chuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_6923.doc
CHUYÊN Đ B I D NG H C SINH GI I Ề Ồ ƯỠ Ọ Ỏ
PH N I: Đ BÀI Ầ Ề
1. Ch ng minh ứ
7
là s vô t .ố ỉ
2. a) Ch ng minh : (ac + bd)ứ2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2)
b) Ch ng minh b t d ng th c Bunhiacôpxki : (ac + bd)ứ ấ ẳ ứ 2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2)
3. Cho x + y = 2. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : S = xị ỏ ấ ủ ể ứ 2 + y2.
4. a) Cho a ≥ 0, b ≥ 0. Ch ng minh b t đng th c Cauchy : ứ ấ ẳ ứ
a b ab
2
+
.
b) Cho a, b, c > 0. Ch ng minh r ng : ứ ằ
bc ca ab a b c
a b c
+ + + +
c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá tr l n nh t c a tích P = ab.ị ớ ấ ủ
5. Cho a + b = 1. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : M = aị ỏ ấ ủ ể ứ 3 + b3.
6. Cho a3 + b3 = 2. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c : N = a + b.ị ớ ấ ủ ể ứ
7. Cho a, b, c là các s d ng. Ch ng minh : aố ươ ứ 3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)
8. Tìm liên h gi a các s a và b bi t r ng : ệ ữ ố ế ằ
a b a b
+ > −
9. a) Ch ng minh b t đng th c (a + 1)ứ ấ ẳ ứ 2 ≥ 4a
b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Ch ng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8ứ
10. Ch ng minh các b t đng th c :ứ ấ ẳ ứ
a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2)b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
11. Tìm các giá tr c a x sao cho :ị ủ
a) | 2x – 3 | = | 1 – x | b) x2 – 4x ≤ 5 c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 1.
12. Tìm các s a, b, c, d bi t r ng : aố ế ằ 2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d)
13. Cho bi u th c M = aể ứ 2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001. V i giá tr nào c a a và b thì M đt giá tr ớ ị ủ ạ ị
nh nh t ? Tìm giá tr nh nh t đó.ỏ ấ ị ỏ ấ
14. Cho bi u th c P = xể ứ 2 + xy + y2 – 3(x + y) + 3. CMR giá tr nh nh t c a P b ng 0.ị ỏ ấ ủ ằ
15. Ch ng minh r ng không có giá tr nào c a x, y, z th a mãn đng th c sau :ứ ằ ị ủ ỏ ẳ ứ
x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = 0
16. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c : ị ớ ấ ủ ể ứ
2
1
Ax 4x 9
=− +
17. So sánh các s th c sau (không dùng máy tính) :ố ự
a)
7 15 và7+
b)
17 5 1 và45+ +
c)
23 2 19 và27
3
−
d)
18. Hãy vi t m t s h u t và m t s vô t l n h n ế ộ ố ữ ỉ ộ ố ỉ ớ ơ
2
nh ng nh h n ư ỏ ơ
3
19. Gi i ph ng trình : ả ươ
2 2 2
3x 6x 7 5x 10x 21 5 2x x+ + + + + = − −
.
20. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c A = xị ớ ấ ủ ể ứ 2y v i các đi u ki n x, y > 0 và 2x + xy = 4.ớ ề ệ
21. Cho
1 1 1 1
S .... ...
1.1998 2.1997 k(1998 k 1) 1998 1
= + + + + +
− + −
.
Hãy so sánh S và
1998
2.1999
.
http://kinhhoa.violet.vn 1
chuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_6923.doc
22. Ch ng minh r ng : N u s t nhiên a không ph i là s chính ph ng thì ứ ằ ế ố ự ả ố ươ
a
là s vô t .ố ỉ
23. Cho các s x và y cùng d u. ố ấ Ch ng minh r ng :ứ ằ
a)
x y 2
y x
+
b)
2 2
2 2
x y x y 0
y x y x
� � � �
+ − +
� � � �
� �
� �
c)
4 4 2 2
4 4 2 2
x y x y x y 2
y x y x y x
� � � � � �
+ − + + +
� � � � � �
� �
� � � �
.
