Chuyªn ®Ò båi dìng HSG líp 6 phÇn sè häc
Bµi 1 : TÌM CH S T N CÙNGỮ Ố Ậ
Tìm ch s t n cùng c a m t s t nhiên là d ng toán hay. Đa s các tài li uữ ố ậ ủ ộ ố ự ạ ố ệ
v d ng toán này đ u s d ng khái ni m đ ng d , m t khái ni m tr u t ng vàề ạ ề ử ụ ệ ồ ư ộ ệ ừ ượ
không có trong ch ng trình. Vì th có không ít h c sinh, đ c bi t là các b n l p 6ươ ế ọ ặ ệ ạ ớ
và l p 7 khó có th hi u và ti p thu đ c. ớ ể ể ế ượ
Qua bài vi t này, tôi xin trình bày v i các b n m t s tính ch t và ph ng phápế ớ ạ ộ ố ấ ươ
gi i bài toán “tìm ch s t n cùng”, ch s d ng ki n th c THCS. ả ữ ố ậ ỉ ử ụ ế ứ
Chúng ta xu t phát t tính ch t sau : ấ ừ ấ
Tính ch t 1 :ấ
a) Các s có ch s t n cùng là 0, 1, 5, 6 khi nâng lên lũy th a b c b t kì thìố ữ ố ậ ừ ậ ấ
ch s t n cùng v n không thay đ i. ữ ố ậ ẫ ổ
b) Các s có ch s t n cùng là 4, 9 khi nâng lên lũy th a b c l thì ch số ữ ố ậ ừ ậ ẻ ữ ố
t n cùng v n không thay đ i. ậ ẫ ổ
c) Các s có ch s t n cùng là 3, 7, 9 khi nâng lên lũy th a b c 4n (n thu cố ữ ố ậ ừ ậ ộ
N) thì ch s t n cùng là 1. ữ ố ậ
d) Các s có ch s t n cùng là 2, 4, 8 khi nâng lên lũy th a b c 4n (n thu cố ữ ố ậ ừ ậ ộ
N) thì ch s t n cùng là 6.ữ ố ậ
Vi c ch ng minh tính ch t trên không khó, xin dành cho b n đ c. Nh v y, mu nệ ứ ấ ạ ọ ư ậ ố
tìm ch s t n cùng c a s t nhiên x = aữ ố ậ ủ ố ự m, tr c h t ta xác đ nh ch s t n cùngướ ế ị ữ ố ậ
c a a. ủ
- N u ch s t n cùng c a a là 0, 1, 5, 6 thì x cũng có ch s t n cùng là 0, 1, 5, 6. ế ữ ố ậ ủ ữ ố ậ
- N u ch s t n cùng c a a là 3, 7, 9, vì aế ữ ố ậ ủ m = a4n + r = a4n.ar v i r = 0, 1, 2, 3 nên tớ ừ
tính ch t 1c => ch s t n cùng c a x chính là ch s t n cùng c a aấ ữ ố ậ ủ ữ ố ậ ủ r.
- N u ch s t n cùng c a a là 2, 4, 8, cũng nh tr ng h p trên, t tính ch t 1dế ữ ố ậ ủ ư ườ ợ ừ ấ
=> ch s t n cùng c a x chính là ch s t n cùng c a 6.aữ ố ậ ủ ữ ố ậ ủ r.
Bài toán 1 : Tìm ch s t n cùng c a các s : ữ ố ậ ủ ố
a) 799 b) 141414 c) 4567
L i gi i : ờ ả
a) Tr c h t, ta tìm s d c a phép chia 99 cho 4 : ướ ế ố ư ủ
99 - 1 = (9 - 1)(98 + 97 + … + 9 + 1) chia h t cho 4 ế
=> 99 = 4k + 1 (k thu c N) => 7ộ99 = 74k + 1 = 74k.7
Do 74k có ch s t n cùng là 1 (theo tính ch t 1c) => 7ữ ố ậ ấ 99 có ch s t n cùng là 7.ữ ố ậ
b) D th y 14ễ ấ 14 = 4k (k thu c N) => theo tính ch t 1d thì 14ộ ấ 1414 = 144k có ch s t nữ ố ậ
cùng là 6.
