B i d ng h c sinh gi i ồ ưỡ ọ ỏ
CHUYEÂN ÑEÀ: CAÙC PHÖÔNG PHAÙP TÌM GIAÙ TRÒ LÔÙN NHAÁT,
GIAÙ TRÒ NHOÛ NHAÁT
I. KHÁI NI M V GIÁ TR L N NH T VÀ GIÁ TR NH NH T C A M T BI UỆ Ề Ị Ớ Ấ Ị Ỏ Ấ Ủ Ộ Ể
TH CỨ:
Cho bi u th c ể ứ
( )
1 2 n
F x , x ,..., x
v i các bi n ớ ế
1 2 n
x , x ,..., x
tho mãn đi u ki n D. Ta nói M (M ph i làả ề ệ ả
h ng s là ằ ố giá tr l n nh t (giá tr nh nh t)ị ớ ấ ị ỏ ấ c a bi u th c F khi và ch khi nó th a mãn hai đi u ki nủ ể ứ ỉ ỏ ề ệ
sau:
+) B t đng th c ấ ẳ ứ
( ) ( )
( )
1 2 n 1 2 n
F x , x ,..., x M F x , x ,..., x M
đúng v i m i ớ ọ
1 2 n
x , x ,..., x
th a mãn Dỏ.
+) T n t i ồ ạ
( )
1 2 n
x , x ,..., x
th a mãn D sao choỏ
( )
1 2 n
F x , x ,..., x M=
.
II. CÁC PH NG PHÁP TÌM GIÁ TR L N NH T, GIÁ TR NH NH T:ƯƠ Ị Ớ Ấ Ị Ỏ Ấ
1. PH NG PHÁP ĐA V T NG BÌNH PH NG:ƯƠ Ư Ề Ổ ƯƠ
A. Ki n th c c n nh :ế ứ ầ ớ
Gi s c n tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a bi u th c P. Ta bi n đi P v d ngả ử ầ ị ớ ấ ị ỏ ấ ủ ể ứ ế ổ ề ạ
2m 2n 2p
P A B C D= α +β + γ +
, trong đó
, ,α β γ
cùng d u và D có giá tr không đi.ấ ị ổ
+ ) N u ế
, ,α β γ
không âm thì
P D
. Ta có min P = D n u t n t i d u đng th c ế ồ ạ ấ ẳ ứ
2m 2n 2p
A B C 0= = =
.
+ ) N u ế
, ,α β γ
không d ng thì ươ
P D
. Ta có max P = D n u t n t i d u đng th cế ồ ạ ấ ẳ ứ
2m 2n 2p
A B C 0= = =
.
B. Các ví dụ:
Ví d 1.1ụ: Cho các s th c x, y tho mãn x + y = 2. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:ố ự ả ị ỏ ấ ủ ể ứ
.
Gi iả:
Ta có:
( ) ( )
3
3 3
A x y 2xy x y 3xy x y 2xy= + + = + − + +
.
Theo gi thi t x + y = 2, ta có y = 2 – x nênả ế
( ) ( ) ( )
2
3 2
A 2 6x 2 x 2x 2 x 4x 8x 8 4 x 1 4 4, x R= − − + − = − + = − + ∀
.
D u b ng x y ra ấ ằ ả
x – 1 = 0
x = 1
y = 1.
V y giá tr nh nh t c a A là 4 khi x = 1, y = 1.ậ ị ỏ ấ ủ
Ví d 1.2ụ: Cho các s th c x, y tho mãn x + y + 4 = 0. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c:ố ự ả ị ớ ấ ủ ể ứ
( ) ( )
3 3 2 2
A 2 x y 3 x y 10xy= + + + +
.
Gi iả:
Ta có:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 2
3 3 2 2
A 2 x y 3 x y 10xy 2 x y 6xy x y 3 x y 6xy 10xy= + + + + = + − + + + − +
( )
( )
( )
2
2
28xy 80 28x 4 x 80 28 x 4x 4 3 28 x 2 32 32, x R= − = − − − = − + + + = − + + ∀
.
D u b ng x y ra ấ ằ ả
x + 2 = 0
x = – 2
y = – 2.
