Khóa CHINH PHỤC ĐIỂM 10 MÔN TOÁN – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC
)1;1 , (
K
-
CHINH PHỤC MỤC TIÊU 26 ĐIỂM ĐẠI HỌC Thầy Đặng Việt Hùng – MOON.VN Công thức 26 điểm trở lên: Toán 8.5; Lí 8,5; Hóa 9,0 trở lên nhé. VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN Câu 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD tâm I. Gọi M là điểm đối xứng của D qua đỉnh B thuộc đường thẳng C. Gọi H, K lần lượt là chân đường cao hạ từ D, C lên AM. Giả sử 5
y+ + = Tìm tọa độ đỉnh B.
Và phương trình đường thẳng
= 10 0.
1 0.
y+ 3
HI
x
: 3 x Lời giải:
Dễ thấy CK là đường trung bình trong tam giác DHM do vậy K là trung
=
∼
⇒
điểm của HM. Lại có
ADM
DHM
AD DH = DM MH
1 2
=
=
= D
D D
⇒
. MCK
ADH
= Do vậy DH HK KM Mặt khác
do đó:
lại có (cid:2) (cid:2)BAH BCK
= D
D
BAH
BCK +
D
⇒ =
^
DHI
= D KHI BH HI
D ^
Do vậy
= ; AH CK và (cid:2) (cid:2)ABH KBC = ⇒ = BH BK Suy ra (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) 090 (cid:2) 045 = + = = hay BH BK ABH HBC KBC HBC BHK (cid:2) (cid:2) 045 ( do (cid:2) (cid:2) 045 = = = ⇒ ) Do DHI DAI DHI KHI + - = ⇒ ⇒ Khi đó: / / . : 3 4 0 BK HI y BK x 1 5 ⇒ ; B 2 2
3
2
2
= ˙ . B d BK
(
)
+ = +
(
)
(
) ℝ .
x y y 5 x 4 y , ˛ x y ;
Câu 2: Giải hệ phương trình
2
2
- x - + + 1 y y - = x 3. + 3 x
Điều kiện
3
3
2
3
3
3
2
3
2 Lời giải.
2 x y
2 x y
2
2
= + + + + (cid:219) - - ;x y ˛ ℝ . Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với + + 2 x y 2 xy 2 3 3 5 x y y x x 3 xy = 3 y 0
2
2
2
(
)
(
)
)
)( = (cid:219) 2 x
2
2
+ = y 3 0 + + (cid:219) - - - 4 ( 2 x x y 3 y = (cid:219) x y 0 2 x 3 y y 0 y x 2 = x
2
2
+ 0 = (cid:219) = = y 0 . x
x
- + + x 1
x
- = x
2
3
( ) 1
.
(cid:1) x 2 (cid:1) Với x
2
2
- 3 y y= thì phương trình thứ hai của hệ trở thành
Để ý rằng
2
2
2
- ˛ x - + = x 1 0, x ℝ nên (1) đưa về dạng x 3 4
2
2
- - x - + + x 1 3 x + + x 2 x x 2
)
=
(cid:219) - - - (cid:219) - - £ (cid:219) - £ (cid:219) - £ £ 1 + > " 2 - = (cid:219) x 2 ( - = - x 2 2 x x 2 0 2 1 x x
( x [
t ˛
x y ;
t t ;
- + 2 x ) x ( 2 0 ) với . - = - 2 x ) x Thử trực tiếp đi đến kết luận hệ có các nghiệm (
)( 1 ]1; 2 +
)
+ - - 1 1 5 5 . đây suy ra hệ phương trình đề bài có hai cặp nghiệm ( x y ; 5 1 ; 5 1 ; 2 2 2 2 = ,
)
)
-
Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, cạnh đáy BC có phương trình là ( Viết phương trình đường thẳng
y+ + =
1 0,
- = y
2
d
x
x
:
:
d 1
2
phương trình đường cao kẻ từ B là (
M
2 0. )2;1 . (
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
AB, AC và tìm tọa độ điểm A biết rằng đường cao kẻ từ C qua điểm
Khóa CHINH PHỤC ĐIỂM 10 MÔN TOÁN – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC
Lời giải
(
⇒
Ta có
B
d
2
˙ -
Do
= B d 1 + + = ⇒ x
1 0
) 0; 1 ( C t
y
;
C d
) 1
t
1 :
˛ - -
Gọi H là trung điểm của
- - t 2 ; BC t 2
;
) 1
2d nên
-
1 0
2
và vuông góc với
Đường thẳng AH qua
;
H
1d nên
⇒ H 2 và vuông góc với + - + = t - -
- = t
1 0
- -
y y 3
=
Ta có
A AC AH
;
3
- - ˙
Do
0
=
^
(
)
Mà
2;
;
;
t
2
t
( t- Đường thẳng AC qua C t phương trình đường thằng : 2 AC x t t 2 2 phương trình đường thẳng AH x : t t 2 ⇒ A 3 (cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:5) (cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:5) = . BA MC (cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:5) = MC
CM AB (cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:5) t 2 BA 3
⇒ t 3
- - - -
(
và
2
) = (cid:219) = t 2
0
t
A
;
C
;
2 3
2 ( ⇒ - t 3
1 3
4 9
11 9
2 3
5 3
- - - - - ) ⇒
(
Đường thẳng AB qua
và
nên đường thẳng
AB x :
y+ 2
+ =
2
0
B
) 0; 1
A
;
- -
Đường thẳng AC qua
nên đường thẳng
AC x
: 6
y+ 3
+ = 1 0
và
A
;
C
;
4 9 4 9
11 9 11 9
2 3
5 3
- -
Vậy
A
;
+ AC x : 6
,
+ = y
1 0,
3
+ AB x :
+ = y
2 0.