c) Ta có 567 - 1 chia h t cho 4 => 5ế67 = 4k + 1 (k thu c N) ộ
=> 4567 = 44k + 1 = 44k.4, theo tính ch t 1d, 4ấ4k có ch s t n cùng là 6 nên 4ữ ố ậ 567 có chữ
s t n cùng là 4. ố ậ
Tính ch t sau đ c => t tính ch t 1. ấ ượ ừ ấ
Tính ch t 2 : ấM t s t nhiên b t kì, khi nâng lên lũy th a b c 4n + 1 (nộ ố ự ấ ừ ậ
thu c N) thì ch s t n cùng v n không thay đ i.ộ ữ ố ậ ẫ ổ
1
Ch s t n cùng c a m t t ng các lũy th a đ c xác đ nh b ng cách tính t ng cácữ ố ậ ủ ộ ổ ừ ượ ị ằ ổ
ch s t n cùng c a t ng lũy th a trong t ng. ữ ố ậ ủ ừ ừ ổ
Bài toán 2 : Tìm ch s t n cùng c a t ng S = 2ữ ố ậ ủ ổ 1 + 35 + 49 + … + 20048009.
L i gi i : ờ ả
Nh n xét :ậ M i lũy th a trong S đ u có s mũ khi chia cho 4 thì d 1 (các lũy th aọ ừ ề ố ư ừ
đ u có d ng nề ạ 4(n - 2) + 1, n thu c {2, 3, …, 2004}). ộ
Theo tính ch t 2, m i lũy th a trong S và các c s t ng ng đ u có ch s t nấ ọ ừ ơ ố ươ ứ ề ữ ố ậ
cùng gi ng nhau, b ng ch s t n cùng c a t ng : ố ằ ữ ố ậ ủ ổ
(2 + 3 + … + 9) + 199.(1 + 2 + … + 9) + 1 + 2 + 3 + 4 = 200(1 + 2 + … + 9) +
9 = 9009.
V y ch s t n cùng c a t ng S là 9. ậ ữ ố ậ ủ ổ
T tính ch t 1 ti p t c => tính ch t 3. ừ ấ ế ụ ấ
Tính ch t 3 :ấ
a) S có ch s t n cùng là 3 khi nâng lên lũy th a b c 4n + 3 s có ch số ữ ố ậ ừ ậ ẽ ữ ố
t n cùng là 7 ; s có ch s t n cùng là 7 khi nâng lên lũy th a b c 4n + 3ậ ố ữ ố ậ ừ ậ
s có ch s t n cùng là 3. ẽ ữ ố ậ
b) S có ch s t n cùng là 2 khi nâng lên lũy th a b c 4n + 3 s có ch số ữ ố ậ ừ ậ ẽ ữ ố
t n cùng là 8 ; s có ch s t n cùng là 8 khi nâng lên lũy th a b c 4n + 3ậ ố ữ ố ậ ừ ậ
s có ch s t n cùng là 2. ẽ ữ ố ậ
c) Các s có ch s t n cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9, khi nâng lên lũy th a b c 4nố ữ ố ậ ừ ậ
+ 3 s không thay đ i ch s t n cùng. ẽ ổ ữ ố ậ
Bài toán 3 : Tìm ch s t n cùng c a t ng T = 2ữ ố ậ ủ ổ 3 + 37 + 411 + … + 20048011.
L i gi i : ờ ả
Nh n xét :ậ M i lũy th a trong T đ u có s mũ khi chia cho 4 thì d 3 (các lũy th aọ ừ ề ố ư ừ
đ u có d ng nề ạ 4(n - 2) + 3, n thu c {2, 3, …, 2004}). ộ
Theo tính ch t 3 thì 2ấ3 có ch s t n cùng là 8 ; 3ữ ố ậ 7 có ch s t n cùng là 7 ; 4ữ ố ậ 11 có
ch s t n cùng là 4 ; … ữ ố ậ
Nh v y, t ng T có ch s t n cùng b ng ch s t n cùng c a t ng : (8 + 7 + 4 +ư ậ ổ ữ ố ậ ằ ữ ố ậ ủ ổ
5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 199.(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 1 + 8 + 7 + 4 = 200(1 +
8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 8 + 7 + 4 = 9019.
