Chuyên Đề Đối Xứng Tâm - Trục - Đồ Thị và Công Thức Chuyển Trục: Tổng Hợp Chi Tiết

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ ĐỐI XỨNG

TÂM ĐỐI XỨNG- TRỤC ĐỐI XỨNG- ĐỒ THỊ ĐỐI XỨNG VÀ CÔNG THỨC

CHUYỂN TRỤC

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN :

Cho hàm số y=f(x). có đồ thị (C)

1.Nếu f(x) là hàm số chẵn : Đồ thị của có đối xứng nhau qua trục Oy - Có nghĩa là ,trục Oy

là trục đối xứng của nó .

2. Nếu f(x) là hàm số lẻ : Đồ thị của nó nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

3. Cho hai điểm

   

1 1 2 2

; ; ;

x y B x y và đường thẳng d : mx+ny+p=0 . Nếu A và B đối xứng

nhau qua đường thẳng d thì phải thỏa mãn hệ sau :

2 1

. 1 ;i:k

êm I d

AB d

k k

Trungdi x x

















4. Cho điểm I( 00

; )

y. Nếu chuyển hệ tọa độ Oxy dọc theo phương của véc tơ OI thì công

thức chuyển trục là : 0

x X

y y

 

 



Khi đó phương trình của đồ thị (C) trong hệ mới : Y=F(X;y0;x0)

B. GHI NHỚ :

- Đối với đồ thị hàm phân thức , thì giao hai tiệm cận là tâm đối xứng

- Đối với hàm số bậc ba thì tọa độ điểm uốn là tọa độ tâm đối xứng

- Đối với hàm số trùng phương thì trục Oy là trục đối xứng của đồ thị hàm số .

C. CÁC BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP

I.CHỨNG MINH ĐỒ THỊ Y=F(X) CÓ TRỤC ĐỐI XỨNG

CÁCH GIẢI

Có hai cách

* Cách 1.

- Giả sử trục đối xứng có phương trình : 0



. Gọi điểm





0;0Ix

- Chuyển

   

Oxy IXY

x X

y Y

 



 





- Viết phương trình đường cong (C) trong tọa độ mới : Y=F(X;x0;y0) (*)

- Buộc cho (*) là một hàm số chẵn : ( Cho hệ số các ẩn bậc lẻ bằng 0 )

- Giải hệ các ẩn số bậc lẻ bằng 0 ta suy ra kết quả cần tìm .

* Cách 2. Nếu với 0

x là trục đối xứng thì : f(





0 0

)

x f x x



 đúng với mọi x , thì ta

cũng thu được kết quả .

Ví dụ 1. Cho hàm số





4 3 2

4 7 6 4y x x x x C     . Chứng minh rằng đường thẳng x=1 là

trục đối xứng của đồ thị (C)

( Hoặc : Chứng minh rằng đồ thị hàm số có trục đối xứng ; tìm phương trình của trục đối

xứng đó ? )

GIẢI

Trang 2

- Giả sử đường thẳng x= 0

là trục đối xứng của đồ thị (C). Gọi I( 0;0)x

- Chuyển :

   

Oxy IXY

x X

y Y

 



 





- Phương trình của (C) trong hệ tọa độ mới là :

     





 

     

4 3 2

0 0 0 0

4 3 2 2 3 2 4 3 2

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

4 7 6 4

4 4 6 5 4 5 7 6 4 7 6 4

Y x x x x x x x x

Y X x X x x X x x x X x x x x

        

              

- Để hàm số là chẵn thì các hệ số của ẩn bậc lẻ và số hạng tự do bằng không :

3 2

0 0 0 0

4 3 2

0 0 0 0

4 4 0

4 5 7 6 0 1

4 7 6 4 0

x x x x

 





      



    



Chứng tỏ đồ thị hàm số có trục đối xứng , và phương trình của trục đối xứng là : x=1.

Ví dụ 2. Tìm tham số m để đồ thị hàm số :





4 3 2

y x x mx C   có trục đối xứng song

song với trục Oy.

GIẢI

- Giả sử đường thẳng x= 0

là trục đối xứng của đồ thị (C). Gọi I( 0;0)x

- Chuyển :

   

Oxy IXY

x X

y Y

 



 





- Phương trình của (C) trong hệ tọa độ mới là :

 





4 3 2 2 3 2 4 3 2

0 0 0 0 0 0 0 0 0

4 4 6 3 4 12 2 4Y X x X x x m X x x mx X x x mx           

- Để là hàm số chẵn thì :

 

3 2

0 0 0

4 1 0 1

4 12 2 0

xmx

  









  

   



II. Chứng minh đồ thị (C) có tâm đối xứng .

CÁCH GIẢI

Ta cũng có hai cách giải

Cách 1.

- Giả sử đồ thị (C) có tâm đối xứng là





0 0

;

- Chuyển :

   

Oxy IXY

x X

y y Y

 



  





- Viết phương trình (C) trong hệ tọa độ mới : Y=F(X;x0;y0) (*)

- Buộc cho (*) là một hàm số lẻ : ( Cho hệ số các ẩn bậc chẵn )

- Giải hệ ( với hệ số các ẩn bậc chẵn bằng 0 ) ta suy ra kết quả .

Cách 2.

Nếu đồ thị (C) nhận điểm I làm tâm đối xứng thì :

0 0 0

( ) ( ) 2

x x f x x y    với mọi x

Trang 3

VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1. ( ĐH-QG-98). Cho (C) : 2





a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

b. Chứng minh (C) có tâm đối xứng , tìm tọa độ tâm đối xứng đó .

