ ứ ứ ứ ứ giác AKFI n i ti p đ c m t đ 1) Ch ng minh r ng: EFMK là t ằ 2) Ch ng minh r ng: AI ằ 3) Ch ng minh BAF là tam giác cân. 4) Ch ng minh r ng : T giác AKFH là hình thoi. ứ ằ 5) Xác đ nh v trí M đ t ộ ế ượ ể ứ ị ị ộ ườ ng
M
H
E
ờ ả i:
K
ng tròn ) ắ ử ườ ộ ế
2 1
B
2 1 A
O
ng tròn )
2 = IM . IB.
tròn. L i gi 1. Ta có : — AMB = 900 ( n i ti p ch n n a đ => — KMF = 900 (vì là hai góc k bù). ề — AEB = 900 ( n i ti p ch n n a đ ắ ử ườ ộ ế => — KEF = 900 (vì là hai góc k bù). ề => — KMF + — KEF = 1800 . Mà — KMF và — KEF là hai góc giác EFMK do đó EFMK là t giác n i ti p. ^ i A có AM IB ( theo trên). ế ứ ế ộ ế D AIB vuông t ạ ng cao => AI IAB = 900 ( vì AI là ti p tuy n ) => ườ — thi đ i c a t ố ủ ứ 2. Ta có — ệ ứ ụ 3. Theo gi Áp d ng h th c gi a c nh và đ ả ữ ạ ế
ắ
ng cao c a tam giác ABF (2). AF hay BE là đ t AE là tia phân giác góc IAM => ằ ườ ủ i B . IAE = — MAE => AE = ME (lí do ……) => — ABE =— MBE ( hai góc n i ti p ch n hai cung b ng nhau) => BE là tia phân giác góc ABF. (1) ộ ế Theo trên ta có — AEB = 900 => BE ^ T (1) và (2) => BAF là tam giác cân. t ừ ng trung tuy n => E là ạ i B có BE là đ ườ ng cao nên đ ng th i là đ ồ ờ ươ ế
^ 4. BAF là tam giác cân. t ạ trung đi m c a AF. (3) ể AF => AF ^ ủ HK (4), theo trên AE là tia phân giác góc IAM hay AE là tia phân giác — HAK
i A có AE là đ ạ ườ ng cao nên đ ng th i là đ ồ ờ ươ ế ng trung tuy n
ng chéo vuông góc v i nhau t ườ ớ ạ ể i trung đi m ng). T BE ừ (5) T (4) và (5) => HAK là tam giác cân. t ừ => E là trung đi m c a HK. (6). ủ ể T (3) , (4) và (6) => AKFH là hình thoi ( vì có hai đ ừ c a m i đ ủ giác AKFI là hình thang. ứ ỗ ườ 5. (HD). Theo trên AKFH là hình thoi => HA // FK hay IA // FK => t giác AKFI n i ti p đ c m t đ ể ứ ộ ế ượ ng tròn thì AKFI ph i là hình thang cân. ả ộ ườ ể
ủ — ABM = — MAI = 450 (t/c góc n i ti p ). (7) ộ ế ậ ậ
— ABI = 450 => — AIB = 450 .(8) — IAK = — AIF = 450 => AKFI là hình thang cân (hình thang có hai góc đáy b ngằ
www.vnmath.com
33
giác AKFI n i ti p đ c m t đ ng tròn. Đ t AKFI là hình thang cân khi M là trung đi m c a cung AB. Th t v y: M là trung đi m c a cung AB => ủ ể Tam giác ABI vuông t i A có ạ T (7) và (8) => ừ nhau). V y khi M là trung đi m c a cung AB thì t ể ậ ủ ứ ộ ế ượ ộ ườ
Tr
ng THCS H p Minh
www.vnmath.com Năm h c 2011-2012
ườ
ợ
ọ
ử ườ ể ng kính AB. K ti p tuy n Bx và l y hai đi m C và D thu c ộ ấ gi a B và E). ẻ ế E, F (F t Bài 9 Cho n a đ n a đ ử ườ ế ở ữ ầ ượ ở
— ABD = —
giác n i ti p. ườ ắ 1. Ch ng minh AC. AE không đ i. ổ 2. Ch ng minh DFB. 3. Ch ng minh r ng CEFD là t ứ ng tròn (O; R) đ ng tròn. Các tia AC và AD c t Bx l n l ứ ứ ứ ằ ộ ế
ng tròn nên L i gi ờ ả i: 1. — ACB = 900 ( n i ti p ch n ắ ộ ế — ABD = T (1) và (2) => ừ — DFB ( cùng ph v i ụ ớ — BAD) ^ C thu c n a đ ộ ử ườ ng tròn ) => BC
ế ng cao => AC. AE = AB ệ ứ i B có ườ ng ng kính nên AB = 2R không đ i do đó AC. AE ữ ạ ổ ườ
X E
AE. n a đ ử ườ — ABE = 900 ( Bx là ti p tuy n ) => tam giác ABE vuông t ạ ế 2 (h th c gi a c nh và đ BC là đ ườ cao ), mà AB là đ không đ i.ổ D
2.
ắ ử ườ ộ ế
ủ ộ
C
ADB có — ADB = 900 ( n i ti p ch n n a đ ng tròn ). => — ABD + — BAD = 900 (vì t ng ba góc c a m t tam giác b ng ằ ổ 1800)(1)
F
D
D ế
ABF có — ABF = 900 ( BF là ti p tuy n ). ủ ổ ộ ế => — AFB + — BAF = 900 (vì t ng ba góc c a m t tam giác b ng ằ 1800) (2)
O
A
B
3.
ứ ộ ế
— ABD + — ACD = 1800 . ề — ECD = — ABD ( cùng bù v i ớ — ACD).
— ECD và — EFD là hai góc đ i c a t ố ủ ứ giác CEFD là t ặ ộ ế ứ ng tròn tâm O đ T giác ACDB n i ti p (O) => — ECD + — ACD = 1800 ( Vì là hai góc k bù) => Theo trên — ABD = — DFB => — ECD = — DFB. Mà — EFD + — DFB = 1800 ( Vì là hai góc kề bù) nên suy ra — ECD + — EFD = 1800, m t khác giác CDFE do đó t ườ ử ườ ể ấ giác n i ti p. ứ ng kính AB và đi m M b t kì trên n a đ ườ ủ ố ứ ủ ể ể ọ
Bài 10 Cho đ ng tròn sao cho AM < MB. G i M’ là đi m đ i x ng c a M qua AB và S là giao đi m c a hai tia BM, M’A. G i P là ọ ng chân đ ườ vuông góc t ừ S đ n AB. ế
S 1
ọ ủ ể 1.G i S’ là giao đi m c a MA và SP. Ch ng minh r ng ∆ PS’M ứ cân. 2.Ch ng minh PM là ti p tuy n c a đ ằ ng tròn . ế ủ ườ ứ ế
M 1 2
3
L i gi ờ ả
1
P
B
H O
1 4 ( ) ) 2 ( 3 A
0 nên cùng n m trên đ
ắ ử ườ ư ậ i m t góc b ng 90 ướ AB (gt) => — SPA = 900 ; — AMB = 900 ( n i ti p ộ ế — AMS = 900 . Nh v y P và M cùng ng tròn ) => ng tròn ằ ườ ằ ộ
M'
i: 1. Ta có SP ^ ch n n a đ nhìn AS d đ ườ
1 S'
ằ ằ ườ ằ ng tròn => hai cung AM và AM’ có s đo b ng ng tròn. ng tròn nên M’ ố
ằ ^ ắ AB t i H => MM’// SS’ ( cùng vuông góc v i AB) ố ứ ạ ớ
www.vnmath.com
34
ng kính AS. V y b n đi m A, M, S, P cùng n m trên m t đ ố ộ ườ ể ậ 2. Vì M’đ i x ng M qua AB mà M n m trên đ ườ ố ứ cũng n m trên đ ằ nhau => — AMM’ = — AM’M ( Hai góc n i ti p ch n hai cung b ng nhau) (1) ộ ế Cũng vì M’đ i x ng M qua AB nên MM’ => — AMM’ = — AS’S; — AM’M = — ASS’ (vì so le trong) (2). — AS’S = — ASS’. => T (1) và (2) => ừ
Tr
ng THCS H p Minh
www.vnmath.com Năm h c 2011-2012
ườ
ợ
ọ
— ASP=— AMP (n i ti p cùng ộ ế ộ ố ằ ể ắ
i P.ạ
i P; tam giác SMS’ vuông t i M => — B1 = — S’1 (cùng ph v i ạ ạ ụ ớ — S).
OM t — S’1 = — M1 (4) i P => ạ — B1 = — M3 (5). i O ( vì có OM = OB =R) => ạ — M1 = — M3 => — M1 + — M2 = — M3 + — M2 mà — M3 + — M2 = — AMB = ế ủ ườ ng ạ i M => PM là ti p tuy n c a đ ế Theo trên b n đi m A, M, S, P cùng n m trên m t đ/ tròn => ch n AP ) => — AS’P = — AMP => tam giác PMS’ cân t 3. Tam giác SPB vuông t (3) Tam giác PMS’ cân t Tam giác OBM cân t T (3), (4) và (5) => ừ 900 nên suy ra — M1 + — M2 = — PMO = 900 => PM ^ tròn t i Mạ ng tròn (O) t i các ế ớ ườ ạ i M. Ch ng minh : ứ ể ạ ắ 1. Bài 11. Cho tam giác ABC (AB = AC). C nh AB, BC, CA ti p xúc v i đ ạ i I , DI c t BC t đi m D, E, F . BF c t (O) t ắ ạ Tam giác DEF có ba góc nh n.ọ
DF // BC. 3. T giác BDFC n i ti p. 4.
2.
BD = CB
BM CF
A
ộ ế ứ
ờ ả i: ế ế ắ
D
F
i A => ạ
O
— DFE < 900; — EDF < 900. Nh v y tam giác ta có ộ ế ươ ư ậ ứ L i gi 1. (HD) Theo t/c hai ti p tuy n c t nhau ta có AD = AF => tam giác ADF — ADF = — AFD < 900 => sđ cung DF < 1800 => — DEF < 900 ( vì cân t góc DEF n i ti p ch n cung DE). ắ Ch ng minh t ng t ự DEF có ba góc nh n.ọ
I M
C
B
E
AD AF = AC AB
2. Ta có AB = AC (gt); AD = AF (theo trên) => => DF // BC.
— i có ạ ng tròn . c m t đ B = — C (vì tam giác ABC cân) ộ ườ ộ ế ượ
DBM = — BCF ( hai góc đáy c a tam giác cân). — ủ CBF = — BFD (vì so le) => — BDM = — CBF . ắ
BD = CB
BM CF
D 3. DF // BC => BDFC là hình thang l => BDFC là hình thang cân do đó BDFC n i ti p đ 4. Xét hai tam giác BDM và CBF Ta có — — BDM = — BFD (n i ti p cùng ch n cung DI); ộ ế => D BDM ~ CBF =>
ườ ườ ớ ạ ể ườ ạ ng kính AB và CD vuông góc v i nhau. Trên ạ i i N. Đ ng th ng vuông góc v i AB t ẳ ớ
ủ ườ ng tròn (O) bán kính R có hai đ Bài 12 Cho đ đo n th ng AB l y đi m M (M khác O). CM c t (O) t ắ ấ ẳ M c t ti p tuy n ắ ế i N c a đ t ạ ở ứ P. Ch ng minh : ộ ế ứ ứ ụ ủ ể ạ ế ng tròn ứ 1. T giác OMNP n i ti p. 2. T giác CMPO là hình bình hành. 3. CM. CN không ph thu c vào v trí c a đi m M. ị ạ 4. Khi M di chuy n trên đo n th ng AB thì P ch y trên đo n ộ ạ ể ẳ ạ th ng c đ nh nào. ố ị 2. T giác OMNP n i ti p ộ ế => — OPM = — ONM (n iộ ti p ch n cung OM) Tam ắ ế giác ONC cân t i O vì có ON = OC = R => — ONC = — OCN ẳ ờ ả i:
AB ); — ONP = 900 (vì NP là ti pế
0 => M và N ằ ướ ộ ng kính OP => T giác OMNP n i ứ
www.vnmath.com
35
i m t góc b ng 90 ộ ng tròn đ ườ L i gi 1. Ta có — OMP = 900 ( vì PM ^ tuy n ).ế Nh v y M và N cùng nhìn OP d ư ậ cùng n m trên đ ườ ằ ti p.ế
Tr
ng THCS H p Minh
www.vnmath.com Năm h c 2011-2012
ườ
ợ
ọ
C
M
O
A
B
N
P
B'
A'
D OMC = D MOP => OC = MP. (1) ^ i có MO là c nh chung => ạ AB; PM ^ AB => CO//PM (2). ế ả ạ t Ta có CD ứ
AB); — DNC = 900 (n i ti p ch n n a ắ ử ộ ế
— C là góc chung => D OMC ~ D NDC i có
D => — OPM = — OCM. Xét hai tam giác OMC và MOP ta có — MOC = — OMP = 900; — OPM = — OCM => — CMO = — POM l Theo gi thi T (1) và (2) => T giác CMPO là hình bình hành. ừ 3. Xét hai tam giác OMC và NDC ta có — MOC = 900 ( gt CD ^ đ ườ
— MOC =— DNC = 900 l ạ
2 => CM. CN = CO.CD mà CO = R; CD = 2R nên CO.CD = 2R2 không đ i => CM.CN =2R
=> ổ
ủ ụ ể ị
ộ ễ ấ D OMC = D DPO (c.g.c) => — ODP = 900 => P ch y trên đ ng th ng c đ nh vuông ố ị ườ ẳ
ỉ ạ ạ ẳ ẳ ạ ằ ờ ẳ i E, N a đ ng tròn đ ng cao AH. Trên n a m t ph ng b BC ch a ứ ng kính HC c t AC ạ ặ ử ng tròn đ ườ ử ườ ắ ắ ng tròn ) => CM CO = CD CN không đ i hay tích CM. CN không ph thu c vào v trí c a đi m M. ổ 4. ( HD) D th y ạ góc v i CD t i D. ạ ớ Vì M ch ch y trên đo n th ng AB nên P ch ch y trên do n th ng A’ B’ song song và b ng AB. ỉ ạ Bài 13 Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC), đ ườ ở ng kính BH c t AB t đi n A , V n a đ ườ ẽ ử ườ ể i F.ạ t ữ ậ giác n i ti p. ộ ế ứ
1. Ch ng minh AFHE là hình ch nh t. ứ 2. BEFC là t 3. AE. AB = AF. AC. 4. Ch ng minh EF là ti p tuy n chung c a hai n a đ ng tròn . ứ ủ ế ế ử ườ
A
L i gi i: ờ ả
ng tròn ) ắ ử ườ ộ ế
I
E 1 2
1 (
F
ng tròn )
1 )
ề ắ ử ườ ề
1 2 H
C
B
O 2
O 1
1. Ta có : — BEH = 900 ( n i ti p ch n n c đ => — AEH = 900 (vì là hai góc k bù). (1) — CFH = 900 ( n i ti p ch n n c đ ộ ế => — AFH = 900 (vì là hai góc k bù).(2) — EAF = 900 ( Vì tam giác ABC vuông t ạ T (1), (2), (3) => t ừ ứ ứ — F1=— H1 (n iộ
t AH ắ ữ ậ thi ế ả i A) (3) giác AFHE là hình ch nh t ( vì có ba góc vuông). ữ ậ ng tròn => ộ ế ượ ^ BC nên AH là ti p tuy n chung c a hai n a ử c m t đ ộ ườ ế ủ ế ng tròn (O
ắ
— EBC và — EFC là hai góc đ i c a t giác BEFC do đó BEFC là t giác n i ti p. — B1= — F1 => — EBC+— EFC = — EBC+— EFC = 1800 ề ộ ế ố ủ ứ ứ ặ
www.vnmath.com
36
2. T giác AFHE là hình ch nh t nên n i ti p đ ti p ch n cung AE) . Theo gi ế đ 1) và (O2) ườ => — B1 = — H1 (hai góc n i ti p cùng ch n cung HE) => ộ ế — AFE + — EFC mà — AFE + — EFC = 1800 (vì là hai góc k bù) => m t khác 3. Xét hai tam giác AEF và ACB ta có — A = 900 là góc chung; — AFE = — ABC ( theo Ch ngứ minh trên)
Tr
ng THCS H p Minh
www.vnmath.com Năm h c 2011-2012
ườ
ợ
ọ
AE AF = AC AB
=> D AEF ~ D ACB => => AE. AB = AF. AC.
Tam giác AHC vuông t ^ AB => AH2 = AE.AB (*) ^ AC => AH2 = AF.AC (**)
1 (vì có O1E vàO1H cùng là bán kính) => — E2 = — H2.
ừ D IEH cân t i I => — E1 = — H1 . * HD cách 2: Tam giác AHB vuông t i H có HE ạ i H có HF ạ T (*) và (**) => AE. AB = AF. AC 4. T giác AFHE là hình ch nh t => IE = EH => ứ ữ ậ ạ
i Oạ
2F ^
ta cũng có O ng t EF. V y EF là ti p tuy n chung c a hai n a đ ế ươ ự ủ ế ậ ử ườ ng D O1EH cân t => — E1 + — E2 = — H1 + — H2 mà — H1 + — H2 = — AHB = 900 => — E1 + — E2 = — O1EF = 900 => O1E ^ EF . Ch ng minh t ứ tròn .
ộ ẳ ng kính theo th t là AB, AC, CB và có tâm theo th t ng tròn (O) t ạ ườ i C c t n a đ i E. G i M. N theo th t ớ ắ ử ườ ng tròn có đ ạ ứ ự ạ ọ
ng tròn (I), (K). ớ ử ườ ộ ế ủ Bài 14 Cho đi m C thu c đo n th ng AB sao cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm. V v m t phía c a ẽ ề ộ ể là O, I, K. AB các n a đ ứ ự ứ ự ử ườ Đ ng vuông góc v i AB t ể là giao đi m ườ c a EA, ủ EB v i các n a đ ứ
E
ủ ử ế ế ng tròn tâm K)
N
3
1
2
H
i h n b i ba n a đ ng tròn c gi ử ườ ớ ạ ượ ở
1
M
L i gi 1. Ta có: — BNC= 900( n i ti p ch n n a ắ ử 1.Ch ng minh EC = MN. đ ườ 2.Ch/minh MN là ti p tuy n chung c a các n a đ/tròn (I), (K). 3.Tính MN. 4.Tính di n tích hình đ ệ ờ ả i:
1
I
O
1 2 C
A
K
B
ề ề ắ ử ườ
— EMC = 900 (vì là hai góc k bù).(2) — MEN = 900 (3) ắ ử ườ ng chéo hình ch ữ ộ ế ứ ng tròn tâm I) => ng tròn tâm O) hay giác CMEN là hình ch nh t => EC = MN (tính ch t đ ữ ậ ấ ườ
ng tròn (I) và (K) thi t EC ủ ả ế i C nên EC là ti p tuy n chung c a hai n a đ ế ế
ử ườ T giác CMEN là hình ch nh t nên => ữ ậ ứ ắ
i K => — B1 = — N1 ạ ạ
— N1 = — N3 mà — N1 + — N2 = — CNB = 900 => — N3 + — N2 = — MNK = 900 hay
ế ủ ta cũng có MN là ti p tuy n c a (I) t i M, i N. ạ ế ủ ạ ủ ^ ng tròn (I), (K). ng tròn tâm O) => i A có EC AB (gt) => — ENC = 900 (vì là hai góc k bù). (1) — AMC = 900 ( n i ti p ch n n c đ ộ ế — AEB = 900 (n i ti p ch n n a đ T (1), (2), (3) => t ừ nh t )ậ ^ AB t 2. Theo gi ạ => — B1 = — C1 (hai góc n i ti p cùng ch n cung CN). ộ ế — C1= — N3 => — B1 = — N3.(4) L i có KB = KN (cùng là bán kính) => tam giác KBN cân t (5) T (4) và (5) => ừ MN ^ i N => MN là ti p tuy n c a (K) t KN t ế ạ ng t Ch ng minh t ứ ế ự ươ V y MN là ti p tuy n chung c a các n a đ ử ườ ế ế ậ 3. Ta có — AEB = 900 (n i ti p ch n n c đ ắ ử ườ D AEB vuông t ạ ộ ế
thi . 202 = 400p . IA2 = p . => EC2 = AC. BC ó EC2 = 10.40 = 400 => EC = 20 cm. Theo trên EC = MN => MN = 20 cm. 4. Theo gi t AC = 10 Cm, CB = 40 Cm => AB = 50cm => OA = 25 cm ả Ta có S(o) = p ế .OA2 = p 252 = 625p ; S(I) = p .52 = 25p ; S(k) = p
Ta có di n tích ph n hình đ c gi i h n b i ba n a đ ng tròn là S = ( S(o) - S(I) - S(k)) ệ ầ ượ ớ ạ ử ườ ở .KB2 = p 1 2
1 2
1 2
www.vnmath.com
37
S = ( 625p - 25p - 400p ) = .200 p = 100p (cid:0) 314 (cm2)
Tr
ng THCS H p Minh
www.vnmath.com Năm h c 2011-2012
ườ
ợ
ọ
ự ở ạ ườ ng th ng AD c t đ ể i D. đ ng tròn ng th ng BM c t đ A. Trên c nh AC l y đi m M, d ng đ ấ ng tròn (O) t ẳ ng tròn (O) có ắ ườ ườ ạ ườ ắ ườ ẳ Bài 15 Cho tam giác ABC vuông đ ườ (O) t giác n i ti p . ứ
ng tròn (O). Ch ng minh r ng các đ ng th ng BA, ng kính MC. đ i S.ạ 1. Ch ng minh ABCD là t 2. Ch ng minh CA là tia phân giác c a góc SCB. 3. G i E là giao đi m c a BC v i đ ủ ộ ế ủ ớ ườ ứ ứ ọ ể ứ ằ ườ ẳ EM, CD đ ng quy. ồ ủ ng tròn n i ti p tam giác ADE. 4. Ch ng minh DM là tia phân giác c a góc ADE. 5. Ch ng minh đi m M là tâm đ ộ ế ườ ể L i gi
ứ ứ i: ờ ả
C 2 1
C 1 3 2
O
O
E
D
S
1 2
E
3 2 1 S
M
D
2
1
2 M 1 1 2 3 A
F
B
2 1 B
2 1 3 A
F
H×nh a
H×nh b
i A);
1. Ta có — CAB = 900 ( vì tam giác ABC vuông t ạ
— MDC = 900 ( góc n i ti p ch n n a ắ ử 0 nên A và i m t góc b ng 90 ư ậ ộ ế ằ ng tròn đ — CDB = 900 nh v y D và A cùng nhìn BC d ứ ườ
ộ ướ giác n i ti p. ộ ế — D1= — C3( n i ti p cùng ch n cung AB). ng tròn ) => đ ườ D cùng n m trên đ ằ 2. ABCD là t ứ
ườ giác n i ti p => ộ ế ﾼ SM EM= ng kính BC => ABCD là t ắ ộ ế => — C2 = — C3 (hai góc n i ti p đ — D1= — C3 => ﾼ ộ ế ườ ằ ng tròn (O) ch n hai cung b ng ắ
nhau) => CA là tia phân giác c a góc SCB. ủ
BM; ME ^ BC nh v y BA, EM, CD là ba đ ườ ư ậ ủ ng cao c a
ﾼ SM EM=
=> — D1= — D2 => DM là tia phân giác c a góc ADE.(1)
ng tròn (O)) => ủ — MEB = 900. ộ ế ắ ử ườ
— MAB = 900 ; — MEB = 900 => — MAB + — MEB = 1800 mà đây là hai góc
ng tròn => ộ ườ ộ ế
— A2 = — B2 . — A1= — B2( n i ti p cùng ch n cung CD) ộ ế ứ ắ
ﾼ
ﾼ
=>
ủ ng tròn n i ti p tam giác ADE ộ ế ườ
ﾼ = SM EM
3. Xét D CMB Ta có BA^ CM; CD ^ tam giác CMB nên BA, EM, CD đ ng quy. ồ 4. Theo trên Ta có ﾼ 5. Ta có — MEC = 900 (n i ti p ch n n a đ T giác AMEB có ứ giác AMEB n i ti p m t đ đ i nên t ứ ố T giác ABCD là t giác n i ti p => ộ ế ứ => — A1= — A2 => AM là tia phân giác c a góc DAE (2) T (1) và (2) Ta có M là tâm đ ừ TH2 (Hình b) Câu 2 : — ABC = — CME (cùng ph ụ — ACB); — ABC = — CDS (cùng bù — ADC) => — CME = — CDS => ﾼ = CE CS
www.vnmath.com
38
ng kính ở ộ ủ ườ i F, G. ằ t c t đ i E. Các đ ng th => — SCM = — ECM => CA là tia phân giác c a góc SCB. A.và m t đi m D n m gi a A và B. Đ ng tròn đ ữ ườ ng tròn t ầ ượ ắ ườ ể ẳng CD, AE l n l ạ ườ ạ Ch ng minh : Bài 16 Cho tam giác ABC vuông BD c t BC t ắ ứ
Tr
ng THCS H p Minh
www.vnmath.com Năm h c 2011-2012
ườ
ợ
ọ
Tam giác ABC đ ng d ng v i tam giác EBD. ạ ồ T giác ADEC và AFBC n i ti p . ộ ế ớ ộ ế đây là hai góc đ i nên ADEC là ố giác n i ti p . t ứ B
Các đ ng th ng AC, DE, FB đ ng quy. ồ ẳ ườ
O
E
i A); ạ
1
— DEB = 900 ( góc n i ti p ch n n a đ i có D ạ
F
1 G
D
1
ề
S
A
C
ạ ộ ế
i m t góc b ng 90 ộ ắ ử ườ ng 0 nên A và F cùng n mằ ằ ng tròn đ ườ ườ
— E1 = — F1 => — F1 = — C1 mà đây là hai ứ — DFB = 900 ( góc n i ti p ch n n a đ ướ giác n i ti p. ộ ế ứ — E1 = — C1 l i có ạ
A
ễ ấ ủ ồ i S. 1. 2. ứ 3. AC // FG. 4. L i gi ờ ả i: 1. Xét hai tam giác ABC và EDB Ta có — BAC = 900 ( vì tam giác ABC vuông t ng tròn ) ộ ế ắ ử ườ => — DEB = — BAC = 900 ; l — ABC là góc chung => D DEB ~ CAB — BAC = 900 2. Theo trên — DEB = 900 => — DEC = 900 (vì hai góc k bù); — DAC = 900 => — DEC + — DAC = 1800 mà ( vì D ABC vuông t i A) hay ạ * — BAC = 900 ( vì tam giác ABC vuông t i A); tròn ) hay — BFC = 900 nh v y F và A cùng nhìn BC d ư ậ ng kính BC => AFBC là t trên đ giác n i ti p => 3. Theo trên ADEC là t ộ ế góc so le trong nên suy ra AC // FG. 4. (HD) D th y CA, DE, BF là ba đ ườ ạ ng cao c a tam giác DBC nên CA, DE, BF đ ng quy t ạ ườ ng cao là AH. Trên c nh BC l y đi m M b t kì ( M không ấ ể ấ M k MP, MQ vuông góc v i các c nh AB. AC. ạ ề ẻ Ch ng minh APMQ là t 1. giác n i ti p và hãy xác đ nh tâm O c a đ Bài 17. Cho tam giác đ u ABC có đ trùng B. C, H ) ; t ừ ứ ớ ộ ế ứ ủ ườ ị ạ ế ng tròn ngo i ti p giác đó. t ứ ằ ^ PQ. Ch ng minh r ng MP + MQ = AH. Ch ng minh OH ứ ứ
AB (gt) => — APM = 900; MQ ^
O
1
P
2
ư ậ 0 nên P và Q cùng n m trên đ ườ AC (gt) i m t góc ướ ộ ng kính ườ ứ ng tròn ngo i ti p t ằ giác n i ti p. ộ ế ủ ườ ườ ng tròn ngo i ti p t giác ạ ế ứ giác APMQ là ng kính c a đ ủ ườ ạ ế ứ 2. 3. L i gi ờ ả i: 1. Ta có MP ^ => — AQM = 900 nh v y P và Q cùng nhìn BC d b ng 90 ng tròn đ ằ AM => APMQ là t * Vì AM là đ APMQ tâm O c a đ trung đi m c a AM. ủ ể
ABC =
Q
1 2
M
B
H
C
2. Tam giác ABC có AH là đ ng cao => S BC.AH. ườ
ABM =
Tam giác ABM có MP là đ ng cao => S AB.MP ườ
ACM =
1 2 1 2
Tam giác ACM có MQ là đ ng cao => S AC.MQ ườ
1 2
1 2
1 2 ề ng cao nên cũng là đ
AC.MQ = AB.MP + BC.AH => AB.MP + AC.MQ = BC.AH Ta có SABM + SACM = SABC =>
ng phân giác => ườ
( tính ch t góc n i ti p ) => — HOP = — HOQ (t/c góc ở ấ
i O ( vì OP và OQ cùng là bán kính) nên suy ra OH cũng là đ ườ ộ ế ạ — HAP = — HAQ => tâm) => OH là tia phân giác góc ườ ng
www.vnmath.com
39
Mà AB = BC = CA (vì tam giác ABC đ u) => MP + MQ = AH. 3. Tam giác ABC có AH là đ ﾼ ﾼ HP HQ= POQ. Mà tam giác POQ cân t cao => OH ^ PQ
Tr
ng THCS H p Minh
www.vnmath.com Năm h c 2011-2012
ườ
ợ
ọ
ng tròn (O) đ ườ ườ ng th ng vuông góc v i OB t ấ ể ẳ ấ ườ ớ ở Bài 18 Cho đ trùng O, B) ; trên đ MA và MB th t ườ c t đ ứ ự ắ ườ ủ ể ng kính AB. Trên đo n th ng OB l y đi m H b t kì ( H không ấ ể ạ ng tròn ; ngoài đ i H, l y m t đi m M ộ ạ i C và D. G i I là giao đi m c a AD và BC. ạ ọ giác n i ti p . ộ ế ẳ ng tròn (O) t ứ ồ
ườ ẳ ng tròn ngo i ti p t giác n i ng th ng AD, BC, MH đ ng quy t i I. ạ giác MCID, Ch ng minh KCOH là t ứ ạ ế ứ ứ ộ 1. Ch ng minh MCID là t 2. Ch ng minh các đ 3. G i K là tâm đ ườ
ứ ứ ọ ờ ả i:
ng tròn ) => — BID = 900 (vì ộ ế ^ ắ ử ườ i M => — BMD = 900 ạ
www.vnmath.com
40
giác MBID nên ố ủ ứ ứ ^ AB t i M nên M ả ạ L i gi 1. — BIC = 900 ( n i ti p ch n n a đ AB t là hai góc k bù); DE ề => — BID + — BMD = 1800 mà đây là hai góc đ i c a t giác n i ti p. MBID là t ộ ế t M là trung đi m c a AB; DE 2. Theo gi ể ế cũng là trung đi m c a DE (quan h đ ng kính và dây cung) ủ ệ ườ thi ể ủ
D
3
1
A
C
/
I 2 1 2 1 B
M
/ O
O'
1 E
ng chéo vuông góc v i nhau t ớ ạ ỗ i trung đi m c a m i ể ủ ườ ứ ng . ^ ng tròn ) => AD DC; theo trên BI ^ DC => BI // AD. ộ ế ắ ử ườ
t ADBE là hình thoi => EB // AD (2). thi ế ả ng th ng song song v i AD mà thôi.) ừ ẳ ỉ ộ ườ ẳ ớ ạ ể ế — i M => — => T giác ADBE là hình thoi vì có hai đ đ ườ 3. — ADC = 900 ( n i ti p ch n n a đ (1) 4. Theo gi T (1) và (2) => I, B, E th ng hàng (vì qua B ch có m t đ 5. I, B, E th ng hàng nên tam giác IDE vuông t ẳ DE) =>MI = ME => D MIE cân t ạ kính ) => — I3 = — C1 mà — C1 = — E1 ( Cùng ph v i góc EDC ) => I1 = — I1 = — E1 ; D O’IC cân t ạ ụ ớ — i I => IM là trung tuy n ( vì M là trung đi m c a ủ i O’ ( vì O’C và O’I cùng là bán I3 => — I2 = i I => MI O’I t I3 + — I2 = — BIC = 900 => — I2 = 900 = — MIO’ hay MI ^ I1 + — I1 + — ạ
I3 + — ế ủ ề I2 . Mà — ế ủ ậ ề ộ ệ ủ ng tròn tâm O. D và E l n l ữ ủ t là đi m chính gi a c a ể ế ề ầ ượ L. ắ ở
ữ ậ giác BCED là hình ch nh t. giác ADOE là hình thoi và tính các góc c a hình này. ứ ứ ủ giác ABCD n i ti p đ là ti p tuy n c a (O) t hình, tìm đi u ki n c a m t hình. Ch đ 1: Nh n bi Bài 1:Cho tam giác đ u ABC n i ti p đ ộ ế ườ I và c t AC các cung AB và AC. DE c t AB ắ ở a) Ch ng minh DI = IL = LE. b) Ch ng minh t c) Ch ng minh t ứ ườ ớ ạ i I. giác thì đ ứ ứ ứ Bài 2:Cho t ứ ằ ng tròn có các đ ạ ườ ng chéo vuông góc v i nhau t ộ ạ ủ ứ ườ ng ng vuông góc xu ng m t c nh c a t ố ố giác đã cho. Ch ng minh MNRS là hình I ta h đ ủ ạ ủ ệ ủ ạ ủ ứ ạ ứ
ng vuông góc h ậ ng tròn ngo i ti p hình ch nh t này đi qua chân các đ ữ ạ ế ườ ạ I xu ng các c nh c a t giác. ộ ế ườ a) Ch ng minh r ng n u t ế ừ vuông góc này qua trung đi m c a c nh đ i di n c a c nh đó. ể b) G i M, N, R, S là trung đi m c a các c nh c a t ể ọ ch nh t. ữ ậ c) Ch ng minh đ ườ ứ t ạ ố ừ
1) và (O2) l n l
ng tròn đ ườ ườ ườ ng tròn (O ế ế ổ ng cao. Hai đ ắ ườ ng kính AB và i M t t ầ ượ ạ ủ ứ Bài 3:Cho tam giác vuông ABC ( — A = 1v) có AH là đ AC có tâm là O1 và O2. M t cát tuy n bi n đ i đi qua A c t đ ộ và N.
1O2, MN, BC. Ch ng minh F cách đ u 4 đi m E, G,
t là trung đi m c a O ầ ượ ứ ủ ể ề ể
ể ế ạ ng nh th nào? ư ế ườ ườ ườ ấ ế ủ ng tròn phía trong hình ng tròn phía trong hình vuông. G i P là đi m tuỳ ý trên ể ọ t là hình chi u c a P trên AB và AD, PA và PB ầ ượ ng tròn l n l t a) Ch ng minh tam giác MHN là tam giác vuông. ứ b) T giác MBCN là hình gì? ứ c) G i F, E, G l n l ọ A, H. d) Khi cát tuy n MAN quay xung quanh đi m A thì E v ch m t đ ộ ườ Bài 4:Cho hình vuông ABCD. L y B làm tâm, bán kính AB, v 1/4 đ ẽ ấ vuông.L y AB làm đ ng kính , v 1/2 đ ẽ cung AC ( không trùng v i A và C). H và K l n l ớ c t n a đ ầ ượ ở ắ ử ườ a) Ch ng minh I là trung đi m c a AP. ứ I và M. ủ ể
giác APMH là hình thang cân. ứ ứ ứ ứ ề Ch đ 2: Ch ng minh t b) Ch ng minh PH, BI, AM đ ng qui. ồ c) Ch ng minh PM = PK = AH d) Ch ng minh t đ) Tìm v trí đi m P trên cung AC đ tam giác APB là đ u. ể ị ủ ề ứ ứ ộ giác n i ti p, ch ng minh nhi u đi m cùng n m trên m t ề ằ ể ể ộ ế đ i A c a (O), (O') c t (O'), ắ ắ ế ạ ứ ng tròn. i A, B. Các ti p tuy n t ủ ng tròn ngo i ti p tam giác EAF. ườ i các đi m E, F. G i I là tâm đ ườ ạ ườ ế ạ ế ng tròn (O), (O') c t nhau t ọ
ể ộ ườ ộ ể giác OAO'I là hình bình hành và OO'//BI. ứ ố ề ạ ố ứ ứ ắ ủ ọ
giác ABDC n i ti p đ c trong m t đ ng tròn.Xác đ nh tâm O c a đ ị ộ ườ ộ ế ượ ủ ườ ng
i đi m th 2 là I. Ch ng minh r ng 5 đi m A, I, F, ứ ứ ể ể ạ ằ ắ ườ ộ ườ ng tròn (O') t ia OA c t đ i A và B. T i C, tia O'A Bài 1:Cho hai đ (O) l n l t t ầ ượ ạ a) Ch ng minh t ứ ng tròn. b) Ch ng minh b n đi m O, B, I, O' cùng thu c m t đ ứ c) Kéo dài AB v phía B m t đo n CB = AB. Ch ng minh t giác AECF n i ti p. ộ ế ứ ộ Bài 2:Cho tam giác ABC. Hai đ i H.G i D là đi m đ i x ng c a H ng cao BE và CF c t nhau t ể ạ ườ qua trung đi m M c a BC. ủ ể a) Ch ng minh t ứ ứ tròn đó. b) Đ ng th ng DH c t đ ẳ ườ H, E cùng n m trên m t đ ằ ườ ắ ườ ạ ạ ng tròn (O) và (O') c t nhau t i D. Ch ng minh r ng: ng tròn (O) t ng tròn. ắ ằ Bài 3:Cho hai đ c t đ ắ ườ ạ
đó suy ra năm đi m O, O', B, C, D cùng n m trên m t đ ộ ườ ng ể ằ ừ ng tròn (O) t ứ ứ
ườ ườ ứ ộ ế i E. V EF vuông góc AD. G i M là trung đi m c a DE. Ch ng minh r ng: ng tròn đ ể ng kính AD. Hai đ ủ ứ ắ ng chéo AC và BD c t ằ ứ a) T giác OO'CD n i ti p. ộ ế b) T giác OBO'C n i ti p, t ộ ế tròn. Bài 4:Cho t nhau t ạ ử ườ ọ c. ứ ộ ế ượ
ng tròn. ể ớ ườ ^ ng tròn (O) ta v hai ti p tuy n MA, MB v i đ ẽ ế MA, CF ^ giác ABCD n i ti p n a đ ẽ a) Các t giác ABEF, DCEF n i ti p đ b) Tia CA là tia phân giác c a góc BCF. ủ c. c)* T giác BCMF n i ti p đ ộ ế ượ bên ngoài đ ườ ở ẽ ộ ứ ừ ộ ỏ ể ấ G i I là giao đi m c a AC và DE, K là giao đi m c a BC và DF. Ch ng minh r ng: Bài 5:T m t đi m M Trên cung nh AB l y m t đi m C. V CD ủ ể ằ AB, CE ^ ủ ể ế MB. ứ giác AECD, BFCD n i ti p đ c. ộ ế ượ
+
=
ọ a) Các t ứ b) CD2 = CE. CF c)* IK // AB ng tròn (O). T A v ti p tuy n xy v i đ ng tròn. V hai ẽ ế ớ ườ ừ ế ẽ ườ ộ ế Bài 6:Cho tam giác ABC n i ti p đ đ ườ ng tròn. ố ể ộ ườ ^ đó suy ra OA ằ DE. ứ ứ ể ấ ỏ ộ ng tròn (O). Trên cung nh AB l y m t đi m M. Đ ng ườ i N. ộ ế ườ ạ ẳ ắ ớ ề a) Ch ng minh r ng tam giác AMN là tam giác đ u. b) Ch ng minh r ng MA + MB = MC. ng cao BD và CE. a) Ch ng minh r ng b n đi m B, C, D, E cùng n m trên m t đ ằ b) Ch ng minh r ng xy// DE, t ừ ằ Bài 7:Cho tam giác đ u ABC n i ti p đ ề th ng qua A song song v i BM c t CM t ằ ằ ứ ứ
1 MD
c)* G i D là giao đi m c a AB và CM. Ch ng minh r ng: ọ ể ủ ứ ằ
1 MB ng tròn (O) thay đ i đi qua B ắ ườ ng
ữ ể ớ ổ i D ( M n m trên cung nh BC).Tia AN c t đ ạ ằ ớ i E. Ch ng minh r ng:
1 AM Bài 8:Cho ba đi m A, B, C c đ nh v i B n m gi a A và C. M t đ ộ ườ và C. V đ ẽ ườ tròn (O) T i m t đi m th hai là F. Hai dây BC và MF c t nhau t ạ
ằ ố ị ng kính MN vuông góc v i BC t ộ ứ ể ắ ạ ỏ ứ ằ c. ứ ộ ế ượ
a) T giác DEFN n i ti p đ b) AD. AE = AF. AN c) Đ ng th ng MF đi qua m t đi m c đ nh. ố ị ườ ể ẳ ộ
ng tròn. G i M là ở ớ ườ ẽ ọ ườ ng tròn t i đi m N. Tia AN c t đ ng tròn t i đi m D. ừ ộ ể ủ ể ng tròn ( O; R) v hai ti p tuy n AB, AC v i đ ế ạ ể ế ắ ườ ạ ể bên ngoài đ ắ ườ 2 = MC. MN
ứ ứ
Bài 9:T m t đi m A trung đi m c a AB. Tia CM c t đ a) Ch ng minh r ng MB b) Ch ng minh r ng AB// CD c) Tìm đi u ki n c a đi m A đ cho t
ằ ằ ệ ủ ể ử ể ệ ng tròn (O) và m t dây AB. G i M là đi m chính gi a c a cung nh AB. V đ ể giác ABDC là hình thoi. Tính di n tích c hình thoi đó. ứ ng kính ọ ẽ ườ ữ ủ ng tròn (O) t ỏ i C. Bài 10:Cho đ MN C t AB t ắ ề ườ ạ ọ ắ ườ ạ ộ i I. G i D là m t đi m thu c dây AB. Tia MD c t đ ộ ộ ể giác CDIN n i ti p đ ứ c ộ ế ượ ị ổ ộ a) Ch ng minh r ng t b) Ch ng minh r ng tích MC. MD có giá tr không đ i khi D di đ ng trên dây AB. ng tròn ngo i ti p tam giác ACD. c) G i O' là tâm c a đ ằ ằ ủ ườ ứ ứ ọ ạ ế
1 — 2
Ch ng minh r ng — MAB = AO'D. ứ ằ
ứ ế ủ ườ ế ể ẳ ạ ng tròn ngo i d) Ch ng minh r ng ba đi m A, O', N th ng hàng và MA là ti p tuy n c a đ ằ ti p tam giác ACD. ế ng cao AH. Trên đo n th ng HC l y D sao ạ ấ ẳ ườ ˛
ộ ế Bài 11:Cho tam giác ABC vuông cho HD = HB. V CE vuông góc v i AD ( E ẽ ằ giác AHEC. ế ạ ế ứ ằ ứ ứ ứ ng tròn ngo i ti p t ế ủ ườ ủ i h n b i các đo n th ng CA. CH và cung nh AH c a đ ng tròn ẳ ạ ở ủ ườ ỏ
ng kính BC. G i A là M t đi m thu c cung BC ( AB < AC), D là ệ ế ườ ộ E, c t tia BA F. ườ ể ộ ể ở ắ ở i D c t AC ắ A ( AB < AC), đ ở AD). ớ a) Ch ng minh r ng AHEC là t giác n i ti p. ứ b) Ch ng minh AB là ti p tuy n c a đ c) Ch ng minh r ng CH là tia phân giác c a góc ACE. d) Tính di n tích hình gi ớ ạ — ACB = 300. t AC= 6cm, nói trên bi Bài 12:Cho đ ng tròn tâm O có đ ọ ườ đi m thu c bán kính OC. Đ ng vuông góc v i BC t ạ ớ giác n i ti p. ộ ế ứ ằ
ể ằ — AME = 2 — ACB. ng tròn (O). ứ ế ủ ườ ộ ứ ọ ứ ằ i h n b i các đo n th ng BC, BA và cung nh AC c a đ ng tròn ế ớ ạ ệ ẳ ở ủ ườ ỏ
a) Ch ng minh r ng ADCF là t b) G i M là trung đi m c a EF. Ch ng minh r ng ủ c) Ch ng minh r ng AM là ti p tuy n c a đ d) Tính di n tích hình gi ạ t BC= 8cm, (O) bi ế ng kính AB = 2R. Đi m M thu c n a đ ng tròn. V ườ ử ộ ử ng tròn tâm M ti p xúc v i AB ( H là ti p đi m). K các ti p tuy n AC, BD v i đ ẽ ng tròn ẻ ể ế ế ể ế ườ ớ ườ Bài 13:Cho n a đ đ ườ (M) ( C, D là ti p đi m). ế ẳ ng tròn (O). — ABC = 600. ng tròn tâm O, đ ườ ớ ế ể ằ ằ ứ ứ ế ủ ườ
a) Ch ng minh r ng C, M, D th ng hàng b) Ch ng minh r ng CD là ti p tuy n c a đ ế c) Tính t ng AC + BD theo R. ổ d) Tính di n tích t giác ABDC bi ứ ệ ế — AOM = 600. t
ể ể ộ Bài 14:Cho tam giác vuông cân ABC (— A = 900), trung đi m I c a c nh BC. Xét m t đi m D trên tia AC. V đ ng tròn (O) ti p xúc v i các c nh AB, BD, DA t ng ng M, N, P. ươ ứ ạ ớ ủ ạ i các đi m t ể ng tròn. ạ ộ ườ ằ ằ ằ ẳ t là H, K. Tam giác HNK là tam giác gì, t ẽ ườ ứ ứ ọ ầ ượ ủ ể ớ ạ i
ổ ị ể ậ ợ
ế a) Ch ng minh r ng 5 đi m B, M, O, I, N n m trên m t đ ể b) Ch ng minh r ng ba đi m N, I, P th ng hàng. ể c) G i giao đi m c a tia BO v i MN, NP l n l sao? d) Tìm t p h p đi m K khi đi m D thay đ i v trí trên tia AC. ể ủ ề
ể
ẳ
ứ
ườ
ồ ng th ng đ ng
ẳ
ể ẳ i C và C'. Đ ng th ng AO' c t đ t t ắ ườ ng i hai đi m A và B. Đ ng th ng AO c t đ ườ i D t t ng tròn (O) và (O') l n l ng tròn (O) và (O') c t nhau t ạ ẳ ườ ầ ượ ạ ắ ườ ắ ườ ầ ượ ạ
Ch đ 3: Ch ng minh các đi m th ng hàng, các đ quy. Bài 1:Cho hai đ tròn (O) và (O') l n l và D'.
ẳ a) Ch ng minh C, B, D' th ng hàng b) Ch ng minh t ứ giác ODC'O' n i ti p ộ ế ứ ứ
ng th ng D'C' c t nhau t i M. Ch ng minh t giác MCBC' n i ti p. ứ ộ ế ạ ắ ng kính vuông góc ườ ngoài đ ẳ ng tròn ( O) k cát tuy n CBA. G i IJ là đ ườ ườ ứ ọ i M, N. ườ Bài 2:T m t đi m C ở ừ ộ v i AB. Các đ ẳ ớ ạ c) Đ ng th ng CD và đ ẳ ể ể c t đ ng th ng CI, CJ theo th t ứ ự ắ ườ ườ a) Ch ng minh r ng IN, JM và AB đ ng quy t ồ b) Ch ng minh r ng các ti p tuy n c a đ ủ ể ế ằ ằ ứ ứ ế ng tròn (O) t ạ i m t đi m D. ộ ể ng tròn (O) t ng tròn ( O; R) và ( O'; R' ) ti p xúc ngoài t ườ ế ủ ườ ế i M, N đi qua trung đi m E c a CD. ắ i A ( R> R' ). Đ ng n i tâm OO' c t ườ ng tròn (O) ạ ố ạ i B và C ( B và C khác A). EF là dây cung c a đ ủ ườ ng tròn (O') t i D. t ứ ự ạ i trung đi m I c a BC, EC c t đ ủ ắ ườ ể ớ ạ Bài 3:Cho hai đ đ ườ vuông góc v i BC t ứ ẳ ng EG, DF và CI đ ng quy. ắ ườ ườ ạ ồ
ng kính c a (O) và (O’), ườ ủ ˛ ng tròn (O) và (O') theo th t ạ a) T giác BEFC là hình gi? b) Ch ng minh ba đi m A, D, F th ng hàng. ể ứ i G. Ch ng minh ba đ ng tròn (O’) t c) CF c t đ d) Ch ng minh ID ti p xúc v i đ ớ ườ ế ứ Bài 4:Cho đ ế (O), E ˛ DE là ti p tuy n chung ngoài (D ứ ng tròn (O’). ng tròn (O) và (O’) ti p xúc ngoài t ạ (O’)). AD c t BE t i M. ườ ế ế i C. AC và BC là đ ạ ắ
ủ ứ i N. Ch ng minh D, N, C th ng hàng. ắ ạ ng tròn đ ẻ ề ế ớ ử ủ ẳ ng kính AB và OO’. ườ ườ ứ ẳ
ẳ ộ ạ ắ ng kính PQ c t AB t ắ ớ ừ ể ngoài (O). T đi m i A, B. C thu c d ở i đi m th hai I, AB i D. CP c t (O) t ứ ạ ạ ể ắ a) Tam giác MAB là tam giác gì? b) Ch ng minh MC là ti p tuy n chung c a (O) và (O’). ế c) K Ex, By vuông góc v i AE, AB. Ex c t By t ứ d) V cùng phía c a n a m t ph ng b AB, v n a đ ờ ặ ẽ ử ẳ ng tòn trên t Đ ng th ng qua C c t hai n a đ i I, K. Ch ng minh OI // AK. ạ ắ ử ườ ườ Ch đ 4: Ch ng minh đi m c đ nh. ố ị ể ứ ủ ề ng tròn (O ; R). Đ ng th ng d c t (O) t Bài 1:Cho đ ườ ườ chính gi a P c a cung l n AB k đ ẻ ườ ủ c t IQ t ắ ữ ạ giác PDKI n i ti p. ộ ế
i K. ứ ứ ứ ủ ố ị ứ ư ằ ẫ ổ a) Ch ng minh t ứ b) Ch ng minh: CI.CP = CK.CD. c) Ch ng minh IC là phân giác ngoài c a tam giác AIB. d) A, B, C c đ nh, (O) thay đ i nh ng v n luôn qua A, B. Ch ng minh r ng IQ luôn đi qua đi m c đ nh. ố ị ể ộ ế ố ủ ề ộ ộ
i A và D. Ch ng minh r ng D c đ nh. Bài 2:Cho tam giác đ u ABC n i ti p (O ; R). M di đ ng trên AB. N di đ ng trên tia đ i c a tia CA sao cho BM = CN. ườ ố ị ứ ắ ằ ạ ế ạ
i K. Ch ng minh DK vuông góc v i MN. ớ a) Đ ng tròn ngo i ti p tam giác AMN c t (O) t b) Tính góc MDN. c) MN c t BC t ạ ắ d) Đ t AM = x. Tính x đ di n tích tam giác AMN là l n nh t. ặ ấ ở ể ớ ngoài (O). Cát tuy n qua M c t (O) t ế ắ ạ ế i A và B. Ti p tuy n ế
ứ ể ệ ố ị i C. ạ giác OACB n i ti p đ ng tròn tâm K. ắ ứ Bài 3:Cho (O ; R). Đi m M c đ nh i A và B c t nhau t c a (O) t ạ ủ ứ ứ ộ ế ườ ố ị ể ế i N, I là trung đi m AB. Ch ng minh MA.MB = MI.MN. ứ ể ạ
ứ
a) Ch ng minh t b) Ch ng minh: (K) qua hai đi m c đ nh là O và H khi cát tuy n quay quanh M. c) CH c t AB t ắ d)Ch ng minh: IM.IN = IA 2. ng kính AB tâm O. C là đi m chính gi a cung AB. M di đ ng trên ườ ữ ể ộ ng tròn đ Bài 4:Cho n a đ ử ườ cung nh AC. L y N thu c BM sao cho AM = BN. ộ ấ ỏ
ứ ứ ố ị ớ ng th ng d c t (O) t i hai đi m C và D. Đi m M tuỳ ý trên d, k a) So sánh tam giác AMC và BCN. b) Tam giác CMN là tam giác gì? c) K dây AE//MC. Ch ng minh t d) Đ ng th ng d đi qua N và vuông góc v i BM. Ch ng minh d luôn đi qua đi m c đ nh. ắ giác BECN là hình bình hành. ứ ạ ể ể ườ ể ẳ ẻ ẻ ẳ ườ Bài 5:Cho đ ng tròn (O ; R), đ ti p tuy n MA, MB. I là trung đi m c a CD. ườ ể ủ ế ế ộ a) Ch ng minh 5 đi m M, A, I, O, B cùng thu c m t đ ể b) G i H là tr c tâm c a tam giác MAB, t ng tròn. ộ ườ giác OAHB là hình gì? ứ ọ ứ ủ ự
ằ ứ ớ ắ ườ ồ ẳ ể ố ị t t ầ ượ ạ i E và K. Ch ng minh EC = ứ
ứ
ồ
ạ
c) Khi M di đ ng trên d. Ch ng minh r ng AB luôn qua đi m c đ nh. d) Đ ng th ng qua C vuông góc v i OA c t AB, AD l n l EK. ủ ề ứ
ọ
2 = MC.MD.
ng tròn (O) và dây AB. M là đi m chính gi a cung AB. C thu c AB, dây MD qua C. ữ ộ ể
ng tròn ngo i ti p tam giác BCD ti p xúc v i MB t i B.
Ch đ 5: Ch ng minh hai tam giác đ ng d ng và ch ng minh đ ng ẳ ứ th c hình h c. Bài 1:Cho đ ứ ứ ứ
ạ ớ ế
1 + R2
ng tròn ngo i ti p tam giác BCD và ACD. Ch ng minh R ứ ạ ế
ộ ổ ử ườ ng kính AB = 2R và m t đi m M trên n a đ ộ Bài 2:Cho n a đ khác A, B). Ti p tuy n t ử i A, B l n l ng tròn (M C và E. ủ ử ườ ế ắ ể ng tròn c t các ti p tuy n t ế ạ ườ t ầ ượ ở ế
ứ ứ ứ ạ ớ ng th ng AB và CE c t nhau t ng h p hai đ i F. G i H là hình chi u vuông góc ồ ẳ ườ ườ ắ ợ ế ọ ườ a)Ch ng minh MA b) Ch ng minh MB.BD = BC.MD. c) Ch ng minh đ ạ ế ườ d)G i Rọ 1, R2 là bán kính các đ ườ không đ i khi C di đ ng trên AB. ng tròn tâm O, đ ườ i M c a n a đ ế ạ a) Ch ng minh r ng CE = AC + BE. ằ b)Ch ng minh AC.BE = R 2. c) Ch ng minh tam giác AMB đ ng d ng v i tam giác COE. d) Xét tr ạ c a M trên AB. ủ
HA = HB
FA FB
+ Ch ng minh r ng: . ứ ằ
+
=
+ Ch ng minh tích OH.OF không đ i khi M di đ ng trên n a đ ứ ộ Bài 3:Trên cung BC c a đ ng tròn ngo i ti p tam giác đ u ABC l y m t đi m P b t kì. Các ủ ườ ể ấ ổ ạ ế
đ ng th ng AP và BC c t nhau t i Q. Ch ng minh r ng: . ườ ẳ ắ ạ ứ ằ ng tròn. ử ườ ộ ấ 1 PC
1 PB ườ
=
+
ng tròn (I ; R) ti p xúc v i Ox ề 1 PQ ự ế ớ ạ ặ ạ ể ệ ứ i hai đi m B, C. Ch ng minh các h th c: ứ Bài 4:Cho góc vuông xOy. Trên tia Ox đ t đo n OA = a. D ng đ t ạ
2
2
1 2 a
. a)
ố
ề
i A. V ti p tuy n chung ngoài
ệ ẽ ế
0.
ườ ế
i A và c t Oy t ắ 1 1 AC AB b) AB2 + AC2 = 4R2. Ch đ 6: Các bài toán v tính s đo góc và s đo di n tích. ố ủ ề Bài 1:Cho hai đ ng tròn (O; 3cm) và (O’;1 cm) ti p xúc ngoài t ế ạ (O); C ˛ BC (B ˛ ứ ằ
. ng tròn ế ủ
ộ ườ ẽ ề ộ là AB, AC, CB và có tâm theo th t (O’)). a)Ch ng minh r ng góc O’OB b ng 60 ằ b) Tính đ dài BC. ộ c) Tính di n tích hình gi ệ ể ng tròn có đ ườ ứ ự E. G i M, N theo th t ứ ự ng tròn (O) ọ ở ườ ắ ử ườ ứ ự ể ng tròn (I), (K).
ng tròn (I), (K). ử ườ ủ ế
c gi i h n b i ti p tuy n BC và các cung AB, AC c a hai đ ớ ạ ở ế Bài 2:Cho đi m C thu c đo n th ng AB sao cho AC = 10 cm, CB = 40 cm. V v m t phía c a AB ạ ẳ ủ là O, I, K. ng kính theo th t các n a đ ườ ử Đ ng vuông góc v i AB t ủ là giao đi m c a i C c t n a đ ạ ớ EA, EB v i các n a đ ử ườ ớ a) Ch ng ming r ng EC = MN. ằ ứ b) Ch ng minh r ng MN là ti p tuy n chung c a các n a đ ế ằ ứ c) Tính đ dài MN. ộ d) Tính di n tích hình đ ệ ượ ở ng tròn. T ng tròn. ế ớ ườ ừ ế ể ở ng tròn (O), k hai ti p tuy n AB và AC v i đ i P và Q. bên ngoài đ ỏ ộ ể ế ạ ắ i h n b i ba n a đ ử ườ ớ ạ Bài 3:T m t đi m A ườ ẻ ừ ộ m t đi m M trên cung nh BC k m t ti p tuy n th ba c t hai ti p tuy n kia t ẻ ộ ế ể ế ể ế ỏ ộ ổ
0 và bán kính c a đ ủ ườ c gi
ế ng tròn (O) b ng 6 cm. Tính đ dài c a ti p tuy n ộ i h n b i hai ti p tuy n AB, AC và cung nh BC. ứ a) Ch ng minh r ng: Khi đi m M chuy n đ ng trên cung BC nh thì chu vi tam giác APQ có ứ ằ giá tr không đ i. ị b)Cho bi t BAC = 60 ế AB và di n tích ph n m t ph ng đ ệ ủ ế ỏ ớ ạ ằ ế ượ ế ặ ẳ ầ ở
ng tròn n i ti p , K là tâm đ ng tròn bàng ườ ộ ế ườ
Bài 4:Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đ ti p góc A, O là trung đi m c a IK. ể
ế ng tròn. ủ ể ộ ườ ộ ng tròn (O). ằ ằ ứ ứ ế ủ ườ ế ng tròn (O) bi ế ng tròn mà AE > EB. M a) Ch ng minh r ng: 4 đi m B, I, C, K cùng thu c m t đ b) Ch ng minh r ng: AC là ti p tuy n c a đ c) Tính bán kính c a đ ủ ườ ng tròn tâm O đ ng kính AB = 2R. E là m t đi m trên đ t AB = AC = 20 cm, BC = 24 cm. ườ ườ ể ộ ườ ể
i O. C và D. Đi m C và đi m E ể ể ở cùng m t phía đ i v i AB. Ch ng minh ố ớ ứ ộ
ớ D AEC. ng tròn ngo i ti p tam giác CEM. Bài 5:Cho đ là m t đi m trên đo n AE sao cho AM.AE = AO.AB. ạ ộ D AOM vuông t a) Ch ng minh ạ ứ ng tròn b) OM c t đ ắ ườ ở D ACM đ ng d ng v i ạ ồ c) Ch ng minh AC là ti p tuy n c a đ ế ế ủ ườ ứ
d) Gi s t s di n tích hai tam giác Acm và AEC là . Tính AC, AE, AM, CM theo R. ả ử ỉ ố ệ ạ ế 2 3
Ch đ 7: Toán qu tích.
ủ ề
ỹ
ng tròn (O) và M là đi m di đ ng trên ộ ế ườ ể ộ Bài 1:Cho tam giác ABC cân (AB = AC) n i ti p trong đ đ ườ ế ủ ủ ể ọ ớ
D BPM cân. ứ ng tròn đó. G i D là hình chi u c a B trên AM và P là giao đi m c a BD v i CM. a) Ch ng minh b) Tìm qu tích c a đi m D khi M di chuy n trên đ ng tròn (O). ỹ ể ủ ườ i hai đi m A, B. T m t đi m M trên d và ừ ộ ể ể ở ạ ng th ng d t ẳ Bài 2:Đ ng tròn (O ; R) c t m t đ ngoài đ ẻ ườ ườ ộ ườ ế ng tròn ngo i ti p tam giác MPQ đi qua ạ ế ườ ằ ằ ộ ị ể ắ ng tròn (O) k các ti p tuy n MP, MQ. ế a) Ch ng minh r ng góc QMO b ng góc QPO và đ ứ hai đi m c đ nh khi M di đ ng trên d. ể ố ị b) Xác đ nh v trí c a M đ MQOP là hình vuông? ủ ị c) Tìm qu tích tâm các đ ng tròn n i ti p tam giác MPQ khi M di đ ng trên d. ộ i hai đi m A và B. Đ ng th ng d đi qua A c t các ườ ắ ắ ạ ng th ng PO và QI. Bài 3:Hai đ đ ườ ọ ườ ườ ẳ ẳ ủ i P, Q. G i C là giao đi m c a hai đ giác BCQP, OBCI n i ti p. ể ể ộ ế t là trung đi m c a AP, AQ, K là trung đi m c a EF. Khi đ ứ ọ ể ủ ể ườ ng th ng d ẳ ộ ể ườ ấ ị
ở ầ
ọ
ể ỹ ộ ế ườ ng tròn tâm O và tâm I c t nhau t t t ng tròn (O) và (I) l n l ầ ượ ạ a) Ch ng minh r ng các t ứ ằ b) G i E, F l n l ủ ầ ượ quay quanh A thì K chuy n đ ng trên đ c) Tìm v trí c a d đ tam giác PQB có chu vi l n nh t. ủ ể ộ ố ủ ề ữ ộ ể ệ ủ ộ
2 cm2. Tính
ng ABCDA’B’C’D’ có di n tích m t chéo ACC’A’ b ng 25 ặ ằ ậ
ầ ủ ệ ể ậ ộ ng nào? ớ ề t AB = 4 cm; AC = 5 cm và A’C = 13 cm. Tính ế ữ ậ ệ ng đó. ằ t AB = 15 cm, AC’ = 20 cm và góc A’AC’ b ng ế ộ ể ữ ậ đ ng tam giác đ u ABCA’B’C’. Tính di n tích xung quanh và th tích c a nó ệ ầ ủ ề ụ ứ ủ ể ế ạ ằ t c nh đáy dài 6 cm và góc AA’B b ng 30 ườ ạ ọ i tr ng ề ẳ ặ ớ
Ch đ 8: M t s bài toán m đ u v hình h c không gian. Bài 1:Cho hình h p ch nh t ABCDA’B’C’D’. Bi ậ th tích và di n tích xung quanh c a hình h p ch nh t đó. Bài 2:Cho hình l p ph ươ th tích và di n tích toàn ph n c a hình l p ph ươ Bài 3:Cho hình h p ch nh t ABCDA’B’C’D’. Bi ứ ậ 600. Tính th tích và di n tích toàn ph n c a hình h p ch nh t đó. ệ Bài 4:Cho lăng tr 0. bi Bài 5: Cho tam giác ABC đ u c nh a. Đ ng th ng d vuông góc v i m t ph ng (ABC) t tâm G c a tam giác ABC. Trên đ
ẳ ng th ng d l y m t đi m S. N i SA, SB, SC. ể ạ ườ ủ ấ ẳ ộ ố ứ a) Ch ng minh r ng SA = SB = SC. ằ b) Tính di n tích toàn ph n và th tích c a hình chóp S.ABC, cho bi ể ủ ệ ầ ế
Bài 6:Cho hình chóp t giác đ u S.ABCD có c nh đáy là a và đ ng cao là . ứ ề ạ ườ t SG = 2a. 2a 2
ứ ề ặ ệ ể Bài 7:Cho hình chóp tam giác đ u S.ABC có c nh đáy và c nh bên đ u b ng a. ề ằ ủ ạ a) Tính di n tích toán ph n c a hình chóp. a) Ch ng minh các m t bên c a hình chóp là các tam giác đ u. ủ b) Tính th tích và di n tích xung quanh c a hình chóp. ạ ề ầ ủ ệ
3. giác đ u S.ABCD có chi u cao 15 cm và th tích là 1280 cm
2, di n tích đáy l n g p 4 l n di n tích đáy nh
b) Tính th tích c a hình chóp. ể ế ề ể ủ ứ Bài 8:Cho hình chóp t ạ ộ ệ ủ ệ ầ ấ ớ ỏ ộ ụ ỏ ủ ề giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a, SA = a và SA vuông góc ạ ứ ặ a) Tính đ dài c nh đáy. b) Tính di n tích xung quanh c a hình chóp. Bài 9:M t hình chóp c t di n tích đáy nh là 75 cm ệ ệ và chi u cao là 6 cm. Tính th tích c a hình chóp c t đó. ụ ể Bài 10:Cho hình chóp t v i m t ph ng đáy (ABCD). ẳ ớ ể ứ ữ ằ ặ ệ p ủ ng cao b ng đ t th tích hình tr ng kính đáy. Bi là 128 cm3, tính a) Tính th tích hình chóp. b) Ch ng minh r ng b n m t bên là nh ng tam giác vuông. ố a) Tính di n tích xung quanh c a hình chóp. ườ ằ ụ ụ ể ế ệ có đ ủ p ệ ằ cm2. Tính thể ủ ng cao b ng 12 cm và đ ườ ụ ằ ằ ớ ườ ằ ng sinh b ng Bài 11:M t hình tr ườ ộ di n tích xung quanh c a nó. Bài 12:M t hình nón có bán kính đáy b ng 5 cm và di n tích xung quanh b ng 65 ằ ộ tích c a hình nón đó. Bài 13:Cho hình nón c t, bán kính đáy l n b ng 8 cm, đ 13 cm.
a) Tính bán kính đáy nh .ỏ b) Tính di n tích xung quanh và th tích c a hình nón c t đó. ụ ệ p ủ Bài 14:M t hình c u có di n tích b m t là 36 cm2. Tính th tích c a hình c u đó. ể ề ặ ệ ể ầ ộ ủ ầ