V y ch s t n cùng c a t ng T là 9. ậ ữ ố ậ ủ ổ
* Trong m t s bài toán khác, vi c tìm ch s t n cùng d n đ n l i gi i khá đ cộ ố ệ ữ ố ậ ẫ ế ờ ả ộ
đáo.
Bài toán 4 : T n t i hay không s t nhiên n sao cho nồ ạ ố ự 2 + n + 1 chia h t choế
19952000.
L i gi i :ờ ả 19952000 t n cùng b i ch s 5 nên chia h t cho 5. Vì v y, ta đ tậ ở ữ ố ế ậ ặ
v n đ là li u nấ ề ệ 2 + n + 1 có chia h t cho 5 không ? ế
Ta có n2 + n = n(n + 1), là tích c a hai s t nhiên liên ti p nên ch s t n cùng c aủ ố ự ế ữ ố ậ ủ
n2 + n ch có th là 0 ; 2 ; 6 => nỉ ể 2 + n + 1 ch có th t n cùng là 1 ; 3 ; 7 => nỉ ể ậ 2 + n +
1 không chia h t cho 5. ế
V y không t n t i s t nhiên n sao cho nậ ồ ạ ố ự 2 + n + 1 chia h t cho 1995ế2000.
S d ng tính ch t ử ụ ấ “m t s chính ph ng ch có th t n cùng b i các ch s 0 ; 1 ;ộ ố ươ ỉ ể ậ ở ữ ố
4 ; 5 ; 6 ; 9”, ta có th gi i đ c bài toán sau : ể ả ượ
2
Bài toán 5 : Ch ng minh r ng các t ng sau không th là s chính ph ng : ứ ằ ổ ể ố ươ
a) M = 19k + 5k + 1995k + 1996k (v i k ch n) ớ ẵ
b) N = 20042004k + 2003
S d ng tính ch t ử ụ ấ “m t s nguyên t l n h n 5 ch có th t n cùng b i các ch sộ ố ố ớ ơ ỉ ể ậ ở ữ ố
1 ; 3 ; 7 ; 9”, ta ti p t c gi i quy t đ c bài toán : ế ụ ả ế ượ
Bài toán 6 : Cho p là s nguyên t l n h n 5. Ch ng minh r ng : pố ố ớ ơ ứ ằ 8n +3.p4n -
4 chia h t cho 5. ế
* Các b n hãy gi i các bài t p sau : ạ ả ậ
Bài 1 : Tìm s d c a các phép chia : ố ư ủ
a) 21 + 35 + 49 + … + 20038005 cho 5
b) 23 + 37 + 411 + … + 20038007 cho 5
Bài 2 : Tìm ch s t n cùng c a X, Y : ữ ố ậ ủ
X = 22 + 36 + 410 + … + 20048010
Y = 28 + 312 + 416 + … + 20048016
Bài 3 : Ch ng minh r ng ch s t n cùng c a hai t ng sau gi ng nhau : ứ ằ ữ ố ậ ủ ổ ố
U = 21 + 35 + 49 + … + 20058013
V = 23 + 37 + 411 + … + 20058015
Bài 4 : Ch ng minh r ng không t n t i các s t nhiên x, y, z th a mãn : ứ ằ ồ ạ ố ự ỏ
19x + 5y + 1980z = 1975430 + 2004.
* Các b n th nghiên c u các tính ch t và ph ng pháp tìm nhi u h n m t ch sạ ử ứ ấ ươ ề ơ ộ ữ ố
t n cùng c a m t s t nhiên, chúng ta s ti p t c trao đ i v v n đ này. ậ ủ ộ ố ự ẽ ế ụ ổ ề ấ ề
* Tìm hai ch s t n cùng ữ ố ậ
Nh n xét :ậ N u x Є N và x = 100k + y, trong đó k ; y Є N thì hai ch s t nế ữ ố ậ
cùng c a x cũng chính là hai ch s t n cùng c a y. ủ ữ ố ậ ủ
Hi n nhiên là y ≤ x. Nh v y, đ đ n gi n vi c tìm hai ch s t n cùng c a s tể ư ậ ể ơ ả ệ ữ ố ậ ủ ố ự
nhiên x thì thay vào đó ta đi tìm hai ch s t n cùng c a s t nhiên y (nh h n). ữ ố ậ ủ ố ự ỏ ơ
Rõ ràng s y càng nh thì vi c tìm các ch s t n cùng c a y càng đ n gi n h n. ố ỏ ệ ữ ố ậ ủ ơ ả ơ
T nh n xét trên, ta đ xu t ph ng pháp tìm hai ch s t n cùng c a s t nhiênừ ậ ề ấ ươ ữ ố ậ ủ ố ự
x = am nh sau : ư
Tr ng h p 1 :ườ ợ N u a ch n thì x = aế ẵ m ∶ 2m. G i n là s t nhiên sao cho aọ ố ự n - 1
∶ 25.
Vi t m = pến + q (p ; q Є N), trong đó q là s nh nh t đ aố ỏ ấ ể q ∶ 4 ta có :
x = am = aq(apn - 1) + aq.
Vì an - 1 ∶ 25 => apn - 1 ∶ 25. M t khác, do (4, 25) = 1 nên aặq(apn - 1) ∶ 100.
V y hai ch s t n cùng c a am cũng chính là hai ch s t n cùng c a aq.ậ ữ ố ậ ủ ữ ố ậ ủ
Ti p theo, ta tìm hai ch s t n cùng c a aq. ế ữ ố ậ ủ
Tr ng h p 2 :ườ ợ N u a l , g i n là s t nhiên sao cho aế ẻ ọ ố ự n - 1 ∶ 100.
Vi t m = uến + v (u ; v Є N, 0 ≤ v < n) ta có :
x = am = av(aun - 1) + av.
Vì an - 1 ∶ 100 => aun - 1 ∶ 100.
V y hai ch s t n cùng c a aậ ữ ố ậ ủ m cũng chính là hai ch s t n cùng c a aữ ố ậ ủ v.
Ti p theo, ta tìm hai ch s t n cùng c a aế ữ ố ậ ủ v.
3
Trong c hai tr ng h p trên, chìa khóa đ gi i đ c bài toán là chúng taả ườ ợ ể ả ượ
ph i tìm đ c s t nhiên n. N u n càng nh thì q và v càng nh nên s d dàngả ượ ố ự ế ỏ ỏ ẽ ễ
tìm hai ch s t n cùng c a aữ ố ậ ủ q và av.
Bài toán 7 :
Tìm hai ch s t n cùng c a các s : ữ ố ậ ủ ố
a) a2003 b) 799
L i gi i :ờ ả a) Do 22003 là s ch n, theo tr ng h p 1, ta tìm s t nhiên n nhố ẵ ườ ợ ố ự ỏ
nh t sao cho 2ấn - 1 ∶ 25.
Ta có 210 = 1024 => 210 + 1 = 1025 ∶ 25 => 220 - 1 = (210 + 1)(210 - 1) ∶ 25 =>
23(220 - 1) ∶ 100. M t khác :ặ
22003 = 23(22000 - 1) + 23 = 23((220)100 - 1) + 23 = 100k + 8 (k Є N).
V y hai ch s t n cùng c a 2ậ ữ ố ậ ủ 2003 là 08.
b) Do 799 là s l , theo tr ng h p 2, ta tìm s t nhiên n bé nh t sao cho 7ố ẻ ườ ợ ố ự ấ n
- 1 ∶ 100.
Ta có 74 = 2401 => 74 - 1 ∶ 100.
M t khác : 9ặ9 - 1 ∶ 4 => 99 = 4k + 1 (k Є N)
V y 7ậ99 = 74k + 1 = 7(74k - 1) + 7 = 100q + 7 (q Є N) t n cùng b i hai ch sậ ở ữ ố
07.
Bài toán 8 :
Tìm s d c a phép chia 3ố ư ủ 517 cho 25.
L i gi i :ờ ả Tr c h t ta tìm hai ch s t n cùng c a 3ướ ế ữ ố ậ ủ 517. Do s này l nênố ẻ
theo tr ng h p 2, ta ph i tìm s t nhiên n nh nh t sao cho 3ườ ợ ả ố ự ỏ ấ n - 1 ∶ 100.
Ta có 310 = 95 = 59049 => 310 + 1 ∶ 50 => 320 - 1 = (310 + 1) (310 - 1) ∶ 100.
M t khác : 5ặ16 - 1 ∶ 4 => 5(516 - 1) ∶ 20
=> 517 = 5(516 - 1) + 5 = 20k + 5 =>3517 = 320k + 5 = 35(320k - 1) + 35 = 35(320k - 1) + 243,
có hai ch s t n cùng là 43. ữ ố ậ
V y s d c a phép chia 3ậ ố ư ủ 517 cho 25 là 18.
Trong tr ng h p s đã cho chia h t cho 4 thì ta có th tìm theo cách gián ti p. ườ ợ ố ế ể ế
Tr c tiên, ta tìm s d c a phép chia s đó cho 25, t đó suy ra các kh năng c aướ ố ư ủ ố ừ ả ủ
hai ch s t n cùng. Cu i cùng, d a vào gi thi t chia h t cho 4 đ ch n giá trữ ố ậ ố ự ả ế ế ể ọ ị
đúng.
Các thí d trên cho th y r ng, n u a = 2 ho c a = 3 thì n = 20 ; n u a = 7 thì n = 4. ụ ấ ằ ế ặ ế
M t câu h i đ t ra là : N u a b t kì thì n nh nh t là bao nhiêu ? Ta có tính ch tộ ỏ ặ ế ấ ỏ ấ ấ
sau đây (b n đ c t ch ng minh). ạ ọ ự ứ
Tính ch t 4 :ấ N u a Є N và (a, 5) = 1 thì aế20 - 1 ∶ 25.
Bài toán 9 : Tìm hai ch s t n cùng c a các t ng : ữ ố ậ ủ ổ
a) S1 = 12002 + 22002 + 32002 + ... + 20042002
b) S2 = 12003 + 22003 + 32003 + ... + 20042003
L i gi i :ờ ả
a) D th y, n u a ch n thì aễ ấ ế ẵ 2 chia h t cho 4 ; n u a l thì aế ế ẻ 100 - 1 chia h t cho 4 ;ế
n u a chia h t cho 5 thì aế ế 2 chia h t cho 25. ế
M t khác, t tính ch t 4 ta suy ra v i m i a Є N và (a, 5) = 1 ta có a100 - 1 ặ ừ ấ ớ ọ ∶ 25.
V y v i m i a Є N ta có aậ ớ ọ 2(a100 - 1) ∶ 100.
4
Do đó S1 = 12002 + 22(22000 - 1) + ... + 20042(20042000 - 1) + 22 + 32 + ... + 20042.
Vì th hai ch s t n cùng c a t ng Sế ữ ố ậ ủ ổ 1 cũng chính là hai ch s t n cùng c a t ngữ ố ậ ủ ổ
12 + 22 + 32 + ... + 20042. áp d ng công th c : ụ ứ
12 + 22 + 32 + ... + n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6
=>12 + 22 + ... + 20042 = 2005 x 4009 x 334 = 2684707030, t n cùng là 30. ậ
V y hai ch s t n cùng c a t ng Sậ ữ ố ậ ủ ổ 1 là 30.
b) Hoàn toàn t ng t nh câu a, Sươ ự ư 2 = 12003 + 23(22000 - 1) + ... + 20043(20042000 - 1) +
23 + 33 + 20043. Vì th , hai ch s t n cùng c a t ng Sế ữ ố ậ ủ ổ 2 cũng chính là hai ch sữ ố
t n cùng c a 1ậ ủ 3 + 23 + 33 + ... + 20043.