2
4 9
11 9
2
2
3
3
-
)
)(
2
2
+ + = + x y 2 x 3 y x 9 y
Câu 4: Giải hệ phương trình
(
- - - 2 1 + = - - x y 2 1 x x y 40 9
2
3
3
3
3
+
=
+
y 2 Lời giải. „ „
Điều kiện x + 3 3
+ 2 x y
= 6 y
(cid:219) - 2 x y 2 + 2 x y 4 xy 2 . Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với + 3 2 x 0 xy 3 2 3 9 x y y
2
2
2
2
+
(
)
)
)
)( +
y (cid:219) - - - -
)
( + xy x
( = (cid:219) x
( + x
= (cid:219) 4 xy
2
2
+
+
=
)
= x (
2
+
)2
(cid:2) (
x x y 4 y 6 y y 0 y x 6 y 0 x 2 y 4 y 0
2
y
y
= (cid:219) + 0 x
= = (cid:219) = = 2 x y
0
y
y
0
.
2
2
Xét hai trường hợp + x 4
(cid:2) Với x
y= thì phương trình thứ hai của hệ trở thành
2
2
2
2
2
- - x 1 + = . - x x x 1 2
2
2
=
+
(
(
) + 1
) = 1
) 1
Đặt
- = 1x
+ 2 t
40 9
1
1
4
3
2
4
3
2
4
2
2
=
+
t (cid:219) - - 40 9 ( t t thu được t t t t + - t
40 9 ) 1
20 0
+ + + t 2
+ t 2
+ 4 t 11
= t 49
2
2
+
(cid:219) - - (cid:219) - t t t t t t 2 t ( 40 9
(cid:219) - - ˛ -
(
)
= (cid:219) 2 5
0
4;
1;
t
)( t 4 11
5 11
5 + - 11
5 11
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
t ⇒ ˛ x 3; 1; 1
Khóa CHINH PHỤC ĐIỂM 10 MÔN TOÁN – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC
)
(
Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm (
) ( 3;3 ,
) 1; 1 ,
EF x - = :
2 0.
2
2
+
+
= + - - - . x y ; 1; 1; 1 5 + 11 5 + 11 5 + - 11 5 11 1 ,
và A, H đều có tung độ dương.
= 15 0
x
y
- -
Câu 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD tâm K, M là điểm di động trên cạnh AB. Trên cạnh AD, BC lần lượt lấy điểm E, F sao cho AM = AE, BM = BF, phương trình Gọi H là hình chiếu vuông góc kẻ từ M tới đường thẳng EF. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH là 4 y 2 x Lời giải
= ⇒ tứ giác AMHE nội tiếp
=
⇒
= BFM BHM
= ⇒ = ⇒ là tâm của hình vuông
^
)
(
(
⇒
Ta có (cid:2) (cid:2) 090 = EAM MHE (cid:2) (cid:2) 045 = = ⇒ AEM AHM Tương tự tứ giác HMBF nội tiếp (cid:2) (cid:2) 045 (cid:2) 090 ⇒ AHB Ta có AE CF Ta có (cid:2) (cid:2) 090 = AHB AKB = H K EF ABH Ta có
AH BH K = ⇒ tứ giác AHKB nội tiếp ) ( 2;3 ,
H
K
,
bán
Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH có tâm
) 2; 1 ( I -
)2;1
R =
: 2
x
và vuông góc với IK nên 0
AB ,A B là giao điểm của
)2;1 ( I - y- + = 5 ,A B với đường tròn ngoại tiếp tam
5 kính Đường thẳng AB qua đường thẳng Do giác ABH nên tọa độ
,A B thỏa mãn
˙ -
)
)
A
0;5
2
0
2
x
+ x
0
y
⇒
⇒
2
2
- + = 5 y +
+
( (
)
( (
3
y
2
0
x
x
y
= y + 2 x
4; 3
4; 7 ) 8;1
B
D
= ⇒ = 5 x = - ⇒ = - 4 x
C
- (cid:219) (cid:219) - - - -
y (
(
0 (
Vậy
4 ) 0;5 ,
B
= 15 ) 4; 3 ,
C
A
2
3
- - -
5 = 20 x ( ) 8;1 D )( 1
) = 4
(
) ℝ .
- - x x + 2 x + y 3 , y ˛
Câu 6: Giải hệ phương trình
5 ) 4; 7 , (
; x y + 2 2 2 = 15 x - + y x
3
3
5 . y Lời giải. y‡ .
(
Điều kiện 2x Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với (
x
x
) 2 + 1
+ y
3
y
) 1
( 3 - = 3
x
) + 1
y
3
y
) ( 1
3
3
3
3
2
2
+
+
=
- - (cid:219) - .
(
- = ⇒ + =
+ x )
x
u
;
1
u
u
y
+ (cid:219) y
u
y
u 3
= (cid:219) 3 y
0
uy
y
0
.
+ u
= 3 )( + y u
3
Đặt
2
2
- - -
Với
2 +
+ + u uy y + = (cid:219) 1 0 1 (Vô nghiệm). y = - 2 y + u 1 2 3 4
2
2
Với u = (cid:219) + = 1 x y y thì phương trình thứ hai của hệ trở thành
+ - (cid:219) -
) +
2 + = 1 x x 5 x 20
( + - x
2 x 5 x 24 = 1 2
(
)
)( + 3
( ) 1
3 - (cid:219) - (cid:219) x x 8 = + x 8 2 x x 6 = + + 1 2 = x x 2 + + 1 2
(
)
£ ‡ - ⇒ x x 8, 1 (1) vô nghiệm. Rõ ràng x 2 + + 1 2
) x y = ;
3; 4
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
2 = < £ + " 1 7 2 Từ đây suy ra hệ ban đầu có nghiệm duy nhất ( .
Khóa CHINH PHỤC ĐIỂM 10 MÔN TOÁN – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC
- là trung điểm của đoạn BC
Câu 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với
- =
5 0.
x
y+ Gọi E, F lần lượt là chân đường cao kẻ từ và đường cao xuất phát từ đỉnh A có phương trình 3 đỉnh B, C của tam giác ABC. Tìm tọa độ đỉnh A, biết đường thẳng đi qua hai điểm E, F có phương trình 2
y- + =
2 0.
x
M ; 9 2 3 2
Lời giải:
=
Gọi I là trung điểm của AH ta có:
= IE IF
AH
1 2
=
Mặt khác
= ME MF
BC
nên IM và đường trung trực của EF.
+
.
Khi đó:
I
y
2
IM x :
1 2 3 2
11 7 ; 2 2
=
=
=
=
( do
IE IH ME MB ;
)
90
2
+ IHE MBH )
= ⇒ 90 (cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:5) (cid:4)(cid:4)(cid:5) . EM EI
ta có:
Gọi
= (cid:219) 0
t 2
t
t 2
0
( E t
t +
; 2
2
. +
= ⇒ ^ 0 IE ME 9 3 + 2 2
7 = (cid:219) 2
= t = - t
3 2
2
2
2
- - - = ⇒ - 0 Lại có: (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2); IEH IHE MEH MBH Mặt khác (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)0 + IEH HEM 11 + t 2
(
)
(
)
Với
. Gọi
ta có:
t
= (cid:219) 2
E
2;6
A
5 3 ;
u u
= = - (cid:219) - - IA IE u + 3 u 7 = 2 125 2 125 2 21 2
) 2;1
( (
)
2 +
A 6 (cid:219) - 1 A 13; 6 = u = u ⇒
(
)
t
= (cid:219) 2
E
3; 4
2 =
(
- - - Với u 3 u (tương tự như TH trên) 7 2 125 2
A
)2;1
( A -
Kết luận: hay 21 ⇒ - 2 ) 13;6 .
(
) +
- x 11 + y 4 + x 3 y y + = x y 3 2 y
Câu 8: Giải hệ phương trình
2
3
2
3
2 x y
- - 5 y + = 2 3 y 3 3
Điều kiện 3 =
2 y x Lời giải. ‡ + ‡ y y 0 .
3
x
a
y b ;
0
0, 2
2
Đặt + 2
y a ; +
x + 0; = ‡ ‡ thì phương trình thứ nhất trở thành
a
b
0
- -
⇒ = ⇒ =
2 + - = (cid:219) 2 a b ( + b a
) 1
0 + 3 b
a ) = (cid:219) 1
b - = + - ab a ab 3 )( ( + + a b a
0
ab 2 ( + a a
b 3 + - 3 b
b 3 = 3 b
) 1
0
a b
x
y
3
3
2
2
3
(cid:219) -
5
2
x
x
x
x
+ = 2 3
x 3 x = không thỏa mãn phương trình đã cho.
- - . Điều kiện x ˛ ℝ .
, phương trình đã cho tương đương với .
x „
0
3
3
3
Phương trình thứ hai trở thành Nhận xét: 0 Xét trường hợp
t
Đặt
= thu được phương trình
+ = 5 t 3
t 2
1
+ = 3 3 t
t
( - + t 3 2
) 1
t 2
1
(*).
- - (cid:219) -
=
+ ta có
ℝ .
1 x Xét hàm số
( ) t
f
t 3 ( ) t
f
t
29 t
+ > " 1 0,
t
Do đó hàm số
f
= ( ) t
2
¢ ˛
( )
( + - =
33 t liên tục và đồng biến trên ℝ . Suy ra (
* (cid:219) - (cid:219) - -
)
( ) = t
f
f
t
t
t
+ = (cid:219) 3 t t 2
3 2 t
1
1 0
)( 1
) 1
0
+
1
1
5
1
5
- + 5 ;
5 1 ;
2
2
2
2
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
- - - ⇒ ˛ t ⇒ ˛ x 1; 1;
Khóa CHINH PHỤC ĐIỂM 10 MÔN TOÁN – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC
Thử lại, phương trình đã cho có tập nghiệm
- 1 5 . S + 5 1 ; 2 2 = 1;
Câu 9: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại B có AB = 2BC, D là trung điểm cạnh AB. E thuộc cạnh AC sao cho AC = 3EC. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết phương trình
CD x :
+ = y
1 0
3
và
đường thẳng
= ⇒ =
2,
= AC a
5
- E ;1 . 16 3
Lời giải
,
CD a 2 2
3
AD
=
=
= Giả sử BC a AB 2 Ta có (cid:2) 2 DCA
cos
10
Đường thẳng AC qua
nên gọi phương trình
E
;1
-
đường thẳng
( b y
: AC a x
) = 1
0
- -
a
b 3
3
=
=
=
Ta có (cid:2) ( DAC cos
cos
a + CD CA CD CA . 2 16 3 16 + 3 )(cid:2) CD CA ,
2
2
+
10
10
b
2
2
2
2
+ 2
+
-
(
)
a (
(cid:219) - (cid:219)
)
a
⇒ - a
a
b
a
b
a
ab
+ 9
= 3 b
3
= 3 b
8
= (cid:219) 2 6
0
=
3 b
0
= 0 a + 4 a
- =
a
1 0
=
⇒
= ⇒ 0 ⇒
AC
(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:5) ⇒ = CA
A
• Trường hợp 1: = Ta có
3
(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:5) 3 CE
( ) 12;1
C AC CD
˙
Do
( D t 3
1;
t
t 14; 2
EC ) 1
=
˛ - - -
⇒ (
. Do ( B t 6 (
)
D DC (cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:5) AB
(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:5) = CB
6 t
Ta có
26; 2 t
: AC y )2;1 ( C ) ⇒ ) 2 ,
6 t
16; 2 t
2
3
B
4;5
- - - -
)
(
)
Mà
AB CB
( ⇒ - t 6
)( t 26 6
+ 16
t 2
)( = (cid:219) t 2 2 2
0
( (
) )
B
7; 2
⇒
=
^ - - -
3,
0
a
a
= - ⇒ b 4 =
- -
7 2 = 12 (
)
y ⇒
b+ 3 ⇒
• Trường hợp 2: 4 = Ta có
3
0; 3
AC x : 3 (cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:5) ⇒ = CA
= t = t 4 (cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:5) CE 3
A
C AC CD
˙ -
EC )
Do
( D t 3
1;
AC + t 2; 2
t
=
˛ - -
⇒ (
. Do ( B t 6 (
3 )
Ta có
D DC (cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:5) AB
t 6
+ t 2; 2
= chọn 0 ( )8;3 C ) ⇒ (cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:5) ) = CB 6 ,
t 6
t 10; 2
B
- -
)
⇒
+ 10
) = 6
0
Mà
AB CB
( ⇒ - t 6
)( t 2 6
( + t t 2 2
( 1; 4 (
) )
4;5
B
⇒
1 2 1
^ -
= t = t
Các khóa Vệ tinh chuyên sâu các mảng Toán khó tại Moon.vn
- Khóa CHINH PHỤC HÌNH PHẲNG OXY
- Khóa CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
- Khóa KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT
- Khóa KĨ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO
- Khóa CHINH PHỤC ĐIỂM 10 MÔN TOÁN
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