V y giá tr l n nh t c a A là 32 khi x = – 2, y = – 2.ậ ị ớ ấ ủ
Ví d 1.3ụ: Tìm giá tr nh nh t c a các bi u th c:ị ỏ ấ ủ ể ứ
a)
2 2
A x 4y 4x 32y 2078= + − + +
b)
2 2
B 3x y 4x y= + + −
.
Gi iả:
a) Ta có:
( )
2 2 2 2
A x 4y 4x 32y 2078 x 4x 4 4 y 8y 16 2010= + − + + = − + + + + +
( ) ( )
2 2
x 2 4 y 4 2010 2010= − + + +
x 2 0 x 2
A 2010 y 4 0 y 4
− = =
� �
=��
� �
+ = = −
� �
.
V y giá tr nh nh t c a A là 2010 khi x = 2, y = – 4. ậ ị ỏ ấ ủ
b) Ta có:
2 2
2 2 2 1 19 19
B 3x y 4x y 3 x y , x, y R
3 2 12 12
� � � �
= + + − = + + − − − ∀
� � � �
� � � �
.
1
B i d ng h c sinh gi i ồ ưỡ ọ ỏ
2 2
x 0 x
19 3 3
B1 1
12 y 0 y
2 2
� �
+ = = −
� �
� �
= − ��
� �
� �
− = =
� �
� �
. V y giá tr nh nh t c a B là ậ ị ỏ ấ ủ
19
12
−
khi
2 1
x , y
3 2
= − =
.
Nh n xétậ. Xét bi u th c b c hai c a x, y nh ng các bi n không ràng bu c ể ứ ậ ủ ư ế ộ
( )
2 2 2 2
2 2
c d c d
f x, y ax by cx dy e a x b y e
2a 2b 4a 4b
� � � �
= + + + + = + + + + − −
� � � �
� � � �
+) N u a, b > 0 thì ta có ế
( )
2 2
c d
min f x, y e 4a 4b
= − −
đt đc khi và ch khi ạ ượ ỉ
c d
x , y
2a 2b
= − = −
.
+) N u a, b < 0 thì ta có ế
( )
2 2
c d
max f x, y e 4a 4b
= − −
đt đc khi và ch khi ạ ượ ỉ
c d
x , y
2a 2b
= − = −
.
Ví d 1.4ụ: Tìm giá tr l n nh t c a các bi u th c:ị ớ ấ ủ ể ứ
a)
2 2
A 4x 5y 8xy 10y 12= − − + + +
b)
2 2
B x y xy 2x 2y= − − + + +
Gi iả:
a) Ta có:
( ) ( )
2 2
2 2 2
A 4x 8xy 4y y 10y 25 37 4 x y y 5 37 37, x, y R= − + − − + − + = − − − − + ∀
.
x y 0
A 37 x y 5
y 5 0
− =
= = =��
− =
.
V y giá tr l n nh t c a A là 37 khi x = y = 5.ậ ị ớ ấ ủ
b)
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2
4B 4x 4y 4xy 8x 8y 4x 4x y 2 y 2 y 2 4y 8y= − − + + + = − + + − + + + − +
( )
( )
( ) ( )
2 2 2
2
2x y 2 3 y 4y 4 2x y 2 3 y 2 16 16, x, y R= − − − − − + = − − − − − + ∀
Do đó
B 4
. D u b ng x y ra ấ ằ ả
2x y 2 0 x 2
y 2 0 y 2
− − = =
� �
� �
� �
− = =
� �
.
V y giá tr l n nh t c a B là 4 khi x = y = 2.ậ ị ớ ấ ủ
Ví d 1.5ụ: Tìm giá tr nh nh t c a các bi u th c:ị ỏ ấ ủ ể ứ
a)
2 2
A 3x 4y 4xy 2x 4y 26= + + + − +
b)
2 2
B 5x 9y 12xy 24x 48y 82= + − + − +
.
Gi iả:
a) Ta có:
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
A 4y 4y x 1 x 1 x 1 3x 2x 26= + − + − − − + + +
( ) ( )
2 2
2y x 1 2 x 1 23 23, x, y R= + − + + + ∀
.
Đng th c x y ra ẳ ứ ả
2y x 1 0 x 1
x 1 0 y 1
+ − = = −
� �
� �
� �
+ = =
� �
.
V y giá tr nh nh t c a A là 23, đt đc khi x = – 1, y = 1.ậ ị ỏ ấ ủ ạ ượ
b) Ta có:
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
B 9y 12y x 4 4 x 4 4 x 4 5x 24x 82= − + + + − + + + +
( ) ( )
22
3y 2 x 4 x 4 2 2, x, y R= − + + − + ∀ � �
� �
.
( )
x 4
3y 2 x 4 0
B 2 16
y
x 4 0 3
=
− + =� �
=��
� � =
− =
.
V y giá tr nh nh t c a B là 2, đt đc t i ậ ị ỏ ấ ủ ạ ượ ạ
16
x 4; y 3
= =
.
Ví d 1.6ụ: Tìm giá tr nh nh t c a các bi u th c:ị ỏ ấ ủ ể ứ
a)
( ) ( ) ( )
A x x 2 x 4 x 6 8= + + + +
b)
( ) ( )
4 4
B x 2 x 4= + + −
.
Gi iả:
a) Ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
A x x 2 x 4 x 6 8 x x 6 x 2 x 4 8 x 6x x 6x 8 8
� �� �
= + + + + = + + + + = + + + +
� �� �
.
Đt ặ
2
t x 6x 4= + +
thì
( ) ( )
2
A t 4 t 4 8 t 8 8, t R= − + + = − − ∀
.
2
B i d ng h c sinh gi i ồ ưỡ ọ ỏ
( )
2
2
A 8 t 0 x 6x 4 0 x 3 5 x 3 5= − = + + = + = = −� � � � �
.
V y giá tr nh nh t c a A là – 8 khi ậ ị ỏ ấ ủ
x 3 5= −
.
b) Đt x = t + 1 thì ta có: ặ
( ) ( )
( )
4 4 4 2 2 4 4 2
B t 3 t 3 2 t 6t .3 3 2t 108t 162 162, t R= + + − = + + = + + ∀
.
B 162 t 0 x 1= = =� �
. V y giá tr nh nh t c a B là 162 khi x = 1.ậ ị ỏ ấ ủ
Ví d 1.7ụ: Tìm giá tr nh nh t c a các bi u th c:ị ỏ ấ ủ ể ứ
a)
( )
A x 2 x 4 3 x 4= − − +
b)
2 4 2
B 3x 12x 16 x 8x 17= − + + − +
Gi iả:
a) Ta có:
( )
( )
2
A x 2 x 4 3 x 4 2 x 4 1 6 x 4 1 6 6, x 4= − − + = − − − + + = − − + ∀
.
A 6 x 4 1 x 5= − = =� �
.
Do đó giá tr nh nh t c a A là 6, đt đc t i x = 5.ị ỏ ấ ủ ạ ượ ạ
b) Ta có:
( )
( )
2
2
2 4 2 2
B 3x 12x 16 x 8x 17 3 x 2 4 x 4 1 4 1 3= − + + − + = − + + − + + =
.
2
x 2 0
B 3 x 2
x 4 0
− =
= =��
− =
.
V y giá tr nh nh t c a B là 3, đt đc t i x = 2.ậ ị ỏ ấ ủ ạ ượ ạ
Ví d 1.8ụ:
a) Tìm giá tr nh nh t c a các bi u th c: ị ỏ ấ ủ ể ứ
2
2
3x 12x 10
Ax 4x 5
− +
=− +
.
b) Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: ị ớ ấ ủ ể ứ
2
2
x 6x 23
Bx 6x 10
− +
=− +
.
Gi iả:
a) Ta có:
( )
2
2
2 2
3x 12x 10 5 5
A 3 3 3 5 2
x 4x 5 x 4x 5 x 2 1
− +
= = − = − − = −
− + − + − +
(do
( ) ( )
2
2
5
x 2 1 1 5
x 2 1
− + − −�� �
− +
)
D u b ng x y ra khi và ch khi x = 2.ấ ằ ả ỉ
V y giá tr nh nh t c a A là – 2, đt đc t i x = 2.ậ ị ỏ ấ ủ ạ ượ ạ
b) Ta có:
( )
2
2
x 6x 10 x 3 1 1− + = − +
, do đó;
2
2 2
x 6x 23 13
B 1 1 13 14 A 14
x 6x 10 x 6x 10
− +
= + + = =�
− + − +
. D u b ng x y ra ấ ằ ả
x 3
=�
.
V y giá tr l n nh t c a B là 14, đt đc t i x = 3.ậ ị ớ ấ ủ ạ ượ ạ
Ví d 1.9ụ: Cho các s th c x, y, z tho mãn 2x + 2y + z = 4. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: ố ự ả ị ớ ấ ủ ể ứ
A = 2xy + yz + zx.
Gi iả:
T gi thi t ta có z = 4 – 2x – 2y, th vào bi u th c:ừ ả ế ế ể ứ
( ) ( ) ( )
2 2
A 2xy z x y 2xy 4 2x 2y x y 2x 2y 2xy 4x 4y= + + = + − − + = − − − + +
Do đó:
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2
2A 4x 4y 4xy 8x 8y 4x 4x y 2 y 2 y 2 4y 8y= − − − + + = − − − − − + − − +
( ) ( )
2
2 2
2
4 2 16 16
2x y 2 3 y y 4 2x y 2 3 y
3 3 3 3
� � � �
= − + − − − + = − + − − − +
� � � �
� � � �
Suy ra
8
A3
.
3
B i d ng h c sinh gi i ồ ưỡ ọ ỏ
2
2x y 2 0 x
8 4
3
A z
22
3 3
y 0 y
33
+ − = =
� �
= =���
� �
− =
� � =
.
V y giá tr l n nh t c a A là ậ ị ớ ấ ủ
8
3
, đt đc khi ạ ượ
2 2 4
x , y , z
3 3 3
= = =
.
Ví d 1.10ụ: Cho các s th c m, n, p tho mãn ố ự ả
2
2 2 3m
m np p 1 2
+ + = −
. Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh ị ớ ấ ị ỏ
nh t c a bi u th c: B = m + n + p.ấ ủ ể ứ
Gi iả:
Ta có:
2
2 2 2 2 2
3m
m np p 1 2n 2np 2p 3m 2
2
+ + = − + + + =�
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
m n p 2mn 2np 2pm m 2mn n m 2mp p 2 m n p m n m p 2
+ + + + + + − + + − + = + + + − + − =� �
(*)
Do
( ) ( )
2 2
m n m p 0− + −
nên t (*) suy ra ừ
( )
2
m n p 2 2 m n p 2+ + − + +�� � �
.
V y ậ
2 B 2−
. Ta có:
+)
m n 0 2
B 2 m p 0 m n p 3
m n p 2
− =
= − − = = = = −� �
+ + = −
.
Giá tr nh nh t c a B là ị ỏ ấ ủ
2−
, đt đc khi ạ ượ
.
+)
m n 0 2
B 2 m p 0 m n p 3
m n p 2
− =
= − = = = =� �
+ + =
.
Giá tr l n nh t c a B là ị ớ ấ ủ
2
, đt đc khi ạ ượ
2
m n p 3
= = =
.
C. Bài t p t luy nậ ự ệ :
Bài 1.1: Tìm giá tr nh nh t c a các bi u th c sau:ị ỏ ấ ủ ể ứ
a)
( ) ( )
2 2
A x 3 x 1= − + +
c)
( ) ( ) ( ) ( )
B x 1 x 2 x 3 x 4 2014= + + + + +
c)
( ) ( )
4 4
C x 3 x 7= + + −
b)
4 2
D x 7x 4x 25= − + +
Bài 1.2: Tìm giá tr nh nh t c a các bi u th c sau:ị ỏ ấ ủ ể ứ
a)
2 2
A x 2y 2xy 8y 7= + − + +
b)
2 2
B 5x y 2xy 12x 18= + + − −
.
Bài 1.3: Tìm giá tr l n nh t c a các bi u th c sau:ị ớ ấ ủ ể ứ
a)
2 2
A x 4y 6x 8y 3= − − + − +
b)
2 2
B 3x 5y 2x 7y 23= − − + + −
c)
2 2
C x 5y 4xy 12y 7= − − + + +
d)
2 2
D 7x 4y 8xy 18x 9= − − − + +
Bài 1.4: Cho các s th c x, y tho mãn xố ự ả 2 + y2 – xy = 4. Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a bi uị ớ ấ ị ỏ ấ ủ ể
th c P = xứ2 + y2.
Bài 1.5: Cho các s th c x, y, z tho mãn x + y + z = 6. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: ố ự ả ị ớ ấ ủ ể ứ
A = xy + 2yz + 3zx.
Bài 1.6: Cho hai s th c a, b khác 0 tho mãn ố ự ả
2
2
2
b 1
2a 4
4 a
+ + =
. Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t ị ớ ấ ị ỏ ấ
c a bi u th c S = ab + 2013.ủ ể ứ
4
B i d ng h c sinh gi i ồ ưỡ ọ ỏ
Bài 1.7: Cho các s th c m, n, p tho mãn ố ự ả
2 2 2 3
2m 2n 4p 3mn mp 2np 2
+ + + + + =
. Tìm giá tr l n nh t vàị ớ ấ
giá tr nh nh t c a bi u th c: B = m + n + p.ị ỏ ấ ủ ể ứ
Bài 1.8: Tìm giá tr nh nh t, l n nh t (n u có) c a các bi u th c:ị ỏ ấ ớ ấ ế ủ ể ứ
a)
( ) ( )
2
2
4x 6x 1
A x 2
x 2
− +
=
−
b)
( )
2
2
x 4x 14
B x 1
x 2x 1
+ −
=
− +
Bài 1.9: Tìm giá tr nh nh t c a các bi u th c:ị ỏ ấ ủ ể ứ
a)
2
A x 4x 2 2x 3 3= + − + −
b)
2
3
B
2 2x x 7
=+ − +
Bài 1.10: Cho các s th c x, y tho mãn ố ự ả
3 3
x 2 y y 2 x+ − = + −
. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: ị ỏ ấ ủ ể ứ
2 2
B x 2y 2xy 2y 10= − + + +
.
2. PH NG PHÁP S D NG B T ĐNG TH C CÓ CH A D U GIÁ TR TUY T ƯƠ Ử Ụ Ấ Ẳ Ứ Ứ Ấ Ị Ệ
ĐI:Ố
A. Ki n th c c n nh :ế ứ ầ ớ
+) Đnh nghĩa: ị
0
0
=−
A ne�u A
AA ne�u A
.
+) Tính ch t: ấ
- V i m i A ớ ọ
R, thì
0, , −A A A A A
.
- V i m i x, y ớ ọ
R, ta có
+ +x y x y
. D u đng th c x y ra khi và ch khi x, y cùng d u, t c là ấ ẳ ứ ả ỉ ấ ứ
xy
0.
- V i m i x, y ớ ọ
R, ta có
− −x y x y
. D u đng th c x y ra khi và ch khi ấ ẳ ứ ả ỉ
( )
0− y x y
.
B. Các ví d :ụ
Ví d 2.1ụ: Cho s th c x. Tìm giá tr nh nh t c a các bi u th c:ố ự ị ỏ ấ ủ ể ứ
a)
A x 5 2 x= + + −
b)
B x 3 x 2= + + −
c)
C x 5 x 8= + + +
d)
D x 23 x 10= − + −
Gi iả:
a)
Cách 1. Áp d ng b t đng th c ụ ấ ẳ ứ
+ +x y x y
,
,∀ x y R
.
Ta có:
A x 5 2 x x 5 2 x A 7− + + − + + =�
( ) ( )
7 5 2 0 5 2= + − −� �� ��A x x x
.
Giá tr nh nh t c a Aị ỏ ấ ủ là 7, đt đc khi ạ ượ
5 2
−
x
.
Cách 2. Áp d ng ụb t đng th c ấ ẳ ứ
.
Ta có:
5 2 5 2 7− + + − + + =�A x x x x A
.
5 0 5
7 5 2
2 0 2
+ −
� �
= −��� ��
� �
−
� �
x x
A x
x x
.
Giá tr nh nh t c a Aị ỏ ấ ủ là 7, đt đc khi ạ ượ
5 2− x
.
b) Áp d ng cách 1.ụ
Ta có:
B x 3 x 2 x 3 2 x x 3 2 x 5= + + − = + + − + + − =
( ) ( )
5 3 2 0 3 2= + − −� �� ��B x x x
.
Giá tr nh nh t c a B là 5, đt đc khi ị ỏ ấ ủ ạ ượ
3 2− x
.
c) Áp d ng cách 2.ụ
Ta có:
C x 5 x 8 x 5 x 8 x 5 x 8 3= + + + = − − + + − − + + =
.
5