áp d ng công th c : ụ ứ
=> 13 + 23 + ... + 20043 = (2005 x 1002)2 = 4036121180100, t n cùng là 00. ậ
V y hai ch s t n cùng c a t ng Sậ ữ ố ậ ủ ổ 2 là 00.
Tr l i bài toán 5 (TTT2 s 15), ta th y r ng có th s d ng vi c tìm ch sở ạ ố ấ ằ ể ử ụ ệ ữ ố
t n cùng đ nh n bi t m t s không ph i là s chính ph ng. Ta cũng cóậ ể ậ ế ộ ố ả ố ươ
th nh n bi t đi u đó thông qua vi c tìm hai ch s t n cùng. ể ậ ế ề ệ ữ ố ậ
Ta có tính ch t sau đây (b n đ c t ch ng minh). ấ ạ ọ ự ứ
Tính ch t 5 :ấ S t nhiên A không ph i là s chính ph ng n u : ố ự ả ố ươ ế
+ A có ch s t n cùng là 2, 3, 7, 8 ; ữ ố ậ
+ A có ch s t n cùng là 6 mà ch s hàng ch c là ch s ch n ; ữ ố ậ ữ ố ụ ữ ố ẵ
+ A có ch s hàng đ n v khác 6 mà ch s hàng ch c là l ; ữ ố ơ ị ữ ố ụ ẻ
+ A có ch s hàng đ n v là 5 mà ch s hàng ch c khác 2 ; ữ ố ơ ị ữ ố ụ
+ A có hai ch s t n cùng là l . ữ ố ậ ẻ
Bài toán 10 : Cho n Є N và n - 1 không chia h t cho 4. Ch ng minh r ng 7ế ứ ằ n +
2 không th là s chính ph ng. ể ố ươ
L i gi i :ờ ả Do n - 1 không chia h t cho 4 nên n = 4k + r (r Є {0, 2, 3}). Ta cóế
74 - 1 = 2400 ∶ 100. Ta vi t 7ến + 2 = 74k + r + 2 = 7r(74k - 1) + 7r + 2.
V y hai ch s t n cùng c a 7ậ ữ ố ậ ủ n + 2 cũng chính là hai ch s t n cùng c a 7ữ ố ậ ủ r + 2 (r
= 0, 2, 3) nên ch có th là 03, 51, 45. Theo tính ch t 5 thì rõ ràng 7ỉ ể ấ n + 2 không thể
là s chính ph ng khi n không chia h t cho 4. ố ươ ế
* Tìm ba ch s t n cùngữ ố ậ
Nh n xét :ậ T ng t nh tr ng h p tìm hai ch s t n cùng, vi c tìm baươ ự ư ườ ợ ữ ố ậ ệ
ch s t n cùng c a s t nhiên x chính là vi c tìm s d c a phép chia x choữ ố ậ ủ ố ự ệ ố ư ủ
1000.
N u x = 1000k + y, trong đó k ; y Є N thì ba ch s t n cùng c a x cũng chính là baế ữ ố ậ ủ
ch s t n cùng c a y (y ≤ x). ữ ố ậ ủ
Do 1000 = 8 x 125 mà (8, 125) = 1 nên ta đ xu t ph ng pháp tìm ba ch s t nề ấ ươ ữ ố ậ
cùng c a s t nhiên x = aủ ố ự m nh sau : ư
Tr ng h p 1 :ườ ợ N u a ch n thì x = aế ẵ m chia h t cho 2ếm. G i n là s t nhiênọ ố ự
sao cho an - 1 chia h t cho 125. ế
Vi t m = pến + q (p ; q Є N), trong đó q là s nh nh t đ aố ỏ ấ ể q chia h t cho 8 ta có : ế
x = am = aq(apn - 1) + aq.
5