24. Ch ng minh r ng các s sau là s vô t : ứ ằ ố ố ỉ
a)
1 2
+
b)
3
mn
+
v i m, n là các s h u t , n ≠ 0.ớ ố ữ ỉ
25. Có hai s vô t d ng nào mà t ng là s h u t không ?ố ỉ ươ ổ ố ữ ỉ
26. Cho các s x và y khác 0. Ch ng minh r ng : ố ứ ằ
2 2
2 2
x y x y
4 3
y x y x
� �
+ + +
� �
� �
.
27. Cho các s x, y, z d ng. Ch ng minh r ng : ố ươ ứ ằ
2 2 2
2 2 2
x y z x y z
y z x y z x
+ + + +
.
28. Ch ng minh r ng t ng c a m t s h u t v i m t s vô t là m t s vô t .ứ ằ ổ ủ ộ ố ữ ỉ ớ ộ ố ỉ ộ ố ỉ
29. Ch ng minh các b t đng th c : ứ ấ ẳ ứ
a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2)
b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
c) (a1 + a2 + ….. + an)2 ≤ n(a12 + a22 + ….. + an2).
30. Cho a3 + b3 = 2. Ch ng minh r ng a + b ≤ 2.ứ ằ
31. Ch ng minh r ng : ứ ằ
[ ] [ ] [ ]
x y x y+ +
.
32. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c : ị ớ ấ ủ ể ứ
2
1
Ax 6x 17
=− +
.
33. Tìm giá tr nh nh t c a : ị ỏ ấ ủ
xyz
Ay z x
= + +
v i x, y, z > 0.ớ
34. Tìm giá tr nh nh t c a : A = xị ỏ ấ ủ 2 + y2 bi t x + y = 4.ế
35. Tìm giá tr l n nh t c a : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) v i x, y, z ≥ 0 ; x + y + z = 1.ị ớ ấ ủ ớ
36. Xét xem các s a và b có th là s vô t không n u : ố ể ố ỉ ế
a) ab và
a
b
là s vô t .ố ỉ
b) a + b và
a
b
là s h u t (a + b ≠ 0)ố ữ ỉ
c) a + b, a2 và b2 là s h u t (a + b ≠ 0)ố ữ ỉ
37. Cho a, b, c > 0. Ch ng minh : aứ3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)
38. Cho a, b, c, d > 0. Ch ng minh : ứ
a b c d 2
b c c d d a a b
+ + +
+ + + +
http://kinhhoa.violet.vn 2
chuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_6923.doc
39. Ch ng minh r ng ứ ằ
[ ]
2x
b ng ằ
[ ]
2 x
ho c ặ
[ ]
2 x 1
+
40. Cho s nguyên d ng a. Xét các s có d ng : a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; … ; a + 15n. ố ươ ố ạ
Ch ng minh r ng trong các s đó, t n t i hai s mà hai ch s đu tiên là 96.ứ ằ ố ồ ạ ố ữ ố ầ
41. Tìm các giá tr c a x đ các bi u th c sau có nghĩa :ị ủ ể ể ứ
2
2 2
1 1 1 2
A= x 3 B C D E x 2x
x
x 4x 5 1 x 3
x 2x 1
− = = = = + + −
+ − − −
− −
2
G 3x 1 5x 3 x x 1= − − − + + +
42. a) Ch ng minh r ng : | A + B | ≤ | A | + | B | . D u ứ ằ ấ “ = ” x y ra khi nào ?ả
b) Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c sau : ị ỏ ấ ủ ể ứ
2 2
M x 4x 4 x 6x 9= + + + − +
.
c) Gi i ph ng trình : ả ươ
2 2 2
4x 20x 25 x 8x 16 x 18x 81+ + + − + = + +
43. Gi i ph ng trình : ả ươ
2 2
2x 8x 3 x 4x 5 12− − − − =
.
44. Tìm các giá tr c a x đ các bi u th c sau có nghĩa :ị ủ ể ể ứ
2 2
2
1 1
A x x 2 B C 2 1 9x D
1 3x x 5x 6
= + + = = − − =
−− +
2 2
2
1 x
E G x 2 H x 2x 3 3 1 x
x 4
2x 1 x
= = + − = − − + −
−
+ +
45. Gi i ph ng trình : ả ươ
2
x 3x 0
x 3
−=
−
46. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : ị ỏ ấ ủ ể ứ
A x x
= +
.
47. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c : ị ớ ấ ủ ể ứ
B 3 x x
= − +
48. So sánh : a)
3 1
a 2 3 vàb= 2
+
= +
b)
5 13 4 3 và3 1− + −
c)
n 2 n 1 vàn+1 n+ − + −
(n là s nguyên d ng)ố ươ
49. V i giá tr nào c a x, bi u th c sau đt giá tr nh nh t : ớ ị ủ ể ứ ạ ị ỏ ấ
2 2
A 1 1 6x 9x (3x 1)
= − − + + −
.
50. Tính :
a) 4 2 3 b) 11 6 2 c) 27 10 2− + −
2 2
d) A m 8m 16 m 8m 16 e) B n 2 n 1 n 2 n 1= + + + − + = + − + − −
(n ≥
1)
51. Rút g n bi u th c : ọ ể ứ
8 41
M
45 4 41 45 4 41
=+ + −
.
52. Tìm các s x, y, z th a mãn đng th c : ố ỏ ẳ ứ
2 2 2
(2x y) (y 2) (x y z) 0
− + − + + + =
53. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : ị ỏ ấ ủ ể ứ
2 2
P 25x 20x 4 25x 30x 9= − + + − +
.
54. Gi i các ph ng trình sau :ả ươ
2 2 2 2 2
a) x x 2 x 2 0 b) x 1 1 x c) x x x x 2 0
− − − − = − + = − + + − =
4 2 2
d) x x 2x 1 1 e) x 4x 4 x 4 0 g) x 2 x 3 5− − + = + + + − = − + − = −
http://kinhhoa.violet.vn 3
chuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_6923.doc
2 2 2
h) x 2x 1 x 6x 9 1 i) x 5 2 x x 25
− + + − + = + + − = −
k) x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 1 l) 8x 1 3x 5 7x 4 2x 2+ − − + + − − = + + − = + + −
55. Cho hai s th c x và y th a mãn các đi u ki n : xy = 1 và x > y. CMR: ố ự ỏ ề ệ
2 2
x y 2 2
x y
+
−
.
56. Rút g n các bi u th c :ọ ể ứ
a) 13 30 2 9 4 2 b) m 2 m 1 m 2 m 1
c) 2 3. 2 2 3 . 2 2 2 3 . 2 2 2 3 d) 227 30 2 123 22 2
+ + + + − + − −
+ + + + + + − + + − + +
57. Ch ng minh r ng ứ ằ
6 2
2 3 2 2
+ = +
.
58. Rút g n các bi u th c :ọ ể ứ
( ) ( )
6 2 6 3 2 6 2 6 3 2 9 6 2 6
a) C b) D
2 3
+ + + − − − + − −
= =
.
59. So sánh :
a) 6 20 và1+ 6 b) 17 12 2 và2 1 c) 28 16 3 và3 2+ + + − −
60. Cho bi u th c : ể ứ
2
A x x 4x 4
= − − +
a) Tìm t p xác đnh c a bi u th c A.ậ ị ủ ể ứ
b) Rút g n bi u th c A.ọ ể ứ
61. Rút g n các bi u th c sau : ọ ể ứ
a) 11 2 10 b) 9 2 14− −
3 11 6 2 5 2 6
c)
2 6 2 5 7 2 10
+ + − +
+ + − +
62. Cho a + b + c = 0 ; a, b, c ≠ 0. Ch ng minh đng th c : ứ ẳ ứ
2 2 2
1 1 1 1 1 1
a b c a b c
+ + = + +
63. Gi i b t ph ng trình : ả ấ ươ
2
x 16x 60 x 6− + < −
.
64. Tìm x sao cho :
2 2
x 3 3 x− +
.
65. Tìm giá tr nh nh t, giá tr l n nh t c a A = xị ỏ ấ ị ớ ấ ủ 2 + y2 , bi t r ng :ế ằ
x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = 1 (1)
66. Tìm x đ bi u th c có nghĩa:ể ể ứ
2
2
1 16 x
a) A b) B x 8x 8
2x 1
x 2x 1
−
= = + − +
+
− −
.
67. Cho bi u th c : ể ứ
2 2
2 2
x x 2x x x 2x
A
x x 2x x x 2x
+ − − −
= −
− − + −
.
a) Tìm giá tr c a x đ bi u th c A có nghĩa.ị ủ ể ể ứ
b) Rút g n bi u th c A. c) Tìm giá tr c a x đ A < 2.ọ ể ứ ị ủ ể
68. Tìm 20 ch s th p phân đu tiên c a s : ữ ố ậ ầ ủ ố
0,9999....9
(20 ch s 9)ữ ố
http://kinhhoa.violet.vn 4
chuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_6923.doc
69. Tìm giá tr nh nh t, giá tr l n nh t c a : A = ị ỏ ấ ị ớ ấ ủ | x -
2
| + | y – 1 | v i ớ| x | + | y | = 5
70. Tìm giá tr nh nh t c a A = xị ỏ ấ ủ 4 + y4 + z4 bi t r ng xy + yz + zx = 1ế ằ
71. Trong hai s : ố
n n 2 và2 n+1+ +
(n là s nguyên d ng), s nào l n h n ?ố ươ ố ớ ơ
72. Cho bi u th c ể ứ
A 7 4 3 7 4 3
= + + −
. Tính giá tr c a A theo hai cách.ị ủ
73. Tính :
( 2 3 5)( 2 3 5)( 2 3 5)( 2 3 5)
+ + + − − + − + +
74. Ch ng minh các s sau là s vô t : ứ ố ố ỉ
3 5 ; 3 2 ; 2 2 3+ − +
75. Hãy so sánh hai s : ố
a 3 3 3 vàb=2 2 1= − −
;
5 1
2 5 và2
+
+
76. So sánh
4 7 4 7 2
+ − − −
và s 0.ố
77. Rút g n bi u th c : ọ ể ứ
2 3 6 8 4
Q234
+ + + +
=+ +
.
78. Cho
P 14 40 56 140
= + + +
. Hãy bi u di n P d i d ng t ng c a 3 căn ể ễ ướ ạ ổ ủ
th c b c haiứ ậ
79. Tính giá tr c a bi u th c xị ủ ể ứ 2 + y2 bi t r ng : ế ằ
2 2
x 1 y y 1 x 1
− + − =
.
80. Tìm giá tr nh nh t và l n nh t c a : ị ỏ ấ ớ ấ ủ
A 1 x 1 x
= − + +
.
81. Tìm giá tr l n nh t c a : ị ớ ấ ủ
( )
2
M a b
= +
v i a, b > 0 và a + b ≤ 1.ớ
82. CMR trong các s ố
2b c 2 ad ; 2c d 2 ab ; 2d a 2 bc ; 2a b 2 cd+ − + − + − + −
có ít nh t hai s d ng (a, b, c, d > 0).ấ ố ươ
83. Rút g n bi u th c : ọ ể ứ
N 4 6 8 3 4 2 18
= + + +
.
84. Cho
x y z xy yz zx+ + = + +
, trong đó x, y, z > 0. Ch ng minh x = y = z.ứ
85. Cho a1, a2, …, an > 0 và a1a2…an = 1. Ch ng minh: (1 + aứ1)(1 + a2)…(1 + an) ≥ 2n.
86. Ch ng minh : ứ
( )
2
a b 2 2(a b) ab
+ +
(a, b ≥ 0).
87. Ch ng minh r ng n u các đo n th ng có đ dài a, b, c l p đc thành m t tam giác ứ ằ ế ạ ẳ ộ ậ ượ ộ
thì các đo n th ng có đ dài ạ ẳ ộ
a , b , c
cũng l p đc thành m t tam giác.ậ ượ ộ
88. Rút g n : ọa)
2
ab b a
Ab b
−
= −
b)
2
(x 2) 8x
B2
xx
+ −
=−
.
89. Ch ng minh r ng v i m i s th c a, ta đu có : ứ ằ ớ ọ ố ự ề
2
2
a 2 2
a 1
+
+
. Khi nào có đng th c ?ẳ ứ
90. Tính :
A 3 5 3 5
= + + −
b ng hai cách.ằ
91. So sánh : a)
3 7 5 2 và6,9 b) 13 12 và7 6
5
+− −
http://kinhhoa.violet.vn 5