Mục lục
Lời nói đầu .......................................................................... 3
Trần Nam Dũng
Nguyên lý cực hạn ................................................................... 5
Trịnh Đào Chiến, Lê Tiến Dũng
Một số dạng tổng quát của phương trình hàm Pexider và áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Lê Sáng
Xây dựng một lớp phương trình hàm nhờ các hằng đẳng thức lượng giác . . . . . . . . . . . . . 24
Lê Thị Anh Đoan
Tính ổn định nghiệm của một số phương trình hàm Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Trần Viết Tường
Một số lớp phương trình hàm đa ẩn sinh bởi phi đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Lê Sáng, Nguyễn Đinh Huy
Từ công thức Euler đến bài toán số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Nguyễn Thị Tình
Một số ứng dụng của phương trình Pell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Huỳnh Bá Lộc
Phép thế lượng giác là công cụ giải toán trong các bài thi chọn học sinh giỏi . . . . . . . . . . 79
Nguyễn Trung Hưng
Sử dụng vành các số nguyên để giải một số bài toán số học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Phạm Thị Thúy Hồng
Nội suy theo yếu tố hình học của đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Lê Sáng, Vũ Đức Thạch Sơn
Bất biến như là một phương pháp chứng minh và ứng dụng trong giải toán . . . . . . . . . . . 108
1
w w w .VNM ATH.com
Lê Thị Thanh Hằng
Một số dạng toán liên quan đến dãy số có quy luật . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Trương Văn Điềm
Vận dụng tính đơn điệu trong các bài toán tìm giới hạn dãy số và giải phương trình, bất
phương trình, hệ phương trình ....................................................... 134
Huỳnh Tấn Châu
Ứng dụng một số định lý cơ bản của giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Lê Văn Thẩn
Một số phương pháp giải hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
Huỳnh Kim Linh, Tô Hùng Khanh
Một số bài toán về đa thức trong các kì thi học sinh giỏi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Nguyễn Văn Ngọc
Một số bài toán về chia hết đối với các đa thức đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
Huỳnh Duy Thủy
Nét đẹp hàm số tiềm ẩn trong bài toán bất đẳng thức, bài toán tìm giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất ......................................................................195
Nguyễn Tài Chung
Thêm một phương pháp mới để chứng minh bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
Tố Nguyên
Một số vấn đề về phép nghịch đảo trong mặt phẳng và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Trần Văn Trung
Sử dụng một số tính chất của ánh xạ để giải bài toán phương trình hàm số. . . . . . . . . . . . 235
Nguyễn Hữu Tâm - Hoàng Tố Quyên
Tứ giác lưỡng tiếp.................................................................... 242
2
w w w .VNM ATH.com
Lời nói đầu
Hòa nhịp với tuổi trẻ cả nước hoạt động sôi nổi kỉ niệm ngày thành lập Đoàn thanh niên
Cộng sản Hồ Chí Minh và thi đua lập thành tích chào mừng ngày sinh của Bác Hồ kính yêu,
tiến tới kỉ niệm 37 năm ngày giải phóng Nha Trang và thực hiện các chương trình đổi mới giáo
dục phổ thông, Sở Giáo Dục và Đào tạo Khánh Hòa phối hợp với Hội Toán học Hà Nội đồng
tổ chức Hội thảo khoa học Các chuyên đề Toán học bồi dưỡng học sinh giỏi THPT khu vực
Duyên hải Nam Trung bộ và Tây nguyên.
Đây là hội thảo lần thứ hai theo tinh thần cam kết của các tỉnh duyên hải Nam Trung bộ
và Tây Nguyên về việc hợp tác để phát triển kinh tế - văn hóa và xã hội. Sở Giáo dục và Đào
tạo Phú Yên đã tiến hành tổ chức Hội thảo lần thứ nhất vào ngày 18-19/4/2011 tại thành phố
Tuy Hòa về liên kết bồi dưỡng học sinh giỏi và bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán trường Trung
học phổ thông Chuyên các tỉnh duyên hải Nam Trung Bộ và Tây Nguyên. Tại Hội thảo lần thứ
nhất đã thống nhất giao cho Sở Giáo dục và đào tạo Khánh Hòa tổ chức Hội thảo lần thứ hai.
Đây là nét sinh hoạt truyền thống mới về sinh hoạt chuyên môn, về giao lưu hợp tác trong giáo
dục, đào tạo và các sinh hoạt học thuật khác. Và thực tế, giờ đây, tại vùng duyên hải Nam
Trung bộ và Tây Nguyên này đã xuất hiện ngày càng nhiều nét thành tích nổi bật, đã có học
sinh đạt giải toán Olympic quốc tế. Năm nay, nhiều đội tuyển đạt giải cao trong kỳ thi học sinh
giỏi quốc gia. Các tỉnh Đắk Lắc, Phú Yên đã mạnh dạn cử đội tuyển tham dự kỳ thi Olympic
Hà Nội mở rộng bằng tiếng Anh và đã đạt giải cao.
Khu vực Duyên hải Nam Trung bộ và Tây nguyên giờ đây đã thực sự khởi sắc, tạo tiền đề
để vươn lên tầm cao mới, chủ động hội nhập, sánh vai ngang bằng với các khu vực khác trong
cả nước.
Hội thảo khoa học lần này được tiến hành từ 14-15/4/2012 tại thành phố Nha Trang, Khánh
Hòa hân hạnh được đón tiếp nhiều nhà khoa học, nhà giáo lão thành, các nhà quản lý, các chuyên
gia giáo dục và các nhà toán học báo cáo tại các phiên toàn thể và các cán bộ chỉ đạo chuyên
môn từ các sở Giáo dục và Đào tạo, các thầy giáo, cô giáo bộ môn Toán các tỉnh, thành khu
vực Duyên hải Nam Trung bộ và Tây nguyên đang trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán
báo cáo tại các phiên chuyên đề của hội thảo.
3
w w w .VNM ATH.com
Ban tổ chức đã nhận được trên 30 báo cáo toàn văn gửi tới hội thảo. Song do khuôn khổ
rất hạn hẹp về thời gian, khâu chế bản và thời lượng của cuốn kỷ yếu, chúng tôi chỉ có thể đưa
vào kỷ yếu được 22 bài, những bài còn lại sẽ được chế bản để gửi quý đại biểu khi thực hiện
chương trình báo cáo chuyên đề chính thức của hội thảo.
Nội dung của kỷ yếu lần này rất phong phú, bao gồm hầu hết các chuyên đề phục vụ việc
bồi dưỡng học sinh giỏi toán từ đại số, giải tích, hình học, số học đến các dạng toán liên quan
khác. Bạn đọc có thể tìm thấy ở đây nhiều dạng toán từ các kỳ olympic trong nước và quốc tế,
một số dạng toán về hàm số, lý thuyết nội suy, cực trị, ...
Ban tổ chức xin chân thành cảm ơn sự hợp tác và giúp đỡ hết sức quý báu của quý thầy
giáo, cô giáo và đặc biệt là toàn thể tổ toán của trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Nha Trang,
Khánh Hòa để có được cuốn kỷ yếu với nội dung thiết thực và rất phong phú này.
Vì thời gian chuẩn bị rất gấp gáp, nên các khâu hiệu đính và chế bản cuốn kỷ yếu chưa
được đầy đủ, chi tiết, chắc chắn còn chứa nhiều khiếm khuyết. Rất mong được sự cảm thông
chia sẻ của quý đại biểu. Những ý kiến đóng góp liên quan đến cuốn kỷ yếu này xin gửi về
địa chỉ: Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn, số 67 Yersin, Nha Trang, Khánh Hòa. Email:
c3lqdon@khanhhoa.edu.vn.
Xin trân trọng cảm ơn.
Nha Trang ngày 25.03.2012
Nguyễn Văn Mậu
Chủ tịch Hội Toán học Hà Nội
Đồng trưởng ban tổ chức hội thảo
4
w w w .VNM ATH.com
NGUYÊN LÝ CỰC HẠN
Trần Nam Dũng, Trường Đại học KHTN Tp HCM
Bài viết này được phát triển từ bài viết “Các phương pháp và kỹ thuật chứng minh” mà
chúng tôi đã trình bày tại Hội nghị “Các chuyên đề Olympic Toán chọn lọc” tại Ba Vì, Hà Nội,
tháng 5-2010 và giảng dạy cho đội tuyển Olympic Việt Nam dự IMO 2010. Trong bài này, chúng
tôi tập trung chi tiết hơn vào các ứng dụng của Nguyên lý cực hạn trong giải toán.
Một tập hợp hữu hạn các số thực luôn có phần tử lớn nhất và phần tử nhỏ nhất. Một tập con
bất kỳ của N luôn có phần tử nhỏ nhất. Nguyên lý đơn giản này trong nhiều trường hợp rất có
ích cho việc chứng minh. Hãy xét trường hợp biên! Đó là khẩu quyết của nguyên lý này.
1 Một số ví dụ mở đầu
Ta xem xét một số ví dụ sử dụng nguyên lý cực hạn
Ví dụ 1. Có 3 trường học, mỗi trường có nhọc sinh. Mỗi một học sinh quen với ít nhất n+ 1
học sinh từ hai trường khác. Chứng minh rằng người ta có thể chọn ra từ mỗi trường một bạn
sao cho ba học sinh được chọn đôi một quen nhau.
Lời giải. Gọi Alà học sinh có nhiều bạn nhất ở một trường khác. Gọi số bạn nhiều nhất này
là k. Giả sử Aở trường thứ nhất và tập những bạn quen Alà M={B1, B2, . . . , Bk}ở trường
thứ 2. Cũng theo giả thiết, có ít nhất 1 học sinh Cở trường thứ 3 quen với A. Vì Cquen
không quá khọc sinh ở trường thứ nhất nên theo giả thiết Cquen với ít nhất n+ 1 −khọc
sinh của trường thứ hai, đặt N={D1, D2, ..., Dm}là những người quen Cở trường thứ hai thì
m≤n+ 1 −k. Vì M, N đều thuộc tập hợp gồm nhọc sinh và |M|+|N| ≥ k+n+ 1 −k=n+ 1
nên ta có M∩N6=∅.Chọn Bnào đó thuộc M∩Nthì ta có A, B, C đôi một quen nhau.
Ví dụ 2. Chứng minh rằng không tồn tại số nlẻ, n > 1sao cho 15n+ 1 chia hết cho n
Lời giải. Giả sử tồn tại một số nguyên lẻ n > 1sao cho 15n+ 1 chia hết cho n. Gọi plà ước số
nguyên tố nhỏ nhất của n, khi đó plẻ. Giả sử klà số nguyên dương nhỏ nhất sao cho 15k−1
chia hết cho p(số kđược gọi là bậc của 15 theo modulo p).
Vì 152n−1 = (15n−1)(15n+1) chia hết cho p. Mặt khác, theo định lý nhỏ Fermat thì 15p−1−1
chia hết cho p. Theo định nghĩa của k, suy ra klà ước số của các số p−1và 2n. Suy ra
k|(p−1,2n).Do plà ước số nguyên tố nhỏ nhất của nnên (n, p −1) = 1.Suy ra (p−1,2n) = 2.
Vậy k|2.Từ đó k= 1 hoặc k= 2.Cả hai trường hợp này đều dẫn tới p= 7.Nhưng điều này
mâu thuẫn vì 15n+ 1 luôn đồng dư 2mod 7
Trong hai ví dụ trên, rõ ràng việc xét các trường hợp biên đã đem đến cho chúng ta những
thông tin bổ sung quan trọng. Trong ví dụ thứ nhất, việc chọn Alà học sinh có số người quen
nhiều nhất ở một trường khác đã cho ta thông tin số người quen của Ctrong trường thứ hai ít
nhất là n+ 1 −k. Trong ví dụ thứ hai, do plà ước số nguyên tố nhỏ nhất nên p−1nguyên tố
cùng nhau với nlà bội số của p.
Bài tập
5
w w w .VNM ATH.com