GIẢI

a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)

b. Giả sử (C) có tâm đối xứng là I





0 0

;

- Phương trình (C) viết lại thành dạng : 1

y x

  



- Chuyển :

   

Oxy IXY

x X

y y Y







 









- Phương trình (C) trong hệ mới là :

   

0 0

Y y x X x X

Y X x y X x

      

     





- Để hàm số là lẻ :

 

0 0 0

0 0

1 0 1 1; 2

1 0 2

x y x I

x y

   

 

 

 

  

 

Chứng tỏ đồ thị hàm số có tâm đối xứng I(1;2).

Ví dụ 2. (ĐH-NNI-99). Cho hàm số

 

y C



a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)

b. Chứng minh giao hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị (C)

GIẢI

a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)

b. Hàm số viết lại : 11

  

- Giả sử (C) có tâm đối xứng là

 

0 0

;

- Chuyển :

   

Oxy IXY

x X

y y Y

 



  





- Phương trình (C) trong hệ mới là :

 

Y y x X

Y y X x

    

    



Trang 4

- Để hàm số là lẻ :

 

0 0

1 0 1 1;1

1 0 1

y x I

x y

   

 

  

 

  

 

Nhận xét : Giao hai tiệm cận là (-1;1) trùng với I . Chứng tỏ giao hai tiệm cận là tâm đối

xứng của (C).

III. Tìm tham số m để ( )

C: y=f(x;m) nhận điểm I( 00

; )

y là tâm đối xứng .

CÁCH GIẢI

1. Nếu f(x;m) là hàm số phân thức hữu tỷ :

- Tìm tọa độ giao hai tiệm cận . Giả sử giao hai tiệm cận là J(a;b)

- Để I là tâm đối xứng thì buộc J trùng với I ta suy ra hệ : 0

a x m

b y









2. Nếu f(x;m) là hàm số bậc ba .

- Tìm tọa độ điểm uốn :

 

''( ; ) 0 ;

( ; )

y x m x a J a b

y f x m y b

 

 

  

 

 

 

- Tương tự như trên , đẻ I là tâm đối xứng , ta cho J trùng vố I ta suy ra hệ : 0

a x m

b y









Vídụ 3. Tìm m để đồ thị hàm số

 

3 2 ; 0

ymx C m

    nhận điểm I(1;0) là tâm đối

xứng .

GIẢI

Ta có : 2

3 6

' 6 '' 6

x x

mx y m

m m

    . Cho y''=0 2

660; u

xm x m x



     

- Tính

 

64 5 2 5

; 3 . 2 2 2 ;2 2

u u

y y x m m m m U m m

        

- Để I là tâm đối xứng thì : cho U trùng với I :

2 2 0









   

  

 





- Vậy với m=-1 và m=1 thì I(1;0) là tâm đối xứng của đồ thị .

Ví dụ 4. (ĐH-Luật -99) .

Cho hàm số

   

2 4 2 1

x m x m

   



Tìm m để đồ thị hàm số nhận điểm I(2;1) làm tâm đối xứng .

GIẢI

- Ta viết lại hàm số ; 1

y x m x

   . Chứng tỏ với mọi m đồ thị luôn có tiệm cận xiên

với phương trình là : y=2x+m và tiệm cận đứng : x=2 .

- Gọi J là giao hai tiệm cận , thì J(2;m+4)

Trang 5

- Để I làm tâm đối xứng thì ta buộc J trùng với I , nghĩa là ta có hệ : 2 2 3

4 1 m



  

 



- Vậy với m=-3 thì I là tâm đối xứng của đồ thị .

Ví dụ 5.( ĐH-CĐ-2000).

Cho hàm số





3 2

3 3 3 4 m

y x x mx m C    

Tìm m để



Cnhận điểm I(1;2) làm tâm đối xứng .

GIẢI

- Tìm tọa độ điểm uốn :

Ta có : 2

' 3 6 3 ; '' 6 6 '' 0 6 6 0 ; 1 u

y x x m y x y x x x           

Tính

 





1 1 3 3 3 4 6 2; 1; 6 2

y y m m m U m         

- Để I là tâm đối xứng thì : 1 1 0

6 2 2 m



 

 



- Vậy với m=0 , thì I là tâm đối xứng của đồ thị .

IV. TÌM CÁC ĐIỂM ĐỐI XỨNG NHAU TRÊN ĐỒ THỊ

Bài toán : Cho đồ thị (C) : y=f(x) , tìm trên đồ thị những cặp điểm M,N đối xứng nhau qua

điểm A hoặc đường thẳng d: Ax+By+C=0 ( cho sẵn )

CÁCH GIẢI

- Giả sử

   





0 0 0 0

; ( ) 1M x y C y f x  

- Tìm tọa độ điểm N theo 00

y sao cho N là điểm đối xứng của M qua A ( hoặc qua d )

Nên ta có :

   

N N

y f x

- Từ (1) và (2) ta tìm được tọa độ của điểm M,N .

Ví dụ 6. ( ĐH-GTVT-97)

Cho hàm số 3 2 9 4y x mx x   . Xác định m để trên đồ thị hàm số có một cặp điểm đối

xứng nhau qua gốc tọa độ O.

GIẢI

Giả sử

 





0 0 0 0

;à N -x ;

x y v y là cặp điểm đối xứng nhau qua O, nên ta có :





 

3 2

0 0 0 0

3 2

0 0 0 0

9 4 1

9 4 2

y x mx x

   

     



Lấy (1) cộng với (2)vế với vế ,ta có :





04 0 3

mx 

Để (3) có nghiệm khi và chỉ khi m<0 . Khi đó : 0





Thay vào (1) ta tìm dược 0

. Vậy đáp số : m< 0 .

Chuyên đề đối xứng tâm - đối xứng trục - đối xứng đồ thị đối xứng và công thức chuyển trục

Chủ đề:

Tài liệu liên quan

Tài liêu mới

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Hỗ trợ

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi