Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán

Ỏ

CHUYÊN Đ B I D

I

chuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_6923.doc Ề Ồ ƯỠ Ầ

NG H C SINH GI Ề

Ọ PH N I: Đ BÀI

ứ

ấ ẳ

ỉ ố 7 là s vô t . 2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) ứ ỏ ấ ủ ứ ể ị 1. Ch ng minh ứ 2. a) Ch ng minh : (ac + bd) ứ b) Ch ng minh b t d ng th c Bunhiacôpxki : (ac + bd) 3. Cho x + y = 2. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : S = x

2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2) 2 + y2. + a b 2

(cid:0) ấ ẳ ứ ứ . 4. a) Cho a ≥ 0, b ≥ 0. Ch ng minh b t đ ng th c Cauchy :

+ + a b c

bc a

ca b

ab c ấ ủ

(cid:0) ứ ằ b) Cho a, b, c > 0. Ch ng minh r ng :

ị

ứ ứ ấ ủ ấ ủ

> -

ứ

3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) + a b

a b

ố ươ ố ệ ữ

ấ ẳ ứ ứ t r ng : 2 ≥ 4a

ấ ẳ ứ

b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) ị ớ c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá tr l n nh t c a tích P = ab. 3 + b3. ể ỏ 5. Cho a + b = 1. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : M = a 6. Cho a3 + b3 = 2. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c : N = a + b. ể ị ớ ng. Ch ng minh : a 7. Cho a, b, c là các s d ế ằ 8. Tìm liên h gi a các s a và b bi 9. a) Ch ng minh b t đ ng th c (a + 1) ứ b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Ch ng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8 ứ 10. Ch ng minh các b t đ ng th c : a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) ị ủ 11. Tìm các giá tr c a x sao cho :

2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d)

a) | 2x – 3 | = | 1 – x | b) x2 – 4x ≤ 5 c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 1. ế ằ t r ng : a

ứ ủ ạ ớ ị

ỏ ấ ấ ị ứ ằ ị

ấ ủ ứ ỏ ẳ ứ ủ ằ ị

ố 12. Tìm các s a, b, c, d bi 2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001. V i giá tr nào c a a và b thì M đ t giá tr ể ị 13. Cho bi u th c M = a ỏ nh nh t ? Tìm giá tr nh nh t đó. 2 + xy + y2 – 3(x + y) + 3. CMR giá tr nh nh t c a P b ng 0. ể 14. Cho bi u th c P = x ỏ 15. Ch ng minh r ng không có giá tr nào c a x, y, z th a mãn đ ng th c sau : x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = 0

1 + 4x 9

ấ ủ ị ớ ứ ể 16. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c : -

ố ự 17. So sánh các s th c sau (không dùng máy tính) :

15 và 7

5 1 và

a) 7 b) 17

và

2 3

23 2 19 3 ộ ố ữ ỉ

- c) d) 3 2 và

2 nh ng nh h n + 2

ế ỉ ớ ộ ố ơ ư ỏ ơ 18. Hãy vi

- ả ươ i ph .

+ + 6x 7 ứ

+ ớ

= - 10x 21 5 2x x ệ

5x 2y v i các đi u ki n x, y > 0 và 2x + xy = 4.

....

+ + ...

ng trình : ị ớ ấ ủ ề 19. Gi 20. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c A = x

- +

1 1.1998

1 k(1998 k 1)

1 1998 1

. 21. Cho - t m t s h u t và m t s vô t l n h n + ể 1 2.1997

1998 1999

http://kinhhoa.violet.vn

Hãy so sánh S và .

ằ ứ ế ố ự ố ươ ng thì ỉ ố a là s vô t . ứ ằ ố ấ Ch ng minh r ng :

chuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_6923.doc ả 22. Ch ng minh r ng : N u s t nhiên a không ph i là s chính ph 23. Cho các s x và y cùng d u. y x 2

(cid:0) a)

y x

- (cid:0) b)

2 + 2

y x

� � � x y + + � � � y x � � � ỉ ố

y x ố

� � � x + � � � y � � � � � x � � y � � ằ 24. Ch ng minh r ng các s sau là s vô t : a) 1

- (cid:0) . c)

ố ữ ỉ ớ v i m, n là các s h u t , n ≠ 0. b)

x y � x � y � � x � y � ứ 2+ 3 n 25. Có hai s vô t d

+ (cid:0)

ố ỉ ươ ố ữ ỉ ổ ng nào mà t ng là s h u t không ?

4 3

x y

y x

ứ ằ ố 26. Cho các s x và y khác 0. Ch ng minh r ng :

x y

y z ộ ố

z x ỉ

� � x y +� � . y x � � z y x + + . y x z ộ ố

(cid:0) ố ươ ứ ằ ng. Ch ng minh r ng : 27. Cho các s x, y, z d

ủ ộ ố ữ ỉ ớ

2 + ….. + an

2 + a2 ằ

ứ ứ ứ ổ ấ ẳ

]

[

]

[

]

+ x y

(cid:0) ứ ằ . ỉ ằ 28. Ch ng minh r ng t ng c a m t s h u t v i m t s vô t là m t s vô t . 29. Ch ng minh các b t đ ng th c : a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) c) (a1 + a2 + ….. + an)2 ≤ n(a1 2). 30. Cho a3 + b3 = 2. Ch ng minh r ng a + b ≤ 2. ứ [ 31. Ch ng minh r ng :

1 + 6x 17

ấ ủ ị ớ ứ ể . 32. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c : -

+ + v i x, y, z > 0. ớ

ị ỏ ấ ủ 33. Tìm giá tr nh nh t c a :

t x + y = 4.

ấ ủ ấ ủ ị ị ớ ớ

x z y x x y z 2 + y2 bi ế ỏ 34. Tìm giá tr nh nh t c a : A = x 35. Tìm giá tr l n nh t c a : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) v i x, y, z ≥ 0 ; x + y + z = 1. 36. Xét xem các s a và b có th là s vô t không n u :

ể ế ố ố ỉ

a b

ỉ ố là s vô t . a) ab và

a b

ố ữ ỉ là s h u t (a + b ≠ 0) b) a + b và

ố ữ ỉ

ứ c) a + b, a2 và b2 là s h u t (a + b ≠ 0) 37. Cho a, b, c > 0. Ch ng minh : a

3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) b + c d

a + b c

c + d a

d + a b

http://kinhhoa.violet.vn

(cid:0) ứ 38. Cho a, b, c, d > 0. Ch ng minh :

]

[ 2 x

]2x b ng ằ ng a. Xét các s có d ng : a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; … ; a + 15n.

ứ ằ

chuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_6923.doc [ ] [ 2 x ho c ặ 39. Ch ng minh r ng ạ ố ươ ố 40. Cho s nguyên d ồ ạ Ch ng minh r ng trong các s đó, t n t ứ ể ị ủ 41. Tìm các giá tr c a x đ các bi u th c sau có nghĩa :

ứ ằ ố ữ ố ầ ố i hai s mà hai ch s đ u tiên là 96. ể

= D

= E

+ x

A= x

= 3 B

= C

1 +

2 + - x

2x 1

- - - - - -

x 1

x - + 5x 3 ằ

3x 1 ứ

- -

4x 5 + + 2 x G 42. a) Ch ng minh r ng : | A + B | ≤ | A | + | B | . D u ấ ủ b) Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c sau :

+ 6x 9

+ 2

ấ “ = ” x y ra khi nào ? ả + + - ứ ể ỏ ị .

+ 20x 25

+ 18x 81

- ả ươ i ph ng trình : c) Gi

= 4x 4 M x = + 2 8x 16 .

- - - ả ươ i ph

- = 43. Gi 2x 4x 5 12 ể 44. Tìm các giá tr c a x đ các bi u th c sau có nghĩa :

+ +

ng trình : ị ủ

x 2

= - C 2

1 9x

= D

+ 5x 6

8x 3 x ể ứ 1 1 3x x

- - -

x 2

= H

- + 2x 3 3 1 x

1 + +

2x 1

- - - -

3x x 3 ể

- ả ươ i ph ng trình : 45. Gi -

ấ ủ ứ ỏ ị

+ . x x - + 3 x

ấ ủ ị ớ ứ ể 46. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : 47. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c :

3 và b=

13 4 3 và

3 1

- - 48. So sánh : a) b) 5

= A = B + 3 1 2 n

+ - c) n 2

+ n 1 và

n+1

- ươ ố (n là s nguyên d ng)

= - A 1

+ + 2 1 6x 9x

(3x 1)

- - ủ ứ ể ạ ấ ớ ỏ ị ị . 49. V i giá tr nào c a x, bi u th c sau đ t giá tr nh nh t :

4 2 3

11 6 2

27 10 2

- - 50. Tính : a)

m 8m 16

= e) B

- + + n 2 n 1

n 2 n 1

d) A 1)

- - - (n ≥

8 41 +

45 4 41

45 4 41 + 2

ứ ể ọ . 51. Rút g n bi u th c : -

= + + 2 (x y z)

(2x y) =

- - ứ ẳ ố ỏ 52. Tìm các s x, y, z th a mãn đ ng th c :

25x

+ 2 (y 2) + + 20x 4

25x

30x 9

- - ấ ủ ứ ể ỏ ị .

ươ ả i các ph 53. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : 54. Gi

- + = 2

x 2

a) x

x 2

+ = 2

+ - = 2 x x - = -

ng trình sau : - = - - -

d) x

1 1

b) x + 2 e) x

1 1 x + + - = 4x 4

x 4

- + c) x - + g) x 2

x 3

http://kinhhoa.violet.vn

- -

chuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_6923.doc

h) x

+ + 2x 1

+ = 6x 9 1

+ + i) x 5

- = 2 x

+ -

- =

+ +

- - -

- + k) x 3 4 x 1

- = + - x 8 6 x 1 1

+ + l) 8x 1

3x 5

2x 2

7x 4 + 2

2 2

x y x y

(cid:0) ố ự ề ệ ỏ . 55. Cho hai s th c x và y th a mãn các đi u ki n : xy = 1 và x > y. CMR: -

ứ ể ọ 56. Rút g n các bi u th c :

+ a) 13 30 2

9 4 2

- + + b) m 2 m 1

m 2 m 1

- -

c) 2

3. 2

3 . 2

+ 2

+ d) 227 30 2

123 22 2

- -

6 2

2 2

ứ ằ . 57. Ch ng minh r ng

ọ ứ ể

)

(

)

+ 6 2

6 2

a) C

b) D

9 6 2 3

- - - 58. Rút g n các bi u th c : ( + - - .

59. So sánh :

20 và 1+ 6

17 12 2 và

+ 2 1

28 16 3 và 3 2

- -

+ 4x 4

ứ - - ể 60. Cho bi u th c :

x A ủ ị a) Tìm t p xác đ nh c a bi u th c A. ứ b) Rút g n bi u th c A.

ứ ể ậ ọ ể

11 2 10

9 2 14

- - ứ ể ọ 61. Rút g n các bi u th c sau :

+ 11 6 2

6 2 5

+ 5 2 6 + 7 2 10

1 2 a

1 2 b

1 2 c

1 a

1 + + b

1 c

< -

ứ ứ ẳ 62. Cho a + b + c = 0 ; a, b, c ≠ 0. Ch ng minh đ ng th c :

x 6

+ 16x 60 2

- + (cid:0)

- ả ấ ươ i b t ph ng trình : . 63. Gi

x ấ

2 + y2 , bi

3 3 x ị ớ ế ằ x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = 1 (1)

ấ ủ ị t r ng : 64. Tìm x sao cho : ỏ 65. Tìm giá tr nh nh t, giá tr l n nh t c a A = x

ể ể ứ 66. Tìm x đ bi u th c có nghĩa:

a) A

b) B

+ 8x 8

16 x + 2x 1

2x 1

- - . - -

x ể ể

x ứ

- - - - ứ . ể 67. Cho bi u th c : - - -

ứ ể ọ

x + x a) Tìm giá tr c a x đ bi u th c A có nghĩa. b) Rút g n bi u th c A. c) Tìm giá tr c a x đ A < 2. 68. Tìm 20 ch s th p phân đ u tiên c a s :

0,9999....9 (20 ch s 9)

http://kinhhoa.violet.vn

ị ủ ể ữ ố ậ ị ủ ủ ố ầ ữ ố

ị ớ | x 2 | + | y – 1 | v i ớ | x | + | y | = 5 ị ị ế ằ

chuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_6923.doc ỏ ấ ủ ấ 69. Tìm giá tr nh nh t, giá tr l n nh t c a : A = 4 + y4 + z4 bi ấ ủ ỏ 70. Tìm giá tr nh nh t c a A = x + 71. Trong hai s : ố

n 2 và 2 n+1

t r ng xy + yz + zx = 1 ố ươ ố ớ ơ (n là s nguyên d ng), s nào l n h n ?

7 4 3

7 4 3 +

- ể ị ủ 72. Cho bi u th c

5)(

+ 3

5)( 2 +

. Tính giá tr c a A theo hai cách. + - - - ứ A + + 3

5)( 2 ố

3 ỉ

5 ;

2 ; 2 2 3

- 73. Tính : ( 2 ứ ố 74. Ch ng minh các s sau là s vô t :

5 và

3 3 3 và b=2 2 1

+ 5 1 2

- - ; 75. Hãy so sánh hai s : ố a

- - - 76. So sánh 4

+ 6 + 3

+ 8 4 4 ể

ứ ể ọ . 77. Rút g n bi u th c : và s 0.ố + 3 + 2

140

ễ ướ ạ ủ ổ . Hãy bi u di n P d i d ng t ng c a 3 căn

+ 2

78. Cho P ứ ậ th c b c hai

= 2 y 1 x

- - ể ế ằ ứ 2 + y2 bi t r ng : . ị ủ 79. Tính giá tr c a bi u th c x

x 1 y - + 1 x

+ 1 x

ỏ ớ ị . ấ 80. Tìm giá tr nh nh t và l n nh t c a :

= ) 2

+ -

ấ ủ ớ ấ ủ ( v i a, b > 0 và a + b ≤ 1. ị ớ 81. Tìm giá tr l n nh t c a :

+ - 82. CMR trong các s ố 2b c 2 ad ; 2c d 2 ab ; 2d a 2 bc ; 2a b 2 cd ấ có ít nh t hai s d

ố ươ

N +

+ 4 6 8 3 4 2 18 +

+ + =

ứ ể ọ ng (a, b, c, d > 0). + . 83. Rút g n bi u th c :

ứ

ứ , trong đó x, y, z > 0. Ch ng minh x = y = z. 1)(1 + a2)…(1 + an) ≥ 2n.

+ 2 2(a b) ab

( ằ

(cid:0) ứ (a, b ≥ 0). 86. Ch ng minh :

ứ ế ạ ẳ ộ ậ ượ ộ c thành m t tam giác

a , b , c cũng l p đ

ậ ượ ạ ộ 84. Cho x y z yz 85. Cho a1, a2, …, an > 0 và a1a2…an = 1. Ch ng minh: (1 + a ) 2 87. Ch ng minh r ng n u các đo n th ng có đ dài a, b, c l p đ ẳ thì các đo n th ng có đ dài ộ c thành m t tam giác.

+ (x 2)

a b

2 x

- - - ọ . 88. Rút g n : a) b) -

2 +

(cid:0) ọ ố ự ứ ề ằ ớ ứ ẳ . Khi nào có đ ng th c ? 89. Ch ng minh r ng v i m i s th c a, ta đ u có :

- ằ b ng hai cách. 90. Tính : A

và 6,9

12 và

5 + 3 7 5 2 5

http://kinhhoa.violet.vn

- - 91. So sánh : a)

chuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_6923.doc 3 +

2 +

3 + +

- . 92. Tính : - -

2 - + x 2 3 2x 5

- - ả ươ i ph ng trình : . 93. Gi

P n

2 2 + ; " n ˛

x 2 1.3.5...(2n 1) 2.4.6...2n

- = 2x 5 1 2n 1

- ứ ằ 94. Ch ng minh r ng ta luôn có : Z+

a b

b a

(cid:0) ứ ế . ằ 95. Ch ng minh r ng n u a, b > 0 thì

+ 4(x 1)

+ x

4(x 1)

1 � � . . 1 �-� � x 1 �

4(x 1)

a b

b a

= -

- - - - ứ ể ọ A = 96. Rút g n bi u th c : - -

a b

ứ ứ ẳ (a, b > 0 ; a ≠ b) 97. Ch ng minh các đ ng th c sau : -

= -

1 a

+ a +

14 1

15 1

a a 1

� � �

� : � �

�� 1 ��

� a = - � a 1 �

a � + c) 1 � �

- - - - (a > - - - -

0).

29 6 20

; b) 2 3

. - - - -

+ 7

� 28 16 3 . � �

- - . 98. Tính : a) � � �

5 và 15

b) 2

15 và 12

19 và 9

và 5. 25

16 2

99. So sánh : a)

ứ ằ ẳ 100. Cho h ng đ ng th c :

a 2

- - - (cid:0) (cid:0) (a, b > 0 và a2 – b > 0).

ả ể ụ ế ọ Áp d ng k t qu đ rút g n :

3 2 2

+ 3 2 2

; b)

2 +

3 +

17 12 2

+ 17 12 2

- - - - - -

2 10

- -

2 3 1

- -

30 2 2 2 10 2 2 ị 101. Xác đ nh giá tr các bi u th c sau :

ứ ể ị

1. y

, y

a) A

1 2

1 � � + � � a � �

1 � � + � � b � �

1. y

- - - v i ớ (a > 1 ; b > 1) - -

, m 1

b) B

2am ( + b 1 m

+ a bx + a bx

a bx a bx

http://kinhhoa.violet.vn

- v i ớ . - -

chuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_6923.doc

P(x)

x 1 + 4x 1

2x 3x ể

- - ứ ể 102. Cho bi u th c -

+ -

ấ ả ọ ị t c các giá tr c a x đ P(x) xác đ nh. Rút g n P(x). ằ ị ủ a) Tìm t ế ứ b) Ch ng minh r ng n u x > 1 thì P(x).P( x) < 0.

+ + x 2 4 x 2

- + x 2 4 x 2 4 2 x

4 - + x

ứ ể . 103. Cho bi u th c

ọ ứ ứ ể ể ể b) Tìm các s nguyên x đ bi u th c A là m t s nguyên. ủ ặ ộ ố ứ ố ỏ ị ớ ể ế ế ấ ị a) Rút g n bi u th c A. ấ 104. Tìm giá tr l n nh t (n u có) ho c giá tr nh nh t (n u có) c a các bi u th c sau:

a) 9 x

b) x

> x (x

+ c) 1

2 x

d) x 5 4

- - - - -

e) 1 2 1 3x

g) 2x

+ 2x 5

h) 1

+ 2 x

2x 5

+ x

- - - - - -

2x 1

ứ ể ọ ằ - - - - , b ng ba cách ? 105. Rút g n bi u th c :

5 3 5 48 10 7 4 3

ứ ể ọ 106. Rút g n các bi u th c sau : -

+ 10 2 5

10 2 5

94 42 5

+ 94 42 5

. - - -

ứ ớ ứ ẳ ằ 107. Ch ng minh các h ng đ ng th c v i b ≥ 0 ; a ≥

)

(

= b

2 a

a 2

- - - (cid:0) - (cid:0) - (cid:0) (cid:0) a) b)

- + x 2 2x 4

x 2 2x 4

- - ứ ể ọ 108. Rút g n bi u th c :

+ - = 109. Tìm x và y sao cho : x y 2

+ x

(

)

(

+ b d

(cid:0) ấ ẳ ứ ứ . 110. Ch ng minh b t đ ng th c :

b +

c + a b

) c a + + a b c 2

a + b c ứ

+ +

(cid:0) ứ . 111. Cho a, b, c > 0. Ch ng minh :

a 112. Cho a, b, c > 0 ; a + b + c = 1. Ch ng minh : a)

b 1

a 1

b c

+ (cid:0) a

+ + ) (

+ < c 1 3,5 )

(

b) ) (

+ + a b )

(a b)(c d)

(cid:0) ớ v i a, b, c, d > 0. 113. CM :

A x

( = + +

ấ ủ ỏ ị 114. Tìm giá tr nh nh t c a :

ấ ủ ỏ . ị 115. Tìm giá tr nh nh t c a :

2 + 3y2 ≤ 5.

ị ớ ế t 2x

ấ ấ ủ ị ị ớ . . x (x a)(x b) x ấ ủ 2 x-

- - - ươ ả ng trình : i ph ỏ 116. Tìm giá tr nh nh t, giá tr l n nh t c a A = 2x + 3y bi 117. Tìm giá tr l n nh t c a A = x + 118. Gi

x 1 +

3x 2 - =

- = 5x 1 - + x 2 x 1

x 2 x 1 +

2 + =

ả ươ - i ph ng trình : 119. Gi

21x 18 2 x

7x 7

http://kinhhoa.violet.vn

ả ươ i ph ng trình : 120. Gi

= -

+ +

chuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_6923.doc + 121. Gi

- ươ ả ng trình : i ph

6x 7 ỉ 122. Ch ng minh các s sau là s vô t :

+ 10x 14 ;

4 2x x + 3 2 2

- ứ ố

2 ằ

- (cid:0) .

ươ ọ ng pháp hình h c :

4 x ứ +

b(a

b . b +

c +

+ v i a, b, c > 0. c) +

ố - + ứ 123. Ch ng minh x 2 ấ ẳ ứ 124. Ch ng minh b t đ ng th c sau b ng ph + 2 (cid:0) ớ

(a b)(c d)

(cid:0) ớ

ac ẳ

ậ ượ ộ ạ ằ ế v i a, b, c, d > 0. bd ộ c thành m t tam giác thì các

a , b , c cũng l p đ

ộ ẳ ạ ậ ượ ộ c thành m t tam giác.

a b

b a

(cid:0) ớ v i a, b ≥ 0. ứ 127. Ch ng minh

+ a b 4 b +

+ 2

ớ v i a, b, c > 0. ứ 128. Ch ng minh ứ 125. Ch ng minh ứ 126. Ch ng minh r ng n u các đo n th ng có đ dài a, b, c l p đ đo n th ng có đ dài + (a b) 2 a + b c

c + a b ứ

2 + y2 = 1.

x 1 y

a = 2 y 1 x

- - ằ . Ch ng minh r ng x 129. Cho

+ x 2 x 1

- - ỏ ị 130. Tìm giá tr nh nh t c a

- + x 2 x 1 - + 1 x 2

+ 1 x 2

+ + 1

= -

+ 2

- ấ ủ ỏ ấ ủ A = 131. Tìm GTNN, GTLN c a ủ A ị 132. Tìm giá tr nh nh t c a

+ 4x 12

+ 2x 5 + 2 x

+ 2x 3 =

- - ấ ủ ỏ . ị 133. Tìm giá tr nh nh t c a

- -

)

(

= a) A 2x

5 x

+ b) A x 99

101 x

134. Tìm GTNN, GTLN c a : ủ

= (a và b là h ng s d

a x

b y

ủ ế ỏ ố ươ ằ t x, y > 0 th a mãn ng). 135. Tìm GTNN c a A = x + y bi

ủ ớ 136. Tìm GTNN c a A = (x + y)(x + z) v i x, y, z > 0 , xyz(x + y + z) = 1.

yz x

zx y 2

ớ v i x, y, z > 0 , x + y + z = 1. 137. Tìm GTNN c a ủ

= . 1

xy z x + x y

t x, y, z > 0 , 138. Tìm GTNN c a ủ

y + y z (

z ế + bi z x ) 2 (

)

(

ớ

A (

)

(

)

ấ ủ ( v i a, b > 0 , a + b ≤ 1 ( ) b)

ớ ấ ủ ị ớ ị ớ 139. Tìm giá tr l n nh t c a : a) ) ) v i a, b, c, d > 0 và a + b + c + d = 1. ỏ 140. Tìm giá tr nh nh t c a A = 3

x + 3y v i x + y = 4. c + a b

ớ v i b + c ≥ a + d ; b, c > 0 ; a, d ≥ 0. 141. Tìm GTNN c a ủ

b + c d ng trình sau :

+ -

+ =

ả

b) x

= 4x

8 x 1

c) 4x 1

3x 4 1

http://kinhhoa.violet.vn

- - - - 142. Gi a) x ươ i các ph + 5x 2 3x 12 0

chuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_6923.doc

- =

- +

d) x 1

+ = x 1

e) x 2 x 1

x 1 1

g) x

2x 1

- = x

2x 1

+ -

- =

- - - - - -

- + h) x 2 4 x 2

+ - x 7 6 x 2

+ i) x

= 1 x

k) 1

x 1

2x 2

= x + = -

- - -

m) x

x 2 x

+ + + l) 2x 8x 6 = + x 10

- = 2 x + + x 2

1 + x 5

(

- + o) x 1

+ + x 3 2

) ( x 1 x

+ + n) x 1 ) = - + 3x 5

4 2x

+ +

- -

p) 2x 3

x 2

1 2 x 2

+ +

q) 2x

+ = + x 2 + 2 2x

+ - 2x 2 - = 9x 4 3 2x 1 =

- -

)

( A 2 2

+ 20

2 2

(

....

) + - n 1 1

- - ứ ể ọ . 143. Rút g n bi u th c :

21x 11 ) ( + 5 3 2 1 2

1 3

1 n 1

ứ ằ " n ˛ . 144. Ch ng minh r ng, Z+ , ta luôn có :

1 2

+ . x 1

ứ ở ẫ ụ m u : 145. Tr c căn th c

146. Tính :

29 12 5

- - - - - - -

b) 6 2 5 ) ) (

29 6 20 ( + 5. 3

- - ố ự ứ ằ . Ch ng minh r ng a là s t nhiên. 147. Cho

3 2 2

+ 3 2 2 +

17 12 2

- - ố ự ả . b có ph i là s t nhiên không ? 148. Cho -

17 12 2 ươ - + -

ả ng trình sau :

(

) = 3 1 x

( + 2

) 3 1 x 3 3

- - - i các ph )

3 1 x x 4 (

)

3 )

5 x

x 3

d) x

- = x 5

- - - 149. Gi ( (

x 3 ể

- + 5 x - + 5 x ứ ị ủ 150. Tính giá tr c a bi u th c :

+ 12 5 29

25 4 21

+ 12 5 29

25 4 21

- - - -

+ + ...

1 +

1 - + n 1

ọ . 151. Rút g n :

1 +

+ 4

- + ... 5

2n 1

- ứ ể 152. Cho bi u th c : - - - -

+ + ...

ố ữ ỉ ả ọ b) P có ph i là s h u t không ? a) Rút g n P.

1 + 4 3 3 4

1 + 100 99 99 100

1 + 2 1 1 2

. 153. Tính :

+ + ...

1 + 3 2 2 3 1 1 n 3

1 2

http://kinhhoa.violet.vn

ứ . 154. Ch ng minh :

5 + 2a4 – 17a3 – a2 + 18a – 17)2000.

17 1

- ị ủ ể . Hãy tính giá tr c a bi u th c: A = (a

chuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_6923.doc ứ 155. Cho a 156. Ch ng minh :

a 2

a 3

- - - - ứ (a ≥ 3)

- ứ (x ≥ 0) 157. Ch ng minh :

- < a 1 1 + > x 2 = ấ ủ S

- + x 1

y 2

- ị ớ ế , bi t x + y = 4. 158. Tìm giá tr l n nh t c a

1 2a

: A

3 4

+ 1 2a + + 1 2a

1 2a

- ị ủ ứ ể . ớ 159. Tính giá tr c a bi u th c sau v i - -

ứ ứ ẳ 160. Ch ng minh các đ ng th c sau :

(

)

+ 3 1

( a) 4

- -

) (

= + b) 4 2 2 6 (

)

+ 3 1 e) 17 4 9 4 5

5 2

c) 3

) ( ( + 5 3

= 15 ) = 2

8 d)

+ 7

= 48

2 2

- - - -

ứ ấ ẳ ứ

< 10

5 5

- - - 161. Ch ng minh các b t đ ng th c sau : 5 5

3 4

0, 2

> 1,01 0

1 + 3

+ 5 1 + 5

5 1 3

� � 1 �

��

5 + 5 � � �

- - - -

> 2

+ +

2 2

3 1 6

2 2 6

+ 2

1 + 2

� � 2 �

� � �

- - - - -

+ 2 2

- + 2 1

+ 17 12 2

3 1

- - -

3 2

2 <

2 2 (

- > 2 1 1,9 ) <

+ 3

+ 5

0,8

- -

)

(

< + - 2 n 1 2 n

2 n

2 n 1

1 < n

< +

2004 1

+ + ...

2005

1 2

1 3

- - ứ ằ ừ . T đó suy ra: 162. Ch ng minh r ng :

+ +

1 1006009 + 4 3 + + 8 4 6

3 2

ứ ở ẫ ụ m u : . 163. Tr c căn th c

và y=

2 3 + 3

3 3

2 2

- . Tính A = 5x2 + 6xy + 5y2. 164. Cho -

2002

2003

2 3 2 2 2002 2003

2003 2002 2

ấ ẳ ứ ứ . 165. Ch ng minh b t đ ng th c sau :

= + 3

= - 5 và y 3

+ 3xy y + + x y 2

- ứ ể . ị ủ 166. Tính giá tr c a bi u th c : v i ớ x

= +

3 2 x x

6x 3 x

1 x

http://kinhhoa.violet.vn

- - ả ươ i ph ng trình : . 167. Gi - -

chuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_6923.doc

+ 3 3 5x

+ 10x 14 1 c) 2 2 2

1 4

(cid:0) - (cid:0) (cid:0) ả ấ i b t các pt : a) . 168. Gi

- +

a) A

29 12 5

= b) B

1 a

a(a 1)

a 1 a

+ 2

+ +

ứ ể ọ 169. Rút g n các bi u th c sau : - - - -

d) D

c) C

5x 6 x 9 x 2

- -

+ 3x x

(x 2) 9 x

x 3 2 x - + 2x 6 1

- - -

...

+ 3

25 1

- - - - - - -

3 x

ứ ủ ể . 170. Tìm GTNN và GTLN c a bi u th c - -

2 1 x

1 x

ấ ủ ỏ ớ v i 0 < x < 1. ị 171. Tìm giá tr nh nh t c a -

a) A

- + x 1

y 2

x 1 x

y 2 y

- - - ế bi t x + y = 4 ; b) 172. Tìm GTLN c a : ủ

1997

= 1996 ; b

1998

1997

= -

+ 2

b) B

+ 2x 4

a) A

- - ố ớ ơ ớ . So sánh a v i b, s nào l n h n ? 173. Cho a

. 174. Tìm GTNN, GTLN c a : ủ -

A x 1 x

2 + 4y2 = 1.

- ị ớ ấ ủ

ấ ủ ủ

5 2 6 x . 175. Tìm giá tr l n nh t c a ế ị ớ 176. Tìm giá tr l n nh t c a A = | x – y | bi t x 3 + y3 bi ế t x, y ≥ 0 ; x 177. Tìm GTNN, GTLN c a A = x = t ế 178. Tìm GTNN, GTLN c a ủ A x x x

y y

2 + y2 = 1. = . + y 1

- + 1 x

+ + 3x 2 (x 2)

x 1 = x 2

- - - ả ươ i ph ng trình : . 179. Gi -

+ + ...

ả ươ i ph ng trình : . 180. Gi

1 2

- = 2x 9 1 3 2

1 + (n 1) n

+ + ...

. 181. CMR, " n ˛ Z+ , ta có :

1 2.1998

. Hãy so sánh A và 1,999. 182. Cho

+ + 6 4x 2x 1 4 3 1 3.1997 ứ

1 1999.1 ằ

1 1.1999 x

ố ố ữ ỉ ố ữ ề là s h u t . Ch ng minh r ng m i s ỗ ố x ; y đ u là s h u

183. Cho 3 s x, y và tỉ

= 2 6 ; b

+ + 3 2 2

6 4 2

3 3

2 2

- - ố ữ ỉ . CMR : a, b là các s h u t . 184. Cho -

+ - a

a 1

2 +

a +

a 2 a 1

� � �

� a 2 a a . �- a 1 �

http://kinhhoa.violet.vn

- - - ứ ể ọ . (a > 0 ; a ≠ 1) 185. Rút g n bi u th c :

4 a

a 1 + + a 1

� 1 = � a �

� � ��

- - - ứ . (a > 0 ; a ≠ 1) 186. Ch ng minh : -

chuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_6923.doc + a 1 a 1 ) 2

(

� � � + x 2

2 x

ọ (0 < x < 2) 187. Rút g n : -

ab b

a ab

+ a b ab

� � �

� � : ��

b ab a 2

- - ọ 188. Rút g n : -

)

(

2 x

5a + 2

(cid:0) ả ấ ươ i b t ph ng trình : (a ≠ 0) 189. Gi

( A 1 a

+ �� 1 a a �� + 1 a ��

- - - 190. Cho -

a � � + � � � � � ớ

� � 1 a a + � � 1 a � � � ể a) Rút g n bi u th c A.

ứ ọ ị ủ b) Tính giá tr c a A v i a = 9.

ủ ớ ị c) V i giá tr nào c a a thì | A | = A.

+ +

a a

b 1 ab

a 2 ab

b ab

+ a

b ab

� � a �

- - ứ ể 191. Cho bi u th c : -

� � . � = + 6 2 5

ị ủ ọ b) Tính giá tr c a B n u . ế a ể ớ ứ a) Rút g n bi u th c B. c) So sánh B v i 1.

a b

+ a

1 + a b

� � �

a ứ

192. Cho - - -

a b a b ế

�+ � � t | A | = A.

= +

ọ

5 4 2 ; b

� � +� : 1 � �� b) Tìm b bi 2 6 2

ể ị ủ a) Rút g n bi u th c A. c) Tính giá tr c a A khi .

4 a

+ a 1 a 1

a 1 + + a 1

1 a

� � �

a � � �

� � ��

- - - ứ ể 193. Cho bi u th c -

ứ ể ọ a) Rút g n bi u th c A.

ị ủ ế ị ủ b) Tìm giá tr c a A n u c) Tìm giá tr c a a đ . . ể A A>

+ a

1 2 a

a + a 1

a a 1

� a � 2 �

�� a ��

� � . �

- - - ứ ể 194. Cho bi u th c -

ứ ể ọ a) Rút g n bi u th c A.

1 a + 1 a

+ 1 a 1 a

� � �

+ 1 a 1 a +

- - - ự ệ 195. Th c hi n phép tính : - - ể � � �

2 +

3 +

- ị ủ b) Tìm giá tr c a A đ A = 4 �� 1 a : �� + 1 a �� 2 ự ệ 196. Th c hi n phép tính : - -

http://kinhhoa.violet.vn

ứ ể ọ 197. Rút g n các bi u th c sau :

chuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_6923.doc

a) A

1 y

xy xy

1 + + x y 2 xy

1 y

2 +

(

) 3

� 1 +� � x �

� � � � � � � � �

= - 2

3 ; y

� � � 1 � + . � � � x � � � � = + 2

. v i ớ x

2(x y)

- - - - ớ v i x > y > 0 b) -

2a 1 x

1 a a

1 2

� a �- 1 a �

+ 1 x

x (

� � � ) + 1

- - c) v i ớ ; 0 < a < 1 -

D (a b)

) ( 1 b + 2

ớ d) v i a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 1 -

x 2 x 1

. 2x 1

- + x 2 x 1 - + 2x 1

2x 1

- - - e) - -

4 =

+ 2x 4 x

- - - ứ ớ v i x ≥ 2. 198. Ch ng minh :

- + 1

, b

- - . Tính a7 + b7. 199. Cho

2 2 1 ướ ạ

m 1

- -

m ọ ố ộ

i d ng ớ

ủ ệ , trong đó m là s t ng n, s a ươ ệ ố ữ ớ ố n vi ng trình x ố ự nhiên. ế ượ ướ ạ i d ng trên. c d t đ 3 + ax2 + bx + c = 0 v i các h s h u ươ 2 là m t nghi m c a ph ằ t x = ệ ạ 200. Cho a t aế 2 ; a3 d a) Vi ứ b) Ch ng minh r ng v i m i s nguyên d ế 201. Cho bi ỉ t . Tìm các nghi m còn l i.

- < 2 n 3

2 n

1 + 2

1 + + ... 3

1 < n

+ +

- ˛ v i nớ N ; n ≥ 2. ứ 202. Ch ng minh

6 ...

= + 2

ầ ấ (có 100 d u căn). ủ ố 203. Tìm ph n nguyên c a s

2 � � a � � ố ữ ỉ

3 � � a � �. ằ

204. Cho

3. Tính a) y+

+ + ...

ố ề ứ là s h u t . Ch ng minh r ng m i s 205. Cho 3 s x, y, ố ữ ỉ ỗ ố x , y đ u là s h u t

1 2

1 3 2

1 4 3

+ + ...

N : 206. CMR, " n ≥ 1 , n ˛

1 , a2 , a3 , … a25 th a đk :

= . Ch ng ứ

1 + (n 1) n 1 a

1 a

ố ự ỏ nhiên a 207. Cho 25 s t

2 +

http://kinhhoa.violet.vn

ố ự ằ minh r ng trong 25 s t i 2 s b ng nhau. nhiên đó t n t + - ố ằ 2 ả ươ i ph ng trình . 208. Gi ồ ạ x + - -

chuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_6923.doc

1 x 1 x

- ả ệ ậ ố ớ i và bi n lu n v i tham s a . 209. Gi -

+ + 1 x + - 1 x =

) ( + x 1 y ) ( + y 1 z ) ( + z 1 x

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình 210. Gi (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ằ ứ

8 3 7

ữ ố ấ ẩ

7 4 3

ữ ố ườ ề ấ ẩ có m i ch s 9 li n sau d u ph y.

�

= 1 1

1 ;

˛ ầ N*), ví d : ụ 211. Ch ng minh r ng : ) 7 a) S ố ( ề có 7 ch s 9 li n sau d u ph y. ) 10 b) S ố ( ố 212. Kí hi u aệ n là s nguyên g n

�� 3 1,7

2 ;

�� 2 1, 4 1

+ + ...

ấ n nh t (n 1 ; a

� 1 a

1 a

1980

Tính : .

+ +

2 ...

ủ ấ ầ ố 213. Tìm ph n nguyên c a các s (có n d u căn) : a)

+ +

4 ...

1996

1996 ...

1996

b) c)

16n

+ 8n 3

˛ ớ ầ ủ 214. Tìm ph n nguyên c a A v i n

A 2+

ứ ế ố ằ ướ ạ ậ ượ t s x = d i d ng th p phân, ta đ ữ ố ề c ch s li n 215. Ch ng minh r ng khi vi

N : ( ấ ướ ấ ẩ ẩ tr

) 250

4n ) 200 ữ ố ề c d u ph y là 1, ch s li n sau d u ph y là 9. ủ ( 216. Tìm ch s t n cùng c a ph n nguyên c a

ữ ố ậ ủ ầ .

+ + ...

� � � � � � � � 3 � � � � � � � �

+ +

ổ 217. Tính t ng

+ = . x 1 3 +

ươ ả ị ớ ấ ủ ng trình : a) i ph

2 ế

2(3 – x) v i x ≥ 0. ớ - = 7 x ng a, b không n u :

ố ữ ỉ ươ ồ ạ i các s h u t d . 218. Tìm giá tr l n nh t c a A = x 219. Gi x 1 220. Có t n t b)

3 5

ứ ố ỉ ố 221. Ch ng minh các s sau là s vô t : a) a) a 3 2 b)

abc

- + b) 3 x 2 + = b 4+ 3 + + a b c 3

(cid:0) ấ ẳ ứ ố ớ . ứ 222. Ch ng minh b t đ ng th c Cauchy v i 3 s không âm :

abcd

d +

a + 1 a

1 81

(cid:0) (cid:0) ứ ằ t ế . Ch ng minh r ng : . 223. Cho a, b, c, d > 0. Bi

+ + v i x, y, z > 0 ớ

c b + + 1 b 1 c 1 d 2 x y

x y

y z

z x

y z

z x

(cid:0) ấ ẳ ứ ứ 224. Ch ng minh b t đ ng th c :

= 3 ; b

3 2 3

http://kinhhoa.violet.vn

- ứ ằ . Ch ng minh r ng : a < b. 225. Cho

chuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_6923.doc

1 � �+ 1 � � n � �

ọ ố ứ ớ ươ ng n, ta có : . 226. a) Ch ng minh v i m i s nguyên d

n n (n là s t - + 2

ố ự ứ ằ ạ ố ị ớ b) Ch ng minh r ng trong các s có d ng nhiên), s ấ ố 3 3 có giá tr l n nh t

x 1

ỏ ấ ủ .

x t x ≤ 4.

ấ ủ

+ + + x 1 x 2(2 – x) bi ế .

= A x ị ớ

9 x ấ ủ

- ị ớ ấ ủ

2 – 6) bi

ế ỏ

t 0 ≤ x ≤ 3. ớ ế ộ m i góc c a hình vuông l n, ng ắ i ta c t đi Ở ỗ ộ ườ ắ ủ ộ ạ ộ ộ ủ ộ ấ

- + 2 x

- ị 227. Tìm giá tr nh nh t c a ỏ ị 228. Tìm giá tr nh nh t c a A = x 229. Tìm giá tr l n nh t c a ấ ị 230. Tìm giá tr nh nh t, giá tr l n nh t c a A = x(x ạ 231. M t mi ng bìa hình vuông có c nh 3 dm. ữ ậ ể ượ ỏ ồ ấ c m t cái h p hình h p ch nh t không n p. Tính c nh m t hình vuông nh r i g p bìa đ đ ỏ ể ể ớ hình vuông nh đ th tích c a h p là l n nh t. ươ ả 232. Gi + 3 3 a) 1 ng trình sau : + x 3

- = 3 d) 2 2x 1

- = x 1 1 + x

x 1

i các ph = x 16 + +

- = x 1 (

) 1

= -

6 x

= - 2

- - - - - - -

7 x - + 7 x

x 5 x 5

+ 2

- = 2

+ = 3 x 3

(x 1)

1 1

+ + 3 x 1 - = 4

+ + 3 x 2 + - 4

+ (x 1) + 2

+ + 1 x

- + 4 a x

a b 2x

b x

1 x

- = 1 x +

2 a b

- (a, b là tham s )ố

a 3

b 2

a ấ ủ

b ứ

. 233. Rút g n ọ

- + + x 1

ị ỏ ể

+ + 2 ủ

A ộ

x 1 ươ

3 + ax2 +

ị ệ ng trình : 3x

234. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : ố 235. Xác đ nh các s nguyên a, b sao cho m t trong các nghi m c a ph 3+ bx + 12 = 0 là 1 ứ 236. Ch ng minh ỉ ố 3 3 là s vô t .

2 . 3 2 2

+ 9 4 5. 2

- - . 237. Làm phép tính :

20 14 2 +

- . 238. Tính :

7 5 2

20 14 2 = 7 2 5

- . ứ 239. Ch ng minh :

+ 4 28 16 3 . 7

- -

)

(

. 240. Tính :

ậ ươ ớ ệ ố ệ ộ ng trình f(x) = 0 v i h s nguyên có m t nghi m là : . 241. Hãy l p ph

7 5 2

3 + 3x – 14 v i ớ

1 +

7 5 2

+ +

- ị ủ ứ ể . 242. Tính giá tr c a bi u th c : M = x

- = 25 x

ả ươ i các ph ng trình : a) . 243. Gi

3b)

- = x 9

x 2 + 2 (x 3)

+ 2 x

+ 4 32 2 x

= 32

+ 3

- -

)

(

2 1

http://kinhhoa.violet.vn

- ủ ứ ể . 244. Tìm GTNN c a bi u th c :

chuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_6923.doc 245. Cho các s d

44 abcd . 2 3

ố ươ ứ ng a, b, c, d. Ch ng minh : a + b + c + d ≥

x 3

x 2

8 x 3 x 2

+ 2

3 2 x x

2 x

� 3 � �

� � : 2 � �

� + � � �

� � � � � 3 � �

� � � �

- - ọ ; x > 0 , x ≠ 8 246. Rút g n : - -

3 – 6x – 10 = 0.

+ 17

+ 5

5 1

- ủ ươ ệ là nghi m c a ph ng trình x 247. CMR :

3 – 3x + 1987.

- ứ ị ể . Tính giá tr bi u th c y = x 248. Cho -

9 4 5

= -

a 1

5 .

+ 9 4 5

+ 2 a

- - ứ ứ ẳ . 249. Ch ng minh đ ng th c : - -

9 4 5

5 2 2,1 0

� 3 � �

� 3 5 . � �

- - ấ ẳ ứ ứ . 250. Ch ng minh b t đ ng th c :

1 2

2 a b

ứ ể ọ 251. Rút g n các bi u th c sau :

b 2

a 3

b + b 8

24 + b 8

(

� � � � �

1 b 1 3 b

� � +� 4b �� . ) � � �+ 1 2. � � �

� � � � � �

- - a) -

3 a a

2 a b

+ 3 2a b 2

2 a b 3 a

ab b

� � . � 3 �

- - c) . - -

� � � � 252. Cho

= M x

+ + 4a 9 2

+ 4x 8 2

- - ị ủ ứ ể ế ằ . Tính giá tr c a bi u th c M bi t r ng:

x 2

x + - 4x 9 =

- - .

x ấ ủ

2bx b

+ = 4x 8 + + 2 2ax a ạ

- - ỏ (a < b)

x ộ abc ≥ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) ế ể

ủ ứ ế ằ ộ ị 253. Tìm giá tr nh nh t c a : 254. Ch ng minh r ng, n u a, b, c là đ dài 3 c nh c a m t tam giác thì :

ị ủ ứ t x + y = 2 và xy = 1

2 + 1 , b – c = 2 1, tìm giá tr c a bi u th c :

ế ị ủ ứ ể t a – b = 255. Tìm giá tr c a bi u th c | x – y | bi 256. Bi

- +

x y z 4

2 x 2 4 y 3 6 z 5

A = a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca. - + + + + = - ế ằ t r ng : . 257. Tìm x, y, z bi

x 2 x 1

- + x 2 x 1

ộ ằ ị ủ ế - - . CMR, n u 1 ≤ x ≤ 2 thì giá tr c a y là m t h ng

x 1

M 7 x 1 ườ

+ - 2 x ằ

- - - (x ≥ 1). : ử 258. Cho y s .ố 259. Phân tích thành nhân t

2 , hãy tìm hình ch nh t có di n

ấ ả ữ ậ ữ ậ ệ t c các hình ch nh t có đ ng chéo b ng 8

ứ ề ạ ạ 260. Trong t ấ ớ tích l n nh t. 261. Cho tam giác vuông ABC có các c nh góc vuông là a, b và c nh huy n là c. Ch ng minh

+ a b 2

(cid:0) ằ r ng ta luôn có : .

http://kinhhoa.violet.vn

ố ươ ứ ằ ng a, b, c, a’, b’, c’. Ch ng minh r ng : 262. Cho các s d

chuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_6923.doc

+ +

aa'

bb '

cc '

(a b c)(a ' b ' c ') thì

a a'

b b '

c c '

N u ế .

2 – 1 | + | x2 – 4 | = 3. ị ủ

ươ ng trình : | x

(

) 4

+ x y

ả i ph ứ ụ ứ ằ ộ 263. Gi ể 264. Ch ng minh r ng giá tr c a bi u th c C không ph thu c vào x, y :

4xy

+ x y 2 x y

+ x y + x y

+ x y + y x

� � � �

- - ớ v i x > 0 ; y > 0. -

ứ ị ể ụ ứ ộ

+ - a

a 1

a +

2 +

a 2 a 1

� � �

- - - ớ v i a > 0 ; a ≠ 1 265. Ch ng minh giá tr bi u th c D không ph thu c vào a: � a 2 a a �- a 1 �

ac c

� � �

a ac

c ac

- - ứ ể . 266. Cho bi u th c - -

ọ ứ

ể ứ ể ị ủ

ớ ể ị

+ 1

2mn 2 1+n

1 2 n

- ứ ớ v i m ≥ 0 ; n ≥ 1 ể 267. Cho bi u th c : a) Rút g n bi u th c B. b) Tính giá tr c a bi u th c B khi c = 54 ; a = 24 c) V i giá tr nào c a a và c đ B > 0 ; B < 0. � 2mn �+ 2 1 n � ủ � A= m+ � �

56 24 5

ị ủ ọ ể ứ . b) Tìm giá tr c a A v i ớ m

a) Rút g n bi u th c A. ị ấ ủ ỏ

1 x - + 2

1 x x

1 2 x

+ - 1 x

1 x

� � - + 1 x �

� � �

- - c) Tìm giá tr nh nh t c a A. + 1 x - - - 268. Rút g n ọ - - -

2 x x 1

x 1

2 x x

�� : 1 ��

�� + �

� � �

1 + x 1 x x ứ

- - ớ v i x ≥ 0 ; x ≠ 1. 269. Cho - - -

ể ọ b) Tìm x sao cho P < 0. a) Rút g n bi u th c P.

+ - 1

2x x

x + x 1

x ả ử

ứ ể . 270. Xét bi u th c -

http://kinhhoa.violet.vn

ứ ằ ọ s x > 1. Ch ng minh r ng : y | y | = 0 b) Gi ể ấ ủ ỏ ị a) Rút g n y. Tìm x đ y = 2. c) Tìm giá tr nh nh t c a y ?

chuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_6923.doc

Ầ

ƯỚ

PH N II: H

Ả Ẫ NG D N GI I

2 hay 7n m

m n

m 2 n

ố ả ứ s (t i gi n). Suy ra ẳ (1). Đ ng th c 1. Gi ố ữ ỉ (cid:222) ả ử 7 là s h u t

M 7. Đ t m = 7k (k ạ ừ

˛ ứ ỏ ố nên m Z), ta có m2 = 49k2 (2).

2m 7M mà 7 là s nguyên t ố ặ 2 = 49k2 nên n2 = 7k2 (3). T (3) ta l

2 M 7 và vì 7 là s nguyên t

ừ ố ố này ch ng t T (1) và (2) suy ra 7n i có n nên

7 không

m n

ế ố ả ả ế không t i gi n, trái gi thi ậ t. V y n M 7. m và n cùng chia h t cho 7 nên phân s ố

ả (cid:222) ặ ể ử chung, ta đ c v ph i. ả T a) ừ b) vì (ad – bc)2 ≥ 0.

2 + (2 – x)2 = 2(x – 1)2 + 2 ≥ 2.

ừ (cid:219) ậ x = y = 1. ứ

ố ữ ỉ ố ỉ ph i là s h u t ; do đó 7 là s vô t . ượ ế ế 2. Khai tri n v trái và đ t nhân t 3. Cách 1 : T x + y = 2 ta có y = 2 – x. Do đó : S = x V y min S = 2 ấ ẳ ụ Cách 2 : Áp d ng b t đ ng th c Bunhiacopxki v i a = x, c = 1, b = y, d = 1, ta có : (x + y)2 ≤ (x2 + y2)(1 + 1) (cid:219) ớ 4 ≤ 2(x2 + y2) = 2S (cid:219) S ≥ 2. (cid:222)

và

;

và

ca b

bc a

ab ca ; b c

ab c

ặ ố ươ ấ ẳ ụ ng , ứ 4. b) Áp d ng b t đ ng th c Cauchy cho các c p s d

2c;

bc a

ca b

bc ca . b a

bc a

ab c

http://kinhhoa.violet.vn

(cid:0) (cid:0) ầ ượ ta l n l t có: ; mim S = 2 khi x = y = 1 bc a bc ab . c a

ab c

chuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_6923.doc ca ca ab . b c b ả x y ra khi a = b = c.

(cid:0) ừ ế ộ ượ ấ ẳ ứ ầ ứ ằ ấ c ng t ng v ta đ c b t đ ng th c c n ch ng minh. D u b ng

3a.5b

+ 3a 5b 2

(cid:0) ố ươ ớ ấ ẳ ứ c) V i các s d ng 3a và 5b , theo b t đ ng th c Cauchy ta có : .

12 5

(cid:219) . (cid:222) (3a + 5b)2 ≥ 4.15P (vì P = a.b) (cid:219) 122 ≥ 60P (cid:219) P ≤ max P =

(cid:219) ả ấ ằ a = 2 ; b = 6/5. ả ấ (cid:219) ậ a = b = ½ . (cid:222) ặ b3 = 2 – a3 = 2 – (1 + x)3 = 1 – 3x – 3x2 – x3 ≤ 1 – 3x + 3x2 – x3 = (1 – x)3. ạ ớ ả ằ ế i có a = 1 + x, nên : a + b ≤ 1 + x + 1 – x = 2. 3 + b3 = 2 và a + b = 2. V y max N = 2 khi a = b = 1. ậ 2(a + b).

D u b ng x y ra khi 3a = 5b = 12 : 2 5. Ta có b = 1 – a, do đó M = a3 + (1 – a)3 = 3(a – ½)2 + ¼ ≥ ¼ . D u “=” x y ra khi a = ½ . V y min M = ¼ 6. Đ t a = 1 + x Suy ra : b ≤ 1 – x. Ta l V i a = 1, b = 1 thì a ệ ủ ế 7. Hi u c a v trái và v ph i b ng (a – b) 8. Vì | a + b | ≥ 0 , | a – b | ≥ 0 , nên : | a + b | > | a – b | (cid:219) (cid:219) a2 + 2ab + b2 ≥ a2 – 2ab + b2 ấ ậ ab > 0. V y a và b là hai s cùng d u.

ố 2 – 4a = a2 + 2a + 1 – 4a = a2 – 2a + 1 = (a – 1)2 ≥ 0. ứ ấ ẳ

ng, nên : [(a + 1)(b + 1)(c + 1)]

2 ≤ 3(a2 + b2 + c2).

- = -

2x 3

1 x

4 2

- = - 2x 3 1 x � �� - = - 2x 3 x 1 �

= 3x � � = x �

4 3 2

x 3 ≤ x – 2 ≤ 3 (cid:219)

ượ ể ọ c : ậ 4ab > 0 (cid:219) ệ 9. a) Xét hi u : (a + 1) b) Ta có : (a + 1)2 ≥ 4a ; (b + 1)2 ≥ 4b ; (c + 1)2 ≥ 4c và các b t đ ng th c này có hai v đ u ế ề 2 ≥ 64abc = 64.1 = 82. V y (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8. ậ ươ d 10. a) Ta có : (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2). Do (a – b)2 ≥ 0, nên (a + b) 2 ≤ 2(a2 + b2). b) Xét : (a + b + c)2 + (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2. Khai tri n và rút g n, ta đ 3(a2 + b2 + c2). V y : (a + b + c) (cid:0) (cid:0) 11. a) (cid:0) (cid:0)

(x – 2)2 ≤ 33 (cid:219)

2 ≥ 0, nên ch có th : 2x – 1 = 0

ư 1 ≤ x ≤ 5. ể ỉ | x – 2 | ≤ 3 (cid:219) (2x – 1)2 ≤ 0. Nh ng (2x – 1)

2 + b2 + c2 + d2 – ab – ac – ad = 0 (1). Nhân hai v c a ế ủ

ế ẳ i d ng : a ồ ư ề ạ ướ ạ 2 + (a – 2b)2 + (a – 2c)2 + (a – 2d)2 = 0 (2). Do đó ta có : b) x2 – 4x ≤ 5 (cid:219) c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 1 (cid:219) ậ V y : x = ½ . ứ 12. Vi t đ ng th c đã cho d ớ (1) v i 4 r i đ a v d ng : a

+ - = a b 2 0

- = a 1 0 - = b 1 0

a = a – 2b = a – 2c = a – 2d = 0 . Suy ra : a = b = c = d = 0. M ≥ 1998. 13. 2M = (a + b – 2)2 + (a – 1)2 + (b – 1)2 + 2.1998 ≥ 2.1998 (cid:222) (cid:0) (cid:0) (cid:219) (cid:0) ấ ả ồ ờ ậ D u “ = “ x y ra khi có đ ng th i : V y min M = 1998 a = b = 1. (cid:0) (cid:0)

ng t

2 + 4(y – 1)2 + (x – 3)2 + 1 = 0.

. max A=

ả ươ i t ư ẳ ự ứ bài 13. 14. Gi 15. Đ a đ ng th c đã cho v d ng : (x – 1)

1 + 4x 9

1 5

. 16. - -

< 7

( x 2 + +

< 15 + > 5 1

9 16

16 3 4 7 4 1 4 2 1 7

7 49

http://kinhhoa.violet.vn

ề ạ 1 1 �� ) 2 + 5 = + = . V y ậ + = + + = = . 17. a) 7 + b) 17

chuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_6923.doc

= = 5

23 2 16 3

23 2.4 3

23 2 19 3 sả ử

- - - . c)

d) Gi

�

3 2

2 3

3 2

2 3

3 2

2 3

> 18 12

)

(

3 2

2 3

ấ ẳ ứ .

= -

ố B t đ ng th c cu i cùng đúng, nên : + ể ố 18. Các s đó có th là 1,42 và

+ 3(x 1)

+ + 4

ươ ướ ạ i ph ế ạ t l ng trình d i d ng : .

+ 5(x 1) ớ

16 ơ

+ 6 (x 1) ẳ ậ

ỏ ơ ươ ủ ứ ế ỉ ả ả ng trình không nh h n 6, còn v ph i không l n h n 6. V y đ ng th c ch ế ề ằ 19. Vi ế V trái c a ph ả x y ra khi c hai v đ u b ng 6, suy ra x = 1.

(cid:0) ấ ẳ ứ t l vi i d ng ế ạ ướ ạ i d (*) (a, b ≥ 0). 20. B t đ ng th c Cauchy

+� � a b (cid:0) � � 2 � � ng 2x và xy ta đ

ấ ẳ ụ ứ ượ Áp d ng b t d ng th c Cauchy d c :

2x.xy

+ a b 2 ớ ướ ạ i d ng (*) v i hai s d +� 2x xy � 2 �

(cid:0) ố ươ 2 � � � (cid:222) ấ ả ứ max A = 2 (cid:219)

1 ab

ấ ẳ ứ ế ạ ướ ạ i d i d ng : t l . 21. B t đ ng th c Cauchy vi D u “ = “ x y ra khi : 2x = xy = 4 : 2 t c là khi x = 1, y = 2. 2 ụ + . Áp d ng ta có S > a b x = 2, y = 2. 1998 1999

2xy =

x y

y x

- - ư x (cid:0) (cid:0) . V y ậ 23. a) ứ x y

2 + 2

y x

x + y

y x

x + y

y + x

y x

� � = � � � �

� � � � x + � � � � y � � � �

� x � y �

� � �

- - . Theo câu a : b) Ta có : 22. Ch ng minh nh bài 1. 2 y y + - = 2 xy x � � �

(x y) xy � x � y � 2 + 1

y x

x y

y x

x + y

y x

� x � y �

2 � � � � � � � 1 � � � � � � � � � �

(cid:0) - - - (cid:0)

2 + 2

y x

x y

y x

+ = 2 � � � � 2 � x � y �

- (cid:0) (cid:0) ừ . Vì (câu a). Do đó : c) T câu b suy ra :

� � x � � y � � 4 4 � y x � y x �

� � � 2 � � x + � � 2 y � �

- (cid:0) .

� � � y x y + + � � � x x y � � � 2 = m2 – 1 (cid:222)

(cid:222) ố ữ ỉ = m (m : s h u t ) 24. a) Gi ố ữ ỉ 2 là s h u t (vô lí) ả ử 1 s

2+ 3 n

3 n

(cid:222) ả ử ố ữ ỉ s m + = a (a : s h u t ) = a – m (cid:222) b) Gi 3 = n(a – m) (cid:222) ố ữ ỉ 3 là s h u t ,

= 2) 5 2

+ =

- ạ vô lí. ẳ 25. Có, ch ng h n

�

2 a

x y

y x

x y

y x

+ 2 (5 2 x y http://kinhhoa.violet.vn

(cid:0) ứ ễ . D dàng ch ng minh nên a2 ≥ 4, do đó 26. Đ t ặ

2 – 2 + 4 ≥ 3a

chuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_6923.doc ứ ứ | a | ≥ 2 (1). B t đ ng th c ph i ch ng minh t a2 – 3a + 2 ≥ 0 (cid:219)

)

4 y x

ấ ẳ ả ươ ng đ ớ ng v i : a (cid:219) ươ (a – 1)(a – 2) ≥0 (2) ặ ế ế ứ c ch ng minh. ả ứ ượ ấ ẳ ng đ 2 - ừ T (1) suy ra a ≥ 2 ho c a ≤ 2. N u a ≥ 2 thì (2) đúng. N u a ≤ 2 thì (2) cũng đúng. Bài toán đ ươ 27. B t đ ng th c ph i ch ng minh t + 4 z x ứ 4 2 x z (cid:0) . ươ ớ ng v i : ( + + 2 2 x z y x z y xyz 2 2 2 x y z

3z2(x – y) + y3x2(y – z) + z3y2(z – x) ≥ 0. (1) à y à z à x nên có th gi

ể ả ử ố ớ ấ ứ ị s x là s l n nh t. Xét

ở ươ ng đ ớ ng v i : ầ ử ứ C n ch ng minh t không âm, t c là : x ứ ổ ể Bi u th c không đ i khi hoán v vòng x ợ ườ hai tr ng h p : a) x ≥ y ≥ z > 0. Tách z – x

3 – y2z ≥ 0 , y – z ≥ 0 , yx2 – z3 ≥ 0 nên b t đ ng th c trên đúng.

(cid:219) ươ (1) thành – (x – y + y – z), (1) t x3z2(x – y) + y3x2(y – z) – z3y2(x – y) – z3y2(y – z) ≥ 0 z2(x – y)(x3 – y2z) + y2(y – z)(yx2 – z3) ≥ 0 ễ ấ ở ươ ươ (1) thành x – z + z – y , (1) t ấ ẳ ng đ D th y x – y ≥ 0 , x b) x ≥ z ≥ y > 0. Tách x – y

(cid:219) ứ ớ ng v i : x3z2(x – z) + x3z2(z – y) – y3x2(z – y) – z3y2(x – z) ≥ 0 z2(x – z)(x3 – zy2) + x2(xz2 – y3)(z – y) ≥ 0 ễ ấ ứ ấ ẳ ế ổ ấ ẳ ứ ả ươ ươ D th y b t đ ng th c trên dúng. ứ Cách khác : Bi n đ i b t đ ng th c ph i ch ng minh t ng đ ớ ng v i :

+ 1

z x

y z

2 � � � � � � � �

- - - (cid:0) .

� z � x � ớ ố s t ng c a s h u t a v i s vô t b là s h u t c. Ta

ỉ ứ

2 2 � � � y x x + + + + 1 1 � � � � � � � z y y � � � ủ ố ữ ỉ ả ứ ệ ủ ố ữ ỉ ỉ ả t. ế V y c ph i là s vô t .

ả ố ữ ỉ ố ữ ỉ ớ ả ử ổ ố ữ ỉ ậ

2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)

ượ (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2). ọ ể c :

2 – ab + b2

(cid:222) (a + b)3 > 8 (cid:219) a3 + b3 + 3ab(a + b) > 8 (cid:219) 2 + 3ab(a + b) > 8 (cid:222) ố ươ ế ab(a + b) > a3 + b3. Chia hai v cho s d ng a + b : ab > a (cid:222)

]y ≤ y nên [

]x + [

]

ậ ]x ≤ x ; [

]y là s nguyên ố ấ ớ là s nguyên l n nh t không

]y ≤ x + y. Suy ra [ x y+ ố ]

[

ằ 28. Ch ng minh b ng ph n ch ng. Gi ấ có : b = c – a. Ta th y, hi u c a hai s h u t c và a là s h u t , nên b là s h u t , trái v i gi ố thi 29. a) Ta có : (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2) (cid:222) b) Xét : (a + b + c)2 + (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2. Khai tri n và rút g n ta đ 3(a2 + b2 + c2). V y : (a + b + c) ậ ự ư ươ ng t c) T nh câu b ả ử s a + b > 2 30. Gi ab(a + b) > 2 (cid:222) (a – b)2 < 0, vô lí. V y a + b ≤ 2. 31. Cách 1: Ta có : [ ượ không v ị t quá x + y (1). Theo đ nh nghĩa ph n nguyên,

ượ ừ t quá x + y (2). T (1) và (2) suy ra : v .

]y < 1.

]

ị

[ ]y ≤ [ x y+ ]x < 1 ; 0 ≤ y [ [ ườ ợ ng h p : = [ x y+

]y (1)

]x + [

ế N u 0 ≤ (x + y) – (

]x + [ ]x + [

]y + 1) < 1 nên [

]

[

]x + [ ầ ]x + [ Cách 2 : Theo đ nh nghĩa ph n nguyên : 0 ≤ x ]y ) < 2. Xét hai tr Suy ra : 0 ≤ (x + y) – ([ ]y ) < 1 thì [ ]y ) < 2 thì 0 ≤ (x + y) – ([ ợ

ầ ]x + [ [ [

x y+

]y + 1 (2). Trong c hai tr

]x + [ ề ng h p ta đ u có :

]y ≤ [

]x + [

http://kinhhoa.violet.vn

ườ ả ế x y+ N u 1 ≤ (x + y) – ( = [ ]

ẫ ủ ố ươ ử và m u c a A là các s d ng , suy ra A > 0 do

chuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_6923.doc 32. Ta có x2 – 6x + 17 = (x – 3)2 + 8 ≥ 8 nên t 1 A

ỏ ỏ ấ (cid:219) ớ đó : A l n nh t ấ (cid:219) nh nh t x2 – 6x + 17 nh nh t. ấ

ậ (cid:219) V y max A = x = 3.

1 8 ượ c dùng phép hoán v vòng quanh x ụ

ị ả ử s x ≥ y ≥ z. ấ ẳ ứ 33. Không đ Cách 1 : Áp d ng b t đ ng th c Cauchy cho 3 s d à y à z à x và gi ố ươ ng x, y, z :

x y

y + + z

z x

x y z y z x

�

min

= = y

(cid:0)

y + + z

z x

y z

x y

� x � y �

Do đó

x y

y x

� = � � z x

z + - x

y x

x y

z x � � � y y + + � � � z x � � �

(cid:0) . Ta đã có (do x, y > 0) nên đ ể Cách 2 : Ta có :

x y

x y y + + z

� � � y z

z y + - x x ế ớ ố ươ

(cid:0) (cid:0) ứ ỉ ầ ứ ch ng minh ta ch c n ch ng minh : (1)

y + + z z x (1) (cid:219) xy + z2 – yz – xz ≥ 0 (cid:219) ố

xy + z2 – yz ≥ xz (nhân hai v v i s d ng xz) (cid:219) (x – z)(y – z) ≥ 0 (2) ả ớ y(x – z) – z(x – z) ≥ 0 (cid:219) ỏ ấ ố ừ ượ thi (2) đúng v i gi c

y z + + . z x

ấ ủ ị ỏ giá tr nh nh t c a

ạ ừ ế ằ t r ng z là s nh nh t trong 3 s x, y, z, do đó (1) đúng. T đó tìm đ x y x2 + 2xy + y2 = 16. Ta l i có (x – y) x2 – 2xy + y2 ≥ 0. T đó suy ra

2 ≥ 0 (cid:222) x2 + y2 ≥ 8. min A = 8 khi và ch khi x = y = 2.

ỉ ấ ẳ ứ ụ ố 34. Ta có x + y = 4 (cid:222) 2(x2 + y2) ≥ 16 (cid:222) 35. Áp d ng b t đ ng th c Cauchy cho ba s không âm :

1 = x + y + z ≥ 3. 3 xyz (1) + (2) 2 = (x + y) + (y + z) + (z + x) ≥ 3. 3 (x y)(y z)(z x)

3 A (cid:222)

3 2 � � � � 9 � �

ế ề ế ủ ừ ớ A ≤ Nhân t ng v c a (1) v i (2) (do hai v đ u không âm) : 2 ≥ 9.

1 3

3 2 � � � � 9 � �

ỉ . max A = khi và ch khi x = y = z =

ể

2(a + b).

ệ ủ ế ế

4(a

(cid:0) ấ ẳ ụ ứ ớ v i x, y > 0 : 38. Áp d ng b t đ ng th c ể 36. a) Có th . b, c) Không th . ả ằ 37. Hi u c a v trái và v ph i b ng (a – b) 1 xy

2 c ) 2

a + b c

c + d a

4 + (x y) + + 2 ad bc c + + (b c)(a d) 2 4(b

(cid:0) (1)

b + c d

d + a b

+ + ad bc + + + (a b c d) + + 2 ab cd d ) + + + (a b c d)

http://kinhhoa.violet.vn

(cid:0) ươ ự T ng t (2)

chuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_6923.doc

4(a

+ ad bc

+ ab cd)

b + c d

c + d a

d + a b

+ + c + + + (a b c d)

(cid:0) ớ ộ C ng (1) v i (2) = 4B

a + b c 1 2 2B ≥ 1 (cid:219)

ứ ầ ấ ẳ ứ ươ ươ C n ch ng minh B ≥ , b t đ ng th c này t ng đ ớ ng v i :

[

]x < ½ thì 0 ≤ 2x 2[

]x < 1 nên [

]2x = 2[

(cid:219) a2 + b2 + c2 + d2 – 2ac – 2bd ≥ 0 (cid:219)

ế 39. N u 0 ≤ x

]2x = 2[

]x + 1

]x < 2 (cid:222) ố ự

ế 2(a2 + b2 + c2 + d2 + ad + bc + ab + cd) ≥ (a + b + c + d)2 (a – c)2 + (b – d)2 ≥ 0 : đúng. ]x . ]x + 1) < 1 (cid:222) [

[ N u ½ ≤ x ẽ ứ 40. Ta s ch ng minh t n t

]x < 1 thì 1 ≤ 2x 2[ ồ ạ i các s t 96000...00 14 2 43 mchöõsoá0

97000...00 ≤ a + 15p < 14 2 43 mchöõsoá0

0 ≤ 2x – (2[ nhiên m, p sao cho :

k – 1 ≤ a + 15 < 10k

a m 10

15p m 10

ứ ữ ố ố ọ T c là 96 ≤ < 97 (1). G i a + 15 là s có k ch s : 10

x n

15 k 10

a k 10

15p k 10

15 k 10

(cid:0) (cid:222) (2). Đ t ặ . Theo (2) ta có x1 < 1 và < 1.

a 1 k 10 10 Cho n nh n l n l

ị ầ t các giá tr 2, 3, 4, …, các giá tr c a x

nx s tr i qua các giá tr 1, 2, 3, … Đ n m t lúc nào đó ta có

ậ ầ ượ ] [ ẽ ả ị ế ộ ị ơ đ n v , khi đó ị ủ n tăng d n, m i l n tăng không quá 1 ỗ ầ � �� px = 96. Khi đó

a k 10 ế ủ ấ ẳ

ượ ứ ứ ấ ẳ ứ c ch ng minh. 96 ≤ xp < 97 t c là 96 ≤ < 97. B t đ ng th c (1) đ

15p k 10 ứ | A + B |2 ≤ ( | A | + | B | )2

42. a) Do hai v c a b t đ ng th c không âm nên ta có :

(cid:219) ấ ẳ ứ | A + B | ≤ | A | + | B | (cid:219) A2 + B2 + 2AB ≤ A2 + B2 + 2| AB | (cid:219) AB ≤ | AB | (b t đ ng th c đúng) ấ ả

(cid:219) ả ậ ả ỉ ấ 2 ≤ x ≤ 3 (l p b ng xét d u) (cid:219)

2 – 4x – 5 ≥ 0 (cid:219)

- = (cid:0)

(cid:219) ươ | 2x + 5 | + | x – 4 | = | x + 9 | = | 2x + 5 + 4 – x | D u “ = “ x y ra khi AB ≥ 0. b) Ta có : M = | x + 2 | + | x – 3 | = | x + 2 | + | 3 – x | ≥ | x + 2 + 3 – x | = 5. ấ D u “ = “ x y ra khi và ch khi (x + 2)(3 – x) ≥ 0 ậ 2 ≤ x ≤ 3. V y min M = 5 c) Ph (cid:219) ng trình đã cho (2x + 5)(4 – x) ≥ 0 (cid:219) 5/2 ≤ x ≤ 4 (cid:0) - (cid:0) (cid:0) ệ ồ ạ ủ ề ươ i c a ph ng trình : x 43. Đi u ki n t n t (cid:0) (cid:0)

2 – 3y – 2 = 0 (cid:219)

y 0

4x 5

- ượ ặ ẩ , ta đ c : 2y (y – 2)(2y + 1) = 0.

ệ ồ ạ ủ i c a min A = 0 (cid:219) x = 0.

ặ ề x = 3 – y2. ụ 2x Đ t n ph 45. Vô nghi mệ ề 46. Đi u ki n t n t ệ 47. Đi u ki n : x ≤ 3. Đ t

13 4

11 4

B = 3 – y2 + y = (y – ½ )2 + . max B = ≤ (cid:219) y = ½ (cid:219) x = .

x là x ≥ 0. Do đó : A = x + x ≥ 0 (cid:222) = y ≥ 0, ta có : y2 = 3 – x (cid:222) 3 x- 13 13 4 4 48. a) Xét a2 và b2. T đó suy ra a = b.

ừ

ậ ằ ố . V y hai s này b ng nhau. - - - -

3 1 (

) (

)

= 13 4 3 + - n 2

= + 5 (2 3 1) ) ( + + + n 2 n 1

= 4 2 3 ) = + n 1

1 và

n+1

+ + n 1

= n

- .

b) 5 c) Ta có : ( http://kinhhoa.violet.vn

+ +

+ >

+ +

+ < n 1

n nên

n 1

n+2

+ - n 1

chuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_6923.doc Mà n 2 49. A = 1 | 1 – 3x | + | 3x – 1 |2 = ( | 3x – 1| ½ )2 + ¾ ≥ ¾ .

- .

(cid:219) T đó suy ra : min A = ¾ ặ x = ½ ho c x = 1/6

ừ 51. M = 4 52. x = 1 ; y = 2 ; z = 3.

2 5

3 5

(cid:0) (cid:0) . 53. P = | 5x – 2 | + | 3 – 5x | ≥ | 5x – 2 + 3 – 5x | = 1. min P = 1 (cid:219)

�

b) A B

c) A

= B 0

a) A

�

= A 0 = B 0

ộ ố ươ ả ớ ầ ạ ng trình d ng sau : (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

B 0 = A B

� � �

i m t s ph A 0 (B 0) = A B (cid:0)

�

+ e) A B 0

d) A B

= A 0 � = B 0

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) . (cid:0) (cid:0) (cid:0) 54. C n nh cách gi � � � B 0 = (cid:0)� A B = - (cid:0) (cid:0)

ươ ề ạ ng trình v d ng : .

ươ ề ạ

B= A A B= . = . B 0 A B= .

ng trình v d ng : + ươ ạ ng trình có d ng :

ề ạ ề ạ

- = (cid:0)

+ = (cid:0)

- = (cid:0)

ư ề ạ ế ấ ng trình v d ng : | y – 2 | + | y – 3 | = 1 . Xét d u v trái.

0 ; 3x 5

v 0 ; 7x 4

z 0 ; 2x 2

+ = +

. ư a) Đ a ph ư b) Đ a ph c) Ph ư d) Đ a ph ư e) Đ a ph g, h, i) Ph k) Đ t ặ l) Đ t : ặ ươ ươ ươ x 1- 8x 1 ng trình v d ng : ng trình v d ng : | A | + | B | = 0 ệ ng trình vô nghi m. ươ = y ≥ 0, đ a ph + = (cid:0) u

+ =

8x 1

+ 7x 4

=� x

t 2

u v 2

z = 2

v +

(cid:0) (cid:0) ượ ệ ừ ứ Ta đ c h : . T đó suy ra : u = z t c là : . - - (cid:0)

= 2 2(x y)

+ 2 x

(x y

+ - 2 2(x y) 2 2xy ) ( 2

- - - - - - (cid:0) . 55. Cách 1 : Xét

�۳

2 2

)

x (

x y

x y x y (x2 + y2)2 – 8(x2 + y2) + 16 ≥ 0 (cid:219)

(cid:219) ổ ươ ế ươ Cách 2 : Bi n đ i t ng đ ng (x2 + y2)2 – 8(x – y)2 ≥ 0 - -

(cid:219) (x2 + y2)2 – 8(x2 + y2 – 2) ≥ 0 (cid:219) (x2 + y2 – 4)2 ≥ 0.

2.1

+ (x y)

2 (x y).

x y

2 x y

1 x y

- - ử ụ + 2 x ứ 2xy 2xy - (cid:0) - (x > y). - - - - - ấ ẳ Cách 3 : S d ng b t đ ng th c Cauchy : + + 2 x (x y) y x y

+ 6

; y

+ +

- - - - ứ ả ấ ẳ D u đ ng th c x y ra khi ho c ặ

1 1 1 + + a b c

1 2 a

1 2 b

1 2 c

1 2 a

1 2 b

1 2(c b a 2 c

abc

� � �

2 � � �

� = � �

= 62.

2 1 1 1 � � ab bc ca � 1 2 c

1 = 2 a

1 2 b

http://kinhhoa.violet.vn

ề ứ ả . Suy ra đi u ph i ch ng minh.

chuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_6923.doc

x 10

x 6 x 10

�

(x 6)(x 10) 0 ��۳ � x 6

+ x 16x 60 0 x 6 0

�(cid:0) x 6

(cid:0) (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ệ . ề 63. Đi u ki n : (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

2 – 16x + 60 < x2 – 12x + 36 (cid:219) ng trình đã cho : x ≥ 10.

x > 6. ệ

2 ≥ 3. Chuy n v :

2x 3-

ể ế ≤ x2 – 3 (1) ế ươ Bình ph ng hai v : x ủ ấ ươ Nghi m c a b t ph ệ ề 64. Đi u ki n x

= (cid:0)

2x 3-

x 3 0

- = x 3 0 (cid:0)� 1

x x 2 � (cid:0) x

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ừ ặ (cid:0) Đ t th a chung : .(1 ) ≤ 0 (cid:219) - - (cid:0) - (cid:0)

3(cid:0)

ậ ệ ươ ủ ấ ; x ≥ 2 ; x ≤ 2.

(x2 + y2)2 – 4(x2 + y2) + 3 = x2 ≤ 0.

(A – 1)(A – 3) ≤ 0 (cid:219) x = 0, khi đó y = ± 1. max A = 3 (cid:219) 1 ≤ A ≤ 3. x = 0, khi đó y = ± 3.

4 x 4

2 16 x

�

�� 8

x 4 2 2

�

1 - < 2

x 4 2 2 + x 4 2 2

� �

+ > 2x 1 0 + (cid:0) x 8x 8 0

> -

2 (x 4) � � � x

1 2

> -

� �(cid:0) � x

1 2

V y nghi m c a b t ph ng trình : x = 65. Ta có x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = 1 (cid:219) Do đó : A2 – 4A + 3 ≤ 0 (cid:219) min A = 1 (cid:219) 66. a) ½ ≤ x ≠ 1. (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) . b) B có nghĩa (cid:219) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

x 2x 0

�

x(x 2) 0 2

x 2 < x 0

x 2x

� 2 x

� x

x 2x

(cid:0) - (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 67. a) A có nghĩa (cid:219) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

- ớ v i đi u ki n trên.

22 x 2x

2x 2x

- ề < 1 (cid:219) ệ x2 – 2x < 1 (cid:219) (x – 1)2 < 2 (cid:219) kq b) A = c) A < 2 (cid:219) 2 < x – 1 < 2 (cid:222)

14 2 43 = a. Ta s ch ng minh 20 ch s th p phân đ u tiên c a

a là các ch ữ

0,999...99 20chöõsoá9

ữ ố ậ ẽ ứ ủ ầ 68. Đ t ặ

a < 1. Th t v y ta có : 0 < a < 1

(cid:222) ậ ậ ứ ậ a(a – 1) < 0 (cid:222)

ỉ ầ ố ố s 9. Mu n v y ch c n ch ng minh a < a2 – a < 0 (cid:222)

14 2 43 20chöõsoá9

V y ậ a2 < a. T aừ 2 < a < 1 suy ra a < a < 1. = 0,999...99 0,999...99 14 2 43 . 20chöõsoá9

ấ

ạ ẳ max A = 6 + 2 (khi ch ng h n x = 2, y = 3)

ấ ị

ẳ ạ min A = 4 2 (khi ch ng h n x = 2, y = 3)

http://kinhhoa.violet.vn

ị ớ ụ 69. a) Tìm giá tr l n nh t. Áp d ng | a + b | ≥ | a | + | b |. A ≤ | x | + 2 + | y | + 1 = 6 + 2 (cid:222) ỏ ụ b) Tìm giá tr nh nh t. Áp d ng | a – b | ≥ | a | | b . A ≥ | x | 2 | y | 1 = 4 2 (cid:222) 70. Ta có : x4 + y4 ≥ 2x2y2 ; y4 + z4 ≥ 2y2z2 ; z4 + x4 ≥ 2z2x2. Suy ra : x4 + y4 + z4 ≥ x2y2 + y2z2 + z2x2 (1)

chuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_6923.doc

2 + b2 + c2 ≥

1 3

ứ ễ ặ ượ ế M t khác, d dàng ch ng minh đ c : N u a + b + c = 1 thì a .

2y2 + y2z2 + z2x2 ≥

1 3

ế Do đó t ừ ả gi thi t suy ra : x (2).

1 3 ư 71. Làm nh bài 8c (§ 2).

3 3 + Thay vì so sánh n

n 2 và 2 n+1

+ n 1

(cid:0) ừ T (1) , (2) : min A = (cid:219) x = y = z =

+ - ta so sánh n 2 + < n 2

+ 2 n 1 ặ

+ - + < � n 1 n 1 ứ ướ ấ i d u căn thành bình ph

+ n ươ ng c a m t t ng ho c m t hi u.

+ - . Ta có : n 2 ể ế t các bi u th c d ồ

ộ ổ ủ ệ ộ

+ - và n 1 n 72. Cách 1 : Vi Cách 2 : Tính A2 r i suy ra A. 2 – b2. 73. Áp d ng : (a + b)(a – b) = a ứ 74. Ta ch ng minh b ng ph n ch ng.

ụ ứ ằ ả

- s t n t = r (cid:222) ế . V trái a) Gi ả ử ồ ạ ố ữ ỉ r mà 3 i s h u t 3 + 2 15 + 5 = r2 (cid:222)

ậ ố ữ ỉ ỉ ố là s vô t .

= >

ả ng t

�

3 3

3 2 2 1

> 3 3

+ 2 2 2

- ươ ổ ươ ế ng : ng đ

�

> + + 27 8 4 8 2

> 15 8 2

> 225 128

2 2 2

3 3

(cid:219) ậ . V y a > b là đúng.

ồ ố là s vô t , v ph i là s h u t , vô lí. V y ự . b), c) Gi 75. a) Gi ) ( b) Bình ph

ặ ỉ ế ả ươ i t ả ử ồ s a > b r i bi n đ i t ) ( 2 ế ươ ng hai v lên r i so sánh. + - - , rõ ràng A > 0 và A2 = 2 (cid:222) 76. Cách 1 : Đ t A = A = 2

�

= 2.B

8 2 7

- = 8 2 7

2 0

- - - - - ặ Cách 2 : Đ t B = (cid:222) B =

(

)

2 4

= + 1

+ +

) +

( 2 +

2.3 + 3

2.4 4 =

. 77.

2 3 . V y P =

2 2.5 ; 56

2 5.7

2 2.7 ; 140 = - 2

ậ . t ế 78. Vi

x 1 y

1 y 1 x

- - ừ ả ế ươ ế ủ ẳ ứ thi t ta có : . Bình ph ng hai v c a đ ng th c này ta 79. T gi

2 + y2 = 1.

- ừ ượ đ c : . T đó : x

2 (cid:219)

2 =

ậ x = 0.

1 x 2 ≤ 4. V y : min A = 80. Xét A2 đ suy ra : 2 ≤ A ể ( ) 2

(

)

2a 2b

(cid:0) - (cid:0) x = ± 1 ; max A = 2 (cid:219) ) . 81. Ta có :

��(cid:0)

max M 2

= = b

1 2

a + = a b 1

(cid:0) (cid:0) . (cid:0) (cid:0)

+ -

ổ

(

)

( + -

( + + - a b 2 ab

) + + c d 2 cd

2 +

ủ ) + =

)

(

)

+ > a c

http://kinhhoa.violet.vn

- - (cid:0) ố 82. Xét t ng c a hai s : ) ( = + - 2c d 2 ab 2a b 2 cd ( ) = ( .

+ +

+ =

12 8 3 4 4 6 4 2 2

+ +

chuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_6923.doc 83. N (

+ (

)

+ 4 6 8 3 4 2 18 ) ( ) 2 2 2 3 2

2 3 2

+ = 2

2 3

+ + =

2 +

= (

2 )

+ . 2 2 (

)

2 3 2 (

) 2 + z

= x

- - - (cid:222) . 84. T ừ x y z

i ( i = 1, 2, 3, … n ).

ậ

+ +

ấ ẳ ấ ẳ ụ ụ ứ ứ ớ

) 2

2 2(a b) ab hay

a b 2 ab

ab ≥ 0, ta có : + 2 2(a b) ab

(cid:0) (cid:0) V y x = y = z. 85. Áp d ng b t đ ng th c Cauchy cho 1 và a ố 86. Áp d ng b t đ ng th c Cauchy v i hai s a + b ≥ 0 và 2 ( .

ấ ả D u “ = “ x y ra khi a = b.

)

(

)

bc > a hay (

ả ử s a ≥ b ≥ c > 0. Ta có b + c > a nên b + c + 2 87. Gi

a , b , c l p đ

ậ ượ ậ ạ ẳ ộ c thành m t tam giác.

c ệ

b.( a

a = b

a = - b

b. b 2

. V y ba đo n th ng ườ Do đó : b a ề 88. a) Đi u ki n : ab ≥ 0 ; b ≠ 0. Xét hai tr - - ợ ng h p : b) - - ườ ợ * Tr ng h p 1 : a ≥ 0 ; b > 0 : .

1 2

a = - b

a + - b

a = - b

a b

- - ườ ợ * Tr ng h p 2 : a ≤ 0 ; b < 0 : . -

+ (x 2) >

x �

x � (cid:0) x

2 x

(cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ề ệ ệ ớ ề . V i các đi u ki n đó thì : b) Đi u ki n : (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0)

x 2 . x

+ (x 2)

- - -

(x 2) . x x 2

x 2

2 x

. - - -

x .

(cid:0) ế N u 0 < x < 2 thì | x – 2 | = (x – 2) và B =

) 2

(

(cid:0) ế N u x > 2 thì | x – 2 | = x – 2 và B =

+ + 1

1 2

2 +

1 +

ấ ẳ ụ ứ . Áp d ng b t đ ng th c Cauchy: 89. Ta có :

+ + 1

a 1 2

1 2

2 +

+ = 1

=� a

(cid:0) (cid:0) ẳ . V y ậ ứ ả . Đ ng th c x y ra khi :

1 2

+ a 1 - + + 2x 5 3

- = 2x 5 1

- ế ủ ượ c : (cid:219) 5/2 ≤ x ≤ 3. ớ 93. Nhân 2 v c a pt v i

2 , ta đ ạ

http://kinhhoa.violet.vn

ứ ọ ằ 94. Ta ch ng minh b ng qui n p toán h c :

P 1

chuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_6923.doc 1 2

ớ a) V i n = 1 ta có : (*) đúng.

�

P k

+ (1)

1 3 1.3.5...(2k 1) 2.4.6...2k

1 2k 1

1 + 2k 1 ằ

- ả ử b) Gi s :

�

P + k 1

ứ

+ (2)

1 + 2k 3

1 2k 3

c) Ta ch ng minh r ng (*) đúng khi n = k + 1 , t c là : + +

+ 2k 1 + 2k 3

ọ ố ớ ươ V i m i s nguyên d ng k ta có : (3) ứ 1.3.5...(2k 1) 2.4.6...(2k 2) + 2k 1 + 2k 2

P n

1.3.5...(2n 1) 2.4.6...2n

1 + 2n 1

ấ ẳ ừ ứ ế ượ ấ ẳ ứ Nhân theo t ng v các b t đ ng th c (1) và (3) ta đ c b t đ ng th c (2). V y ậ " n ˛ Z+ ta có -

�

a b

b a

ổ ươ ươ ng đ ng : ế 95. Bi n đ i t

( a

b)(a

+ ab

) 2

(

-+ � � � �

- (cid:0) - (đúng).

4(x 1)

< <

1 x >

4(x 1) - > 4(x 1)

x 1 0

(cid:0) - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) ệ (cid:0) ề 96. Đi u ki n : (cid:0) - (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0)

và A=

2 1 x

2 x1

ả ế ả Xét trên hai kho ng 1 < x < 2 và x > 2. K t qu : -

2x 1-

105. Cách 1 : Tính A 2 . Cách 2 : Tính A2 Cách 3 : Đ t ặ = y ≥ 0, ta có : 2x – 1 = y2.

y 1

+ + y 1 2y

+ - y 1 2y =

2x 2 2x 1 2

2x 2 2x 1 = 2

y 1 2

+ - + = (y 1 y 1)

- - - - - - -

1 2

ớ . ứ V i y ≥ 1 (t c là x ≥ 1),

+ + - = (y 1 y 1)

= y 2

4x 2

1 2

- ứ ớ V i 0 ≤ y < 1 (t c là ≤ x < 1), .

2y = 2 x 2- . ươ

ế ế

1 2 2 . N u x ≥ 4 thì A = 2 . Bình ph

= 2

+ x

ế ồ ọ ượ ng hai v r i rút g n, ta đ c : 108. N u 2 ≤ x ≤ 4 thì A = 2 + - + x y 2

ạ ươ ế ồ ọ . L i bình ph ng hai v r i rút g n : (2 – y)(x – 2) = 0. ổ ế 109. Bi n đ i : = + - 2(x y 2)

)

) ( 2 2 a b c d

Đáp : x = 2 , y ≥ 0 , x ≥ 0 , y = 2. ươ ng đ

http://kinhhoa.violet.vn

ế ổ ươ 110. Bi n đ i t ng : a2 + b2 + c2 + d2 + 2 ( (1) (cid:219) ≥ a2 + c2 + 2ac + b2 + d2 + 2bd

(

) ( 2 2 a b c d

chuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_6923.doc ) ượ ươ

(cid:219) ≥ ac + bd (2)

ứ ươ ế ế c ch ng minh. ớ ng v i : ng đ

* N u ac + bd < 0, (2) đ * N u ac + bd ≥ 0, (2) t (a2 + b2)(c2 + d2) ≥ a2c2 + b2d2 + 2abcd (cid:219) (cid:219) ấ ẳ ấ ẳ ứ ậ a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 ≥ a2c2 + b2d2 + 2abcd ứ ượ ứ (ad – bc)2 ≥ 0 (3). B t đ ng th c (3) đúng, v y b t đ ng th c (1) đ c ch ng minh. ứ

+�

2 a + b c

+ b c 4

111. Cách 1 : Theo b t đ ng th c Cauchy : + b c - . ấ ẳ + b c (cid:0) = = 4

;

+ +

+ a b 4 a b c a b c

(cid:0) - (cid:0) - ươ ự ng t : T .

2 c + a b (

) + + a b c

a 2 + a c 4 2 c +

2 a . + b c 4 2 b + a c 2 2 b a + + b c c a a b Cách 2 : Theo BĐT Bunhiacôpxki : (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) ≥ (ax + by + cz)2. Ta có : )

(

)

(

+ a b

+ b c

+ c a

� ≥ � �

a + b c

b + c a

c + a b

2 � � + � � � �

� ( � � X � � � � � � �

� � � � � � �

+ +

(cid:0) - ấ ẳ ứ ừ ế ộ C ng t ng v 3 b t đ ng th c :

. b c

. c a

+ . a b

b + c a

2 � � �

+ +

≥

�

+ + 2 (a b c)

�

� � � 2 c +

2 c +

c + a b 2 2 b a + + b c c a a b

2 2 b a + + b c c a a b

+ + a b c 2

a + b c � ] [ . 2(a b c) � �

� � �

(cid:222) .

+ x y 2

+ +

+ =

(cid:0) ổ ướ ạ ụ ộ i d ng m t tích 1.(a + 1) và áp d ng bđt Cauchy : 112. a) Ta nhìn t ng a + 1 d

a 1

+ 1.(a 1)

(a 1) 1 a = + 2

+ = +

(cid:0)

b 1

1 ;

c 1

b 2

+ +

+ =

ươ ự T ng t :

a 1

b 1

+ (cid:0) c 1

3 3,5

ấ ẳ ừ ứ ế ộ C ng t ng v 3 b t đ ng th c : .

c 2 + + a b c 2 ớ

+ <

(cid:219) ả ấ ế D u “ = ” x y ra thi t a + b + c = 1.

V y :

+ + a 1 ớ

+ +

ụ ấ ẳ ứ

(

)

(

)

1. a b 1. b c 1. c a

+ + (1 1 1)X

+ a b

+ b c

+ c a

+ + b 1 ộ ( � � �

� (cid:222) � �

+ +

(cid:0)

) 2

+ c a

a b

b c

a b

b c

+ (cid:0) c a

a + 1 = b + 1 = c + 1 (cid:219) ả a = b = c = 0, trái v i gi ậ . c 1 3,5 ố b) Áp d ng b t đ ng th c Bunhiacôpxki v i hai b ba s : ) ( 2 ( ≤ 3(a + b + b + c + c + a) = 6(cid:222)

C

B

b

c

^ ứ ườ giác ABCD có AC ng chéo.

d

O

a

ớ ể 113. Xét t OA = a ; OC = b ; OB = c ; OD = d v i a, b, c, d > 0.

D

A

2 a d ; CD

2 2 a c ; BC

2 b c ; AD

+ 2 2 b d

http://kinhhoa.violet.vn

BD, O là giao đi m hai đ Ta có : =

ABC ; AD.CD ≥ 2SADC. Suy ra :

chuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_6923.doc ầ AC = a + b ; BD = c + d. C n ch ng minh : AB.BC + AD.CD ≥ AC.BD. Th t v y ta có : AB.BC ≥ 2S Suy ra : AB.BC + AD.CD ≥ 2SABCD = AC.BD. + +

ứ ậ ậ

(

)

(

) ( 2 a d b d

) ( 2 a c b c

(a b)(c d)

(cid:0) V y : ậ .

(

) (

)

+ 2 a c

+ 2 2 c b

ả ằ ụ ứ ấ ẳ Chú ý : Gi i b ng cách áp d ng b t đ ng th c Bunhiacôpxki : (m2 + n2)(x2 + y2) ≥ (mx + ny)2 v i m = a , n = c , x = c , y = b ta có : ớ

≥ ac + cb (1)

)

) ( 2 a d d b

= +

(a2 + c2)(c2 + b2) ≥ (ac + cb)2 (cid:222) ( ươ ự ộ T ng t : ≥ ad + bd (2) . C ng (1) và (2) suy ra đpcm.

A x

= - . Vaäy minA

1 4

� � �

21 � � 2 �

- (cid:0) - ờ ả i sai : . 114. L i gi

1 4 1 4

1 4

= -

ứ ư ỉ ườ ả ợ Phân tích sai l mầ : Sau khi ch ng minh f(x) ≥ , ch a ch ra tr ng h p x y ra f(x) =

1 2

ứ ấ ẳ ả ỉ X y ra d u đ ng th c khi và ch khi . Vô lí.

ả ả ờ L i gi i đúng : Đ t n t x = 0.

x ph i có x ≥ 0. Do đó A = x + ax+bx+ab

x ≥ 0. min A = 0 (cid:219) � + � �

� x � �

ể ồ ạ + i + 2 (x a)(x b) x . 115. Ta có

) 2

2 ab

ab x

(cid:0) ấ ẳ ứ Theo b t đ ng th c Cauchy : .

=� x

) 2

ab + (a b) x nên A ≥ 2 ab + a + b = ( ab x > x 0

(cid:0) (cid:0) (cid:0) min A = ( khi và chi khi . (cid:0) (cid:0)

2 = (2x + 3y)2. Nh l ụ (am + bn)2 ≤ (a2 + b2)(m2 + n2)

ứ ớ ạ ấ ẳ ứ i b t đ ng th c Bunhiacôpxki : ể 116. Ta xét bi u th c ph : A (1) ụ ế ớ N u áp d ng (1) v i a = 2, b = 3, m = x, n = y ta có :

2 d

ượ ằ ờ ướ ạ ố α mà A2 ≤ α. Bây gi c h ng s t A i d ng :

ụ ồ r i áp d ng (1) ta có :

2. 2x )

(

)

) y 3

x 2

(2 3)(2x 3y ) 5.5 25

( � � �

� = � �

(cid:0) Vói cách trên ta không ch ra đ A2 = ( + ( A2 = (2x + 3y)2 ≤ (22 + 32)(x2 + y2) = 13(x2 + y2). ỉ ế , ta vi ) 2 3. 3y ( ) �� 3 ��

= = -

�

x y

= x y +

(cid:0) (cid:0) Do A2 ≤ 25 nên 5 ≤ A ≤ 5. min A = 5 (cid:219) (cid:0)

�

= = x y 1

2x 3y 5 = x y + 2x 3y 5

(cid:0) (cid:0) max A = 5 (cid:219) (cid:0)

ề ệ Đ t ặ = y ≥ 0, ta có : y2 = 2 – x. 117. Đi u ki n x ≤ 2.

+ = - = - 2 a 2 y y

��

maxA =

= �

9 9 4 4

9 4

1 2

7 4

2 x- 2 1 � � + � � 2 � �

http://kinhhoa.violet.vn

(cid:219) ề ệ

chuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_6923.doc 118. Đi u ki n x ≥ 1 ; x ≥ 1/5 ; x ≥ 2/3 x ≥ 1. ế ồ Chuy n v , r i bình ph

2 15x 13x 2

- ươ ể ế ng hai v : x – 1 = 5x – 1 + 3x – 2 + (3)

2 15x 13x 2 ế

- ọ ệ ầ Rút g n : 2 – 7x = ề . C n có thêm đi u ki n x ≤ 2/7.

2 = 4(15x2 – 13x + 2) (cid:219)

ươ ng hai v : 4 – 28x + 49x Bình ph 11x2 – 24x + 4 = 0

ả ề x1 = 2/11 ; x2 = 2. ậ ươ ệ ng trình đã cho vô nghi m. ệ ổ ề

- +

- =

x 1 1 2

�

x 1

x 1 1 1

- =

(11x – 2)(x – 2) = 0 (cid:219) ề ỏ ế ng trình bi n đ i thành : - = - - ệ C hai nghi m đ u không th a mãn đi u ki n. V y ph ươ ệ 119. Đi u ki n x ≥ 1. Ph - + + x 1 1

- + x 1

x 1 1 1

�

= x 1 1x 2

- ế ả ộ * N u x > 2 thì : , không thu c kho ng đang xét.

- + - x 1 1

ế ố * N u 1 ≤ x ≤ 2 thì : ệ . Vô s nghi m 1 ≤ x ≤ 2

- + = x 1 1 2 ế K t lu n : 1 ≤ x ≤ 2. + = y ≥ 0 (cid:222) 2 + 7x + 7 ≥ 0. Đ t ặ

2x 7x 7

ậ + ệ x2 + 7x + 7 = y2. ề 120. Đi u ki n : x

2 – 3 + 2y = 2 (cid:219) +

+ = 1 (cid:222)

ươ ở Ph ng trình đã cho tr thành : 3y 3y2 + 2y – 5 = 0 (cid:219) (y – 1)(3y + 5) = 0 (cid:219) ạ ớ y = 5/3 (lo i) ; y = 1. V i y = 1 ta có

2x 7x 7 ỏ

(cid:219) x2 + 7x + 6 = 0 (cid:219) ệ ủ

+ (cid:0) 5(x 1) 9

3(x 1) 4

ị (x + 1)(x + 6) = 0. Các giá tr x = 1, x = 6 th a mãn x + +

2 + 7x + 7 ≥ 0 là nghi m c a (1). = . 9 5 2 = 5 – (x + 1)2 ≤ 5. V y hai v đ u b ng 5, khi đó x = 1. V i giá tr này ằ ậ

4 ế ề ế

25 a 2

ớ ị ậ ẳ ứ ề ở ế 121. V trái : ả ế V ph i : 4 – 2x – x ứ ấ ẳ ả c hai b t đ ng th c này đ u tr thành đ ng th c. K t lu n : x = 1 - (cid:222) - ữ ỉ ế ả = a (a : h u t ) ố ữ . V ph i là s h u 122. a) Gi ả ử 3 s 5 2 6 = a2 (cid:222)

- ỉ ậ ỉ ố là s vô t .

ẽ ứ ừ ộ ỉ ế ố t , v trái là s vô t . Vô lí. V y ự ả ươ ng t b) Gi i t x 2- 123. Đ t ặ

A

; b

(cid:0) (cid:0) ứ ẳ đ ng th c : . câu a. = a, 4 x- + 2 a 1 2 = b, ta có a2 + b = 2. S ch ng minh a + b ≤ 2. C ng t ng v b t ế ấ + 2 b 1 2 ẳ

b

^ ẻ ễ ấ

c

a

B

C

ế ồ ọ

ượ ấ ẳ ể ứ ứ ươ ằ

ộ ườ ẳ ạ ng th ng. ớ ABC = BC.AH. BC v i AH = b. D th y AB.AC ≥ 2S ươ ng hai v r i rút g n, ta đ c b t đ ng th c t 2 ≥ 0. Chú ý : Cũng có th ch ng minh b ng b t đ ng th c Bunhiacôpxki. ng : (ad – bc) ả ử ề ặ 124. Đ t các đo n th ng BH = a, HC = c trên m t đ K HA 125. Bình ph ươ đ 126. Gi ứ bc > a (cid:222)

)

(

�

(cid:222) ng ấ ẳ s a ≥ b ≥ c > 0. Theo đ bài : b + c > a. Suy ra : b + c + 2 ) (

b , c , a l p đ

ộ ạ ậ ậ ượ ộ c thành m t tam giác.

+ +

a b

1 2

� � �

� ab a b � �

� � �

ứ a b a b = (cid:0) ẳ V y ba đo n th ng có đ dài ấ ẳ 127. Ta có a, b ≥ 0. Theo b t đ ng th c Cauchy : + � + 2 (a b) � 2 2 �

4 1 2

� � �

� + +� ab a b �

http://kinhhoa.violet.vn

ứ ầ ế C n ch ng minh : ệ . Xét hi u hai v : ≥ a b b a

chuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_6923.doc

)

( ab a

1 2

1 + + - 2

� + +� ab a b �

� � �

� ab a b � �

� � �

- = = =

1 2

2 � � + � � � �

2 � � �

� � � � � � �

� � � �

- - ≥ 0

1 4

ứ ả ấ ẳ ặ X y ra d u đ ng th c : a = b = ho c a = b = 0.

+ b c a

+ + b c a 2a

� � �

� 1 : 2 � �

(cid:0) ấ ẳ ứ . 128. Theo b t đ ng th c Cauchy :

;

a +

c +

2c + +

b +

2b + +

2a + +

b c a b c

a b a b c

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ ự Do đó : . T ng t :

a c a b c + + 2(a b c) + + a b c

c + a b

a + b c

(cid:0) ế ộ . ừ C ng t ng v :

�

+ + = a b c 0

b + c a = + a b c = + b c a = + c a b

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ứ ả ấ ẳ ớ ả ế X y ra d u đ ng th c : , trái v i gi thi t a, b, c > 0. (cid:0) (cid:0)

ẳ ấ ậ ả

+ -

Ta có :

)

+ 2 x 1 y

2 y 1 x

2 2 y 1 y 1 x

2 x

(

- - (cid:0) - - ứ V y d u đ ng th c không x y ra. ứ ấ ẳ 129. Cách 1 : Dùng b t đ ng th c Bunhiacôpxki. ( .

ượ Đ t xặ c : 1 m = 1 (đpcm).

2 + y2 = m, ta đ ế ừ ả

) ) ( (m – 1)2 ≤ 0 (cid:222) . Bình ph

2 ≤ m(2 m) (cid:222) = - 2 x 1 y

- - ươ ế thi Cách 2 : T gi t : ng hai v :

21 x-

x2(1 – y2) = 1 – 2y + y2(1 – x2) (cid:222) + y2

0 = (y x2 + y2 = 1 .

x2 = 1 – 2y (cid:222) 21 x- 1 ≤ x ≤ 2 .

21 x- ụ 130. Áp d ng | A | + | B | ≥ | A + B | . 131. Xét A2 = 2 + 2

21 x-

2 1 y 1 x 21 x- )2 (cid:222) y = min A = 2 (cid:219) ≤ 1 (cid:222) 21 x-

21 x-

. Do 0 ≤ 2 ≤ 2 + 2 ≤ 4

(cid:222)

+ 2 (a c)

+ 2 2 a b

+ -

(cid:0) ấ ẳ ụ ứ (bài 23) 132. Áp d ng b t đ ng th c : 2 ≤ A2 ≤ 4. min A = 2 v i x = ± 1 , max A = 2 v i x = 0. ớ + 2 2 c d ớ + 2 (b d)

+ 2 2 x 1

+ 2 2 (1 x) 2

+ + 2 (x 1 x)

- (cid:0)

minA

�

= 2 (1 2) 1 3

- .

4x 12 0

�

� � � 1 x 3

�

+ 2 x + 2

1 x x + (x 2)(6 x) 0 � + (x 1)(3 x) 0

+ (cid:0) x 2x 3 0

(cid:0) - (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) - ậ ị (1) 133. T p xác đ nh : - (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ệ Xét hi u : ( x

2 + 4x + 12)( x2 + 2x + 3) = 2x + 9. Do (1) nên 2x + 9 > 0 nên A > 0. ) 2

2 ≥ 0 nh ng d u “ = ” không x y

+ (x 1)(3 x)

(x 2)(6 x)

- - - ể ấ ư ả Xét : . Hi n nhiên A

( ra (vì A > 0). Ta bi n đ i A

2 d

ế ổ ướ ạ i d ng khác :

http://kinhhoa.violet.vn

- - = A2 = (x + 2)(6 – x) + (x + 1)(3 – x) 2 (x 2)(6 x)(x 1)(3 x)

chuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_6923.doc

- - = (x + 1)(6 – x) + (6 – x) + (x + 2)(3 – x) – (3 – x) 2 (x 2)(6 x)(x 1)(3 x)

- - + 3 = (x + 1)(6 – x) + (x + 2)(3 – x) 2 (x 2)(6 x)(x 1)(3 x)

(x 1)(6 x)

+ + (x 2)(3 x)

) 2 ớ

- - - .

= ( A2 ≥ 3. Do A > 0 nên min A = 3 v i x = 0.

2 ≤ 5.

ệ

ứ ề 134. a) Đi u ki n : x ị ớ * Tìm giá tr l n nh t ấ : Áp d ng b t đ ng th c Bunhiacôpxki : ấ ẳ 2 ụ A2 = (2x + 1. )2 ≤ (22 + 11)(x2 + 5 – x2) = 25 (cid:222) A2 ≤ 25.

2 5 x

x 0 =

��

2 4(5 x )

�

= x 2

5 x- x 2 � � 2 x

2 x � � 2 x

(cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) - . (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ớ ậ V i x = 2 thì A = 5. V y max A = 5 v i x = 2. ư ả ỏ ằ ấ : Chú ý r ng tuy t

ủ ậ 5 ≤ x ≤ 5 . Do đó : 2x ≥ 2 5 và

5 x-

ớ ớ ừ 2 ≤ 25, ta có – 5 ≤ x ≤ 5, nh ng không x y ra A 2 ≤ 5 (cid:222) ≥ 2 5 . Min A = 2 5 v i x =

ứ ứ

= 2 x (99 1)(99 101 x )

(

ấ ẳ + - (cid:0) - - ≥ 0. Suy ra :A = 2x + ụ ể + x 99. 99 1. 101 x b) Xét bi u th c ph | A | và áp d ng các b t đ ng th c Bunhiacôpxki và Cauchy : < 2 x .10. 200 x ị * Tìm giá tr nh nh t A2 = 5. Do t p xác đ nh c a A, ta có x ị 5 x- ụ )2

10.

1000

2 x 200 x 2 x 101

A 1000

�

99 1 =

2 x

2 101 x 2 200 x

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) . Do đó : 1000 < A < 1000. - (cid:0) (cid:0) - (cid:0)

)

ớ

+ x y

= + a

ay x

. 135. Cách 1 : A = x + y = 1.(x + y) = ớ bx y

2 ab

ay bx . y x

bx y

(cid:0) ứ ấ ẳ ớ ng : . min A = 1000 v i x = 10 ; max A = 1000 v i x = 10. � �+ a b ( � � x y � � ay x

(

+ + A a b 2 ab

(cid:0) ố ươ Theo b t đ ng th c Cauchy v i 2 s d ) 2 Do đó .

bx y

= (cid:0) 1

(

) 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

min A

x � � y

= + a = + b

ay x a b � � x y > x, y 0

v i ớ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ấ ẳ ứ

Cách 2 : Dùng b t đ ng th c Bunhiacôpxki : http://kinhhoa.violet.vn

chuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_6923.doc

(

)

A (x y).1 (x y)

a x

b y

� � � b + � � � y � � �

2 � � �

(cid:0) .

+ +

ị ừ ượ ấ ủ ỏ c giá tr nh nh t c a A.

(cid:0)

2 1.

T đó tìm đ 136. A = (x + y)(x + z) = x2 + xz + xy + yz = x(x + y + z) + yz 2 xyz(x y z) ẳ ạ min A = 2 khi ch ng h n y = z = 1 , x =

yz x

xy yz . x z

(cid:0) ấ ẳ ứ . 137. Theo b t đ ng th c Cauchy :

2z ;

yz x

zx y

xy z xy z

(cid:0) (cid:0) ươ ự T ng t : . Suy ra 2A ≥ 2(x + y + z) = 2.

1 3

ớ min A = 1 v i x = y = z = .

y + y z

+ + x y z 2

(cid:0) ậ ấ ẳ ứ . Theo b t đ ng th c Cauchy : 138. Theo bài t p 24 :

xy ;

yz ;

zx nên

x + x y + y z 2

z + z x + z x 2

+ x y 2

x+y+z 2

yz 2

1 = . 2

�

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

1 3

1 2 +

2 =

(

)

(

= = = )

2a 2b

(cid:0) - (cid:0) min A = ) ( . 139. a)

��(cid:0)

max A 2

= = b

(cid:0) (cid:0)

1 2

+ 2

(cid:0) (cid:0)

)

(

)

(

a + = a b 1 ) 4 =

2(a

6ab)

(cid:0) - b) Ta có : (

2(a

6ac) ;

2(a

6ad)

(cid:0) (cid:0)

+ 2 ) )

( (

2(b

6bc) ;

2(b

6bd)

(cid:0) (cid:0) ươ ự T ng t :

b ( ( (

a ) ) )

2(c

6cd)

(cid:0)

��(cid:0)

max B 6

= = = = c

(cid:0) Suy ra : B ≤ 6(a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd) = 6(a + b + c + d)2 ≤ 6 = (cid:0)

1 4

c b a + + + = a b c d 1

+ x y

(cid:0) (cid:0)

= A 3

2 3

2. 3

2. 3 .3 ổ

3 ấ

(cid:0) ớ

. min A = 18 v i x = y = 2. ừ ả ế ả ử t suy ra : thi 140. 141. Không m t tính t ng quát, gi

+ (cid:0) b c

. s a + b ≥ c + d. T gi + + + a b c d 2

b + c d

+ b c + c d

c + a b

+ + + a b c d + 2(c d)

+ c d + c d

+ c d + a b

� � �

c + a b ớ

- - (cid:0) - -

c + c d Đ t a + b = x ; c + d = y v i x ≥ y > 0, ta có :

http://kinhhoa.violet.vn

ặ

+ x y 2y

y - + y

y = x

y x

1 2

x y - = . 2y x

1 2

chuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_6923.doc � x y + = � 2y x �

� � �

(cid:0) - (cid:0) -

�

� ; ch ng h n khi ẳ

min A

= 0 , x

y 2 , b c

+ a d

= d

x 1 + - + 1 2 2y 1 2

- ạ

+ 2 1, b

= 2 1,c

= 2,d

+ 2

( x

a = 2 3)

(x 3) ươ

- - 142. a)

0 ng hai v , đ a v : (x

2 .

ế ư ề ố ố . Đáp s : x = 3. 2 + 8)(x2 – 8x + 8) = 0. Đáp s : x = 4 + 2

ả ớ ế ế ệ ơ . V ph i l n h n v trái. Vô nghi m.

x 1

ươ ế ố ế - - . Bình ph ng hai v . Đáp s : x = 1. b) Bình ph ố c) Đáp s : x = 20. + - = + d) x 1 x 1 2 ể e) Chuy n v :

ươ ố ế ng hai v . Đáp s : ≤ x ≤ 1 g) Bình ph

- + y 2

y 3

- = + x 2 x 1 1 1 2 = y. Đ a v d ng =

- ấ ẳ ứ ế = 1. Chú ý đ n b t đ ng th c : h) Đ t ặ

3 y

x 2- - + - y 2

(cid:0) ượ ố ư ề ạ - + - y 2 3 y . Tìm đ c 2 ≤ y ≤ 3. Đáp s : 6 ≤ x ≤ 11.

1 x

= - 1

16 25

- ồ ươ ế ạ , r i bình ph ng hai v . Đáp : x = 0 (chú ý lo i x = )‌ ế ể i) Chuy n v :

16 25

.‌ k) Đáp s : ố

ề ệ ặ ươ ọ l) Đi u ki n : x ≥ 1 ho c x = 1. Bình ph

- - .

1 (x + 1)2(x – 1)(7x + 25) = 0

= -

ươ Bình ph ế ng hai v : 8(x + 1) ế ồ ng hai v r i rút g n : = + 2 2 2(x 1) (x 3)(x 1) x 2(x + 3)(x – 1) = (x + 1)2(x – 1)2 (cid:219)

25 7

ệ ạ lo i. Nghi m là : x = ± 1.

ơ ớ ớ ệ

ệ ế ề ơ ế ươ ệ

ng trình vô nghi m. ệ ng hai v , xu t hi n đi u ki n x ≤ 1. Nghi m là : x = 1. ặ ằ ề ỏ ơ ươ ệ ả ặ ằ ớ

ng trình.

2x 3

x 2 = + 2

+ - y ; 2x 2 +

+ = x 2 + = +

ế ỏ + + (1). Ta có : ả ế m) V trái l n h n x, v ph i không l n h n x. Ph ấ n) Đi u ki n : x ≥ 1. Bình ph ơ ế ằ ế o) Do x ≥ 1 nên v trái l n h n ho c b ng 2, v ph i nh h n ho c b ng 2. Suy ra hai v b ng ươ 2, khi đó x = 1, th a mãn ph + = p) Đ t ặ

- . Suy ra y – z = 1.

x 2

ừ ố ạ

1 2 x 2 ; y z 1 2 x 2 + (2). T (1) và (2) tính đ ượ 2 – 9x + 4 = a ≥ 0 ; 2x – 1 ≥ b ≥ 0. Ph

+ a 15b

3 b

c x. Đáp s : x = 2 (chú ý lo i x = 1). + ươ ng trình là : . Bình T đó ừ ặ q) Đ t 2x

a 1 2

(

)

ươ ế ồ ọ ượ ặ ố ph ng hai v r i rút g n ta đ c : b = 0 ho c b = a. Đáp s :

+ - k 1

( + +

(

)

+ - k 1 ) (

1 k

2 2 k

+ k 1

; 5 ) + - k 1

k 1

. 144. Ta có :

+ + ...

- + 2( 2 1) 2( 3

+ 2) 2( 4

+ + 3)

+ - ... 2( n 1

n )

1 3

1 n

1 2 http://kinhhoa.violet.vn

- - ậ V y : =

+ -

chuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_6923.doc = 2( n 1 1) i d u căn v d ng các bình ph

ng đúng. M = 2

ư ụ ể ứ ở ẫ ừ ạ ề ạ ả ử ế . K t qu : A = ứ ướ ấ m u t ng h ng t (đpcm). ươ n 1.

= -

�

+ ( a

+ a 1)

= - P

+ ( 2

+ 2n 1)

150. Đ a các bi u th c d 151. Tr c căn th c 1 . 152. Ta có : -

ố ữ ỉ ứ ả ằ ả

=� A

9 10

+ a 1 ứ P không ph i là s h u t (ch ng minh b ng ph n ch ng). 1 n

1 + n 1

+ + ...

- ứ 153. Ta hãy ch ng minh :

1 2

1 3

1 4

1 + + (n 1) n 1 n ổ

n n 1 1 n ứ

. 154.

ừ ơ ố ế ặ ổ 155. Ta có a + 1 = 17 . Bi n đ i đa th c trong ngo c thành t ng các lũy th a c s a + 1

- =

A = [(a + 1)5 – 3(a + 1)4 – 15(a + 1)3 + 52(a + 1)2 – 14(a + 1)]2000 = (259 17 225 17 34 17 1)2000 = 1.

- = a 1

;

a 2

a 3

a 1

a 3

- - - ổ . ế 156. Bi n đ i : - -

- + + - 2 x

+ = x

1 + = x 2

1 4

1 2

1 � � � + � � � 2 � � �

- - - (cid:0) . 157.

và

1 2

- + a 2 2 � � � 1 = . 2

ể ả ấ ờ ồ D u “ = “ không x y ra vì không th có đ ng th i :

+ (cid:0) a b

2(a

2 b )

ướ ế ứ c h t ta ch ng minh : (*) (a + b ≥ 0) 168. Tr

- + x 1

y 2

- + - 2(x 1 y 2)

- (cid:0) ụ Áp d ng (*) ta có :

- = -

x 1 y 2

max S

= �� 2

+ =

x y

3 2 5 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

2 r i áp d ng b t đ ng th c Cauchy. ấ ẳ

ụ ứ ồ ể * Có th tính S

= - 2

3 x

- ả ễ ấ ứ ể . Ta có : 180. Ta ph i có | A | ≤ 3 . D th y A > 0. Ta xét bi u th c :

�

3 x

� � 3

3 x

� � 0

3 x

� . 2

1 A � 2

- - - - - - -

max A

= + 2

�

= - min B 2

= 3

3 x

= x

- . Khi đó (cid:219) -

= 2

�

� � . Khi đó min A =

max B 2

3 x

= x

1 2

(cid:219) -

- ấ ẳ ụ ứ ể ể . Khi đó : ứ 181. Đ áp d ng b t đ ng th c Cauchy, ta xét bi u th c : -

(1)

B 2

2 2 . B 2 2

1 x x 1 x x

2x 1 x . 1 x

< <

2x 1 x 2x 1 x 0

x 1

(2)

http://kinhhoa.violet.vn

- (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) - (cid:0) (cid:0)

chuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_6923.doc Gi

2 = (1 – x)2 (cid:219)

ả i (1) : 2x | x 2 | = | 1 – x |. Do 0 < x < 1 nên x 2 = 1 – x (cid:219)

2 1

- (cid:0) x = .

1 + 2 1 2 (cid:219)

- +

ư ậ Nh v y min B = 2

= + =

- = A B

2 1 3

1 x

1 1 x x

2x + 1 x

2 � + � 1 x �

1 x � = � x � ỉ

2 1. ả

- - - ờ ệ Bây gi ta xét hi u : - - - x = 2 1. 2 2x + 1 x

ấ ẳ ộ ổ ứ ệ ề

+ (cid:0) a b

2(a

2 b )

� � � � � � Do đó min A = 2 2 + 3 khi và ch khi x = 182. a) Đi u ki n : x ≥ 1 , y ≥ 2. B t đ ng th c Cauchy cho phép làm gi m m t t ng : + a b 2

(cid:0) ấ ẳ ộ ổ Ở ứ ố đây ta mu n làm tăng m t t ng. Ta dùng b t đ ng th c : .

- + x 1

y 2

max A

- = - + =

� = ��

- + - 2(x 1 y 3) 2 = x 1,5 � � = 2,5 y �

- (cid:0)

x 1 y 2 x y Cách khác : Xét A2 r i dùng b t đ ng th c Cauchy.

ấ ẳ ứ ồ

+ a b 2

(cid:0) ấ ẳ ứ ệ ề ộ ộ b) Đi u ki n : x ≥ 1 , y ≥ 2. B t đ ng th c Cauchy cho phép làm tr i m t tích :

2(y 2)

- =

x 1 , y 2

- = x 1

1.(x 1) , y 2

+ -

- - - - ứ ể Ta xem các bi u th c là các tích :

x 1 x

- - (cid:0) ấ ẳ ứ Theo b t đ ng th c Cauchy :

1.(x 1) x 2.(y 2)

y 2 y

y 2

1 2 1 2 2

max B

- = x 1 1 - = 2 y 2

2 4

1 = + 2

2 4

1 x 1 2x + - 2 y 2 2y 2 � ��

2 4 = x � � = y �

, b

- - (cid:0)

1997

1996

1998

1997

1 +

1997

1996

1998

1997

. Ta th y ấ 183.

Nên a < b.

6 .

ớ ớ v i x = ± 184. a) min A = 5 2 6 v i x = 0. max A =

1 5 ớ

5 . max B = 5 v i x = 1

+ -

ớ b) min B = 0 v i x = 1 ±

2 x (1 x )

2 (1 x ) = 2

1 2

- (cid:0) . 185. Xét – 1 ≤ x ≤ 0 thì A ≤ 0. Xét 0 ≤ x ≤ 1 thì

��(cid:0)

max A

= - >

2 2

(cid:0)

1 x 0

x x

(cid:0)

1 2 ấ

2 l n nh t. Theo bđt Bunhiacôpxki :

http://kinhhoa.violet.vn

ớ ấ ớ 186. A = | x – y | ≥ 0, do đó A l n nh t khi và chi khi A

= 2

A (x y)

.2y

= 2 4y )

1 4

1 2

5 4

chuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_6923.doc 2 � � � + + 2 (x 1 � � � � � �

� 1.x � �

- - (cid:0)

= -

2 5 5

�

max A =

5 2

1 2 2

= -

2y = -� x � � 2 x

x � � � y

5 10

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ho c ặ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

�

� x

ị ớ ừ ả ấ : T gi thi t : 187. a) Tìm giá tr l n nh t ế 3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

0 � 0

x 1 y 1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

x � y =

��(cid:0)

max A 1

0, y 1 V x 1, y

(cid:0) (cid:0)

+ x y 2

)

(cid:0) ị ỏ ấ : (x + y)2 ≤ 2(x2 + y2) = 2 (cid:222) x + y ≤ . Do đó :

) (

+ x y

b) Tìm giá tr nh nh t ( (cid:0) ấ ẳ ứ . Theo b t đ ng th c Bunhiacôpxki :

)

(

)

(

y )(x y)

3 x . x

3 y . y

� � �

( ��

2 � � �

�

min A

= = y

2 2

1 2

= , ta có a, b ≥ 0, a + b = 1.

(cid:0) = (x2 + y2) = 1

a ; y

x A = a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) = a2 – ab + b2 = (a + b)2 – 3ab = 1 – 3ab.

188. Đ t ặ

2 = -

= =

(cid:0) =

(cid:219) ặ ặ a = 0 ho c b = 0 x = 0 ho c x = 1, y = 0.

1 3ab

. min A

1 4

Ta có

- + 1 x

(x 1)(x 2)

x 2

ề ệ Ta có : Do ab ≥ 0 nên A ≤ 1. max A = 1 (cid:219) + (a b) 1 � � � � ab 4 4 189. Đi u ki n : 1 – x ≥ 0 , 2 – x ≥ 0 nên x ≤ 1. - - - - - -

- + 1 x

(x 1)(x 2)

= (x 1)(x 2)

= - 3

x 1 = x 2 - = � 3

(cid:219) - - - - -

1 x ớ

� ậ

8 . ươ ng trình

ọ

+ = y ≥ 0, ph

2x 3

ị ủ ươ ặ ạ ọ ớ ị 190. Ta có : 6 + 4x + 2x2 = 2(x2 + 2x + 1) + 4 = 2(x + 1)2 + 4 > 0 v i m i x. V y ph + xác đ nh v i m i giá tr c a x. Đ t ng trình có d ng :

y 3 2 = -

2 2 (loai vì y 0

(cid:0) (cid:0) y2 y 2 12 = 0 (cid:219) (y 3 2 )(y + 2 2 ) = 0 (cid:219) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

y (x – 3)(x + 5) = 0 (cid:219)

+ = 3 2 (cid:219)

2x 3

http://kinhhoa.violet.vn

Do đó x2 + 2x + 3 = 18 (cid:219) x = 3 ; x = 5 .

1 + (k 1)k

1 + k 1

1 � � k �

1 + k 1

� 1 � + = k � � � � k

�� 1 �� k ��

� � �

- -

1 + k 1

k + k 1

1 + (k 1) k

1 + k 1

� � �

� 1 � k �

� . � �

chuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_6923.doc 191. Ta có : 1 + (k 1) k � 1 � �

�� 1 �� k � �

- - . Do đó : =

+ + ...

... 2

1 2

1 4 3

1 + (n 1) n

1 2

1 + n 1

� 2 1 � �

� + � �

� 1 � n �

� � �

� 1 � 2 �

� 1 + + � 3 �

- - - ậ V y :

� 2 1 � �

1 3 2 � 1 < �+ n 1 �

- = (đpcm).

1 ab

ấ ẳ ứ 192. Dùng b t đ ng th c Cauchy

ặ 193. Đ t x – y = a , Q .

x , y ˛

ế a) N u b = 0 thì x = y = 0, do đó

�

= y

2 + (a, b > 0 ; a ≠ 0). a b x + y = b (1) thì a, b ˛ Q . a b

a b

x y + x

- - ế b) N u b ≠ 0 thì Q (2).

�

Q ;

1 2

a � � � � b � �

1 2 =

a � � + � � b � � + +

- ừ T (1) và (2) : .

)

) (

(

- . Do đó : ậ 199. Nh n xét :

)

(

) (

5 �

)

(

(1)

2 x

5a + 2

�� x a + > x

+ = x

+ (cid:0) x

Do a ≠ 0 nên : . Suy ra :

x x

+ a + > , " x. 0 0 >

)

2 x

( (cid:0)+� � + - a x 5

3 x

0 2

25x

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:219) ậ Vì v y : (1) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0)� (cid:0)

3 4

< (cid:0) x

(cid:0) (cid:0) (cid:0) .

(cid:0)

1 x+

1 2 a(1 a)

- ướ ế ượ c h t tính x theo a đ c . Sau đó tính đ c ượ . 207. c) Tr - -

3 4 1 2a 2 a(1 a) Đáp s : B = 1. ươ

ố ự ng t : d) Ta có a2 + 1 = a2 + ab + bc + ca = (a + b)(a + c). T ố b2 + 1 = (b + a)(b + c) ; c2 + 1 = (c + a)(c + b). Đáp s : M = 0.

+ 2x 4 x

http://kinhhoa.violet.vn

ọ ế ứ ề ả . Suy ra đi u ph i ch ng minh. 208. G i v trái là A > 0. Ta có

chuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_6923.doc

1 2

3 = . 2

= -

nên : a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab = 1 + 209. Ta có : a + b = 1 , ab =

1 4 9 4

1 - = 9

17 8

3 4

7 4

a4 + b4 = (a2 + b2)2 – 2a2b2 = ; a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = 1

) 1

7 17 . 4 8

239 64

1 � � ( - = - � � 64 � �

= - 2

- - - Do đó : a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) – a3b3(a + b) = .

( 2 1) = 3

= 3 2 2 = 3

9 - +

- =

- - . 210. a)

( 2 1)

- = 2 2 6 3 2 1 5 2 7

- - .

˛ ớ ể N : (1 2 )n = A B 2 ; (1 + 2 )n = A + B 2 v i A, B

2 – 2B2 = 1 (2).

ẻ thì A ờ

- ề ệ . Đi u ki n

2 – 2b2 = 1 (1). N u n l n. Có hai tr ườ : an = ( 2 1)n = (1 2 )n = A B 2 = c th a mãn do (1).

ỏ

A-

ẻ ề ệ . Đi u ki n

ỏ c th a mãn do (2).

2 + 2a + b 2 + c = 0

ươ ng trình đã cho : 2 b) Theo khai tri n Newton Suy ra : A2 – 2B2 = (A + B 2 )(A B 2 ) = [(1 + 2 )(1 2 )]n = ( 1)n. ế ẵ ế N u n ch n thì A ợ ng h p : ta xét a Bây gi ẵ ế * N u n ch n thì A2 – 2B2 = 1 đ ượ : an = ( 2 1)n = (1 2 )n = B 2 A = ế * N u n l thì 2B2 – A2 = 1 đ ượ 211. Thay a = 2 vào ph (cid:219) 2 (b + 2) = (2a + c). ữ ỉ ả ươ ng trình Do a, b, c h u t nên ph i có b + 2 = 0 do đó 2a + c = 0. Thay b = 2 , c = 2a vào ph đã cho :

+ + ...

ươ x(x2 – 2) + a(x2 – 2) = 0 (cid:219) ng trình đã cho là: ± (x2 – 2)(x + a) = 0. 2 và a.

. 212. Đ t ặ x3 + ax2 – 2x – 2a = 0 (cid:219) ệ 1 n

- ỗ ố ạ ả ứ a) Ch ng minh : Làm gi m m i s h ng c a A : Các nghi m ph 1 1 2 3 A 2 n 3

)

2 +

. ủ (

> ) + -

+ - k 1 (

)

1 k > A 2

2 + + k 1 ( + 3

= k ) + + - 4 ...

= n 1

( � �

� �

+ -

+ - >

+ 2 ) =

+ - n 1

> 2 n 1 2 2

2 n 1 3 2 n 3

- Do đó ( .

- ứ b) Ch ng minh

)

2 +

k 1

ộ ỗ ố ạ : Làm tr i m i s h ng c a A : 2 - - ủ ( -

(

2 )

k 1 )

< A 2

< k ) + + ...

+ 2

n 1

2 n

< A 2 n 1 = k ( � �

� �

- - - - - Do đó : .

+ +

6 ... <

6 + =

+ =

3 ; a

+ 6 a

6 3

3 ; a

+ 6 a

6 3

3 ... a

+ 6 a

6 3

100

ấ có n d u căn. Ta có : 213. Kí hi u ệ

100 < 3, do đó [ a100 ] = 2.

1 2 a100 > 6 > 2. Nh v y 2 < a Hi n nhiên

http://kinhhoa.violet.vn

ư ậ ể

2 = (2 + 3 )2 = 7 + 4 3 . ậ

2 ] = 13.

chuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_6923.doc ự ế 214. a) Cách 1 (tính tr c ti p) : a nên 6 < 4 3 < 7 (cid:222) Ta có 4 3 ế Cách 2 (tính gián ti p) : Đ t x = (2 +

ặ

ể ứ Xét bi u th c y = (2 13 < a2 < 14. V y [ a 3 )2 thì x = 7 + 4 3 . 3 )2 thì y = 7 4 3 . Suy ra x + y = 14.

3 < 1 nên 0 < (2 3 )2 < 1, t c là 0 < y < 1.

ễ ấ ứ D th y 0 < 2 Do đó 13 < x < 14.

2 ] = 13.

ứ ậ V y [ x ] = 13 t c là [ a ố

ườ ố ữ ỉ Xét hai tr ợ ng h p : b) Đáp s : [ a ặ 215. Đ t x – y = a ;

�

= y

= (1) thì a và b là s h u t . a b

a b

3 ] = 51. x x y + x

- - ế ố ữ ỉ ừ là s h u t (2). T (1) và (2) ta có : a) N u b ≠ 0 thì

1 2

a � � -� � b b � �

a � � +� � b b � � ể

ố ữ ỉ là s h u t ; ố ữ ỉ là s h u t .

1 2 ố ữ ỉ x , y là s h u t .

ế b) N u b = 0 thì x = y = 0, hi n nhiên

n + n(n 1)

1 + n 1

1 + (n 1) n

1 + n 1

1 � � n �

1 � � + = n � � n � �

1 �� n ��

1 � = � + n 1 �

- - 216. Ta có

� 1 � �

�� 1 �� n � � ả

1 + n 1 ứ

- - ừ . T đó ta gi c bài toán. ả ượ i đ

� � � nhiên đã cho, không có hai s nào

ố ự ứ

ổ

....

n + n 1 ằ 217. Ch ng minh b ng ph n ch ng. Gi ấ ằ b ng nhau. Không m t tính t ng quát, gi 1 1 a a

1 1 � � < 2 � � + n 1 n � � ố ả ử s trong 25 s t ả ử 1 < a2 < …. < a25. Suy ra : a1 ≥ 1 , a2 ≥ 2 , … s a 1 1

1 25

1 2

1 a

....

+ < 1

2 +

1 25

1 24

2 1 2

1 1

(cid:0) ế ạ a25 ≥ 25. Th thì : (1). Ta l i có :

(

....

+ 24

+ + 23 ....

) + = 1

2 +

- - -

2 (

+ = 1 2 ) + =

1 9

....

- (2)

< , trái v i gi ả

1 a

1 a nhau trong 25 s aố 1 , a2 , … , a25.

ớ ế ậ ồ ạ ố ằ ừ thi t. V y t n t i hai s b ng T (1) và (2) suy ra :

= (cid:0) a

= (cid:0) x

0 ; 2 2

b 0 2

- ề ệ ặ . 218. Đi u ki n : 0 ≤ x ≤ 4. Đ t

a + 2 a

b 2 b

ươ , a2 + b2 = 4. Ph ng trình là : Ta có : ab = 4 x- -

(cid:222)

http://kinhhoa.violet.vn

(cid:222) a2 2 a2b + b2 2 + ab2 = 2 (2 b 2 + a 2 ab) 2 (a2 + b2 – 2 + ab) – ab(a – b) = 2(a – b) 2 (2 + ab) = (a – b)(2 + ab) (chú ý : a2 + b2 = 4) a – b = 2 (do ab + 2 ≠ 0)

chuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_6923.doc 2 + b2 – 2ab = 2 (cid:222) Bình ph

= 2

1 x

ươ ượ 2ab = 2 (cid:222) ng : a ab = 1 (cid:222) = 1. Tìm đ 4 x- - - ề ệ ươ ế ồ ọ ng hai v r i thu g n : . 219. Đi u ki n : 0 < x ≤ 1 , a ≥ 0. Bình ph c x = 3 . a 1 + a 1

2 a a 1+

ớ ươ ế ố ượ V i a ≥ 1, bình ph ng hai v , cu i cùng đ c : x = .

ấ ẳ ứ ề ệ ỏ Đi u ki n x ≤ 1 th a mãn (theo b t đ ng th c Cauchy).

2 a a 1+

ế ệ ậ ớ K t lu n : Nghi m là x = . V i a ≥ 1.

ế ươ ế ể ng t 220. N u x = 0 thì y = 0, z = 0. T

2y 2 y

(cid:0) ừ ệ ươ T h ph ng trình đã cho ta có : . ự ố ớ đ i v i y và z. N u xyz ≠ 0, hi n nhiên x, y, z > 0 2y + 1 y

z ; ế

(cid:0) (cid:0) ả ấ ở ấ ẳ ứ ự ng t . Suy ra x = y = z. X y ra d u “ = ” các b t đ ng th c trên

ệ ậ ươ T ớ v i x = y = z = 1. K t lu n : Hai nghi m (0 ; 0 ; 0) , (1 ; 1 ; 1).

7 )7. Đ ch ng minh bài toán, ch c n tìm s B sao cho 0 < B <

1 10

ể ứ ỉ ầ ố ặ 221. a) Đ t A = (8 + 3

ố ự

7 . Ta có 8 + 3 7 > 10 suy ra :

ọ ễ ấ và A + B là s t Ch n B = (8 3

(

) 7 <

�

8 3 7

1 10

(

)

8 3 7

- nhiên. 7 )7. D th y B > 0 vì 8 > 3 1 10

7 )7 = a + b 7 v i a, b

˛ ớ i có : A = (8 + 3 N.

ố ự nhiên. ể ạ Theo khai tri n Newton ta l B = (8 3 7 )7 = a b 7 . Suy ra A + B = 2a là s t

1 10

ố ự ề ả ấ ẩ và A + B là s t ữ ố nhiên nên A có b y ch s 9 li n sau d u ph y. Do

n là s t

nh câu a. ố ả ươ i t ấ ươ ố ự ố ươ ng thì nhiên, n u n khác s chính ph ng thì Chú ý : 10 7 = 0,0000001. ự ư ng t b) Gi ớ 222. Ta th y v i n là s chính ph

n không có d ng ạ

ứ ớ ỉ ố ấ N* có duy nh t m t ộ ế ỗ ố ˛ ....,5 . Do đó ng v i m i s n

n l n l ươ

n là s vô t , nên n nh t.ấ ố s nguyên a ấ ằ Ta th y r ng, v i n b ng 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … thì a ố ố ằ r ng a ấ b t ph

n g n ầ ớ n b ng 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, … Ta s ch ng minh ầ ượ t nh n các giá tr : hai s 1, b n s 2, sáu s 3… Nói cách khác ta s ch ng minh ng trình :

ằ ằ ẽ ứ ẽ ứ ậ ố ố ị

< + x 1

ệ ự có hai nghi m t nhiên.

< + x 2

ệ ố ự có b n nghi m t nhiên.

< + x 3

1 - < 2 1 - < 2 1 - < 2

1 2 1 2 1 2

http://kinhhoa.violet.vn

ệ ự có sáu nghi m t nhiên.

chuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_6923.doc

< + x k

1 - < 2

1 2

ổ ệ ự ậ ậ ấ ẳ ứ ươ T ng quát : có 2k nghi m t nhiên. Th t v y, b t đ ng th c t ng

2 – k +

1 4

ươ ấ ươ ệ ự đ ớ ng v i : k < x < k2 + k + . Rõ ràng b t ph ng trình này có 2k nghi m t

+ + ...

= 2.44 88

nhiên là : k2 – k + 1 ; k2 – k + 2 ; … ; k2 + k. Do đó :

1 a 1

1 a 2

a 1980

1 1 1 1 + + + 2 2 2 2 1 44 2 4 43 4 soá

� � � � 1 1 � � + + � � � 1 1 { � � � � � � 2 soá

� � � � 1 1 1 + + + ... � � 44 44 44 1 4 44 2 4 4 43 � � � � 88 soá

� � = � � �

ng t ả ươ i t

n ] = 1.

n ] = 2.

ậ b) 2 ≤ an ≤ 3. V y [ a

2 = 1936 < 1996 < 2025 = 452, còn 462 = 2116. a1 = 1996 = 44 < a1 < 45.

ự bài 24. 223. Gi ậ a) 1 < an < 2. V y [ a ấ c) Ta th y : 44

n < 46. ớ

n ] = 44, v i n ≥ 2 thì [ a

n ] = 45.

ỏ ớ v i n ≥ 2 thì 45 < a

ể ượ ả ộ nhiên B sao cho B ≤ A < B + 1. Làm gi m và làm tr i A đ đ ố c hai s ố ự ế ứ Hãy ch ng t ư ậ ớ Nh v y v i n = 1 thì [ a ầ 224. C n tìm s t ự nhiên liên ti p. t

+ < 4n + 2

+ 216n 8n 3

Ta có : (4n + 1)2 < 16n2 + 8n + 3 < (4n + 2)2 (cid:222) 4n + 1 <

+ < 4n2 + 4n + 2 < 4n2 + 8n + 4

(cid:222) 4n2 + 4n + 1 < 4n2 +

+ < (2n + 2)2.

+ 216n 8n 3 + 216n 8n 3

(cid:222) (2n + 1)2 < 4n2 +

ấ ậ ậ L y căn b c hai : 2n + 1 < A < 2n + 2. V y [ A ] = 2n + 1. ể ứ ề ệ ỏ ỉ 225. Đ ch ng minh bài toán, ta ch ra s y th a mãn hai đi u ki n : 0 < y < 0,1 (1). ậ ằ ố ộ ố ự nhiên có t n cùng b ng 2 (2).

(

- - ệ ề ượ x + y là m t s t ) 200 < 0,3 nên 0 < y < 0,1. Đi u ki n (1) đ c ọ Ta ch n y = . Ta có 0 < 3

100

+ =

200 =

100 +

ứ ằ ậ nhiên có t n cùng b ng 2. Ta có : ứ ch ng minh. ờ Bây gi

)

(

)

(

)

x y

+ 5 2 6

5 2 6

- - .

6 , b = 5 2 6 .

ể ộ ố ự ta ch ng minh x + y là m t s t ) ( ( 200 n = an + bn v i a = 5 + 2 ớ ứ ổ Xét bi u th c t ng quát S

2 10X + 1 = 0, t cứ

ổ ằ ươ ủ ệ ằ ng trình X

n+2 = 10Sn+1 – Sn , hay Sn+2 (cid:0) Sn+2 (cid:0)

Sn = (5 + 2 6 )n = (5 2 6 )n A và b có t ng b ng 10, tích b ng 1 nên chúng là nghi m c a ph là : a2 = 10a – 1 (3) ; b2 = 10b – 1 (4). Nhân (3) v i aớ n , nhân (4) v i bớ n : an+2 = 10an+1 – an ; bn+2 = 10bn+1 – bn. Suy ra (an+2 + bn+2) = 10(an+1 + bn+1) – (an + bn), ứ t c là S Sn+1 (mod 10) Do đó Sn+4 (cid:0) Sn (mod 10) (5)

2 , S3 , … , Sn là s t

0 , S4 , S8 , … , S100 có t n cùng b ng 2, ừ c ch ng minh. T

125

)

(

)

5 2 6

http://kinhhoa.violet.vn

ằ ậ ứ ượ ệ ề ậ ổ Ta có S0 = (5 + 2 6 )0 + (5 2 6 )0 = 1 + 1 = 2 ; S1 = (5 + 2 6 ) + (5 2 6 ) = 10. ố ự ứ ừ T công th c (5) ta có S ứ t c là t ng x + y là m t s t ề (1) và (2) suy ra đi u ph i ch ng minh. nhiên, và S ộ ố ự ằ nhiên có t n cùng b ng 2. Đi u ki n (2) đ ứ ả 250 ữ ố ậ ủ ằ ầ . Ph n nguyên c a nó có ch s t n cùng b ng 9. ổ ( ế 226. Bi n đ i

chuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_6923.doc ự ng t

+ +

ả ươ i t (Gi bài 36)

(

)

(

)

1 ...

+ + ...

227. Ta có : (

) ( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ố Theo cách chia nhóm nh trên, nhóm 1 có 3 s , nhóm 2 có 5 s , nhóm 3 có 7 s , nhóm 4 có 9 s . ố ộ Các s thu c nhóm 1 b ng 1, các s thu c nhóm 2 b ng 2, các s thu c nhóm 3 b ng 3, các s thu c nhóm 4 b ng 4.

ố ố ố ư ằ ằ ằ ố ộ ố ộ ố ằ ộ ậ V y A = 1.3 + 2.5 + 3.7 + 4.9 = 70

x 2

+ + -

3 x

x x 2 2

ế ướ ạ ấ ẳ ứ ụ t A d i d ng : A = 4. . .(3 – x). Áp d ng b t đ ng th c 228. a) Xét 0 ≤ x ≤ 3. Vi

1 .

x 2

� � � � �

3 � � � � �

ố ượ Cauchy cho 3 s không âm , , (3 – x) ta đ c : .(3 – x) ≤ .

= -

3 x

maxA 4

��(cid:0)

= x 2

x 2 x 0

ế ế Do đó A ≤ 4 (1) ậ b) Xét x > 3, khi đó A ≤ 0 (2). So sánh (1) và (2) ta đi đ n k t lu n (cid:0) (cid:0) . (cid:0) (cid:0) (cid:0)

3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta đ

ậ ụ ứ ế ượ ằ ng hai v , áp d ng h ng đ ng th c (a + b) c : 229. a) L p ph

+ (x 1)(7 x) 0

+ x 1 7 x 3. (x 1)(7 x).2 8 - =

+ =

ươ + + - + - - (cid:219) x = 1 ; x = 7 (th a)ỏ

ệ ề ẳ � Đ t ặ 3 x 2 y ; x 1 z b) Đi u ki n : x ≥ 1 (1).

y z 3 (2) = 3 y

2 z

3 (3)

z 0 (4)

. Khi đó x – 2 = y2 ; x + 1 = z2 + = (cid:0) (cid:0) - (cid:0) ươ ượ ư ề ệ nên z2 – y3 = 3. Ph ng trình đã cho đ c đ a v h : (cid:0) (cid:0) (cid:0)

3 – y2 + 6y – 6 = 0 (cid:219) ế

ừ (2) : z = 3 – y. Thay vào (3) : y y = 1 (y – 1)(y2 + 6) = 0 (cid:219) ậ ỏ ỏ

ạ ẳ . 230. a) Có, ch ng h n : Rút z t Suy ra z = 2, th a mãn (4). T đó x = 3, th a mãn (1). K t lu n : x = 3. 1 2 ừ 1 2

ươ ế ố ữ ỉ ươ ả ử ồ ạ s t n t ng a, b mà . Bình ph ng hai v : b) Không. Gi

+ +

a =

a b 2 ab

2 ab

�

= 2 + 2 (a b)

i các s h u t d = -

2 2 – 2(a + b) 2 (cid:222) ỉ

ươ ng 2 v : 4ab = 2 + (a + b) . 2(a + b) 2 = 2 + (a + b)2 – 4ab ế ố ữ ỉ ế ế ẩ Bình ph ố ả V ph i là s h u t , v trái là s vô t (vì a + b ≠ 0), mâu thu n.

m n

3 m 3 n

ố ố ả ứ s (phân s t i gi n). Suy ra 5 = ằ . Hãy ch ng minh r ng 231. a) Gi ố ữ ỉ ả ử 3 5 là s h u t

m n

ề ế ẫ ả ế ố ố ả c m l n n đ u chia h t cho 5, trái gi thi t là phân s t ả i gi n.

m n

http://kinhhoa.violet.vn

ố ữ ỉ ố ố ả ả ử 3 s là s h u t (phân s t i gi n). Suy ra : b) Gi

chuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_6923.doc

= +

= + 6

6 3. 8.

�

m 6n 6mn (1) m 2 m 2

�� M

3 m 3 n

6m n

( Thay m = 2k (k ˛

) m n Z) vào (1) : 8k3 = 6n3 + 12kn2 (cid:222) ư ậ

(cid:222) (cid:222) ế ế ả ớ n3 chia h t cho 2 ế ế n chia h t cho 2. Nh v y m và n cùng chia h t cho 2, trái v i gi 4k3 = 3n3 + 6kn2. Suy ra 3n3 chia h t cho 2 ế t thi

m n

ố ố là phân s t ả i gi n.

abc

3 , b = y3 , c = z3. B t đ ng th c c n ch ng minh

+ + a b c 3

3 x

3 z

(cid:0) ặ ứ ầ ấ ẳ ứ 232. Cách 1 : Đ t a = x

xyz hay

3 y 3

(cid:0) ươ ớ ứ ẳ ằ ươ t ng đ ng v i x3 + y3 + z3 – 3xyz ≥ 0. Ta có h ng đ ng th c :

1 2

ậ x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)[(x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2]. (bài t p sbt)

abc

+ + a b c 3

(cid:0) ư ậ Do a, b, c ≥ 0 nên x, y, z ≥ 0, do đó x3 + y3 + z3 – 3xyz ≥ 0. Nh v y :

ấ ả ứ ỉ ố ố Cách 2 : Tr Ta có :

)

ab. cd

abcd

� � �

(cid:0) (cid:0)

ẳ X y ra d u đ ng th c khi và ch khi a = b = c. ấ ẳ ướ ế ứ ứ c h t ta ch ng minh b t đ ng th c Cauchy cho b n s không âm. + + + + ( 1 a b c d 1 a b c d 2 2 4

abcd

+ + a b c 3

� � 2 � + + + a b c d 4

�(cid:0) � �

+ + +

a b c

+ + a b c 3

ượ ứ , đ t ặ ta đ c : ấ ẳ Trong b t đ ng th c

(cid:0) � abc.

abc.

+ + a b c 3

� � �

4 � � �

� � � � �

� � � 4 � � � � � + + a b c 3

ố ươ ườ ằ ợ ộ ượ ế Chia hai v cho s d ng (tr ố ng h p m t trong các s a, b, c b ng 0, bài toán đ c

�۳

abc

+ + a b c 3

� � �

3 � � �

ứ ch ng minh) : .

ẳ ả ứ X y ra đ ng th c : a = b = c = (cid:219) a = b = c = 1

b +

d +

+ + a b c 3 a +

1 +

a 1 a 1

(cid:0) - ừ ả ế ấ ẳ ụ ứ thi t suy ra : . Áp d ng b t đ ng th c 233. T gi

3. 3

c + b 1 c 1 d 1 b 1 + +

d +

c +

+ a 1 b 1 c 1 d 1

bcd + (b 1)(c 1)(d 1)

http://kinhhoa.violet.vn

(cid:0) (cid:0) ố ươ ươ ự Cauchy cho 3 s d ng : . T ng t :

chuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_6923.doc

3. 3

1 + b 1

acd + (a 1)(c 1)(d 1)

(cid:0)

1 + c 1

abd + (a 1)(b 1)(d 1)

(cid:0)

3. 3

1 + d 1

abc + (a 1)(b 1)(c 1)

(cid:0)

(cid:0) � 1 81abcd

abcd

1 81

ừ ố ấ ẳ ứ Nhân t b n b t đ ng th c : .

2 y 2 z

2 z 2 x

2 x 2 y

ấ ẳ ụ ứ . Áp d ng b t đ ng th c Bunhiacôpxki : 234. G i ọ

2 y 2 z

2 z 2 x

x y z + + y z x

2 � � �

2 � x � 2 y �

� + + (cid:0) (1 1 1) � �

(1)

= (2) 3

� � � x y z + + (cid:0) y z x

x y z y z x

+ + (cid:0) + +

ấ ẳ ứ ụ ớ ố Áp d ng b t đ ng th c Cauchy v i ba s không âm :

x y z y z x

� � �

� � + +� 3 � � � �

2 � � �

ừ ớ ế Nhân t ng v (1) v i (2) :

3 – a3 , ta đ

3 ; y

- ượ thì x3 + y3 = 6 (1). Xét hi u bệ c : 235. Đ t ặ

3 + b3), ta có :

b3 – a3 = 24 – (x + y)3 = 24 – (x3 + y3) – 3xy(x + y) ở Do (1), ta thay 24 b i 4(x

3 > a3 , do đó b > a. ớ

b3 – a3 = 4(x3 + y3) – (x3 + y3) – 3xy(x + y) = 3(x3 + y3) – 3xy(x + y) = = 3(x + y)(x2 – xy + y2 – xy) = 3(x + y)(x – y)2 > 0 (vì x > y > 0). V y bậ ứ ể ớ 236. a) B t đ ng th c đúng v i n = 1. V i n ≥ 2, theo khai tri n Newton, ta có :

= +

1 n.

+ + ...

1 n(n 1) 1 n(n 1)(n 2) 1 + 3 n n

2 n

n(n 1)...2.1 1 n n

- - - -

+ +

+ + ...

1 1

ấ ẳ 1 � �+ 1 � � n � �

1 n!

+ + ...

� � � 1 (n 1)n

(cid:0) ễ ứ D dàng ch ng minh : -

1 1 1 - + - + + ... 2 2 3

1 1 + 2! 3! 1 1 - = - < 1 n 1 n

= -

< (

)

(1 Do đó (

3 3

1 1 � + � 2! 3! � 1 1 1 n! 1.2 2.3 1 n 2>

n1 ) n ) 6 3 3

+> n 1

(cid:219) (cid:219) ứ ớ ậ ậ (1). Th t v y, (1) 32 > 22. b) V i n = 2, ta ch ng minh

+ (2). Th t v y :

n 1

+ n(n 1)

+ n 1

ớ ậ ậ

(

n )

(2)

�

+ n (n 1)

�

+ n (n 1) n n

n 1 � � + 1 � � � n � �

http://kinhhoa.violet.vn

V i n ≥ 3, ta ch ng minh ( (3) ứ ) + n 1

chuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_6923.doc

ượ ứ Theo câu a ta có , mà 3 ≤ n nên (3) đ c ch ng minh.

n1 � �+ 1 � � n � � c ch ng minh.

ượ Do đó (2) đ

+ +

2 2 x 1

4 x

x 1 4

)

(

ứ = (cid:0) ớ . min A = 2 v i x = 0. 237. Cách 1 :

+ +

- +

+ (cid:0) 2

ứ ụ ấ ẳ Cách 2 : Áp d ng b t đ ng th c Cauchy :

2 4 2 (x

2 x 1)(x

+ 4 4 2 x

x 1 2

= x 1) ớ

(cid:0)

2(x – 2). Áp d ng b t đ ng th c

min A = 2 v i x = 0. ớ ớ ấ ẳ ụ ứ

+ + -

x 2

x x 2 2

ố 238. V i x < 2 thì A ≥ 0 (1). V i 2 ≤ x ≤ 4, xét A = x Cauchy cho ba s không âm :

.(x 2)

A 4

x x . 2 2

3 � � �

� � � � �

3 � -� � 2x 2 = � � 3 � � �

- - (cid:0) (cid:0)

2 ≤ 9.

+ -

2 9 x

2 x 2

ớ A ≤ 32 (cid:222) A ≥ 32. min A = 32 v i x = 4. ệ ề 239. Đi u ki n : x

x (9 x ) 4.

2 (9 x ) 4

4.27

2 2 x x . 2 2

2 � x � 2 � � � �

3 � � = � � � �

- - (cid:0)

6 .

ớ max A = 6 3 v i x = ±

ị ớ

240. a) Tìm giá tr l n nh t : ớ Cách 1 : V i 0 ≤ x < ấ 6 thì A = x(x2 – 6) ≤ 0.

6 . Ta có 6 ≤ x ≤ 3 (cid:222) ớ

ớ 6 ≤ x2 ≤ 9 (cid:222) 0 ≤ x2 – 6 ≤ 3.

V i x ≥ Suy ra x(x2 – 6) ≤ 9. max A = 9 v i x = 3. Cách 2 : A = x(x2 – 9) + 3x. Ta có x ≥ 0, x2 – 9 ≤ 0, 3x ≤ 9, nên A ≤ 9. ớ max A = 9 v i x = 3 ấ ỏ

ị b) Tìm giá tr nh nh t : Cách 1 : A = x3 – 6x = x3 + (2 2 )3 – 6x – (2 2 )3 == (x + 2 2 )(x2 2 2 x + 8) – 6x 16

2 .

= (x + 2 2 )(x2 2 2 x + 2) + (x + 2 2 ).6 – 6x 16 2 = (x + 2 2 )(x 2 )2 4 2 ≥ 4

2 .

ớ min A = 4 2 v i x = ớ ụ ấ ẳ ứ Cách 2 : Áp d ng b t đ ng th c Cauchy v i 3 s không âm :

x

3-2x

x

2 .

3-2x

ủ ể ọ ỏ

x

ạ ị ớ ầ

x

http://kinhhoa.violet.vn

ấ ẳ ứ ớ ố x3 + 2 2 + 2 2 ≥ 3. 3 x .2 2.2 2 = 6x. Suy ra x3 – 6x ≥ 4 2 . min A = 4 2 v i x = ớ ộ ủ 241. G i x là c nh c a hình vuông nh , V là th tích c a hình h p. 2. ấ ủ C n tìm giá tr l n nh t c a V = x(3 – 2x) ố ươ ng : Theo b t đ ng th c Cauchy v i ba s d

+ -

4x 3 2x 3 2x 3

chuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_6923.doc 3 � � �

� � �

4V = 4x(3 – 2x)(3 – 2x) ≤ = 8 max V = 2 (cid:219) 4x = 3 – 2x (cid:219)

1 2

x =

3 khi c nh hình vuông nh b ng

1 2

- =

ấ ủ ể ộ ớ ỏ ằ ạ Th tích l n nh t c a hình h p là 2 dm dm.

ố ố . Đáp s : 1 ; 2 ; 10. 242. a) Đáp s : 24 ; 11. b) Đ t ặ 3 2 x a; x 1 b

5 2

ươ ế ố ng hai v . Đáp s : 0 ; ± ậ c) L p ph

3 + 1 = 2y , y3 + 1 = 2x, đ

2 + xy + y2 + 2) = 0

ả ệ ượ = y. Gi i h : x c (x – y)(x d) Đ t ặ 3 2x 1-

- (cid:0) (cid:219) ố x = y. Đáp s : 1 ; .

x 4

)

(

1 2

- =

- - ế ượ c : ố . Đáp s : x = 4. ọ e) Rút g n v trái đ

ả ủ ế . Ta có : a3 + b3 = 2, a3 – b3 = 12 – 2x, do đó v ph i c a g) Đ t ặ 3

a b + = a b

3 3 a b 2

3 7 x a; x 5 b 3 3 a b 2 3

- - - ươ ươ ở . ph ng trình đã cho là . Ph ng trình đã cho tr thành :

3 a b a b = 3 a b a b

- - (a – b)(a3 + b3) = (a + b)(a3 – b3) (cid:222) Do a3 + b3 = 2 nên

ừ ượ

ượ + = ừ T ab = 0 ta đ - = . Ta có : a2 + b2 + ab = 1 (1) ; a3 – b3 = 2 (2). c x = 6. 3 x 1 a; x 1 b

ượ ừ ố

3 x 2+ .

ươ ế ng trình. c a = 1. Đáp s : x = 0. V i x + 2 ≠ 0, chia hai v cho

+ Do a + b ≠ 0 nên : (a – b)(a2 – ab + b2 = (a – b)(a2 + ab + b2). c x = 7 ; x = 5. T a = b ta đ h) Đ t ặ 3 T (1) và (2) : a – b = 2. Thay b = a – 2 vào (1) ta đ ệ ớ i) Cách 1 : x = 2 nghi m đúng ph + x 3 + x 2

+ x 1 + x 2

ệ ệ Đ t ặ 3 . Gi ả ệ 3 + b3 = 2, a + b = 1. H này vô nghi m. i h a

- + 3 y 1

+ = - 3 y 1

ể ế ươ ế ượ ậ . L p ph ng hai v ta đ c : Cách 2 : Đ t ặ 3 x 2+ = y. Chuy n v :

3 y 1-

y3 – 1 + y3 + 1 + 3. .( y) = y3 (cid:219) y3 = y. .

2 =

6 = y6 – 1. Vô n0.

3 y 1- ớ

ệ ớ ớ ươ V i y = 0, có nghi m x = 2. V i y ≠ 0, có y ậ . L p ph ng : y

3 x 1+ < 1 > 1

ươ ươ ng trình. V i x < 2, x > 2, ph ng trình vô ấ ả ệ Cách 3 : Ta th y x = 2 nghi m đúng ph nghi m, xem b ng d ệ i đây : ướ x ế V trái

x < 2 x > x

3 x 2+ < 0 > 0 k) Đ t 1 + x = a , 1 – x = b. Ta có : a + b = 2 (1),

3 x 3+ < 1 > 1 + a

http://kinhhoa.violet.vn

ặ < 0 > 0 = 3 (2)

chuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_6923.doc

+ m n 2 +

b 1 +

a 1 +

(cid:0) ấ ẳ ứ Theo b t đ ng th c Cauchy , ta có

a. b

1. a

1. b

1 a 1 b +

+ (cid:0) b 1

+ = 1

2 + = . 2 3

2 + a b 2

2 ẳ

(cid:0)

- = (cid:0)

2 ứ ứ 4 a x m 0; b x n 0

ấ - = (cid:0) ả ả Ph i x y ra d u đ ng th c, t c là : a = b = 1. l) Đ t ặ 4

ươ ế ồ ừ ậ ố . Nâng lên lũy th a b c b n hai v r i thu Do đó x = 0. thì m4 + n4 = a + b – 2x. 4 m n+

ở ng trình đã cho tr thành : m + n = 2 + 3mn + 2n2) = 0. ế ặ

2 + b2 ≠ 0 (a và b không đ ng th i b ng 0). + + 2 2 2 2x y x y y + + + 2 2 xy y x + + 2 2

+ 2

ả ử ươ s a ≤ b thì nghi m c a ph ủ ứ ề ệ Ph ọ g n : 2mn(2m 2 + 3mn + 2n2 > 0. Suy ra m = 0 ho c n = 0, còn n u m, n > 0 thì 2m ứ ả ể Do đó x = a , x = b. Ta ph i có x ≤ a , x ≤ b đ các căn th c có nghĩa. ệ Gi ng trình đã cho là x = a. ể ể 243. Đi u ki n đ bi u th c có nghĩa : a - ờ ằ 2 2 2x y = Đ t ặ 3

x x (

3 x ; b (

(xy) 2

y +

) ( xy x + + 2 y

- - ồ + y + xy y ) - .

= , ta có : ) + xy y ậ V y : ể

xy 2 + b2 ≠ 0). (v i aớ ấ ẳ ụ

+ = a ứ ươ 244. Do A là t ng c a hai bi u th c d

+ + (cid:0) 2

- + 2

+ + 2

ủ ổ ứ ể ng nên ta có th áp d ng b t đ ng th c Cauchy :

- + + x 1

x 1 2

x 1. x

+ + = x 1

4 2 (x

x 1)(x

x 1)

ẳ ứ ả . Đ ng th c x y ra khi : =

42 x 2 x

+ (cid:0) 2 2 - + 2 x 1

=� x

x + + = x 1 x + =

1 1

(cid:0) (cid:0) (cid:219) (cid:0) ứ ả ẳ ậ .Ta có A ≥ 2, đ ng th c x y ra khi x = 0. V y : min A = 2 (cid:0) (cid:0)

3 + ax2 + bx + 12 = 0, nên ta có :

x x = 0. 245. Vì 1 + 3 là nghi m c a ph

ủ ươ ng trình 3x

3 = 0.

ự ệ ệ 3(1 + 3 )3 + a(1 + 3 )2 + b(1 + 3 ) + 12 = 0. ể ượ ứ ế ổ ọ Sau khi th c hi n các phép bi n đ i, ta đ c bi u th c thu g n :(4a + b + 42) + (2a + b + 18)

ả Z nên p = 4a + b + 42 ˛ Z và q = 2a + b + 18˛ ố Z.Ta ph i tìm các s nguyên a, b sao cho

Vì a, b˛ p + q 3 = 0.

3 = 0 ta suy ra p = 0.

3 =

ế ừ N u q ≠ 0 thì , vô lí. Do đó q = 0 và t p + q

3 + ax2 + bx + 12 = 0 khi và ch khi :

ậ ươ ỉ ệ ộ V y 1 + ng trình 3x

p q ủ 3 là m t nghi m c a ph + + + +

= =

4a b 42 0 2a b 18 0

http://kinhhoa.violet.vn

(cid:0) (cid:0) . Suy ra a = 12 ; b = 6. (cid:0)

chuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_6923.doc

p q

ố ố ả ứ s ( là phân s t i gi n ). Suy ra : 3 = ả . Hãy ch ng minh c 246. Gi ố ữ ỉ ả ử 3 3 là s h u t

p q

+ =

ớ ả ế ố ố ế p và q cùng chia h t cho 3, trái v i gi thi t là phân s t ả i gi n.

(

) 2

1 2 2 2

. 247. a) Ta có :

3 2 2 ) 2 (

= 2 . 3 2 2

= + 6 3 2 2 . 3 2 2

= 2 2

- - - Do đó : .

= - 5 ẳ

9 4 5. 2 ằ ụ +

1 ứ +

3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta có : 248. Áp d ng h ng đ ng th c (a + b) +

- . b) 6

�

3 20 14 2 20 14 2 3 (20 14 2)(20 14 2).a

= 3 a

(14 2) .a

- - -

+ 40 3 20 a = 4.

= a3 – 6a – 40 = 0 (cid:219) ự ả ươ i t

(a – 4)(a2 + 4a + 10) = 0. Vì a2 + 4a + 10 > 0 nên (cid:222)

a (cid:219) ng t 249. Gi bài 21. . 250. A = 2 + 3 2 3 = a3 + b3 + 3ab(a + b). ụ 251. Áp d ng : (a + b)

. Suy ra x3 = 12 + 3.3x (cid:219) x3 – 9x – 12 = 0.

9+ 3 ứ

3 = A3 – B3 – 3AB(A – B). Tính x3. K t qu M = 0

T x = ằ ử ụ ẳ ế ả

3 = -

9 , v

= - x

ừ 252. S d ng h ng đ ng th c (A – B) 253. a) x1 = 2 ; x2 = 25. (cid:0) (cid:0) (cid:0) ượ , ta đ c : (cid:219) u = v = 2 (cid:222) x = 1. b) Đ t ặ (cid:0) (cid:0)

v = > . K t qu x = ± 7. ế

4 x

+ -

ả c) Đ t : ặ

+ + + 1 1

1 1

ứ ề ạ ư ể ụ . Áp d ng | A | + | B | ≥ | A + B | 254. Đ a bi u th c v d ng :

1 ≤ x ≤ 0. ụ ứ

�

2 +

ấ ẳ = ầ = min A = 2 (cid:219) 255. Áp d ng b t đ ng th c Cauchy hai l n. 3 256. Đ t ặ

(

y thì (

x )

P 2 x )

x a

x b

- - = | x – a | + | x – b | ≥ | x – a + b – x | = b – a (a < b). 258. Ta có :

(cid:219) (cid:219) ẳ ấ ứ ả ậ a ≤ x ≤ b. V y min P = b – a ừ ứ ấ ẳ

+ + - (a b c)

a) =

+ -

a b) =

+ - b (b c

+ - a)(c

a b)

+ - (a b c)(b c

+ -

+ a b)

+ -

+ - (a b c) =

D u đ ng th c x y ra khi (x – a)(x – b) ≥ 0 a ≤ x ≤ b. ụ 259. Vì a + b > c ; b + c > a ; c + a > b. Áp d ng b t đ ng th c Cauchy cho t ng c p s d + - + - (b c a) (b c ặ ố ươ ng + - + (c (cid:0) (cid:0)

+ - a b)(a b c)

(cid:0)

ứ ế ủ ấ ẳ ừ ế ượ c ứ ầ ấ ẳ ỉ ứ ả ứ

+ =

a = b = c (tam giác đ u).ề

= x y

= 4xy

4 4

2 2

2 ề ươ ứ Các v c a 3 b t d ng th c trên đ u d ng. Nhân 3 b t đ ng th c này theo t ng v ta đ ẳ ấ ẳ b t đ ng th c c n ch ng minh. Đ ng th c x y ra khi và ch khi : a + b – c = b + c – a = c + a – b (cid:219) + = 2 260. (x y) (x y) 261. 2A = (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2.

http://kinhhoa.violet.vn

- - - .

chuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_6923.doc Ta có : c – a = (a – c) = [(a – b) + (b – c)] = ( 2 + 1 + 2 1) = 2 2 . Do đó : 2A = ( 2 + 1)2 + ( 2 1)2 + (2 2 )2 = 14. Suy ra A = 7.

(

)

(

)

) 2 + x 2 1

y 3 2

= z 5 3

- - - - - - ề ạ ư . 262. Đ a pt v d ng :

- = (cid:0)

ế

x 1

( ữ ậ

- - - 263. N u 1 ≤ x ≤ 2 thì y = 2. = y 0. M x 1 . 264. Đ t : ặ

2 + y2 ≥ 2xy. Nh ng xư

ướ ủ ọ c c a hình ch nh t là x, y.

2 + b2 ≥ 2ab. Nh ng a

2 + b2 = c2 (đ nh lí Pytago) nên :

) ) ( - + x 1 2 3 ọ ớ V i m i x, y ta có : x 265. G i các kích th + y2 = (8 2 )2 = 128, nên xy ≤ 64. Do đó : max xy = 64 (cid:219) x = y = 8. 266. V i m i a, b ta luôn có : a

ư ớ ọ ị

+ a b 2

c2 ≥ 2ab (cid:219) 2c2 ≥ a2 +b2 + 2ab (cid:219) 2c2 ≥ (a + b)2 (cid:219) c ≥ . c 2 ≥ a + b (cid:219)

ấ ẳ ứ ả ỉ

)

(

)

a 'b

ab '

a 'c

) 2 + ac '

b 'c